Propagation des ondes dans les plaques multicouches : le modèle du Bending-Gradient et la méthode des développements asymptotiques

This thesis is dedicated to the modelling of plane wave propagation in infinite multilayered plates, in the context of linear elasticity. The aim of this work is to find an analytical or semi-analytical approximation of the wave dispersion relations when the ratio of the thickness to the wavelength is small. The dispersion relations, linking the angular frequency and the wave number, provide key information about the propagation characteristics of the wave modes. Two methods are proposed in this thesis: the Bending-Gradient model and the asymptotic expansion method. The relevance of these methods is tested by comparing their predictions to those of well-known plate theories, and to reference results computed using the finite element method. Preliminarily, the first part of the thesis is devoted to the mathematical justification of the Bending-Gradient theory in the static framework using variational methods. The first step is to identify the mathematical spaces in which the variational problems of the Bending-Gradient are well posed. A series of existence and uniqueness theorems of the corresponding solutions are then formulated and proved. The second part is dedicated to the formulation of the equations of motion of the Bending-Gradient theory. Numerical simulations are realized for different types of layer stacks to assess the ability of this model to correctly predict the propagation of flexural waves. The third part is concerned with the asymptotic analysis of the three-dimensional equations of motion, carried out using the asymptotic expansion method, the small parameter being the ratio of the thickness to the wavelength. Assuming that the three-dimensional fields can be written as expansions in power of the small parameter, a series of problems which can be solved recursively is obtained. The validity of this method is evaluated by comparison with the finite element method.Cette thèse est consacrée à la modélisation de la propagation des ondes planes dans les plaques multicouches infinies, dans le cadre de l'élasticité linéaire. L’objet du travail est de trouver une approximation analytique ou semi-analytique des relations de dispersion des ondes lorsque le rapport de l'épaisseur de la plaque sur la longueur d'onde est petit. Ces relations de dispersion, liant la fréquence angulaire et le nombre d'onde, fournissent des informations clés sur les caractéristiques de propagation des différents modes. On propose dans cette thèse deux modélisations : le modèle du Bending-Gradient et la méthode des développements asymptotiques. La pertinence de ces méthodes est testée en comparant leurs prédictions à celles des théories de plaques bien connues, et à des résultats de référence obtenus par la méthode des éléments finis. Au préalable, dans la première partie de la thèse, une justification mathématique de la théorie du Bending-Gradient dans le cadre statique est réalisée à l’aide des méthodes variationnelles. Il s'agit d'abord d'identifier les espaces mathématiques dans lesquels les problèmes variationnels du Bending-Gradient sont bien posés. Puis, des théorèmes d'existence et d'unicité des solutions correspondantes sont ensuite formulés et prouvés. La deuxième partie est consacrée à la formulation des équations du mouvement du Bending-Gradient. Des simulations numériques sont effectuées pour plusieurs types d'empilements, permettant ainsi de tester la validité du modèle pour la modélisation de la propagation des ondes de flexion. La troisième partie est dédiée à l'analyse asymptotique des équations tridimensionnelles du mouvement, menée à bien grâce à la méthode des développements asymptotiques, le petit paramètre étant le rapport de l'épaisseur sur la longueur d'onde. En supposant que les champs tridimensionnels s'écrivent comme des séries en puissance du petit paramètre, on obtient une succession de problèmes à résoudre en cascade. La validité de cette méthode est évaluée par comparaison avec la méthode des éléments finis