Méthodes adaptatives en espace avec contrôle de précision basées sur la multirésolution adaptative pour la simulation d'écoulements réactifs à faible nombre de Mach

Ce travail vise au développement de nouvelles méthodes numériques adaptatives pour la simulation numérique de phénomènes physiques multi-échelles en temps et en espace. Nous nous concentrons sur les écoulements réactifs à faible nombre de Mach, caractéristiques d'un grand nombre de configurations industrielles telles que la convection naturelle, la dynamique de fronts de flamme ou encore les décharges plasmas. La raideur associée à ce type de problèmes, que ce soit via le terme source chimique qui présente un large spectre d'échelles de temps caractéristiques ou encore via la présence de forts gradients très localisés associés aux fronts de réaction, génère des difficultés numériques considérables. Il est donc nécessaire de concevoir des méthodes sur mesure pour traiter la raideur de telles applications, afin d'obtenir des résultats d'une grande précision avec un coût calcul raisonnable. Dans ce cadre général, nous introduisons de nouvelles méthodes numériques pour la résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles, une étape importante dans la réalisation d'un solveur hydrodynamique pour les écoulements à faible nombre de Mach. Nous construisons un solveur volumes finis avec adaptation de maillage par l'analyse de multirésolution, qui permet un contrôle a priori des erreurs générées par l'adaptation de maillage. Pour ce faire, nous développons un nouveau schéma de volumes finis collocalisé, avec un traitement original des modes de pression et de vitesse parasites qui n'affecte pas la précision de la discrétisation spatiale. Cette dernière est couplée à un nouveau schéma de Runge-Kutta additif d'ordre 3 pour les écoulements incompressibles, qui présente des propriétés de stabilité adaptées à la raideur des équations différentielles algébriques semi-explicites d'index 2. L'ensemble de cette stratégie est implémentée dans le code de calcul scientifique mrpy. Ce dernier est écrit en Python, et repose sur la librairie PETSc, écrite en C, pour le traitement des opérations d'algèbre linéaire. Nous évaluons l'efficacité algorithmique de cette stratégie par la simulation numérique d'un transport de scalaire passif dans un écoulement incompressible sur maillage adaptatif. Ce travail présente donc un nouveau solveur hydrodynamique d'ordre élevé pour les écoulements incompressibles, avec adaptation de maillage par multirésolution et contrôle d'erreur, qui peut être étendu aux écoulements à faible nombre de Mach.We address the development of new numerical methods for the efficient resolution of stiff Partial Differential Equations modelling multi-scale time/space physical phenomena. We are more specifically interested in low Mach reacting flow processes, that cover various real-world applications such as flame dynamics at low gas velocity, buoyant jet flows or plasma/flow interactions. It is well-known that the numerical simulation of these problems is a highly difficult task, due to the large spectrum of spatial and time scales caused by the presence of nonlinear The adaptive spatial discretization is coupled to a new 3rd-order additive Runge-Kutta method for the incompressible Navier-Stokes equations, combining a 3rd-order, A-stable, stiffly accurate, 4-stage ESDIRK method for the algebraic linear part of these equations, and a 4th-order explicit Runge-Kutta scheme for the nonlinear convective part. This numerical strategy is implemented from scratch in the in-house numerical code mrpy. This software is written in Python, and relies on the PETSc library, written in C, for linear algebra operations. We assess the capabilities of this mechanisms taking place into dynamic fronts. In this general context, this work introduces dedicated numerical tools for the resolution of the incompressible Navier-Stokes equations, an important first step when designing an hydrodynamic solver for low Mach flows. We build a space adaptive numerical scheme to solve incompressible flows in a finite-volume context, that relies on multiresolution analysis with error control. To this end, we introduce a new collocated finite-volume method on adaptive rectangular grids, with an original treatment of the spurious pressure and velocity modes that does not alter the precision of the discretization technique. new hydrodynamic solver in terms of speed and efficiency, in the context of scalar transport on adaptive grids. Hence, this study presents a new high-order hydrodynamics solver for incompressible flows, with grid adaptation by multiresolution, that can be extended to the more general low-Mach flow configuration