Stability of equilibria for a Hartree equation for random fields

International audienceWe consider a Hartree equation for a random field, which describes the temporal evolution of infinitely many fermions. On the Euclidean space, this equation possesses equilibria which are not localized. We show their stability through a scattering result, with respect to localized perturbations in the not too focusing case in high dimensions d ≥ 4. This provides an analogue of the results of Lewin and Sabin [22], and of Chen, Hong and Pavlović [11] for the Hartree equation on operators. The proof relies on dispersive techniques used for the study of scattering for the nonlinear Schrödinger and Gross-Pitaevskii equations.On considère une équation de Hartree pour des champs aléatoires décrivant la dynamique d'un système infini de fermions. Sur l'espace euclidien, cette équation admet des équilibres non-localisés. On prouve la stabilité de ces derniers à travers un résultat de diffusion pour des perturbations localisées et en dimension supérieure à 4, lorsque la non-linéarité est faiblement focalisante. Cela fournit une contrepartie aléatoire aux résultats de Lewin et Sabin [22] et de Chen, Hong et Pavlović [11] qui traitent de l'équation de Hartree pour des opérateurs densités. La preuve s'appuie sur des techniques dispersives utilisées dans l'étude de la diffusion des équations de Schrödinger et de Gross-Pitaevskii