Fluctuations in the flat phase of crystalline membranes

Cette thèse porte sur l'étude des propriétés mécaniques des membranes cristallines, matériaux bidimensionnels comportant un réseau périodique d'atomes ou de molécules à l'échelle microscopique qui leur confère des propriétés élastiques. Il s'agit de l'un des rares exemples de systèmes bidimensionnels possédant une phase ordonnée stable à grande distance en présence de fluctuations thermiques. Dans celle-ci, les vecteurs normaux à la surface engendrée par la membrane sont fortement corrélés, d'où son nom de phase plate. Ce manuscrit présente une étude des propriétés de la phase plate à l'aide de méthodes du groupe de renormalisation, inspirées notamment du formalisme de l'action effective moyenne. Tout d'abord, en étudiant la structure de la théorie de perturbations au-delà de l'ordre le plus bas, nous confirmons le bien fondé du schéma d'approximation de l'action effective moyenne utilisé dans la suite et exhibons les pathologies du développement perturbatif. Puis, nous montrons comment le flot de renormalisation non-perturbatif permet de calculer les différentes propriétés thermodynamiques des membranes cristallines, et d'établir leur diagramme des phases complet dans l'espace (volume, contrainte appliquée, température). Nous améliorons ensuite le modèle utilisé pour tenir compte des fluctuations quantiques grâce auxquelles le régime de basse température peut être décrit. Enfin, nous examinons l'effet de la présence d'impuretés dans le matériau. En particulier, nous prédisons l'existence d'une nouvelle transition de phase en présence de désordre qui pourrait expliquer les observations expérimentales dans ces systèmes.This works deals with the mechanical properties of crystalline membranes, which are two-dimensional materials with an underlying periodic lattice at the microscopic scale which provides them with elastic properties. It is one of the scarce examples of two-dimensional systems possessing a stable ordered phase at large distance in the presence of thermal fluctuations. In that phase, the vectors normal to the surface generated by the membrane are strongly correlated; it is thus called the flat phase. This manuscript presents a study of the properties of the flat phase with help of renormalisation group tools, and in particular the effective average action formalism. First, by studying the perturbation theory beyond lowest order, we confirm the stability of our effective average action ansatz used in the following, and unveil some pathologies of the perturbative development. Then we show how the non-perturbative renormalisation group flow can be used to compute various thermodynamic properties of crystalline membranes and draw their complete phase diagram in the space (volume, applied stress, temperature). Afterwards, we improve our model to account for the effect of quantum fluctuations, which allows to describe the low temperature regime. Finally, we examine the consequences of the presence of various defects in the material. In particular, we describe a new disorder driven phase transition which seems to be in good qualitative agreement with experimental observations