Identification of electromagnetic coefficients with microwave imaging

Dans cette thèse, nous étudions, d'un point de vue théorique et numérique, l'imagerie micro-ondes. Mathématiquement, il s'agit de résoudre un problème inverse : reconstruire les coefficients diélectriques (permittivité et conductivité) à l'intérieur d'un matériau ou d'un tissu à l'aide de mesures surfaciques du champ électrique. Ce problème est modélisé par les équations de Maxwell pour le champ électrique en régime harmonique dont nous démontrons l'existence et l'unicité d'une solution dans le cas de conditions de bord mixtes. Nous nous intéressons particulièrement à la reconstruction de perturbations dans l'indice de réfraction du milieu. L'indice du milieu sain est supposé connu et, à l'aide de mesures effectuées sur l'objet d'étude, nous définissons le champ perturbé et cherchons à retrouver les perturbations. Afin de comprendre l'influence de celles-ci sur le champ électrique, nous menons une analyse de sensibilité des équations de Maxwell. L'étude numérique de cette analyse de sensibilité a conduit à des résultats utilisés pour développer un algorithme de reconstruction du support des perturbations. Nous étudions par la suite le problème de Cauchy, notamment pour démontrer un résultat d'identifiabilité avec données partielles. Nous nous intéressons également à la résolution numérique de ce problème pour répondre à la question de la complétion de données surfaciques : à partir de mesures partielles, nous en déduisons des données totales. Le problème inverse est finalement étudié sous la forme d'un problème de minimisation d'une fonctionnelle permettant de reconstruire l'amplitude des inhomogénéités recherchéesIn this thesis, we study, from a theoretical and numerical point of view, the microwave imaging. Mathematically, it is about solving an inverse problem: reconstruct the dielectric coefficients (permittivity and conductivity) inside a material or tissue from boundary measurements of the electric field. This problem is modeled by time-harmonic Maxwell's equations for the electric field for which we prove the existence and uniqueness of a solution in the case of mix boundary conditions. We are particularly interested in the reconstruction of perturbations in the refractive index of the medium. The index of the healthy medium is assumed to be known and, with the help of boundary measurements on the studied object, we define the perturbed field and try to find the perturbations. In order to understand their influence on the electric field, we lead a sensitivity analysis of Maxwell's equations. The numerical study of this sensitivity analysis led to results used to develop a reconstruction algorithm of the perturbations supports. We then study the Cauchy problem, to solve a uniqueness result with partial data. We are also interested in the numerical resolution of this problem to answer the question of the boundary data completion: from partial measurements, we deduce the total data. The inverse problem is finally studied as the minimization of a functional to reconstruct the amplitude of the searched inhomogeneitie