Solving ODEs on computer: Euler , Runge-Kutta and Taylor methods

Celem tej pracy jest zaprezentowanie numerycznych metod, które umożliwiają znalezienie przybliżonego rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych, spełniających założenia o istnieniu oraz jednoznaczności rozwiązania. Istnieją szczególne typy równań, które można rozwiązać klasycznymi metodami. W ogólności, bez wykorzystywania metod numerycznych jest to bardzo trudne, a czasem nawet niemożliwe, jeśli nie istnieje rozwiązanie, które dałoby się przedstawić w postaci jawnej. W rozdziale ”Wprowadzenie”, korzystając ze skryptu Feliksa Przytyckiego "Równania Różniczkowe Zwyczajne", Davida Kincaida, Warda Cheneya "Numerical Analysis. Mathematics of Scientific Computing" oraz Mariana Gewerta, Zbigniewa Skoczylasa "Równania Różniczkowe Zwyczajne" zostały przedstawione podstawowe informacje dotyczące równań różniczkowych oraz metod numerycznych. Rozdział 3 został opracowany zgodnie z materiałami dostarczonymi przez prof. dr hab. Piotra Zgliczyńskiego. Poruszone są w nim tematy rzędu oraz zbieżności metody różnicowej. Rozdziały 4 i 5 zawierają implementacje w języku Python, wybranych metod numerycznych. Zawartość tych rozdziałów bazuje na Brain-wiki "TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/RRZ". Ostatni rozdział poświęcony jest porównaniu omawianych metod z rozdziału 6 na prostym przykładzie oscylatora harmonicznego.The purpose of this work is to present numerical methods that are available approximately solutions to customary differential equations that meet the assumptions about the existence and uniqueness of solutions. They include standard types of equations that can be solved by classical methods. In general, without the use of numerical methods, it is very difficult, and sometimes even impossible, if no solution can be used in explicit form. Within the "Introduction", general from the script of Feliks Przytycki "Ordinary Differential Equations", David Kincaid, Ward Cheney "Numerical analysis. Mathematics of scientific calculations ”and Marian Gewert, ZbigniewSkoczylas "Ordinary Differential Equations" contains basic information about differential equations and numerical methods. Chapter 3 was prepared by the materials provided by prof. dr hab. Piotr Zgliczyński. The topics and convergence of differential methods are discussed. Chapters 4 and 5 include implementations in Python, selected numerical methods. The content of these chapters is based on the Brain-wiki "TI / Programming for Medical Physicists / RRZ". The last chapter is devoted to the discussed methods from Chapter 6 on a simple example of a harmonic oscillator