Der Satz von Gauß-Bonnet für Flächen - ein vollständiger Zugang

Das Ziel der vorliegenden Diplomarbeit ist es Studentinnen und Studenten der Mathematik ohne einschlägiges Vorwissen aus der Differentialgeometrie zum Satz von Gauß-Bonnet zu führen. Der Satz von Gauß-Bonnet sagt im Grunde aus, dass die integrierte Gaußkrümmung, welche als Totalkrümmung bezeichnet wird, einer Fläche gleich bleibt, wenn man die Fläche durch stetige Verformungen verändert. Die Totalkrümmung ist somit eine topologische Invariante und lässt dadurch im Weiteren eine Klassifizierung von Flächen zu. Um zu diesem Resultat zu kommen beginnen wir, nach einer kurzen Einleitung, in Kapitel 2 zunächst bei Kurven. Wir klären grundlegende Eigenschaften und erweitern unser Wissen über Kurven schließlich mit globalen Aussagen, auf die wir im Schlusskapitel wieder zurückgreifen werden. Das Objekt, das wir vorrangig in dieser Arbeit studieren, sind zweidimensionale Flächen im dreidimensionalen Raum. In Kapitel 3 klären wir dazu den Begriff der regulären Fläche und werden Funktionen, die ihren Werte- und Definitionsbereich auf regulären Flächen haben auf Differenzierbarkeit untersuchen. In diesem Zuge stoßen wir auf den Begriff der Tangentialebene und sind in der Lage ein Differential von Funktionen zwischen regulären Flächen zu definieren. Außerdem führen wir die erste und im nächsten Kapitel die zweite\ud Fundamentalform ein, welche essentiell sind um „geometrische Messungen“ auf regulären Flächen durchführen zu können. In Kapitel 4 kommen wir zum zentralen Begriff der Differentialgeometrie, dem der Krümmung. Wir lernen verschiedene Krümmungsbegriffe kennen, und den insbesondere für diese Arbeit so wichtigen Begriff der Gaußkrümmung. Das fünfte und letzte Kapitel der Arbeit widmet sich ganz dem Satz von Gauß-Bonnet. Dabei gehen zwei lokale Versionen des Satzes, dem globalen Resultat voraus. Am Ende des Kapitels sind wir schließlich in der Lage eine Klassifizierung von kompakten Flächen zu geben