DIAGONALISASI MATRIKS nn ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN

Matriks atas ring komutatif adalah himpunan semua matriks yang entri-entrinya merupakan elemen dari ring komutatif. Matriks atas ring komutatif mempunyai struktur aljabar modul terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Pada teori modul, diketahui bahwa submodul yang dibangun oleh kolom-kolom matriks atas ring belum tentu memiliki basis. Selain itu, struktur dari himpunan matriks atas ring komutatif dengan elemen satuan berbeda dengan struktur dari himpunan matriks atas field. Pada penelitian ini akan dicari proses diagonalisasi matriks n x n atas ring komutatif dengan elemen satuan. Diagonalisasi dari matriks A yang berukuran n x n merupakan suatu proses untuk membentuk atau mencari matriks diagonal D yang similar dengan A. Suatu matriks A berukuran n x n atas ring komutatif dapat didiagonalkan jika dan hanya jika gabungan semua ruang eigen untuk setiap nilai eigen dari A yang bersesuaian memuat basis di Rn. Langkah pertama yang dilakukan dalam pengerjaan diagonalisasi matriks atas ring komutatif dengan elemen satuan adalah mencari polinomial karakteristik dari matriks. Lalu dari polinomial karakteristik didapat nilai-nilai eigen. Selanjutnya mencari ruang eigen dari nilai-nilai eigen tersebut. Matriks A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika gabungan dari semua ruang eigen memuat suatu basis dari R-modul bebas. Kemudian dibentuk sebuah matriks baru yang merupakan gabungan basis dari R-modul bebas tersebut dan dicari inversnya. Selanjutnya didapatlah matriks diagonal P-1AP = D. Kata Kunci : nilai eigen, ruang eigen, diagonalisasi matriks