Division and rational numbers : a survey of psychopedagogical intervention on the development of conceptual competencies among students and teachers

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Psicologia, 2006.Os conceitos de divisão e de número racional têm sua gênese e evolução relacionadas às necessidades impostas pelas diferentes práticas destacando-se, as situações de divisão por quotas, as situações de medição, a comparação e a conversão entre unidades de medida, a necessidade de registro e da socialização de informações. Estudos brasileiros e internacionais sobre o ensino e a aprendizagem dos conteúdos curriculares da divisão e dos números racionais, realizados no período de 1999 a 2006, destacam que alunos e professores apresentam dificuldades conceituais. Do mesmo modo, sugerem que o ensino desses conteúdos tem priorizado o uso de regras em detrimento da elaboração conceitual, não ampliando a compreensão dos sistemas numéricos e das interações entre as operações e engendrando rupturas conceituais entre os números naturais e os racionais. Além disso, mostram que, independente da formação e do tempo de experiência, os professores que ensinam matemática não apresentam as competências necessárias para analisar as notações produzidas pelos alunos, e partir delas elaborar propostas de intervenção, como também comprovam um ensino pautado na idéia de transmissão de conhecimento. Estudos na área de formação de professores que ensinam matemática destacam a coexistência do paradigma da racionalidade técnica e da racionalidade prática nos programas de formação tanto inicial quanto continuada e a ausência de pesquisas de intervenção no contexto desses estudos. Em função desse cenário, assumimos a intervenção psicopedagógica proposta por Fávero (2000, 2001, 2005a) tendo como objetivo o desenvolvimento de competências conceituais de alunos e professores no tocante aos conteúdos curriculares da divisão e dos números racionais. Participaram da pesquisa dois grupos de sujeitos. O grupo 1 composto de três adolescentes de Escola Pública da cidade de Taguatinga, DF com histórico de repetência, em defasagem idade/série e alunas do programa de aceleração. O grupo 2 por oito mulheres e dois homens que, na ocasião do início da pesquisa, eram licenciandos dos cursos de licenciatura em matemática e pedagogia, sendo oito do curso de matemática e dois do curso de pedagogia, com idade entre 25 e 34 anos. Cinco sujeitos trabalhavam como docentes em turmas de Ensino Fundamental Séries Iniciais e Finais; desses, dois atuavam na rede privada de ensino e três na rede pública. Os demais atuavam em outros setores da economia, principalmente na área administrativa. Foram desenvolvidas 13 sessões de intervenção, destas uma foi realizada com a presença dos dois grupos, quanto às demais; seis foram realizadas com uma das alunas e 6 com os sujeitos do grupo 2. No desenvolvimento das sessões, articulamos as seguintes ações: avaliação das competências matemáticas dos sujeitos e de suas dificuldades; planejamento e condução de cada sessão em decorrência dos resultados da sessão anterior; análise do material coletado em cada sessão (falas, ações e notações matemáticas), considerando o significado dessa produção para o desenvolvimento de competências e a natureza das mediações estabelecidas. As sessões foram organizadas no formato de grupos focais e, no caso das sessões com uma aluna, de intervenção clínica. Todas as sessões foram gravadas em vídeo e transcritas na integra, e trechos das interlocuções sujeitos/sujeitos e sujeitos/pesquisadora foram analisados tomando a proposição como uma unidade e a categorização dos “atos da fala”, como propõem Fávero e Trajano (1998) e Fávero (2005), a partir das contribuições de Chabrol e Bromberg (1999). Os resultados apontam que a intervenção psicopedagógica propiciou a tomada de consciência dos significados que sustentam as práticas de alunos e professores e contribuiu, sobremaneira, para o desenvolvimento de competências conceituais e, a partir dessas, de novas práticas. Contribuiu também: 1/ para o entendimento do papel da mediação, da representação e da notação na conceituação matemática; 2/ para a discussão atual sobre o currículo de matemática da educação básica e as práticas de avaliação vigentes; e 3/ para o debate sobre as Diretrizes Curriculares dos Cursos de Licenciatura em Matemática e Pedagogia e a prática da pesquisa na formação inicial e continuada de professores. ________________________________________________________________________________________ ABSTRACTThe concepts of division and rational number have come and evolved from the needs imposed by various different practices. The following stand out: quotitive division, measurement scenarios, comparison and conversion between units of measurement, record-keeping needs and the socialization of information. Brazilian and international studies on the teaching and learning of division and rational numbers performed between 1999 and 2006 stress that both students and teachers present conceptual difficulties. The same studies also suggest that teaching those contents has prioritized the use of rules in detriment of the conceptual development, neither broadening the understanding of number systems and interactions between operations nor engendering conceptual ruptures between rational and natural numbers. They also show that, regardless of formation and years of experience, Mathematics teachers do not have the necessary competencies to analyze notation produced by students and develop intervention proposals from them. They also still have notions of teaching related to the concept of transmitting knowledge. Studies on the training of Mathematics teachers highlight the coexistence of the technical rationality paradigm and the practical rationality paradigm in training programs in all levels, and the absence of intervention research in the context of these studies. Due to this scenario, we took up the psychopedagogical intervention proposed by Fávero (2000, 2001, 2005a) with the goal of developing conceptual competencies related to division and rational number curricular content among teachers and students. Two groups of subjects took part in the study. Group 1 consisted of three teenagers from a public school from Taguatinga, DF, Brazil, with a history of being held back, who had an age/grade gap and were part of an acceleration program. Group 2 was made up of eight women and two men who, when the study started, were undergraduate Education and Mathematics Education students (two were Education students, eight were Mathematics Education students), aged 25 to 34. Five subjects worked teaching primary and secondary education classes; of these, two worked in private schools and three in public schools. The others worked in other roles, mostly doing administrative work. Thirteen intervention sessions were developed; of these, one was performed in the presence of both groups. As for the others: six were performed with one of the students and six with with the other subjects from group 2. Session development included the following actions: assessing Mathematics competencies among the subjects and their specific difficulties; planning and performing each session, working from the results from the previous section; analyzing the material collected from each session (speech, actions, mathematical notation), considering the meaning of that production for competency development and the nature of the mediations established. The sessions were organized as focus groups. For the section with a single student, the sessions took the form of a clinical intervention. All sessions were videotaped and transcribed in full, and passages from subject/subject and subject/researcher interactions were analyzed, taking sentences as units and categorizing "speech acts" according to proposals from Fávero and Trajano (1998) and Fávero (2005), working from contributions from Chabrol and Bromberg (1999). The results indicate that psychopedagogical intervention allowed for growing awareness of the meanings behind students' and teachers' practices. It contributed, above all, to the development of conceptual competencies and, from them, new practices. It also contributed to: 1/ the understanding of the role of mediation, representation and notation in mathematical conceptualization; 2/ the current debate over Mathematics teaching in primary education and current assessment practices; 3/ the debate over Curricular Guidelines for Mathematics Education and Education Courses and research practices in all levels of teacher training