Procesos espacio-temporales transformados: estudio de características estructurales y comportamientos extremos

With the reference goal of bringing together the theory of risk measures and the analysis of structural characteristics of random field excursion sets, this thesis work addresses two general objectives: (i) to develop methodologies for risk assessment in spatial and spatiotemporal scenarios in relation to threshold exceedances; (ii) to analyze the effect of transformations, with reference to the spatial domain and the state space, on structural characteristics of threshold exceedance sets, as well as the consideration of related generalizations. Regarding the first objective, a general and flexible methodology for spatial and spatiotemporal risk assessment is proposed based on a conditional approach. More specifically, for a given random field model and available observations, empirical distributions of different threshold exceedance indicators are obtained from conditional simulation, as a basis for evaluation of measures of risk. In particular, the study is focused on the global and local assessment of exceedance area and excess volume indicators, from which different risk maps are derived. For these first-order indicators, the compound cumulative distribution function plays a key role, both formally and regarding the practical threshold specification. Illustrations based on simulation and applications to real data (Hydrology and Environmental Health) of this methodology are performed in spatial and spatiotemporal scenarios. Relationships between widely used risk measures such as Value-at-Risk and Average Valueat- Risk, and structural characteristics of excursion sets of the underlying random field such as exceedance area and excess volume, for varying thresholds, are established. The asymptotics of these relationships are interpreted in relation to the shape parameter of the Generalized Pareto Distribution. Formal extensions are developed in scenarios of special interest (‘level’ and ‘flow’ type deformation effects and population covariate effect), and finally, a generalized formulation in terms of non-constant thresholds and non-Lebesgue measures is also established. In addition with respect to the second objective, in this thesis work two approaches are proposed to address the asymptotic behaviour for threshold exceedance probabilities for random fields without some restrictive conditions of regularity, stationarity or isotropy. A first approach is based on regularizing sequences and a second approach on adequate spatial deformation and blurring transformations.Con el objetivo de referencia de hacer interactuar la teoría de medidas de riesgo con el análisis de características estructurales de conjuntos de excursión de campos aleatorios, este trabajo de tesis aborda dos objetivos generales: (i) desarrollo de metodologías para la valoración de riesgos en entornos espaciales y espacio-temporales relativos a excedencias de umbrales; (ii) análisis del efecto de transformaciones, con referencia al dominio espacial y al espacio de estados, sobre características estructurales de conjuntos de excedencia de umbrales así como la consideración de formas generalizadas. Con respecto al primer objetivo, se propone una metodología general y flexible para la valoración de riesgos en entornos espaciales y espacio-temporales basada en un enfoque condicional. De forma específica, para un modelo de campo aleatorio dado y para un conjunto de observaciones disponibles, se obtienen distribuciones empíricas de distintos indicadores de excedencia de umbral por medio de simulación condicionada, como base para la evaluación de medidas de riesgo. En concreto, el estudio se centra en la valoración global y local de indicadores relacionados con el área de excedencia y con el volumen en exceso, a partir de los cuales se derivan diferentes mapas de riesgo. Para estos, también llamados indicadores de primer orden, la función de distribución acumulativa compuesta juega un papel clave, tanto desde un punto de vista formal como práctico, en este último caso relacionada con la especificación práctica del umbral. Se realizan ilustraciones basadas en simulaciones y aplicaciones con datos reales (Hidrología y Medio Ambiente) con esa metodología en entornos espaciales y espacio-temporales. Se formalizan relaciones analíticas entre los indicadores área de excedencia y volumen de exceso con las medidas de riesgo VaR y AVaR, para umbrales variables. Estas relaciones proporcionan interpretaciones asintóticas interesantes en términos del parámetro de forma de la distribución de Pareto generalizada. Se realizan extensiones formales de los resultados anteriores en escenarios generalizados (efectos de deformaciones tipo ‘nivel’ y ‘flujo’ y el efecto de la covariable población) y, finalmente, se establece una formulación generalizada que involucra umbrales no constantes y medidas no Lebesgue. Adicionalmente con respecto al segundo objetivo, en este trabajo de tesis se proponen dos enfoques para abordar el comportamiento asintótico de las probabilidades de excedencia de umbrales para campos aleatorios sin algunas condiciones restrictivas de regularidad, estacionariedad o isotropía. Un primer enfoque está basado en sucesiones regularizantes y un segundo enfoque en deformaciones espaciales y trasformaciones de borrosidad adecuadas.Tesis Univ. Granada