Application of branching processes in modelling of the extinction of populations

Celem pracy jest pokazanie, jak procesy gałązkowe mogą być stosowane w modelowaniu rozwoju populacji, ze szczególnym naciskiem położonym na modelowanie wymierania populacji.Praca podzielona jest na dwa rozdziały i dodatki.W pierwszym rozdziale wprowadzamy podstawowe pojęcia z teorii procesów gałązkowych oraz przedstawiamy dwa ważne twierdzenia o dychotomii podające warunki na wymarcie populacji wraz z obserwacjami pomagającymi zastosować je w praktyce. Ogólne twierdzenie o dychotomii dotyczy sytuacji, kiedy prawdopodobieństwo wymarcia ograniczone jest od dołu przez dodatnią liczbę zależną tylko od wielkości populacji. Wówczas populacja albo wyginie albo będzie rosła do nieskończoności. Twierdzenie to jest sformułowane dla bardzo szerokiej klasy procesów, dychotomia Malthusa natomiast odnosi się do przypadku, kiedy rozkład liczby potomków dla każdego osobnika w każdej generacji jest taki sam. Możemy wtedy wyliczyć prawdopodobieństwo wymarcia, odnajdując najmniejszy nieujemny pierwiastek równania f(q)=q, gdzie f jest funkcją tworzącą rozkładu liczby potomków. Dodatkowo wiemy, że prawdopodobieństwo to jest mniejsze od 1 wtedy i tylko wtedy, gdy średnia liczba potomków jest większa od 1. Na końcu rozdziału prezentujemy działanie drugiego z twierdzeń na przykładzie rozkładów dwupunktowego oraz geometrycznego.W drugim rozdziale bardziej szczegółowo omawiamy model, w którym prawdopodobieństwo posiadania potomków zależy od aktualnej wielkości populacji. Dotyczy to sytuacji, kiedy osobniki konkurują ze sobą o pewne ograniczone zasoby (np. przestrzeń czy pożywienie). Wykorzystujemy ogólne twierdzenie o dychotomii do pokazania, że w zaprezentowanym modelu populacja wymrze z prawdopodobieństwem 1. Pokazujemy następnie, że populacja z dużym prawdopodobieństwem może osiągnąć liczność bliską tak zwanej pojemności środowiska (w pewnym sensie jest to optymalna liczba osobników w populacji) i przez długi czas nie zmniejszyć się poniżej tej wartości. Na końcu porównujemy przedstawiony model stochastyczny z odpowiadającym mu deterministycznym. W modelu deterministycznym liczebność populacji stabilizuje się na poziomie pojemności środowiska i model nie przewiduje wymarcia. Model stochastyczny przewiduje, że chociaż z dużym prawdopodobieństwem populacja osiągnie poziom pojemności środowiska i pozostanie w jego pobliżu przez długi czas, to ostatecznie wyginie. Mimo tych różnic, przy dużej pojemności środowiska oba modele zachowują się w pewien sposób podobnie.Dodatki zawierają przypomnienie niektórych definicji oraz pomocne twierdzenia i własności.The purpose of this thesis is to show how branching processes can be used in modelling development of the populations, with emphasis placed on extinction. The dissertation has been divided into two chapters and two appendices. In the first chapter we introduce basic concepts from the theory of branching processes and we present two important dichotomies, which give conditions for extinction. The General Dichotomy applies to the situation when the probability of extinction is bounded below by a positive number dependant only on the size of pupulation. Then the population will either extinct or grow to infinity. This theorem is stated for a wide range of processes, whereas Malthusian Dichotomy concerns the case when the distribution of the number of offsprings is identical for all individuals in all generations. Then we can compute the probability of extinction by finding the smallest nonnegative solution of the equation f(q)=q, where f is generating function of distribution of the number of offsprings. Additionally we know that this probability is smaller than 1 if and only if the expected number of offsprings is larger than 1.At the end of the chapter we demonstrate application of the second theorem on geometric and Bernoulli distribution. In the second chapter we focus in greater detail on a specific model, where the probability of having offsprings depends on the current size of population. It describes the situation where individuals have to compete for some limited rosources (eg. food or space). We use the General Dichotomy to show that in this model the population will become extinct with probability 1. Afterwards we prove that population with large probability can reach size close to so called crrying capacity (in some way it is an optimal number of individuals) and not leave its vicinity for a long time. At the end we compare presented stochastic model with deterministic one. In the deterministic model size of the population stabilises at the level of carrying capacity and model does not expect extinction. The stochastic model predicts that although with large probability population will reach the level of carrying capacity still it will eventually extinct. In spite of these differences, when the carrying capacity is large, both models act similarly in some way. Appendices contain some definitions and useful theorems