The Banach-Tarski Paradox

Celem pracy jest udowodnienie twierdzenia Banacha-Tarskiego o paradoksalnym rozkładzie kuli. W pierwszym rozdziale zdefiniujemy podstawowe pojęcia z teorii grup, które będą konieczne w dalszej części pracy. Drugi rozdział zawiera wypowiedź aksjomatu wyboru oraz równoważne z nim twierdzenia. Natomiast w trzecim rozdziale zaczynając od dowodów dotyczących rozkładu grupy i sfery, udowodnimy twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli.The main goal of the bachelor's thesis is proving the Banach-Tarski theorem which concerns paradoxical decomposition of the ball. First chapter starts with some basic group theory definitions, which will be necessary in the next part of the thesis. The second chapter concerns the axiom of choice and its equivalent theorems. The third chapter includes proofs of decompositions of the group and sphere, subsequently we are going to prove the theorem named The Banach-Tarski Paradox