Random tree-like structures : gluings of metric spaces and stable graphs

Le thème central de cette thèse est l'étude d'espaces métriques aléatoires dont la structure est apparentée à celle d'un arbre. On étudie d'abord une façon aléatoire de recoller une suite d'espaces métriques itérativement, en attachant à chaque étape de la procédure un nouveau bloc sur la structure construite jusque là. Sous certaines conditions sur les blocs que l'on agglomère, on calcule la dimension de Hausdorff de la structure obtenue et son expression est surprenante ! On s'intéresse ensuite à certaines propriétés asymptotiques (degrés, hauteur, profil) de deux modèles d'arbres discrets construits récursivement, les arbres récursifs pondérés et les arbres à attachement préférentiel affine à poids initiaux. Les premiers encodent la structure discrète sous-jacente aux recollements des blocs dans la construction précédente, et les seconds ont un rôle similaire pour des modèles de graphes discrets construits de façon analogues. On exploite cette connexion afin de montrer des résultats de limites d'échelle pour certains modèles de graphes discrets vers des espaces métriques continus construits par recollement itératif. Enfin, dans un travail en collaboration avec Christina Goldschmidt et Bénédicte Haas, on prouve des résultats concernant la composante alpha-stable à surplus fixé. Cet espace métrique aléatoire apparaît comme la limite d'échelle des grandes composantes connexes de modèles de configuration critique à queue lourde. L'objets obtenu est presque un arbre à l'exception d'un nombre fini de cycles dont nous étudions la structure.The subject of this thesis is the study of some random metric spaces with a tree-like structure. We first study a construction in which we glue a sequence of metric spaces onto each other in a sequential manner. Under some conditions on the spaces that we aggregate, we compute the Hausdorff dimension of the obtained structure and it has a surprising expression ! We then investigate some asymptotic properties (degrees, height,profile) of two models of growing discrete trees, the weighted recursive trees and the preferential attachment trees with additive fitnesses. The former encodes the underlying discrete structure in the construction described above and the latter have a similar interpretation for some models of discrete growing graphs. We make use of this connection in order to prove scaling limit results for these random discrete graphs towards continuous metric space constructed by a gluing procedure. Last, in a joint work with Christina Goldschmidt and Bénédicte Haas, we investigate the behaviour of the alpha­stable component with fixed surplus. This random metric space appears as the scaling limit of large connected components of the configuration model with heavy-tailed degrees. This abject is almost a tree except for a finite number of cycles. We compute the distribution of the cyclic structure and give a description of the whole space as trees glued along this structure