Maximale Cohen--Macaulay Moduln über zwei cubische Hyperflächen

In the first part of this work, called Simple node singularity, are computed matrix factorizations of all isomorphism classes, up to shiftings, of rank one and two, graded, indecomposable maximal Cohen--Macaulay (shortly MCM) modules over the affine cone of the simple node singularity. The subsection 2.2 contains a description of all rank two graded MCM R-modules with stable sheafification on the projective cone of R, by their matrix factorizations. It is given also a general description of such modules, of any rank, over a projective curve of arithmetic genus 1, using their matrix factorizations. The non-locally free rank two MCM modules are computed using an alghorithm presented in the Introduction of this work, that gives a matrix factorization of any extension of two MCM modules over a hypersurface. In the second part, called Fermat surface, are classified all graded, rank two, MCM modules over the affine cone of the Fermat surface. For the classification of the orientable rank two graded MCM R-modules, is used a description of the orientable modules (over normal rings) with the help of codimension two Gorenstein ideals, realized by Herzog and Kühl. It is proven (in section 4), that they have skew symmetric matrix factorizations (over any normal hypersurface ring). For the classification of the non-orientable rank two MCM R-modules, we use a similar idea as in the case of the orientable ones, only that the ideal is not any more Gorenstein.Im ersten Teil dieser Doktorarbeit, einfache Doppelpunktsingularitäten, werden Matrixfaktorisierungen aller Isomorphieklassen graduierter, unzerlegbarer maximaler Cohen--Macaulay Moduln (kurz MCM) von Rang eins und zwei, über dem affinen Kegel von der Singularität, berechnet. Für alle graduierten MCM Moduln über dem affinen Kegel einer projektiven Kurve vom arithmetischen Geschlecht 1, die eine stabile Garbifizierung haben, wird in Abschnitt 2.2 eine exakte Beschreibung mit Hilfe der Matrixfaktorisierungen gegeben. Dieser Abschnitt enthält auch die konkreten Matrixfaktorisierungen aller Rang zwei graduierten MCM R-Moduln, die eine stabile Garbifizierung über dem projektiven Kegel von R haben. Die nicht lokal freien Rang zwei MCM R-Moduln werden mit Hilfe eines Algorithmus klassifiziert, der in der Einführung dieser Arbeit dargestellt ist. Dieser Algorithmus gibt eine Matrixfaktorisierung einer Erweiterungen zweier MCM Moduln über einer beliebigen Hyperfläche. Im zweiten Teil, Fermat Fläche,werden alle graduierten Rang zwei MCM Moduln über dem affinen Kegel der Fermat Fläche klassifiziert (bis auf Shifts). Für die Klassifizierung der orientierbaren Rang zwei graduierten MCM R-Moduln wird eine Beschreibung mit Hilfe der Kodimension zwei Gorenstein Ideale von Herzog und Kühl verwendet. Im Abschnitt 4 wird bewiesen, dass sie schiefsymmetrische Matrixfaktorisierungen haben (auch über einer beliebigen normalen Hyperfläche). Für die Klassifizierung der nicht-orientierbaren Rang zwei graduierten MCM R-Moduln wird eine ähnliche Idee verwendet. In diesem Fall ist jedoch das Ideal nicht mehr Gorenstein