Riemann-Hilbert approach to gap probabilities for the Bessel process

Nous considérons la probabilité de "gap" pour le processus de Bessel dans le cas sans temp et le cas multi-temps. Nous montrons que les déterminants de Fredholm de ce processus peuvent être exprimées en termes de déterminants de noyaux intégrables dans le sens de Its-Izergin-Korepin-Slavnov et donc liés à des problèmes appropriés de Riemann-Hilbert. Dans le cas sans temp, nous construisons une paire de Lax et nous dérivons un équation de Painlevé III liés au déterminant de Fredholm.We consider the gap probability for the Bessel process in the single-time and multi-time case. We prove that the scalar and matrix Fredholm determinants of such process can be expressed in terms of determinants of integrable kernels in the sense of Its-Izergin-Korepin-Slavnov and thus related to suitable Riemann-Hilbert problems. In the single-time case, we construct a Lax pair formalism and we derive a Painlevé III equation related to the Fredholm determinant