Aproksimacije kvadratnih svojstvenih problema i primjene na optimizaciju prigušenja

In this thesis we study the parameter dependent Hermitian quadratic eigenvalue problem (PEQP) given by \((\lambda^2(\mathbf p) M(\mathbf p)+\lambda(\mathbf p) C(\mathbf p) +K(\mathbf p)) x(\mathbf p)=0\), where \(\mathbf p \in \mathbb R^m\) is a vector of parameters. Through this thesis matrices \(M(\mathbf p),\, C(\mathbf p),\, K(\mathbf p)\in \mathbb R^n\) arise from corresponding (vibrational) mechanical system represented by \(M(\mathbf p)\ddot q(\mathbf p;t)+ C(\mathbf p)\dot q(\mathbf p;t)+K(\mathbf p) q(\mathbf p;t)=0\) and represent mass, damping, and stiffness, respectively. Usually matrices \(M(\mathbf p)\), \(K(\mathbf p)\) are Hermitian positive definite and \(C(\mathbf p)\) is Hermitian positive semidefinite matrix. After a brief introduction and problem formulation we give three approximation approaches for efficient computation of eigenpairs. These approaches preserve structure and allow computation of eigenpairs, for different sets of parameters, that is computationally efficient and at the same time they provide satisfactory relative accuracy. The first approach is based on dimension reduction, the second on first order approximation, while the third one uses modified Rayleigh quotient iterations for structured damping matrices. For the first and the third approach we need to linearize PQEP. Within the first approach we distinguish two very important cases. In the first case we consider efficient approximation for eigenvalues for the selected part of the undamped spectrum. In the second case, we consider efficient approximation of all eigenvalues. The first order approximation considered in second approach is based on Taylor’s theorem and it is efficient for eigenvalue computation when the change in parameter is small enough. In the third approach we provide an efficient method of eigenvalue computation of the diagonal-plus-rank-one matrices (DPR1), and show how one can apply this method on corresponding linearized eigenvalue problem, by exploiting the structure of the damping matrix. Numerical experiments confirm efficiency and accuracy of these approaches. Further on, we use obtained first order approximation bounds for efficient estimations of the gap functions that appear in different perturbation bounds for the quadratic eigenvalue problem. These estimations of the gap functions are based on removing perturbed quantities from them. Accuracy and efficiency of these estimations are given in numerical examples. Last we focus on damping optimization. Two different optimization criteria are considered: minimization of total average energy, and frequency isolation, which will determine the damping matrix which ensures vibration decay is as fast as possible. While dealing with the minimization of total average energy we provide an approximation of the solution of the structured Lyapunov equation, which can be efficiently computed. Frequency isolation is eigenvalue based criterion so we use obtained eigenvalue approximations to determine the optimal damping, while the areas from which we isolate the frequencies are ellipses with centers on the imaginary axis. Both approaches are illustrated on numerical examples.Kvadratni svojstveni problem se pojavio već u 30-tim godinama 20. stoljeća kada su Frazer, Duncan i Collar istraživali vibracije zakrilca u zračnim letjelicama te zajedno objavili knjigu [33], a Taussky i Lancaster su ga prvi riješili za male dimenzije [95], [44]. Osim u aerodinamici, kvadratni svojstveni problem ima brojne primjene u proučavanju dinamike