Valeurs zêta triviales dans les algèbres de Tate

Several modifications and corrections. The main addition is the new Theorem B.We study trivial multiple zeta values in Tate algebras. These are particular examples of the multiple zeta values in Tate algebras in positive characteristic introduced by the second author. If the number of variables involved is 'not large' in a way that is made precise in the paper, we can endow the set of trivial multiple zeta values with a structure of module over a non-commutative polynomial ring with coefficients in the rational fraction field over a finite field. We determine the structure of this module in terms of generators and we show how in many cases, this is sufficient for the detection of some linear relations between Thakur's multiple zeta values.Nous étudions les valeurs zêta multiples triviales dans les algèbres de Tate. Il s'agit d'exemples de valeurs zêta multiples dans les algèbres de Tate en caractéristique non nulle introduites par le deuxième auteur. Si le nombre de variables n'est pas 'très grand' dans un sens qui est rendu précis dans le texte, on peut munir cet ensemble de valeurs triviales d'une structure de module sur une algèbre non commutative. Nous déterminons la structure de ce module en termes de générateurs et nous montrons que dans plusieurs cas, cela suffit pour déterminer des relations de dépendance linéaire non-triviales entre valeurs zêta de Thakur