Mathematical modelling and chaotic linear transformation of discrete dynamical systems

Bu yüksek lisans tezinde, kaotik bir dönüşüm olan Arnold'ın CAT dönüşümü (ACM), Γ : T^2 → T^2 dönüşümü tarafından 2 boyutlu torus olarak tanımlanan T^2 üzerinde incelendi. ACM, bir yazı içerisine gizlenmiş şifre, resimlerin ve yazıların şifrelenmesi, filigran ve resim üzerindeki onaysız değişikliklerin takibi gibi çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Resimlerin dönüşümü piksellerin rastgele sıralanmasıyla gerçekleşmektedir. Dönüşüm belirli sayıda tekrar edildikten sonra, asıl resme tekrar ulaşılabilmektedir. Bu çalışmada CAT dönüşümünün periyodikliği incelendiği için, Fibonacci serisiyle olan bağlantısı tartışıldı. Bu bağlamda, resimlerin şifrelenmesi önerilen bir algoritma ile gösterildi. Ayrıca CAT dönüşümünün periyodu incelendi ve periyodun değiştirilmesi için bir algoritma önerildi. Önerilen algoritmadan elde edilen periyot ile ACM'nin genel periyodu karşılaştırıldı. Bunun yanı sıra, CAT dönüşümü tabanlı ses şifreleme algoritması müzik notaları için kullanıldı.In this thesis Arnold's CAT Map (ACM), defined by the mapping Γ : T^2 → T^2, is a chaotic transformation of 2-dimensional toral automorphism T^2. There are many applications of ACM in various research areas such as: steganography, encryption of images, texts and watermarks. The transformation of an image is achieved by the randomized order of pixels. After a finite number of repetitions of the transformation, the original image reappears. This study concerns about the periodicity of ACM and its relation to the Fibonacci series is discussed. In this regard, encryption of images is demonstrated together with a proposed algorithm. Moreover, the periodicity of ACM is discussed and an algorithm to change the period of ACM is suggested. The resultant period obtained from the new algorithm is compared with the period obtained from the usual ACM. Additionally, CAT transformation based on an audio encryption algorithm is used for musical notes