Multilevel Ansatz zur Bewertung von Bermuda Optionen

The Multilevel approach has been introduced into stochastics by Heinrich 2001 and Giles 2008. It is an idea about how to reduce the complexity of Monte Carlo simulations, if the precision and computational time of these simulations depend on a parameter. In this work, the Multilevel approach will be applied to approximate the fair price of a Bermudan option. The latter is a financial option that gives the holder the right to get an amount of money depending on a stochastic process at one of finitely many exercise dates. The strategy when to exercise the option should therefore by optimized. The task is now to find stochastic methods that calculate a lower and an upper bound for the fair price of such an option. If the performance of such methods is measured via its mean-squared error epsilon, the calculation of lower bounds has a complexity of epsilon^{-3} in the usual case. Here, the usual case is the combination of a good-natured problem and the use of a stochastic mesh method. By using the Multilevel approach, we can reduce the complexity down to epsilon^{-2.5}. In other cases, the reduction of complexity can be even of order epsilon^{-1} instead of epsilon^{-0.5}. In order to find upper bounds, we use the dual method from Rogers 2002 and Haugh and Kogan 2004. It expresses the fair price of the option as a minimization problem over a set of martingales. Andersen and Broadie 2004 exploit this idea by approximating martingales with nested simulations. These nested simulations lead to a high computational complexity. Depending on the problem, this complexity can be of order epsilon^{-3} or even epsilon^{-4}. The Multilevel approach reduces this order in each case to epsilon^{-2} up to a logarithmic factor.Der Multilevel Ansatz wurde durch die Arbeiten von Heinrich 2001 und Giles 2008 in der Stochastik populär. Es handelt sich dabei um eine Technik, die die Komplexität einer Monte-Carlo Simulation reduzieren kann, wenn deren Rechenzeit und Präzision von einem Parameter abhängt. Dieser Ansatz wird im Folgenden angewendet, um die Berechnung des fairen Preises einer Bermuda-Finanzoption zu berechnen. Letztere ist ein Derivat, das dem Besitzer das Recht gibt, einen von einem stochastischen Prozess abhängigen Geldbetrag an einem von endlich vielen gegebenen Zeitpunkten zu erhalten. Deshalb sollte der Zeitpunkt, an dem der Besitzer die Option einlöst, optimal gewählt werden. Die Aufgabe besteht nun darin, mit stochastischen Methoden eine obere und eine untere Schranke für den fairen Preis einer solchen Option zu berechnen. Bewertet man die Qualität einer solchen Methode mithilfe des mittleren quadratischen Fehlers epsilon, so ergibt sich für die Berechnung unterer Schranken eine Komplexität von epsilon^{-3} im gewöhnlichen Fall. Unter dem gewöhnlichen Fall ist ein gut gestelltes Problem und die Verwendung eines stochastischen Netzes zu verstehen. Mit Hilfe des Multilevel Ansatzes lässt sich in diesem Fall eine Komplexität von epsilon^{-2.5} erreichen. Die Verbesserung um den Faktor epsilon^{-0.5} kann in anderen Fällen sogar bis zu epsilon^{-1} betragen. Um obere Schranken für den Wert einer Bermuda Option zu berechnen, kann die duale Formulierung nach Rogers 2002 und Haugh und Kogan 2004 benutzt werden. Diese drückt den Wert der Option als Minimierungsproblem über einer Menge adaptierter Martingale aus. Andersen und Broadie 2004 nutzen in ihrer Arbeit diese Formulierung, indem sie das optimale Martingal mit Hilfe von geschachtelten Simulationen approximieren. Diese geschachtelten Simulationen führen zu hohem Rechenaufwand, welcher erneut durch den Multilevel Ansatz reduziert werden kann. Je nach Problemstellung kann das Problem eine Komplexität von epsilon^{-3} oder sogar epsilon^{-4} aufweisen. Der Multilevel Ansatz senkt die Komplexität in jedem Fall (bis auf einen logarithmischen Faktor) auf epsilon^{-2}