The restriction problem of the fourier transform

Σε αυτήν την εργασία θα αποδείξουμε το θεώρημα των Tomas και Stein για q > και το γεγονός ότι το συγκεκριμένο εύρος για το q μαζί με την ισότητα είναι το καλύτερο δυνατό. Συγκεκριμένα, το θεώρημα λέει ότι για f Ε L2(Sn-1), έχουμε — 2η + 2 fdaq 1 . Το αποτέλεσμα του θεωρήματος για q = ^^jy απαιτεί διαφορετικές τεχνικές και δε θα το αποδείξουμε εδώ. Από την άλλη, το αντίστοιχο πρόβλημα για f Ε L°°(Sn_1), συγκεκριμένα η εικασία περιορισμού του Stein που λέει ότι για f Ε L^(Sn_1) και q > n2nT έχουμε Wfda^ < Cq||f παραμένει ακόμα ανοιχτό πρόβλημα. Αποδεικνύ¬ουμε μόνο οτι το εύρος του q είναι το καλύτερο δυνατό. Στο πρώτο κεφάλαιο ξεκινάμε αναφέροντας μερικές βασικές αλλά σημαντικές ι¬διότητες για το μετασχηματισμό Fourier τις οποίες θα χρειαστούμε αργότερα. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσσουμε τη μέθοδο στάσιμης φάσης που είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourier μέτρων με φορέα σε υποπολλαπλότητες του Rn, όπως η σφαίρα Sn-1, την οποία θα χρειαστούμε. Τέλος, στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο αποδεικνύουμε τα κύρια αποτελέσματα των Tomas και Stein.In this thesis we will prove the Tomas - Stein theorem for q > and the fact that the range condition for q is the best possible. In particular, the theorem says that if f Ε L2(Sn-1), then fdaq ^_+12. The result of the theorem for q = 2n+2 requires different techniques and can not be proven this way. However, the respective problem for f Ε L°°(Sn-1), namely the restriction conjecture of Stein which says that for f Ε L°°(Sn-1) and q > we have fdaq < Cqf is still an open problem. We will only prove that this range of q is the best possible. We begin in Chapter 1 with stating some basic but important facts of the Fourier transform which will be needed later. In Chapter 2, we develop the Stationary Phase method which is useful in computing the Fourier transform of measures with support on submanifolds of Rn, like the sphere Sn-1 which we will need. Finally, in chapter 3, we state and prove the main results of Tomas and Stein