Semiclassical analysis of chaotic oscillation modes in rapidly rotating stars

L'astérosismologie permet d'obtenir des informations sur la structure interne des étoiles par l'étude de leurs pulsations. Parmi les cibles des satellites CoRot, Kepler ou Tess, il y a une part importante d'étoiles en rotation rapide dont le spectre est encore difficile à exploiter. La mauvaise compréhension de la structure du spectre est l'une des raisons de cette difficulté. Les méthodes asymptotiques sont efficaces pour comprendre l'organisation du spectre et la relier aux propriétés physiques de l'étoile. Asymptotiquement, la propagation des rayons acoustiques est décrite par un système Hamiltonien. Si l'étoile est quasi sphérique, la dynamique du système est complètement intégrable. Toutefois, la rotation aplatit l'étoile, ce qui entraîne une transition de la dynamique vers un régime mixte avec à la fois des zones intégrables et des zones chaotiques dans l'espace des phases. Dans cette thèse nous étudions les modes propres d'oscillation associés aux régions chaotiques de l'espace des phases. Les modes chaotiques usuellement étudiés, e.g. dans les billards quantiques ou les cavités optiques, ont un spectre irrégulier qui suit une distribution statistique prédite par la théorie des matrices aléatoires. Les étoiles se distinguent de ces systèmes par le fait que le milieux stellaire est fortement inhomogène. En particulier la vitesse du son est plus faible en surface de plusieurs ordres de grandeurs par rapport au cœur. Ainsi, le temps de parcours entre deux rebonds est approximativement le même pour tous les rayons acoustiques. En utilisant les outils du chaos quantique, nous montrons que cet effet provoque un espacement régulier des fréquences dans le spectre des modes chaotiques, que l'on peut relier à une moyenne de la vitesse du son dans l'intérieur stellaire. Ce résultat permet de mieux comprendre la structure asymptotique du spectre des modes de pression dans les étoiles en rotation rapide.Asteroseismology provides information on the internal structure of stars by studying their pulsations. Among the targets of CoRot, Kepler or Tess satellites, there is an important part of rapidly rotating stars whose spectrum is still difficult to exploit. The poor understanding of the spectrum structure is one of the reasons for this difficulty. Asymptotic methods are effective to understand the organization of the spectrum and relate it to the physical properties of the star. Asymptotically, the propagation of acoustic rays is described by a Hamiltonian system. If the star is almost spherical, the dynamics of the system is completely integrable. However, the rotation flattens the star, resulting in a transition of the dynamics to a mixed regime with both integrable zones and chaotic zones in the phase space. In this thesis we study the oscillation modes associated with chaotic regions of phase space. The chaotic modes usually studied, e.g. in quantum billiards or optical cavities, have an irregular spectrum which follows a statistical distribution predicted by Random Matrix Theory. Stars differ from these systems by the fact that the stellar medium is highly inhomogeneous. In particular the sound speed is smaller near the surface by several orders of magnitude compared to the core. Thus, the travel time between two rebounds is approximately the same for all acoustic rays. Using the tools of quantum chaos, we show that this effect causes a regular spacing of frequencies in the spectrum of chaotic modes, which can be linked to an average sound speed in the stellar interior. This result provides a better understanding of the asymptotic structure of the spectrum of p-modes in rapid rotators