mehaničkih sustava, kao što su na primjer zgrade i mostovi. Pješački Milenijski most u Londonu zatvoren je samo 2 dana nakon što je pušten u promet, zbog prejakog podrhtavanja. Podrhtavanje je posljedica rezonancije, odnosno nestabilnosti sustava do koje je došlo zato što su frekvencije sustava pod utjecajem vanjske sile, koja je djelovala na sustav (ljudi koji su hodali po mostu), bile vrlo blizu prirodnim frekvencijama sustava. Vibracije vrlo često nisu poželjne, jer u slučaju rezonancije može doći do urušavanja. Veza između kvadratnog svojstvenog problema i problema izbjegavanja rezonancije sustava je u tome što su prirodne frekvencije sustava i frekvencije sustava pod utjecajem vanjske sile rješenja kvadratnog svojstvenog problema. Prigušenje je utjecaj na vibracijski sustav koji kao posljedicu ima ublažavanje, ograničavanje ili onemogućavanje vibracija. Prilagođavanjem viskoznosti prigušenja možemo promijeniti prirodne frekvencije sustava te na taj način izbjeći opasne vibracije, tj. možemo izbjeći frekvencije mogućih vanjskih podražaja, tj. sila koje djeluju na sustav, kao što su frekvencije kretanja pješaka po mostu, frekvencije vjetra ili potresa. Ovisno o primjeni mogu se koristiti različiti kriteriji pri optimiazciji prigušenja, kao što su minimizacija ukupne energije sustava, minimizacija amplitude vibracija u sustavu, izolacija opasnih frekvencija, itd. U ovoj radnji proučavat će se parametarski ovisan hermitski kvadratni svojstveni problem (PQEP) koji opisuje navedene mehaničke sustave, a dan je s \((\lambda^2(\mathbf p) M(\mathbf p)+\lambda(\mathbf p) C(\mathbf p)+K(\mathbf p))x(\mathbf p)=0\), pri čemu je \(\mathbf p \in \mathbb R^m\) vektor parametara. Kroz radnju će se proučavati vibracijski mehanički sustav zadan diferencijalnom jednadžbom drugog reda: \(M(\mathbf p)\ddot q(\mathbf p;t)+ C(\mathbf p)\dot q(\mathbf p;t)+K(\mathbf p) q(\mathbf p;t)=0\), pri čemu matrice \(M(\mathbf p), C(\mathbf p), K(\mathbf p)\) redom predstavljaju masu, prigušenje i krutost, \(q(\mathbf p;t)\) je stanje sustava, a \(\mathbf p\) je parametar o kojem sustav ovisi. Ukoliko se parametar nalazi samo u matrici \(C(\mathbf p)\) tada on najčešće sadrži viskoznosti prigušivača. Vrlo često su matrice \(M(\mathbf p)\), \(K(\mathbf p)\) hermitske pozitivno definite, a \(C(\mathbf p)\) je hermitska pozitivno semidefinitna. Matricu prigušenja možemo modelirati na više različitih načina. Najčešće je zadajemo kao sumu unutarnjeg i vanjskog prigušenja, tj. \(C(\mathbf p)=C_\mathrm{int}+C_\mathrm{ext}(\mathbf p)\), pri čemu matrica vanjskog prigušenja ovisi o viskoznostima i pozicijama prigušivača. Matrica unutarnjeg prigušenja se može modelirati na različite načine, ali najčešće je modeliramo kao mali postotak kritičnog prigušenja, koje je zadano s \(C_\mathrm{crit}=2 M^{\frac 1 2}\sqrt{ M^{-\frac 1 2}K M^{-\frac 1 2}} M^{\frac 1 2}\). Nakon kratkog uvoda i formulacije problema navodimo tri različita aproksimacijska pristupa za efikasno računanje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora, koje čuvaju strukturu matrica sustava. Istovremeno navedeni aproksimacijski pristupi pružaju zadovoljavajuću relativnu točnost. Prvi pristup je baziran na redukciji dimenzije, drugi na aproksimaciji prvog reda, a treći pristup koristi modificiranu verziju iteracija Rayleighjevog kvocjenta za slučaj kada je matrica prigušenja strukturirana. Za prvi i treći pristup trebamo linearizirati PQEP. U navedenoj linearizaciji koristimo istovremenu dijagonalizaciju matrica \(M\) i \(K\). Prvi pristup baziran je na idejama iz radova [12] i [13], te razlikujemo dva slučaja. U prvom