Dixième problème de Hilbert. Dénombrements asymptotiques d'équations diophantines. Méthode des hypervolumes.

The resolution of each new diophantine equation is a peculiar problem. This is what the reader has certainly learned and Matiiassevitch's theorem goes along the same lines. And yet, we build up here a general method to evaluate the number of solutions of Diophantine equations with asymptotic branches that we call hypervolumes method by analogy to Hardy-Littlewood famous circle method. The estimates are based on integral calculus of volumes associated with an asymptotic sieve resting on Hasse local-global principle in order to get a right volumes' weighting. Matrices with remarkable properties emerge from this weighting process and are certainly beyond everything else, except the notion of representative of a variable, the most essential contribution of our study. Indeed, to an independent expression within an equation will correspond a specific matrix, a basic brick reusable in another context, namely for other equations solutions counting. Among these properties, replacing a variable of integers by a variable of prime numbers amounts to a simple subtraction by the identity matrix while the elevation of the degree of the variable meets some simple rules of additivity to be discovered in this article. The usefulness of these objects is obvious for recurrent terms equations, such as Waring sums, but also for any other heteroclite assemblage since the matrix of change of basis of a given rank happens to be unique. The ultimate evaluations lead therefore to mere products of eigenvalues. No calculation becomes vain as soon as it is completed, as now it will be reusable in another equation configuration. Is the "diophantine problem" then only the art of composing matrices eigenvalues ? The reader can make his opinion himself. Besides of that, we cross-check our estimates with either proven results (Vinogradov, Iwaniec/Friedlander, Terence Tao/Ben Green) or Number Theory famous conjectures (Goldbach, De Polignac, Hardy-Littlewood, Fermat-Catalan, Pillai, twin primes) and we submit many additional more complex peculiar or general results demonstrating the ease of use and the prolific nature of this tool.La résolution de chaque nouvelle équation diophantine est un problème distinct. Voilà ce que le lecteur a certainement appris et le théorème de Matiiassevitch ne dit pas le contraire. Et pourtant, nous construisons ici une méthode générale de dénombrement des solutions d'équations diophantines à branches asymptotiques dite des hypervolumes par analogie à la célèbre méthode du cercle de Hardy-Littlewood. Les dénombrements reposent sur le calcul de volumes par intégrations multiples associé à des corrections de ces volumes par un crible asymptotique reposant sur le principe local-global de Hasse. Les matrices mises en oeuvre pour l'évaluation de ces corrections ont des propriétés remarquables et sont ici au-delà de tout le reste, à part la notion de représentant d'une variable, la contribution essentielle de notre étude. En effet, à une expression indépendante dans une équation va correspondre une matrice spécifique, brique de base réutilisable dans un autre contexte, c'est-à-dire pour une autre équation. Parmi ces propriétés, le remplacement d'une variable de nombres entiers par une variable de nombres premiers revient à une simple soustraction par la matrice identité tandis que l'élévation du degré de la variable répond à de simples règles d'additivité à découvrir dans cet article. L'utilité de ces objets est manifeste pour les équations à termes récurrents, telles les sommes de Waring, mais aussi dans tout autre assemblage hétéroclite, car la matrice de passage d'un rang donné s'avère unique. Ainsi les évaluations ultimes mènent à de simples produits de valeurs propres de matrices. Aucun calcul n'est désormais vain sitôt terminé car réutilisable dans d'autres configurations d'équations. Le « problème diophantien » ne serait-il alors que l'art de composer des valeurs propres entre elles ? Le lecteur peut se faire sa propre opinion. Par ailleurs, nous vérifions le recoupement des dénombrements établis ici avec des résultats effectivement démontrés (Vinogradov, Iwaniec/Friedlander, Terence Tao/Ben Green) ou des conjectures de la Théorie des Nombres (Goldbach, De Polignac, Hardy-Littlewood, Fermat-Catalan, Pillai, nombres premiers jumeaux) et nous proposons de nombreux autres résultats particuliers ou généraux plus complexes, démontrant la facilité d'utilisation et le caractère prolifique de cet outil