The reduced basis method for the Helmholtz problem

Ziel der Arbeit ist es die reduced basis method (RBM) numerisch zu untersuchen. Die RBM ist eine model order reduction (MOR) Methode für das lösen von parameterabhängigen Differentialgleichungen. Die RBM baut auf bestehenden Verfahren wie z.B. der finite element method (FEM) auf. Das Ziel der RBM ist es einen reduzierten reduced basis (RB) Raum auf Basis von bestehenden finite element (FE)-Lösungen, zu konstruieren. In dem ersten Teil der Arbeit werden die RBM und zwei Ansätze, den equi-logarithmic und Greedy Ansatz, für das Konstruieren von RB-Räumen vorgestellt. Anschließend wird die RBM auf unterschiedliche Beispielprobleme an- gewendet. Die Beispielprobleme bestehen aus Beispielen für parameterisierte (coercive) Poisson und (noncoercive) Helmholtz Gleichungen. Die Numerischen Tests umfassen unter anderem Konvergenztests und Tests wie der Greedy Algorithmus auf Änderungen seiner Parameter reagiert. Außerdem werden RB-Räume die mithilfe unterschiedlicher Verfahren konstruiert wurden verglichen. Die Räume wurden durch die equi-logarithmic, equi-distant, random und Greedy Ansätze kunstruiert. Abschließend wird die Anwendungen der RBM im Kontext von optimal control und parameter estimation Problemen vorgestellt. Die Anwendungsbeispiele umfassen die Bestimmung eines Materialparameters auf Basis von Messdaten und die Minimierung der Lärmemissionen einer Flugzeugturbine.In this thesis, we discuss the numerical performance of the reduced basis method (RBM) applied to several model problems. The reduced basis method (RBM) is a model order reduction (MOR) method for solving parametrized partial differential equations (PDEs). The RBM can be used in conjunction with the finite element method (FEM). The RBM aims to reduce the dimen- sion of the finite element (FE) space by using finite element (FE) solutions as basis functions for constructing a reduced basis (RB) space. We review the RBM and its theoretical properties such as stability and error bounds. We also introduce the equi-logarithmic and greedy approaches for constructing reduced basis (RB) spaces. We apply the RBM to coercive and noncoercive parametrized model problems. The model problems are instances of the Poisson and Helmholtz equations. We report convergence and error rates of the RBM applied to the model problems. Furthermore, we compare RB spaces constructed using equi-logarithmic, equi-distant, random, and snapshots selected by the greedy algorithm. Moreover, we investigate how the greedy al- gorithm adapts to changes in parameters. Finally we consider three model problems where the RBM is applied in the context of optimal control and parameter estimation problems. Optimal control and parameter estimation problems are a natural fit for the RBM because of its improved efficiency. The examples include the estimation of a material property from measurements and the optimization of an airplane engine