Theoretical and numerical study of phase transition flows

On s'intéresse dans ce travail à la simulation et l'approximation d'écoulements diphasiques avec transition de phase. Il s'agit de modéliser la dynamique d'une bulle de cavitation. Le modèle repose sur les équations d'Euler en coordonnées sphériques, l'interface gaz-liquide étant indiquée par une fonction de couleur. Dans une première partie, aucun transfert de masse n'est supposé. Un schéma Lagrange-projection est d'abord proposé : seule l'interface est déplacée à la vitesse du fluide. La projection repose sur un algorithme de suppression-découpage qui assure que les volumes ne deviennent pas négatifs. Le second chapitre traite du terme source géométrique. On construit un schéma équilibre articulé autour du schéma VFRoe-ncv pour lequel on propose une correction entropique non paramétrique. Un méthode d'ordre élevé de type Galerkin discontinu est ensuite étudiée dans le cadre de la magnétohydrodynamique. L'intégration en temps est réalisée par une méthode de type Adams-Bashforth, qui s'avère bien adaptée aux algorithmes de pas de temps local. La deuxième partie de la thèse traite de la modélisation du changement de phase liquide-vapeur. L'inf-convolution et la transformée de Legendre définissent une structure naturelle pour la construction de loi de pression de mélange. En particulier on montre que la construction de Maxwell est équivalente à la construction de l'enveloppe convexe de l'énergie de van der Waals. Un algorithme de transformée de Legendre rapide, adapté à la prise en compte correcte des bords du domaine de calcul de loi d'état, est développé. La méthode est appliquée à la construction de lois de pression tabulées de mélanges binaires miscibles ou immiscibles de gaz raides.The main topic of this work is the modelling and the approximation of two-phase flows with phase transition. We are interesting in the simulation of a cavitation bubble. The model consists in the Euler equations written in spherical coordinates, the liquid-gas interface being indicated by a color function. In the first part, no mass transfer is taking into account. A Lagrange plus remap scheme is proposed. A Lagrangian flux is computed at the interface. The projection step rests on a cut-and-supress algorithm that ensures that the volumes of the cells do not become negative. The second chapter deals with the non-conservative geometrical source term of the system. We construct a well-balanced scheme hinged on the VFRoe-ncv scheme with a simple parameter-free entropy correction. Then a high-order discontinuous Galerkin scheme is studied in the magnetohydrodynamics framework. The time integration is based on a Adams-Bashforth method, that is well suited for a local time-stepping algorithm. The second part of the dissertation deals with the modelling of liquid-vapour phase transition. The inf-convolution and the Legendre transform define a natural framework for the construction of mixture pressure laws. In particular the Maxwell's construction is equivalent to the computation of the convex hull of the van der Waals energy. We develop a fast Legendre transform algorithm that perfectly handles the boundaries of the computational domain of the equation of state. The whole method is applied to the construction of tabulated pressure laws of binary mixtures of stiffened gases. The miscible and non the non miscible mixtures are covered by our approach