Semiklassik von Andreev-Billards

Supraleiter haben einen großen Einfluss auf normalleitende regionen, an die sie gekoppelt sind. Es wurde erkannt, dass sie Cooper-Paare in die normalleitende Region induzieren und damit einige ihrer anormalen Eigenschaften auf diese Bereiche ausdehnen. Die wohl bemerkenswerteste Manifestation dieses 'Proximity effect' is die Ausbildung einer Mini-Bandlücke in der Zustandsdichte, welche von der Größenordnung der Thouless-Energie ist. Diese Lücke, jedoch, tritt nur auf, wenn die korrespondierende klassische Bewegung der normalleitenden Region chaotisch oder diffusiv ist. Da offensichtlich die klassische Dynamik eine wichtige Rolle spielt, scheinen semiklassische Methoden für die Bestätigung existierender Zufallsmatrix-Vorhersagen vielversprechend zu sein. Semiklassik basierend auf der so genannten Diagonal-Näherung jedoch ergaben nur eine exponentielle Dämpfung der Zustandsdichte für niedrige Energien. Dieser Wiederspruch verursachte starke Diskussionen und wird nun der Existenz eine neuen Zeit-Skala zugeschrieben: Die Ehrenfest-Zeit $\tau_\mathrm{E}$ trennt das universelle Regime $\tau_{\mathrm{E}}=0}$, in dem die Zufalls-Matrix-Theorie als gültig angesehen wird vom Bohr-Sommerfeld-Regime $\tau_{\mathrm{E}}\rightarrow\infty$, in dem erwartet wird, das semiklassische Ergebnis auf dem Level der Diagonal-Näherung zu erhalten. Weitere Manifestationen des Proximity effects wurden im elektrischen Transport von Metall-Supraleiter-Grenzschichten gefunden. Ein Beispiel hierzu ist die Leitwert-Verdopplung, welche darauf hindeutet, dass der Strom von Cooper-Paaren statt von Elektronen oder Löchern getragen wird. Noch überraschender ist die Magnetfeld-Abhängigkeit der Leitfähigkeit. Man hat heraus gefunden, dass es nicht-monoton ist mit einem lokalen Minimum bei schwachen magnetischen Feldern. Bis jetzt jedoch bezogen sich die meisten Untersuchungen zum elektrischen Transport von Metall-Supraleiter-Hybridstrukturen auf den Effekt der Grenzschicht selbst, während die Leitfähigkeit von Andreev-Interferometern zwischen zwei normalleitenden Zuleitungen kaum Beachtung fand. Erst vor kurzem begannen Whitney und Jacquod diese Strukturen mittels semiklassischer Methoden jenseits der Diagonal-Näherung zu untersuchen, wobei sie die Leitfähigkeit in führender Ordnung in der Gesamtzahl der Kanäle und führender Ordnung im Verhältnis der Zahl der supraleitenden Kanäle zu den normalleitenden. Sie betrachteten also den fall kleiner supraleitender Zuleitungen verglichen mit den normalleitenden. Für einen spezifischen Aufbau, bei dem die Supraleiter das gleiche chemische Potential besitzen wie eine der normalleitenden, wurde eine Verringerung der Leitfähigkeit im Vergleich zur Diagonal-Näherung gefunden. Die selben Autoren untersuchten ebenso die Thermo-Kraft dieser Andreev-Interferometer störungstheoretisch in der Zahl der supraleitenden Kanäle. In dieser Diplomarbeit wird gezeigt, dass ein semiklassischer Zugang jenseits der Diagonal-Näherung verwendet werden kann, um die Ergebnisse aus der Zufallsmatrix-Theorie für bis zu zwei Supraleiter mit Phasen-Unterschied $\phi$ zu reproduzieren. Mit dem hier aufgezeigten Zugang ist es sogar möglich, die Zustandsdichte im Bereich zwischen dem universellen und dem Bor-Sommerfeld-Regime zu berechnen, wo eine Zweite Bandlücke auftritt. Darüber hinaus ist es möglich die Zustandsdichte für den allgemeineren Fall von zwei unterschiedlich breiten supraleitenden Zuleitungen zu berechnen. Auch in diesem Fall würde eine zweite Lücke in der Zustandsdichte gefunden. Ebenso wird die Arbeit von Whitney und Jacquod zum elektrischen Transport und zur Thermo-Kraft auf alle Ordnungen in der Zahl der supraleitenden Kanäle erweitert. Es wird gezeigt, dass die Verringerung der Leitfähigkeit in eine Erhöhung umgewandelt wird, wenn die Zahl der supraleitenden Kanäle groß genug wird und die Leitföhigkeit im Grenzfall unendlich breiter supraleitender Zuleitungen sogar verdoppelt wird. Darüber hinaus wird die Abhängigkeit vom Phasenunterschied $\phi$ sowie vom magnetischen Feld und endlicher Temperaturen betrachtet