A high–order discontinuous Galerkin multiphase flow solver for industrial applications

This thesis investigates models and simulation techniques to solve multiphase flows. Applications for multiphase flows encompasses chemical and process technology, power generation, nuclear reactor safety, or oil and gas. We concentrate on developing models that allow for varying flow morphologies (e.g. both a polydisperse bubbly flow and a fully separated flow) as those present in crude oil transport in pipes. Additionally, we want to retain most chemical phenomena as the phase separation of immiscible fluids, i.e., the coalescence and growth of stable separated phases from an initially mixed state, as well as other fundamental properties such as phases (mass) conservation. We model multiphase phenomena using phase field methods. Phase field (or diffuse interface) methods, as opposed to the sharp interface methods, consider a finite, yet thin, thickness of the interface that separates the two fluids. Therefore, the thermodynamic properties (e.g. the density) vary smoothly across the interface. From the available phase field methods, we solve the Cahn–Hilliard equation, which naturally retains the phase separation phenomena from the minimization of a free–energy, and additionally is phase–conserving. The Cahn–Hilliard equation is coupled with the incompressible Navier–Stokes equations. This is a two–way coupling, since the Cahn–Hilliard governs the density of the Navier–Stokes flow, and also introduces capillary forces at the interfaces. Then, the Navier–Stokes equations modify the Cahn–Hilliard equation to transport the phases with its velocity field. To obtain an efficient model, we relax the incompressibility constraint with an artificial compressibility model, that hyperbolizes the system providing an evolution equation for the pressure. In this thesis, we construct the approximation of two multiphase models: an provably stable two–phase NS/CH system, and a (non provably stable) three–phase NS/CH system. We approximate the models with the high–order Discontinuous Galerkin Spectral Element Method (DGSEM). The DGSEM is chosen since the schemes are arbitrarily high–order accurate, they handle unstructured curvilinear meshes, and they have been widely used to solve hyperbolic/parabolic systems. From the different DGSEM variants, we use the DGSEM with Gauss–Lobatto points, since it allows us to construct schemes that are provably stable. The parabolic systems studied in this thesis involve non–linear terms that can easily make the scheme unstable. We include a thourough study of the errors incurred to construct schemes that are provably stable. To study the stability of the proposed schemes, we first study two simplified cases: provably stable approximations of the incompressible Navier–Stokes equations with variable density and artificial compressibility, and the standalone version (i.e. without fluid motion) of the Cahn–Hilliard equations. Then, we combine the findings to construct a provably stable approximation of the two–phases incompressible Navier– Stokes/Cahn–Hilliard system. Finally, we also construct a three–phase solver from the provably stable incompressible Navier–Stokes solver. We have found that the solvers developed in this thesis are robust and they can solve multiphase problems with very high Reynolds numbers and density ratios. In the final part of the thesis, we also study the numerical errors incurred in turbulent solutions of the compressible Navier–Stokes equations, when the grid resolution is not enough to capture the small eddies present in the flow. From this study, we develop a novel Smagorinsky–SVV LES model that suits high–order DG schemes and has improved the solutions obtained with the standard Smagorinsky model. ----------RESUMEN---------- En esta tesis se han investigado modelos y técnicas de simulación para la resolución de flujos multifase. Tecnologías químicas y de procesos, generación de energía, seguridad de reactores nucleares, o la industria de petróleo son sólo algunas de las aplicaciones relacionadas con los flujos multifase. En particular, el estudio se concentra en el desarrollo de modelos que permiten la resolución con flujos de morfología variable (e.g. tanto flujos con burbujas dispersas como fases totalmente separadas), como los presentes en el transporte del crudo de petróleo en tuberías. Además, se desea mantener fenómenos químicos como la separación de fases en fluidos inmiscibles, es decir, la coalescencia y crecimiento de fases estables desde un estado de mezcla, junto a otras propiedades fundamentales como la conservación de las fases (de la masa) en el modelo. Se ha utilizado un modelo de campo de fase (o interfaz difusa), que a diferencia de los modelos de interfaz delgada, consideran una interfaz fina pero cuyo ancho es finito. Así, las propiedades termodinámicas (e.g. la densidad) varían de forma suave a través de la interfaz. En concreto, en esta tesis se ha adoptado el modelo de Cahn– Hilliard, que retiene el fenómeno de separación de fases de forma natural a través de la minimización de una función de energía libre, y además conserva las fases. La ecuación de Cahn–Hilliard se acopla con las ecuaciones de Navier–Stokes incompresibles. Este acoplamiento ocurre en doble sentido, ya que la ecuación de Cahn– Hilliard modifica la densidad que interviene en las ecuaciones de Navier–Stokes, y además introduce fuerzas de tensión capilar en la interfaz. Por el otro lado, las ecuaciones de Navier–Stokes intervienen en la ecuación de Cahn–Hilliard ya que transportan las diferentes fases con su campo de velocidades. Para simplificar el modelo, se ha relajado la condición de incompresibilidad para adoptar un modelo de compresibilidad artificial, el cual hiperboliza el sistema de ecuaciones en derivadas parciales a través de una ecuación de evolución adicional para la presión. En esta tesis, se han construído esquemas numéricos para dos modelos multifase: un modelo estable de dos fases NS/CH, y otro modelo (sin garantías sobre su estabilidad) de tres fases NS/CH. La aproximación numérica de los modelos se realiza mediante un método de alto orden Galerkin discontinuo de elementos espectrales (DGSEM). Entre las ventajas del método, destacan la posibilidad de elegir el orden del esquema, el uso de mallas no estructuradas con elementos curvilineos, y su uso habitual por otros autores para resolver sistemas hiperbólicos/parabólicos como los encontrados en los modelos multifase de esta tesis. En particular, se utiliza el DGSEM basado en puntos de Gauss–Lobatto, ya que permiten construir esquemas estables. Los sistemas de tipo parabólico estudiados en esta tesis contienen términos no lineales que pueden desestabilizar el esquema numérico con facilidad si no se realiza un detallado estudio de los errores. Esto último, junto con el uso de la versión GL del DGSEM, permiten construir esquemas estables y robustos para su uso industrial. En primer lugar se estudian dos casos simplificados: las aproximaciones estables de las ecuaciones de Navier–Stokes incompresibles con densidad variable y compresibilidad artificial, junto con las de la ecuación de Cahn–Hilliard (desacoplada de NS). Una vez entendido su funcionamiento aislado, se combinan para dar lugar al esquema estable del modelo de dos fases Navier–Stokes incompresible/Cahn–Hilliard. Por último, también se ha diseñado un esquema para un modelo de tres fases que utiliza el esquema estable de las ecuaciones de Navier–Stokes incompresibles, combinado con las ecuaciones de Cahn–Hilliard para tres fases. Los solvers desarrollados en esta tesis han resultado robustos y capaces de resolver problemas multifases a muy alto número de Reynolds y con alto ratio de densidades. En la última parte de la tesis, se realiza un estudio del comportamiento de los errores numéricos en soluciones turbulentas de las ecuaciones de Navier–Stokes compresibles, cuando la resolución de la malla computacional es incapaz de resolver las pequeñas escalas presentes en el flujo. A partir de este estudio, se ha desarrollado un modelo LES Smagorinsky con viscosidad espectral. Este modelo está especialmente diseñado para modelos de alto orden, el cual obtiene mejores resultados comparado con el modelo de Smagorinsky tradicional