Sur la convergence en temps long des jeux à champ moyen de type potentiel

Cette thèse porte sur l’étude du comportement en temps long des jeux à champ moyen (MFG) potentiels, indépendamment de la convexité du problème de minimisation associé. Pour le système hamiltonien de dimension finie, des problèmes de même nature ont été traités par la théorie KAM faible. Nous transposons de nombreux résultats de cette théorie dans le contexte des jeux à champ moyen potentiels. Tout d'abord, nous caractérisons par approximation ergodique la valeur limite associée aux systèmes MFG à horizon fini. Nous fournissons des exemples explicites dans lesquels cette valeur est strictement supérieure au niveau d’énergie des solutions stationnaires du système MFG ergodique. Cela implique que les trajectoires optimales des systèmes MFG à horizon fini ne peuvent pas converger vers des configurations stationnaires. Ensuite, nous prouvons la convergence du problème de minimisation associé à MFG à horizon fini vers une solution de l’équation Hamilton-Jacobi critique dans l’espace de mesures de probabilité. De plus, nous montrons une limite de champ moyen pour la constante ergodique associée à l’équation Hamilton-Jacobi de dimension finie correspondante. Dans la dernière partie, nous caractérisons la limite du problème de minimisation à horizon infini que nous avons utilisé pour l'approximation ergodique dans la première partie du manuscrit.The purpose of this thesis is to shed some light on the long time behavior of potential Mean Field Games (MFG), regardless of the convexity of the minimization problem associated. For finite dimensional Hamiltonian systems, problems of the same nature have been addressed through the so-called weak KAM theory. We transpose many results of this theory in the infinite dimensional context of potential MFG. First, we characterize through an ergodic approximation the limit value associated to time dependent MFG systems. We provide explicit examples where this value is strictly greater than the energy level of stationary solutions of the ergodic MFG system. This implies that optimal trajectories of time dependent MFG systems cannot converge to stationary configurations. Then, we prove the convergence of the minimization problem associated to time dependent MFGs to a solution of the critical Hamilton-Jacobi equation in the space of probability measures. In addition, we show a mean field limit for the ergodic constant associated with the corresponding finite dimensional Hamilton-Jacobi equation. In the last part we characterize the limit of the infinite horizon discounted minimization problem that we use for the ergodic approximation in the first part of the manuscript