Paradojas de fundamentación en la matemática

El interés por la fundamentación racional de la matemática estuvo presente en toda su historia, pero se acrecienta especialmente a partir de mediados del siglo XIX. Sin embargo, los sistemas formales elaborados durante este largo período, para hacer más explícita esta fundamentación han derivado en paradojas, a pesar de sus formulaciones aparentemente consistentes y lógicamente correctas. Para superar estas dificultades, se han formulado respuestas lógico-matemáticas que se clasificaron en tres grandes líneas: el logicismo, el formalismo y el intuicionismo. Kurt Gödel demostró que las respuestas de estas escuelas fueron insatisfactorias, ya que las paradojas internas eran insalvables. Sólo podían ser superadas con la formulación de sistemas más amplios y potentes, expresados en un lenguaje metamatemático. Tanto formalistas como logicistas hicieron un tratamiento puramente sintáctico, pero la presencia de las paradojas mostraba que la sintaxis formal es necesaria pero insuficiente. A ella se debe agregar una semántica, que tiene que ver con el contenido significativo de las reglas operativas y una pragmática que esclarece lo apropiado de su interpretación. También señalamos en este trabajo lo inadecuado de la acusación de esterilidad al tratamiento lógico-formal de la fundamentación matemática. Nosotros sostenemos que los sistemas formales no son estériles, puesto que engendran paradojas. En esta constitución paradojal o antinómica de los sistemas formales, se oculta el dinamismo y el espíritu creador de la matemática. Esto nos permite afirmar que el quehacer matemático es al mismo tiempo descubrimiento e invención. Quizá una futura fundamentación de la matemática deba recurrir a la lógica dialéctica y a las lógicas paraconsistentes