Mixed least squares finite element methods based on inverse stress-strain relations in hyperelasticity

Reliable simulation techniques for the description of elastic deformation processes in solid mechanics are nowadays of great importance. A reasonable model should take nonlinear kinematics and a nonlinear material law into account and should coincide with Hooke’s law under small loads. In addition, a numerical method should be able to simulate compressible as well as (almost) incompressible material behavior. The calculation of good stress and displacement approximations is often of particular interest. Therefore general mixed least squares finite element methods in the context of finite hyperelasticity are considered in this work. They are based on the conservation of linear momentum and inverse stress-strain relations and will be used for the simulation of homogeneous isotropic and homogeneous transverse isotropic material behavior. For the minimization of the nonlinear least squares functionals in finite dimensional spaces a Gauss-Newton framework is applied. In the case of a specific homogeneous isotropic Neo-Hooke model an analysis is provided which proves reliability and efficiency of the nonlinear least squares functional as a-posteriori error estimator. The analysis remains valid in the incompressible limit and therefore the Poisson locking effect is excluded. The analytical results for the Neo-Hooke model are used to propose an algorithm for model adaptivity which is based on the model of linear elasticity and the Neo-Hooke model. The algorithm automatically decides in which subdomain the linear model should be locally substituted by the Neo-Hooke model. Two- and three-dimensional numerical examples for compressible and fully incompressible materials are given in order to illustrate the potential of our method. Here next-to-lowest-order Raviart-Thomas elements for the stress approximations are combined with conforming piecewise quadratic elements for the displacement approximations. A significant improvement of stress approximations in comparison to conventional discretization methods is demonstrated. In examples with corner or edge singularities almost optimal convergence rates for the nonlinear least squares functional using adaptive refinement strategies are achieved.Zuverlässige Simulationstechniken zur Beschreibung von elastischen Verformungsprozessen in der Festkörpermechanik sind heutzutage von großer Bedeutung. Ein sinnvolles Modell sollte nichtlineare Kinematik und ein nichtlineares Materialgesetz berücksichtigen und mit dem Hookeschen Gesetz unter kleinen Belastungen übereinstimmen. Ferner sollte ein numerisches Verfahren sowohl kompressibles als auch (nahezu) inkompressibles Materialverhalten simulieren können. Die Berechnung von guten Spannungs- und Verschiebungsapproximationen ist oftmals von besonderem Interesse. Aus diesen Gründen werden in dieser Arbeit allgemeine gemischte Least-Squares Finite-Element-Methoden im Rahmen der finiten Hyperelastizität betrachtet. Sie basieren auf der Impulserhaltung und inversen Spannungs-Verzerrungs-Relationen und werden zur Simulation homogen isotropen und homogen transversal-isotropen Materialverhaltens benutzt. Für die Minimierung der nichtlinearen Least-Squares Funktionale in endlichdimensionalen Räumen wird ein Gauß-Newton-Verfahren verwendet. Im Falle eines speziellen homogen isotropen Neo-Hooke Modells wird eine Analysis bereitgestellt, welche die Zuverlässigkeit und Effizienz des nichtlinearen Least-Squares Funktionals als a-posteriori Fehlerschätzer beweist. Die Analysis bleibt gleichmäßig gültig im inkompressiblen Grenzfall womit der Poisson-Locking Effekt ausgeschlossen ist. Die analytischen Resultate für das Neo-Hooke Modell werden benutzt um einen Algorithmus zur Modelladaptivität vorzuschlagen, welcher auf dem linearen Elastizitätsmodell und dem Neo-Hooke Modell basiert. Der Algorithmus entscheidet automatisch in welchem Teilgebiet das lineare Modell durch das Neo-Hooke Modell lokal ausgetauscht werden soll. Zwei- und dreidimensionale numerische Beispiele für kompressible und inkompressible Materialien werden betrachtet, um das Potenzial unserer Methode zu verdeutlichen. Hierbei werden Raviart-Thomas Elemente zweitniedrigster Ordnung für die Spannungsapproximationen mit konformen, stückweise quadratischen, Elementen für die Verschiebungsapproximationen kombiniert. Eine signifikante Verbesserung von Spannungsapproximationen im Vergleich zu herkömmlichen Diskretisierungsmethoden wird nachgewiesen. In Beispielen mit Eck- oder Kantensingularitäten werden unter Verwendung adaptiver Verfeinerungsstrategien nahezu optimale Konvergenzraten für das nichtlineare Least-Squares Funktional erreicht