Counting points on algebraic curves

Poniższa praca ma na celu przybliżenie jednego z algorytmów obliczania funkcji zeta danej krzywej algebraicznej, opisanego w pracy doktorskiej Jana Tuitmana z Uniwersytetu Paryskiego. W ostatnim czasie powstało kilka algorytmów rozwiązujących w pewnych przypadkach problem znalezienia funkcji zeta, ten opiera się na przeniesieniu trudności obliczeń na przypadki prostsze, a następnie powiązanie funkcji zeta różnych krzywych poprzez zdefiniowanie rodziny krzywych i badanie pewnych grup kohomologii tej rodziny.We wstępie staram się przybliżyć struktury matematyczne wykorzystywane w trakcie wykonywania algorytmu. W pierwszym i drugim rozdziale znajdują się podstawy matematyczne. W trzecim zamieszczam najpierw teoretyczne uzasadnienie poprawności działania algorytmu, sam jego przebieg krok po kruku oraz oszacowania, które należy uwzględnić przy dobieraniu precyzji obliczeń.The mail goal of this thesis is to explain the point-counting algorithm for algebraic curves described by Jan Tuitman in his PhD thesis. A few such algorithms have been proposed in recent years, this one is based on counting zeta function of a curve, when it is simple to count, and then transform it to the zeta functions of another curve. Transformation is done using the structure of rigid cohomology defined on the family of curves