A Zermelo navigation problem with a vortex singularity

International audienceHelhmoltz-Kirchhoff equations of motions of vortices of an incompressible fluid in the plane define a dynamics with singularities and this leads to a Zermelo navigation problem describing the ship travel in such a field where the control is the heading angle. Considering one vortex, we define a time minimization problem which can be analyzed with the technics of geometric optimal control combined with numerical simulations, the geometric frame being the extension of Randers metrics in the punctured plane, with rotational symmetry. Candidates as minimizers are parameterized thanks to the Pontryagin Maximum Principle as extremal solutions of a Hamiltonian vector field. We analyze the time minimal solution to transfer the ship between two points where during the transfer the ship can be either in a strong current region in the vicinity of the vortex or in a weak current region. The analysis is based on a micro-local classification of the extremals using mainly the integrability properties of the dynamics due to the rotational symmetry. The discussion is complex and related to the existence of an isolated extremal (Reeb) circle due to the vortex singularity. The explicit computation of cut points where the extremal curves cease to be optimal is given and the spheres are described in the case where at the initial point the current is weak.Les équations d’Helhmoltz-Kirchhoff pour le mouvement tourbillonaire d’un fluide incompressible dans le plan définissent une dynamique hamiltonienne à singularités localisées aux tourbillons. Cela conduit à définir un problème de Zermelo décrivant le mouvement d’un navire où le contrôle est l’angle de cap et le critère à minimiser est le temps de transfert entre deux points du plan. Dans cet article, on se limite au cas d’un seul tourbillon localisé en zéro et le problème est analysé avec les techniques du contrôle optimal géométrique combinées à des simulations numériques, le contexte géométrique étant l’extension des métriques de Randers dans le plan possédant une symétrie de révolution. On doit en effet considérer le cas d’un courant faible, mais aussi d’un courant fort localisé au voisinage du tourbillon. Les trajectoires candidates à minimiser le temps sont paramétrées en utilisant le Principe du Maximum de Pontryaguine comme des extrémales solutions d’un système hamiltonien dont les projections sur l’espace d’état sont les géodésiques. L’analyse du problème optimal repose sur la classification micro-locale des solutions extrémales utilisant l’intégrabilité de la dynamique. La discussion est complexe et repose sur l’existence d’un cercle géodésique dit de Reeb, conséquence de la singularité tourbillonaire. La discussion est complétée par l’évaluation des points de coupure, les points où les extrémales cessent d'être optimales. Les sphères sont décrites dans le cas d’un état initial à courant faible