Multi-parameter wavefield reconstruction inversion with the alternating direction method of multipliers (ADMM) and compound regularization

La FWI (Full Waveform Inversion) est un problème d'optimisation sous contraintes dédié à l'estimation des paramètres constitutifs du sous-sol à partir de mesures parcimonieuses des champs d'ondes sismiques. La FWI est fondée sur des approches locales d'optimisation et sur un espace de recherche réduit obtenu par projection de variables. La non linéarité et le caractère mal posé de la FWI sont deux difficultés majeures. Une source de non linéarité est liée au repliement de la phase, qui conduit à un minimum local dès que le modèle initial n'est pas suffisamment précis. Le caractère mal posé résulte de l'éclairage incomplet du sous-sol depuis la surface, le bruit et les couplages inter-paramètres. L'objectif de cette thèse est de réduire ces deux pathologies par de nouvelles approches d'optimisation et de régularisation. J'améliore tout d'abord la méthode d'inversion par reconstruction des champs d'onde (WRI : Wavefield Reconstruction Inversion). WRI étend l'espace de recherche en calculant les champs d'onde avec une relaxation de l'équation d'onde afin d'ajuster les données avec des modèles imprécis avant d'estimer les paramètres en minimisant les erreurs générées par cette relaxation. Quand ces deux estimations sont effectuées de manière alternée, WRI décompose l'inversion non linéaire en deux sous-problèmes linéaires en vertu de la bilinéarité de l'équation d'onde. WRI a été implémentée avec une méthode de pénalité, nécessitant une adaptation du paramètre de pénalité lors des itérations. Je remédie à cela avec ADMM (Alternating-Direction Method of Multipliers), qui concilie l'extension de l'espace de recherche et la précision de la solution au point de convergence avec un paramètre de pénalité fixe grâce à la mise à jour itérative des multiplicateurs de Lagrange. Une seconde contribution est l'implémentation de contraintes de bornes et de régularisation par variation totale (TV) dans WRI. Suivant la méthode de Split Bregman, des variables auxiliaires permettent de découpler les termes impliquant des normes ℓ2 et ℓ1 et de traiter les seconds efficacement avec des opérateurs de proximité. Ensuite, j'ai combiné une régularisation de Tikhonov et de TV par convolution infimale pour prendre en compte les différentes propriétés statistiques du milieu (constantes par morceau et lisses). Ma thèse aborde ensuite des reconstructions multi-paramètres. Je montre dans un premier temps que la bilinéarité de l'équation d'onde est vérifiée pour les équations de l'elastodynamique. Ensuite, je traite le cas de milieux acoustique VTI où je reconstruis conjointement la vitesse verticale et epsilon pour un modèle synthétique représentatif d'un champ pétrolier en mer du Nord. Je m'intéresse ensuite à l'imagerie de l'atténuation qui est introduite en domaine harmonique sous forme d'une vitesse complexe. J'étends WRI à la reconstruction de paramètres complexes tout en développant une régularisation adaptable à la vitesse réelle et au facteur de qualité. Durant les premières itérations, les champs d'onde reconstruits sont précis uniquement au voisinage des récepteurs. Les imprécisions de la phase pourraient avoir un rôle préjudiciable sur la solution de l'inversion. Afin de réduire cette empreinte, j'estime les paramètres par "phase retrieval", un processus qui vise la reconstruction d'un signal complexe à partir de l'amplitude de sa mesure linéaire. Une fois un premier modèle obtenu, je réinjecte l'information de la phase pour converger vers la solution finale. Je montre la pertinence de cette stratégie lorsque le modèle initial est homogène. WRI a été initialement développée dans le domaine fréquentiel car la reconstruction des champs d'onde y est raisonnablement aisée avec des méthodes d'algèbre linéaire. En domaine temporel, une approche fondée sur un schéma explicite d'intégration temporelle a été proposée mais repose sur une linéarisation autour des sources supposées connues.Full Waveform Inversion (FWI) is a PDE-constrained optimization which reconstructs subsurface parameters from sparse measurements of seismic wavefields. FWI generally relies on local optimization techniques and a reduced-space approach where the wavefields are eliminated from the variables. In this setting, two bottlenecks of FWI are nonlinearity and ill-posedness. One source of nonlinearity is cycle skipping, which drives the inversion to spurious minima when the starting subsurface model is not kinematically accurate enough. Ill-posedness can result from incomplete subsurface illumination, noise and parameter cross-talks. This thesis aims to mitigate these pathologies with new optimization and regularization strategies. I first improve the wavefield reconstruction method (WRI). WRI extends the FWI search space by computing wavefields with a relaxation of the wave equation to match the data from inaccurate parameters. Then, the parameters are updated by minimizing wave equation errors with either alternating optimization or variable projection. In the former case, WRI breaks down FWI into to linear subproblems thanks to wave equation bilinearity. WRI was initially implemented with a penalty method, which requires a tedious adaptation of the penalty parameter in iterations. Here, I replace the penalty method by the alternating-direction method of multipliers (ADMM). I show with numerical examples how ADMM conciliates the search space extension and the accuracy of the solution at the convergence point with fixed penalty parameters thanks to the dual ascent update of the Lagrange multipliers. The second contribution is the implementation of bound constraints and non smooth Total Variation (TV) regularization in ADMM-based WRI. Following the Split Bregman method, suitable auxiliary variables allow for the de-coupling of the ℓ1 and ℓ2 subproblems, the former being solved efficiently with proximity operators. Then, I combine Tikhonov and TV regularizations by infimal convolution to account for the different statistical properties of the subsurface (smoothness and blockiness). At the next step, I show the ability of sparse promoting regularization in reconstruction the model when ultralong offset sparse fixed-spread acquisition such as those carried out with OBN are used. This thesis continues with the extension of the ADMM-based WRI to multiparameter reconstruction in vertical transversely isotropic (VTI) acoustic media. I first show that the bilinearity of the wave equation is satisfied for the elastodynamic equations. I discuss the joint reconstruction of the vertical wavespeed and epsilon in VTI media. Second, I develop ADMM-based WRI for attenuation imaging, where I update wavefield, squared-slowness, and attenuation in an alternating mode since viscoacoustic wave equation can be approximated, with a high degree of accuracy, as a multilinear equation. This alternating solving provides the necessary flexibility to taylor the regularization to each parameter class and invert large data sets. Then, I overcome some limitations of ADMM-based WRI when a crude initial model is used. In this case, the reconstructed wavefields are accurate only near the receivers. The inaccuracy of phase of the wavefields may be the leading factor which drives the inversion towards spurious minimizers. To mitigate the role of the phase during the early iterations, I update the parameters with phase retrieval, a process which reconstructs a signal from magnitude of linear mesurements. This approach combined with efficient regularizations leads to more accurate reconstruction of the shallow structure, which is decisive to drive ADMM-based WRI toward good solutions at higher frequencies. The last part of this PhD is devoted to time-domain WRI, where a challenge is to perform accurate wavefield reconstruction with acceptable computational cost