Zur numerischen Simulation granularer Strömungen

The goal of this work is the development and investigation of an interdisciplinary and in itself closed hydrodynamic approach to the simulation of dilute and dense granular flow. The definition of “granular flow” is a nontrivial task in itself. We say that it is either the flow of grains in a vacuum or in a fluid. A grain is an observable piece of a certain material, for example stone when we mean the flow of sand. Choosing a hydrodynamic view on granular flow, we treat the granular material as a fluid. A hydrodynamic model is developed, that describes the process of flowing granular material. This is done through a system of partial differential equations and algebraic relations. This system is derived by the kinetic theory of granular gases which is characterized by inelastic collisions extended with approaches from soil mechanics. Solutions to the system have to be obtained to understand the process. The equations are so difficult to solve that an analytical solution is out of reach. So approximate solutions must be obtained. Hence the next step is the choice or development of a numerical algorithm to obtain approximate solutions of the model. Common to every problem in numerical simulation, these two steps do not lead to a result without implementation of the algorithm. Hence the author attempts to present this work in the following frame, to participate in and contribute to the three areas Physics, Mathematics and Software implementation and approach the simulation of granular flow in a combined and interdisciplinary way. This work is structured as follows. A continuum model for granular flow which covers the regime of fast dilute flow as well as slow dense flow up to vanishing velocity is presented in the first chapter. This model is strongly nonlinear in the dependence of viscosity and other coefficients on the hydrodynamic variables and it is singular because some coefficients diverge towards the maximum packing fraction of grains. Hence the second difficulty, the challenging task of numerically obtaining approximate solutions for this model is faced in the second chapter. In the third chapter we aim at the validation of both the model and the numerical algorithm through numerical experiments and investigations and show their application to industrial problems. There we focus intensively on the shear flow experiment from the experimental and analytical work of Bocquet et al. which serves well to demonstrate the algorithm, all boundary conditions involved and provides a setting for analytical studies to compare our results. The fourth chapter rounds up the work with the implementation of both the model and the numerical algorithm in a software framework for the solution of complex rheology problems developed as part of this thesis.Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung und Untersuchung einer interdisziplinären und in sich geschlossenen hydrodynamischen Methode zur Simulation von dichten und verdünnten granularen Strömungen. Die Definition von “granularer Strömung” ist nicht trivial. Wir meinen damit die Strömung von Einzelkörnern in Vakuum oder einem Fluid. Ein Einzelkorn ist ein makroskopisches Stück eines bestimmten Materials, z.B. Gestein im Fall von Sandströmungen. Einer hydrodynamischen Sichtweise auf granulare Strömungen folgend behandeln wir das granulare Material als Fluid und entwickeln ein hydrodynamisches Modell als System von partiellen Differentialgleichungen und algebraischen Nebenbedingungen welches den Strömungsprozess granularer Materialien beschreibt. Die Herleitung dieses Systems basiert auf der kinetischen Theorie granularer Gase, charakterisiert durch inelastische Stösse, mit einer Erweiterung durch bodenmechanische Ansätze. Um Lösungen dieses Systems, welches zu komplex für analytische Ansätze ist, zu finden ist eine numerische Methode zum Berechnen von Näherungslösungen notwendig. Damit ergibt sich als logischer nächster Schritt die Wahl oder Entwicklung eines numerischen Algorithmus um diese Näherungslösungen zu erhalten. Allen Problemstellungen der numerischen Simulation ist gemein, dass Modell und Algorithmus allein, ohne Implementierung, noch kein Resultat liefern. Diese Arbeit soll daher in allen drei Bereichen der numerischen Simulation, in Physik, Mathematik und Softwareentwicklung einen Beitrag leisten und damit einem interdisziplinären Ansatz zur Simulation granularer Strömungen folgen. Die Arbeit ist folgendermaßen strukturiert. Im ersten Kapitel entwickeln wir ein hydrodynamisches Modell granularer Strömungen welches sowohl den Bereich schneller, verdünnter als auch dichter granularer Strömungen mit verschwindenden Geschwindigkeiten abdeckt. Dieses Modell is hochgradig nichtlinear in den Abhängigkeiten der Viskosität und anderer Koeffizienten von den hydrodynamischen Variablen. Außerdem ist es singulär da einige Koeffizienten im Grenzwert maximaler Packungsdichte des Granulats divergieren. Die somit sehr schwierige Aufgabe numerische Näherungslösungen für dieses Modell zu finden wird im zweiten Kapitel behandelt. Im dritten Kapitel zeigen wir Ansätze zur Validierung von sowohl dem Modell als auch dem numerischen Algorithmus mit Hilfe numerischer Experimente und Studien. Hier liegt der Fokus auf dem Scheerungsexperiment aus der experimentellen und analytischen Arbeit von Bocuet et al. welche sich zum Einen gut zur Untersuchung des Algorithmus wie auch der Randbedingungen eignet und zum Zweiten analytische Studien zum Vergleich von Näherungslösungen liefert. In diesem Kapitel zeigen wir auch die Anwendbarkeit unseres Ansatzes auf industrielle Probleme. Das vierte Kapitel rundet die Arbeit mit der Implementierung von Modell und Algorithmus ab. Die Implementierung wird innerhalb einer Softwareumgebung zur Simulation komplexer Rheologien gezeigt, welche im Rahmen dieser Arbeit entwickelt wurde