Regularity of minimizers and solutions with generalized Orlicz growth

This thesis studies properties of minimizers of variational integrals and solutions of partial differential equations with generalized Orlicz growth (also known as Musielak– Orlicz growth). This is continuation of regularity theory which is a widely studied field in real analysis. Generalized Orlicz growth generalizes various other growth conditions such as polynomial, Orlicz, variable exponent and double phase growth. This thesis consists of an introductory section, three published articles and one submitted manuscript. In the introductory part we give an overview of basic definitions and properties of generalized Orlicz spaces and how they relate to most notable special cases. In the first article we prove that a gradient of a minimizer has local higher integrability. The proof combines a Caccioppoli inequality, Sobolev–Poincaré inequality and Gehring’s lemma. The second article studies global higher integrability and boundary continuity of a minimizer of an obstacle problem. The first result has similar ingredients as in the first article but the boundary of the set Ω and the obstacle function ψ require additional attention. The second result is based on generalizing Harnack inequalities to the obstacle case and a comparison principle proved in this article. The third manuscript concerns Hölder continuity results of a minimizer or solution to an obstacle problem. The first result is a Hölder continuity for some α ϵ (0, 1) provided that the obstacle is Hölder continuous. The second result includes Hölder continuity of a minimizer or a solution for every α ϵ (0, 1) and Hölder continuity of their gradient for some α ϵ (0, 1). These maximal regularity results require stricter assumptions compared to the first result, for instance Hölder continuity of the gradient of the obstacle. The fourth article deals with size of removable sets regarding elliptic partial differential equations with generalized Orlicz growth. The size of this removable set is characterized by intrinsic Hausdorff measure related to the growth condition. The main step is to estimate a Radon measure emerging from the equation by this intrinsic Hausdorff measure.Minimoijien ja ratkaisujen säännöllisyys yleistetyllä Orlicz-kasvulla Tässä väitöskirjassa tutkitaan variaatiointegraalien minimoijien ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisujen ominaisuuksia yleistetyillä Orlicz-kasvuehdoilla (tunnetaan myös nimellä Musielak–Orlicz-kasvuehdot). Tämä jatkaa säännöllisyysteoriaa, joka on laajasti tutkittu reaalianalyysin osa-alue. Yleistetyt Orlicz-kasvuehdot yleistävät monet muut kasvuehdot kuten polynomikasvun, Orlicz-kasvun, varioivaeksponenttisen kasvun ja double phase -kasvun. Väitöskirja koostuu johdanto-osuudesta, kolmesta julkaistusta artikkelista ja arvioitavaksi lähetetystä käsikirjoituksesta. Johdanto-osuudessa annetaan yleiskatsaus perusmääritelmistä sekä ominaisuuksista yleistetyissä Orlicz-avaruuksissa ja niiden vastaavuuksista tärkeimmissä erikoistapauksissa. Ensimmäisessä artikkelissa todistetaan minimoijan gradientin lokaali korkeampi integroituvuus. Todistus yhdistää Caccioppoli-epäyhtälön, Sobolev–Poincaré-epäyhtälön ja Gehringin lemman. Toinen artikkeli tutkii esteongelman minimoijan globaalia korkeamapaa integroituvuutta ja reunajatkuvuutta. Ensimmäisessä tuloksessa käytetään samanlaisia aineksia kuin ensimmäisessä artikkelissa, mutta alueen Ω reuna ja estefunktio ψ vaativat tarkempaa huomiota. Toinen tulos pohjautuu esteongelmalle yleistettyihin Harnackin epäyhtälöihin ja vertailuperiaatteeseen, jotka artikkelissa todistetaan. Kolmas käsikirjoitus tarkastelee esteongelman minimoijan tai ratkaisun Hölder-jatkuvuutta. Ensimmäinen tulos on Hölder-jatkuvuus jollakin kunhan estekin on Hölder-jatkuvuva. Toinen tulos sisältää Hölder-jatkuvuuden kaikilla α ϵ (0, 1) ja gradientin Hölder-jatkuvuuden jollakin α ϵ (0, 1). Nämä maksimaaliset säännölisyystulokset vaativat vahvempia oletuksia kuin ensimmäisessä tuloksessa, esimerkiksi estefunktion gradientin tulee olla Hölder-jatkuva. Neljäs artikkeli käsittelee poistettavien joukkojen kokoa elliptisissä osittaisdifferentiaaliyhtälöissä yleistetyillä Olicz-kasvuehdoilla. Poistettavan joukon koko karakterisoidaan luontaisella Hausdorff-mitalla, joka liittyy kasvuehtoon. Tärkeimmässä vaiheessa yhtälöstä syntyvää Radon-mittaa arvioidaan tällä luontaisella Hausdorff-mitalla