Sólitons de translação do fluxo da curvatura média harmônica a partir de superfícies máximas

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2020.No artigo [1], os autores estudam o problema de construir superfícies no semiespaço superior do R3 em que as curvaturas de Gauss induzidas pela métrica euclidiana e pela métrica hiperbólica coincidem. Neste trabalho mostraremos que, se S é uma superfície no semiespaço e K e Kh são as curvaturas de Gauss induzidas pela métrica euclidiana e hiperbólica, respectivamente, então a quantidade K/Kh é invariante por transformações paralelas com relação a métrica hiperbólica. Isso permite interpretar a construção feita em [1] como o estudo de superfícies em que esse invariante é constante positivo. Em [1], os autores também comentam que é possível adaptar a construção para obter superfícies em que esse invariante é constante negativo. Ao longo deste texto, iremos detalhar o processo de construção dessas superfícies a partir de superfícies máximas no espaço de Lorentz. Mostraremos também como usar essa construção para caracterizar localmente todos os sólitons de translação do fluxo da curvatura média harmônica, definido pela seguinte regra {(∂∂tF)⊥=KHNF(⋅,0) = identidade em que a normal ao sóliton não é paralela à direção de translação em nenhum ponto. Por último, iremos mostrar um resultado que permite construir exemplos explícitos desses sólitons através da representação Weierstrass para superfícies máximas no espaço de Lorentz e discutiremos a possibilidade de se obter uma caracterização local completa.In the article [1], the authors study the problem of constructing surfaces in Euclidean half space with the property that the Gaussian curvatures induced by the Euclidean and hyperbolic metrics coincide. In this work, we will show that, if S is a surface in Euclidean half space and K and Kh denote the Gaussian curvatures induced by the Euclidean and hyperbolic metrics, respectively, then the ratio K/Kh is invariant by parallel transformations with respect to the hyperbolic metric. This allows us to interpret the construction made in [1] as surfaces on which this invariant is a positive constant. In [1], the authors also point out that it is possible to adapt the construction to obtain surfaces where this invariant is a negative constant. Throughout this text, we will detail the process of constructing these surfaces starting from maximal surfaces in Lorentz space. Furthermore, we will show how to use that construction to locally characterize all the translating solitons of the harmonic mean curvature flow, defined by the following rule {(∂∂tF)⊥=KHN F(⋅,0) = identidade where the normal to the soliton is not parallel to the translation direction at any point. Finally, we will demonstrate a result that allows the construction of explicit examples of these solitons through the Weierstrass representation for maximal surfaces in Lorentz space and we will discuss the possibility of obtaining a complete local characterization