Certain applications of complex numbers in algebra

Moja praca licencjacka zatytułowana „Pewne zastosowania liczb zespolonych w algebrze” składa się z trzech rozdziałów. W pierwszym z nich zaprezentowałam podstawowe definicje i twierdzenia, które są potrzebne do prawidłowego zrozumienia analizowanych twierdzeń i ich dowodów. Znalazły się tam pojęcia z zakresu teorii pierścieni w algebrze i liczb zespolonych. Przeanalizowałam również pierścień kwaternionów, jako przykład nieprzemiennego pierścienia z dzieleniem. W kolejnym rozdziale rozważałam „Twierdzenie o pierścieniu z dzieleniem”, który udowodniłam na podstawie pomysłu Ernsta Witta z 1931 roku. Składa się on z dwóch etapów, to znaczy z teorii algebry oraz liczb zespolonych, które po połączeniu i odpowiednich obserwacjach dają nam kompletny dowód. W ostatnim rozdziale przedstawiłam lemat d’Alemberta oraz „Zasadnicze twierdzenie algebry”. Pierwszy z tych faktów udowodniłam korzystając z pomysłu Arganda z 1806 roku, drugi natomiast opiera się na rozważaniach d’Alemberta, gdzie kluczową rolę odgrywa poprzedni lemat, ale też korzystamy z własności funkcji ciągłych oraz twierdzenia Weierstrassa.My BA thesis entitled "Certain applications of complex numbers in algebra" consists of three chapters.In the first one I presented the basic definitions and theorems, which are needed for a proper understanding of the analyzed theorems and their proofs. There are concepts of the theory of rings in algebra and complex numbers. I also analyzed ring of quaternions as an example of a noncommutative division ring.In the next chapter, I was considering the "Theorem on the ring with division", which I proved based on the idea of Ernst Witt from 1931. It consists of two stages: the theory of algebra and complex numbers, which after the combination and appropriate observations give us complete proof.In the last chapter, I introduced the lemma of d'Alembert and the "The Fundamental Theorem of Algebra". I proved the first of these facts using the Argand idea from 1806, while the second is based on d'Alembert's considerations, where the previous lemma plays a key role. However, we also use the properties of continuous functions and Weierstrass's theorem