Algebraic power series

Algebraische Potenzreihen sind formale Potenzreihen f(x), für die ein nicht triviales Polynom P(x, t) existiert, sodass P(x, f(x)) = 0 gilt. Diese Reihen spielen fürwahr eine solide Rolle in unterschiedlichen Gebieten der Mathematik und finden ihre größte Bedeutung und ihr Studium in der algebraischen Geometrie und der Kombinatorik. In den letzten Jahrzehnten wurden ständig neue faszinierende Eigenschaften des Ringes der algebraischen Potenzreihen Kx gefunden, bewiesen und vermutet. Um diese expliziten Akteure in Griff zu bekommen, wird teilweise auf sehr tiefliegende Techniken der Algebra zurückgegriffen. Die Kunst besteht sodann nicht nur in der gezielten Anwendung schwieriger Theorie, sondern auch in der Fähigkeit, zurück an die Oberfläche des Handfesten und Expliziten zu kommen. Diese Arbeit bietet zuerst eine konkrete Einführung in den Ring der algebraischen Potenzreihen als Oberring der Polynome und Unterring der formalen Potenzreihen, dann wird jedoch eine ganz andere Sichtweise auf den Protagonisten offenbart: Algebraische Potenzreihen können nämlich auch als die Henselisierung der Lokalisierung des Polynomringes betrachtet werden. Nachdem wir die Henselisierung auch als einen direkten Limes von bestimmten Ringerweiterungen ansehen können, liefert uns das eine neue Konstruktion für Kx. Schließlich wollen wir diese Konstruktion benutzen, um einerseits den berühmten Beweis von Denef und Lipshitz über die Darstellung von algebraischen Potenzreihen als Diagonalen von rationalen Reihen zu erklären, und andererseits ein neues Korollar vorstellen.An algebraic power series is a formal power series f(x) for which a non-zero polynomial P(x, t) exists, such that P(x, f(x)) = 0 holds. These elements play a significant role in various fields of mathematics and are applied and studied in algebraic geometry and combinatorics. In recent decades, many new fascinating properties of this ring of algebraic power series have been found, proven and conjectured. Very deep algebraic techniques are often used to tackle these explicit functions and outstanding aptitude is required not only for the specialized implementations of difficult theorems, but also for ability to go back to the concrete and particular. In the beginning, this thesis provides an explicit introduction to the ring of algebraic power series Kx as an extension of the polynomials and a subring of formal power series. Thereafter a completely different view is revealed to the protagonist: algebraic power series can be viewed as the Henselization of the localization of the polynomial ring. The assembly of the Henselization as a direct limit of so-called pointed étale extensions then yields a new construction of Kx. We will use this known construction to explain the famous proof of Denef and Lipshitz regarding the presentation of algebraic power series as diagonals of rational series on the one hand and introduce a new theorem on the other