Transfer operators and horocycle averages on closed manifolds

Cette thèse de doctorat approfondit l'étude de la dynamique hyperbolique sur les variétés fermées et connexes M et des opérateurs de transfert associés. Nous étudions deux problèmes : le premier problème concerne les perturbations analytiques réelles des difféomorphismes d'Anosov linéaires sur le tore : une résonance non triviale apparaît-t-elle pour une perturbation génériques d'un difféomorphisme d'Anosov linéaire sur le tore ? Le second problème concerne une hypothèse sur la moyenne temporelle des flots horocycliques induits par un flot d'Anosov : la moyenne temporelle des flots horocycliques en courbure négative variable converge-t-elle vers la moyenne ergodique en vitesse polynomiale ? Les opérateurs de transfert associés agissent de façon bornée sur certains espaces de Banach anisotropes par la composition du système dynamique inverse suivie d'une multiplication avec des fonctions de poids spécifiques. Nous devons étudier leur spectre bas pour progresser sur nos deux problèmes.This doctoral thesis deepens the study of hyperbolic dynamics on connected, closed Riemannian manifolds M and associated transfer operators. We investigate two problems: The first problem concerns real analytic perturbations of linear toral Anosov diffeomorphisms: Does a non-trivial resonance appear for generic perturbations of a linear toral Anosov diffeomorphism? The second problem is to make a statement about the time average of horocycle flows with underlying contact Anosov flow: Does the time average of horocycle flows in variable negative curvature converge to the ergodic mean in polynomial time? The associated transfer operators act boundedly on certain anisotropic Banach spaces by composition of the inverse dynamical system followed by a multiplication with specific weight functions. In our analysis of the beforementioned problems these transfer operators are of central interest. We need to investigate their deeper spectrum to progress on our two problems. By the "deeper spectrum" we mean here the part of the spectrum which lies in between the peripheral and the essential spectrum of these transfer operators