Continued fractions: Theoretical foundation and possible approaches in Basic Education

Esta dissertação foi elaborada a partir de revisão literária e o seu tema central é a teoria elementar das frações contínuas simples e os seus aspectos de aproximação, na perspectiva de possíveis abordagens na Educação Básica. As frações contínuas são mais que uma forma diferente de representação numérica, permitem explorar novas ideias e propriedades matemáticas e, obter sequências de aproximações racionais para números irracionais, possibilitando, no ciclo básico, uma significação mais efetiva dos números reais. Das relações entre os convergentes das frações contínuas simples obtemos os resultados mais significativos à compreensão do tema e necessários ao estabelecimento de métodos de aproximações racionais para números irracionais e, à comprovação de que as melhores aproximações racionais para números irracionais vêm das frações contínuas simples. Decorre desses aspectos de convergência que as frações contínuas simples constituem uma ferramenta alternativa para solucionar equações diofantinas lineares com duas incógnitas e desempenham um papel essencial na resolução da equação de Pell. Dedicaremos um capítulo à apresentação de um método alternativo que permite obter expansões, por frações contínuas, de números irracionais algébricos da forma n√ ym. Ao final deste capítulo, exibiremos algumas expansões clássicas para outros números irracionais, inclusive π e e. Finalizaremos o trabalho propondo uma sequência de atividades a serem desenvolvidas, em sala de aula, com alunos da Educação Básica.This dissertation was elaborated from a literary review and its central theme is the elementary theory of simple continued fractions and its approximation aspects, in the perspective of possible approaches in Basic Education. Continued fractions are more than a different form of numerical representation, they allow exploring new ideas and mathematical properties and obtaining sequences of rational approximations for irrational numbers, allowing, in the basic cycle, a more effective meaning of real numbers. From the relations between the convergent of simple continued fractions we obtain the most significant results for the understanding of the theme and necessary for the establishment of methods of rational approximations for irrational numbers and, the proof that the best rational approximations for irrational numbers come from simple continued fractions. It follows from these aspects of convergence that simple continued fractions are an alternative tool to solve linear diophantine equations with two unknowns and play an essential role in solving Pells equation. We will dedicate a chapter to the presentation of an alternative method that allows to obtain expansions, by continued fractions, of irrational algebraic numbers of the form n√ ym. At the end of this chapter, we will display some classic expansions for other irrational numbers, including π and e. We will end the work by proposing a sequence of activities to be developed, in the classroom, with students of Basic Education