Le modèle du p-spin mixte : sélectionner, suivre et perdre les états

L'objectif principal de ma thèse est d’explorer le lien entre la dynamique et la statique dans un modèle prototypique de transition vitreuse, i.e. le modèle à champ moyen du p-spin sphérique. Ce modèle a été introduit il y a plus de 30 ans dans le but d’offrir un modèle simplifié ayant, à l'équilibre, le même ralentissement dynamique décrit théoriquement quelques années plus tôt par la théorie des modes couplés. Au fil des ans, le modèle du p-spin sphérique s’est révélé être un modèle très significatif et prometteur, capable de décrire de nombreux aspects d’équilibre et hors équilibre des verres. Avoir un tel modèle de référence simple mais riche permet un examen cohérent d’un sujet, dans notre cas le comportement du verre qui présente une phénoménologie très complexe. Ainsi, le but principal n’est pas d’avoir une prédiction quantitative des phénomènes, mais plutôt une vue plus large avec une forte base analytique. En ce sens, le modèle du p-spin a assumé un rôle pour les systèmes désordonnés qui est comparable à celui du modèle Ising pour comprendre le ferromagnétisme. Ma recherche est une voie naturelle pour renforcer notre connaissance et notre compréhension de ce modèle. Dans le premier chapitre, nous donnons une introduction générale aux liquides surfondus et leur phénoménologie. L’introduction est brève, et l’objectif principal est de donner un aperçu général, principalement du point de vue de la transition aléatoire du premier ordre, tout en tenant compte d’autres points de vue sur le sujet et en essayant de fournir une « bonne » bibliographie de départ à quiconque veut étudier les liquides surfondus. La dernière section se concentre sur le paradigme du surface d'énergie potentielle (PEL), qui, à mon avis, donne une modélisation très solide de la phénoménologie vitreuse, et partage de nombreux aspects avec l’analyse du champ moyen. Dans le deuxième chapitre, le modèle du p-spin sphérique est présenté en détail. L’analyse d’équilibre est réalisée avec le formalisme des répliques, avec un accent sur la structure ultramétrique. Ensuite, différents outils pour étudier son paysage d’énergie libre sont présentés: l’approche TAP, le potentiel de Franz-Parisi et la méthode de Monasson. Ces trois manières différentes de sélectionner les états sont soigneusement contrastées et leurs analogies et différences sont soulignées, en particulier le comportement différent joué par les modèles du p-spin purs et mixtes. Ensuite, la dynamique d’équilibre est discutée, et une sélection de résultats classiques sur le ralentissement dynamique sont analysés par intégration numérique. Pour conclure, la dynamique hors équilibre dans le protocole à deux températures est analysée. Cela montre deux régimes différents, des états suivables et du vieillissement. Pour les deux, une analyse asymptotique et une intégration numérique sont effectuées et comparées. L’accent est mis sur la possibilité de décrire la dynamique asymptotique avec un potentiel statique. Le troisième chapitre présente tous les nouveaux résultats qui ont émergé au cours de mes recherches. L’étude se concentre sur le protocole à deux températures, commençant à l’équilibre et fixant la deuxième température à zéro, ce qui correspond à une dynamique de descente du gradient. Ce protocole est particulièrement intéressant car il correspond à la recherche de la structure inhérente du paysage énergétique. La dynamique intégrée, en fonction de la température de départ, montre trois régimes différents. Une de ceux-ci corresponde à une nouvelle phase, qui présente le vieillissement avec la mémoire de la condition initiale. Cette nouvelle phase n’est pas présente dans les modèles du p-spin pure, seulement dans les modèles mixtes. Afin de décrire théoriquement cette nouvelle phase, une analyse des points stationnaires du paysage énergétique est effectuée. Une simulation numérique du système est également présentée pour confirmer ce nouveau scénario.The main driving notion behind my thesis research is to explore the connection between the dynamics and the static in a prototypical model of glass transition, i.e. the mean-field p-spin spherical model. This model was introduced more than 30 years ago with the purpose of offering a simplified model that had the same equilibrium dynamical slowing down, theoretically described a few years earlier by mode-coupling theory. Over the years, the p-spin spherical model has shown to be a very meaningful and promising model, capable of describing many equilibrium and out-of-equilibrium aspects of glasses. Eventually it came to be considered as a prototypical model of glassiness. Having such a simple but rich reference model allows a coherent examination of a subject, in our case the glass behavior, which presents a very intricate phenomenology. Thus, the main purpose is not to have a quantitative prediction of the phenomena, but rather a broader view with a strong analytical basis. In this sense the p-spin model has assumed a role for disordered systems which is comparable to that of the Ising model for understanding ferromagnetism. My research is a natural path to reinforce our knowledge and comprehension of this model. In the first chapter, we provide a general introduction to supercooled liquids and their phenomenology. The introduction is brief, and the main goal is to give a general overview, mainly from the point of view of the Random First Order Transition, while considering other perspectives on the subject and attempting to provide a ‘fair' starting bibliography to whomever wants to study supercooled liquids. The last section focuses on the Potential Energy Landscape paradigm (PEL), which in my view, gives a very solid modelization of glassy phenomenology, and shares many aspects with mean-field analysis. In the second chapter, the p-spin spherical model is presented in details. The equilibrium analysis is performed with the replica formalism, with a focus on the ultrametric structure. Then, different tools to study its free energy landscape are introduced: the TAP approach, the Franz-Parisi potential and the Monasson method. These three different ways of selecting states are carefully contrasted and their analogies and differences are underlined, in particular highlighting the different behavior played by pure and mixed p-spin models. Then the equilibrium dynamics is discussed, and a selection of classical results on the dynamical slowing down are analyzed by numerical integration. To conclude, the out-of-equilibrium dynamics in the two temperature protocol is analyzed. This shows two different regimes, the state following and the aging. For both, an asymptotic analysis and a numerical integration are performed and compared. A strong emphasis is given to the possibility of describing the asymptotic dynamics with a static potential. The third chapter presents all the new results that emerged during my research. The study focuses on the two temperature protocol, starting in equilibrium and setting the second temperature to zero, which corresponds to a gradient descent dynamics. This protocol is especially interesting because it corresponds to the search of inherent structure of the energy landscape. The integrated dynamics, depending on the starting temperature, shows three different regimes, one that corresponds to a new phase, which shows aging together with memory of the initial condition. This new phase is not present in pure p-spin models, only in mixed ones. In order to theoretically describe this new phase, a constrained analysis of the stationary points of the energy landscape is performed. A numerical simulation of the system is also presented to confirm this new scenario