Regularity of solutions and controllability of evolution equations associated with non-selfadjointoperators

Le sujet de cette thèse a trait à l'étude microlocale fine des propriétés de régularisation et de décroissance des équations d'évolution associées à deux classes d'opérateurs non-autoadjoints avec des applications à l’étude de leurs propriétés sous-elliptiques et à la contrôlabilité à zéro de ces mêmes équations. La première classe est constituée d'opérateurs non-locaux donnés par les opérateurs d'Ornstein-Uhlenbeck fractionnaires qui apparaissent comme la somme d'une diffusion fractionnaire et d'un opérateur de transport linéaire. La deuxième classe est celle des opérateursdifférentiels quadratiques accrétifs donnés par la quantification de Weyl de formes quadratiques définies sur l'espace des phases, à valeurs complexes et de parties réelles positives. L'objectif de ce travail est de comprendre comment les possibles phénomènes de non-commutation entre les parties autoadjointe et anti-autoadjointe de ces opérateurs permettent aux semi-groupes qu'ils engendrent de jouir de propriétés de régularisation et de décroissance dans certaines directions spécifiques de l'espace des phases que l'on décrit explicitement.The subject of this thesis deals with the sharp microlocal study of the smoothing and decreasing properties of evolution equations associated with two classes of non-selfadjoint operators with applications to the study of their subelliptic properties and to the null-controllability of these equations. The first class is composed of non-local operators given by the Ornstein-Uhlenbeck operators defined as the sum of a fractional diffusion and a linear transport operator. The second class is the class of accretive quadratic differential operators given by the Weyl quantization of complex-valued quadratic forms defined on the phase space with non-negative real parts. The aim of this work is to understand how the possible non-commutation phenomena between the self-adjoint and the skew-selfadjoint parts of these operators allow the associated semigroups to enjoy smoothing and decreasing properties in specific directions of the phase space that are explicitly described