Skaitliskās metodes un to realizācija ar datorprogrammu MATHEMATICA5

Skaitliskās metodes ir tādi matemātikas uzdevumu risināšanas paņēmieni, kuros tiek izmantotas tikai aritmētiskas un loģiskas operācijas. Šāda ierobežojuma sekas ir tādas, ka, pielietojot skaitliskās metodes, vairumā gadījumu ir iegūstams tikai uzdevuma aptuvenais atrisinājums. Lai iegūtu precīzo atrisinājumu, nepieciešams izdarīt bezgalīgi daudz darbību, kas, saprotams, nav iespējams. Pielietojot skaitliskās metodes, jebkura uzdevuma atrisinājums ir skaitlis vai skaitļu kopa. Piemēram, Košī uzdevuma atrisinājums diferenciālvienādojumam ir funkcija, kuru var iegūt, šo uzdevumu risinot ar analītiskām metodēm. Šo pašu uzdevumu risinot ar kādu no skaitliskām metodēm, iegūstam skaitļu tabulu ar šīs funkcijas aptuvenām vērtībām dotajos punktos. Skaitlisko metožu pielietošana būtiski paplašina atrisināmo uzdevumu kopu. Daudzi uzdevumi objektīvu iemeslu dēļ nav atrisināmi ar precīzām metodēm. Šādā gadījumā ir jāpielieto skaitliskās metodes. Tā, piemēram, nenoteiktā integrāļa analītisko aprēķināšanas paņēmienu nosaka atkarībā no zemintegrāļa funkcijas veida. Iespējams, ka zemintegrāļa funkcija ir pārāk sarežģīta vai arī nav klasificējama, vai arī ir tāda, ka atbilstošais nenoteiktais integrālis nav izsakāms galīgā veidā ar elementārām funkcijām. Visos šajos gadījumos ir jāpielieto kāds skaitliskās integrēšanas paņēmiens, jo šie paņēmieni ir tādi, ka ir pielietojami integrāļiem ar jebkuru zemintegrāļa funkciju. Tā kā skaitliskās metodes būtiski atšķiras no analītiskajām, tad to pielietošana rada specifiskas problēmas, kuras netiek apskatītas Augstākās matemātikas kursā. Būtiskākā atšķirība ir tā, ka vairums skaitlisko metožu ir iteratīvas. Pielietojot jebkuru iteratīvu metodi, ir jāpamato tās konverģence vai vismaz ir jāprot konstatēt konverģences faktu risinājuma gaitā. Tāpēc būtiska skaitlisko metožu sastāvdaļa ir to konverģences nepieciešamo un pietiekamo noteikumu noskaidrošana. Skaitlisko metožu realizācija nav iespējama bez datorprogrammu pielietošanas, jo vairumā gadījumu uzdevumu atrisināšanai nepieciešamais aritmētisko darbību skaits ir ļoti liels. Biežāk sastopamie uzdevumi visās datorprogrammās ir atrisināmi ar vienas komandas palīdzību. Daudzas komandas balstās uz uzdevumu skaitliskās risināšanas metodēm. Šādu komandu pielietošanai nav nepieciešams detalizēti pārzināt atbilstošo uzdevuma risināšanas metodi. Taču nav iespējama šādu komandu veiksmīga pielietošana, nepārzinot pielietotās skaitliskās metodes uzbūves principus un pielietošanas ierobežojumus. Šādas zināšanas ir nepieciešamas, lai pareizi uzdotu metodēs ieejošos parametrus un nepieciešamības gadījumā tos koriģētu, kā arī, lai pareizi interpretētu iegūtos rezultātus. Apskatītās tēmas neaptver visu kursu “Skaitliskās metodes”. Tēmas ir izvēlētas atbilstoši lekciju kursam, kurš tiek lasīts RTU Datorzinātnes un Informācijas Tehnoloģiju fakultātē. Pilnīgāks skaitlisko metožu izklāsts ir atrodams literatūras sarakstā esošajās grāmatās. Šis izdevums ir paredzēts tiem, kuri pirmo reizi sastopas ar skaitliskajām metodēm. Pēc šeit apskatīto metožu apgūšanas ir iespējamas tālākas patstāvīgas studijas atkarībā no katra individuālajām vajadzībām, izmantojot speciālo literatūru. Skaitlisko metožu apgūšanai ir nepieciešamas priekšzināšanas tehnisko augstskolu Augstākās matemātikas kursa apjomā. Dažu jautājumu apgūšanai var būt nepieciešamas zināšanas Speciālajās funkcijās, Matemātiskās fizikas vienādojumos, Funkcionālajā analīzē. Vēl nepieciešams pārzināt datorprogrammas MATHEMATICA pielietošanas pamatus. Lai izprastu skaitlisko metožu pielietošanu MATHEMATICA vidē, reizē ar šo mācību līdzekli ieteicams izmantot S. Veģere, I. Volodko, A. Koliškins, V. Kremeņeckis “Matemātikas uzdevumu risināšana ar MATHEMATICA5”, R., RTU, 2009. Šajā materiālā izskaidrotas tiek tikai tās komandas, kuras nav minētajā mācību līdzeklī. Šajā materiālā parādīti piemēri, izmantojot datorprogrammas MATHEMATICA5 versiju. Vēlākajās MATHEMATICA versijās komandas var būtiski atsķirties