slučaju proučavamo efikasnu aproksimaciju svojstvenih vrijednosti za izabrani dio neprigušenog spektra, dok u drugom slučaju proučavamo efikasnu aproksimaciju svih svojstvenih vrijednosti. Aproksimacija prvog reda koje koristimo u drugom aproksimacijom pristupu bazirana je na Taylorovom teoremu i vrlo je efikasna za računanje svojstvenih vrijednosti u slučaju kada imamo malu promjenu u parametru. Slične aproksimacije prvog reda koriste se u perturbacijskoj teoriji, npr. [14]. Jedina razlika je što se perturbacija ne vrši u parametru, kao u našem slučaju, nego u samim matricama sustava. Treći pristup baziran je na radu [47], gdje autori predlažu modificiranu verziju iteracija Rayleighjevog kvocjenta kao efikasanu metodu računanja svojstvenih vrijednosti matrica koje su oblika: dijagonala plus matrica ranga jedan (DPR1). Pristup iz [47] svodi se na par iteracija standardnog Rayleighjevog kvocijenta te nakon toga se provodi modificirana verzija, dok se pristup opisan u Sekciji 2.3 bazira na prilagodbi duljine koraka u modificiranoj verziji iteracija Rayleighjevog kvocijenta. Također prikazujemo kako se ova metoda može primijeniti na odgovarajući linearizirani svojstveni problem iskorištavanjem strukture matrice prigušenja. Numerički primjeri potvrđuju efikasnost i točnost navedenih pristupa. Nadalje, u Poglavlju 3 primjenjujemo aproksimacije prvog reda u perturbacijskoj teoriji kvadratnog svojstvenog problema, točnije koristimo aproksimacije prvog reda kako bismo procijenili približnu vrijednost gap funkcija koje se pojavljuju u brojnim perturbacijskom ocjenama. Ove procjene gap funkcija baziraju se na uklanjanju perturbiranih vrijednosti iz ocjene, jer želimo ocjene koje se mogu računati bez potrebe za poznavanjem perturbiranih vrijednosti. Gap funkcije koje ćemo približno procijenjivati se nalaze u perturbacijskom ocjenama iz radova [102] i [101], koje su prikazane u Sekciji 3.2.3. Točnost i efikasnost ovih približnih vrijednosti perturbacijskih ocjena su prikazane u numeričkim primjerima. Nadalje, u Poglavlju 4 glavni fokus je na optimizaciji prigušenja pri čemu razmatramo dva različita optimizacijska kriterija koja će odrediti matricu prigušenja tako da se vibracije u sustavu primire što je prije moguće. Prvi kriterij je minimizacija ukupne prosiječne energije sustava koji povezujemo s minimizacijom traga rješenja pripadne Ljapunovljeve jednadžbe. S obzirom da optimizacija prigušenja uz navedeni kriterij zahtijeva rješavanje Ljapunovljeve jednadžbe za svaku promjenu u parametru, vrlo je bitno doći do rješenja na efikasan način. U Sekciji 4.1.1 dajemo efikasnu aproksimaciju traga rješenja Ljapunovljeve jednadžbe za slučaj kada je sustav blizu modalno priušenom sustavu, čime izbjegnemo rješavanje same jednadžbe. Drugi razmatrani kriterij je izolacija frekvencija. Cilj izolacije frekvencija je optimizacija viskoznosti u sustavu tako da su svojstvene vrijednosti uklonjene iz opasnog područja, pri čemu opasnim područjem smatramo područje koje je blizu opasne frekvencije. Promatrat ćemo elipse s centrom na imaginarnoj osi, u opasnoj frekvenciji, kao opasno područje. Izolacija frekvencija je proučavana u [49], [32] i [69]. U [49], autori proučavaju strukture koje vibiraju na niskim frekvencijama, dok u [32], autori predlažu metodu baziranu na inverznom problemu, tj. unaprijed je zadan spektar koji želim dostići, a koji je daleko od opasnih frekvencija. Izolacija frekvencija je kriterij baziran na svojstvenim vrijednostima stoga ćemo u njemu koristiti aproksimacije svojstvenih vrijednosti prikazane u Sekciji 2.3. Oba kriterija su ilustrirana u numeričkim primjerima