Analyse locale de l’équation de Loewner

This thesis studies the curve generation problem of the general Loewner equation. We use a local transformation in the chordal Loewner equation, and analyse the solution of the Loewner equation, obtain three results.At first, we analyse the Limit superior and limit inferior of the left 1/2 order of the driving function, then we prove a basic lemma about that the generation curves do not intersect with itself locally. By this lemma, we have three conclusion. Firstly, Lind proved that when 1/2-Hölder norm is less than 4, then the Loewner equation is generated by a simple curve. We discuss the case that the 1/2-Hölder norm is greater than 4, and give a sufficient condition of the generation curve is simple. Secondly, the limit inferior of the 1/2 order of the Brownian motion will tends to 0 locally, we give a estimation of the speed of it tends to 0. Thirdly, we proof that for the1/2 order Weierstrass function with coefficient less that a constant, the Loewner equation which is driven by it is generated by a simple curve.In the second part, we define the imaginary Loewner equation and its dual equation, and we do the local transformation for these two equation, after analyse their vanishing property, we build the connection between it with the curve generation problem. And then we give a sufficient condition on that the Loewner equation is generated by a curve locally.At last, we define and discuss the left self-similar driving function, and use the knowledge of complex dynamic to prove that if it is generated by a curve in the upper-half plane locally, then it is generated by a curve entirely.Dans cette thèse nous étudions le problème de la génération d’une courbe par l’équation de Loewner generalisée. Nous utilisons une transformation locale dans l’équation chordal de Loewner, analysons la solution de l’équation de Loewner, et obtenons trois résultats.En premier lieu, nous analysons la limite supérieure et la limite inférieure de l’ordre 1/2 à gauche de la fonction pilotant l’équation, nous prouvons ensuite un lemme basique qui assure que la courbe générée ne s’auto-intersecte pas localement. Ce lemme nous conduit à trois conclusions. Premièrement Lind a prouvé que lorsque la normeHölder-1/2 est inférieure à 4, alors l’équation de Loewner est générée par une courbe simple. Nous nous intéressons au cas où la norme Hölder-1/2 est supérieure à 4, et donnons une condition suffisante pour que la courbe générée soit simple. Deuxièmement, la limite inférieure de l’ordre 1/2 du mouvement brownien tend vers 0 localement, nous donnons un estimé de la vitesse à laquelle il tend vers 0. Troisièmement, nous prouvons que pour la fonction de Weierstrass d’ordre 1/2 dont le coefficient est inférieur à une certaine constante, l’équation de Loewner correspondante est générée par une courbe simple.Dans la deuxième partie, nous définissons l’équation de Loewner imaginaire et son équation duale, et nous procédons à la transformation locale de ces deux équations. Après analyse de leurs propriétés d’annulation,nous construisons le lien entre ces dernières et le problème de génération de courbe. Nous donnons ensuite une conditions suffisante pour que l’équation de Loewner soit localement générée par une courbe.Finalement, nous définissons et nous intéressons au cas où la fonction pilotant l’équation est auto-similaire à gauche, et utilisons des connaissances en dynamique complexe pour prouver que si elle est localement générée par une courbe dans le demi-plan supérieur, alors elle est entièrement générée par une courbe