Symmetry reductions and explicit solutions for a nonlinear model of a price process in illiquid market

Diese Arbeit ist einer Verallgemeinerung des bekannten Black-Scholes-Modells gewidmet, welches eines der erfolgreichsten Modelle zur Optionspreisbewertung darstellt. Die untersuchende Modellgleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung und beschreibt einen Rückkopplungseffekt des Großhändlers auf dem Markt. Die Methoden der Theorie der Lieschen Gruppen in Anwendung auf Differentialgleichung werden zur Untersuchung dieser Gleichung benutzt. Eine abschließende Untersuchung der algebraischen Struktur, welche die Modellgleichung besitzt, wurde durchgeführt. In der Arbeit wurde eine allgemeine Form der Lie-Punktsymmetriegruppe der Gleichung aufgefunden. Es hat uns gelungen unter zusätzlichen Bedingungen einige Klasse invarianter expliziter Lösungen der nichtlinearen Modellgleichung zu gewinnen. Am Beispiel dieser expliziter Lösungen wurde Verifikation grundlegender numerischer Verfahren durchgeführt.This work reprepresents a generalization of a well known Black-Scholes model, one of the most successful models for an option price. The studied model equation is a nonlinear partial differential equation that describes a feedback effect of a large trader on a market. The methods of Lie group theory are used to study the equation. A complete study of the algebraic structure of the model equation was made. A general form of a Lie point symmetry group of the equation was found. Using additional conditions we were able to find several classes of invariant explicit solutions of the nonlinear model equation. These explicit solutions were used to verify some basic numerical methods