On finding the analytical solutions of nonlinear partial differential equations using the auxiliary equation method

Evrende meydana gelen basit veya karmaşık bütün fenomenlerin fiziksel süreçlerini incelenip yorumlanması her zaman kolay bir şekilde mümkün olmamıştır. Bu fenomenlerin yorumlanmasında diferansiyel denklemlerden yararlanılmış, denklem içerisindeki değişken sayısı arttıkça bu denklemlerin tam çözümlerini elde etmek de bir o kadar zor olmuştur. Dolayısıyla bilim adamları tam çözümleri veya tam çözüme yakın çözümler elde etmek için birçok yöntem geliştirmişlerdir. Geliştirilen yöntemlerin içerisinde en çok integral dönüşümlerinden faydalanmışlardır. Biz bu çalışmamızda yeni bir integral dönüşümü olan Aboodh dönüşümünden bahsedeceğiz. Aboodh dönüşümü, zaman alanındaki normal ve kısmi diferansiyel denklemleri çözme sürecini kolayla¸stırmak için Khalid Aboodh tarafından tanıtıldı. Aboodh dönü¸sümü adi ve kısmi diferansiyel denklem ve denklem sitemlerinin tam çözümlerini elde etmek için elverişli metodlardan biridir. Bu tezde aşağıdaki konulara değineceğiz: 1. Aboodh integral dönüşümünün tanımını yapacağız. Bu dönüşüm ile ilgili bazı özellikler verip, özelliklerin ispatlarını yapacağız. 2. Çift Aboodh dönüşümünü tanıtacağız. Bu dönüşümün çeşitli özelliklerinden bahsedip, teoremler ve kanıtlar sunacağız. 3. Üçlü Aboodh dönüşümünü gösterip, yine bu dönüşümün çeşitli özelliklerini ispatlayacağız. 4. Aboodh dönüşümünü Adomian ayrıştırma yöntemiyle birleştirerek doğrusal ve doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemleri çözecegiz. 5. Tamsayı ve kesirli sıra ile integral ve kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için ilk, çift ve üçlü Aboodh dönü¸sümlerini uygulayacağız.It is not always easy to examine and interpret the physical processes of all simple or complex phenomena that occur in the universe. Differential equations have been used in the interpretation of these phenomena. Therefore, scientists have developed many methods for labor to obtain full solutions or solutions close to full solutions. Among the developed methods, they benefited mostly from integral transformations. In this study we will talk about Aboodh transformation which is a new integral transformation. Aboodh transformation was introduced by Khalid Aboodh to facilitate the process of solving normal and partial differential equations in time domain. Aboodh transformation is one of the convenient methods for obtaining complete solutions of ordinary and partial differential equations and systems of equations. In this thesis we will discuss the following topics: 1. We will define the Aboodh integral transformation. We will give some features about this transformation and make proof of the features. 2. We will introduce the Double Aboodh transformation. We will talk about the various properties of this transformation and present theorems and evidence. 3. We will demonstrate the Triple Aboodh transformation and prove the various properties of this transformation. 4. We will solve the linear and nonlinear fractional differential equations by combining the Aboodh transformation with the Adomian decomposition method. 5.We will apply the first, double and triple Aboodh transforms to solve integral and partial differential equations in integer and fractional order