Geometry of surfaces equipped with flat metrics with conical singularities : parameters, length functions and deformation spaces.

On étudie les surfaces plates à singularités coniques, leur géométrie, leur espaces des déformations et leur paramétrisation. La surface de base est la sphère à trois trous (pantalon). On trouve trois ensembles de paramètres pour le pantalon plat à un point singulier conique et on décrit son espace des déformations. On introduit un flot que l'on appelle flot de Fenchel-Nielsen sur un espace des déformations. On étudie l'injectivité de ce flot en examinant la variation des fonctions longueur de segments géodésiques ou de géodésiques simples fermées le long de ce flot. On étudie également la paramétrisation d'une surface plate à singularités coniques utilisant des longueurs des segments géodésiques joignant des points singuliers ou un point singulier à une composante du bord. A la fin du texte, trois annexes apportent des discussions supplémentaires.We study flat surfaces with conical singularities, their geometry, their deformation spaces and their parameterization. The base surface is a sphere with three holes (pair of pants). We find three sets of parameters of the flat pair of pants with one conical singular point and we describe its deformation space. We introduce a flow which we call Fenchel-Nielsen flow on a deformation space. We study the injectivity of this flow by examining the variation of length functions of geodesic segments or simple closed geodesics along this flow. We study also the parameterization of a flat surface with conical singularities using the lengths of geodesic segments joining singular points or a singular point to a boundary component. At the end of the text, three appendices provide further discussions