Interpolering mellan bilder med hjälp av optimal massetransport

Optimal mass transport (OMT) is an optimization problem that obtains the way to move mass, or values, from one function to another, in the most efficient way, or at the lowest cost. This technique is used in various fields, e.g. computer vision, machine learning and economics. Transforming an image to a matrix containing values corresponding to the images gray scale, enables OMT so that it can be used in the transformation between two images. For images normal by today’s standard the problems becomes too large to be pratically solvable. This paper presents a method using Monge-Kantorovich theory to formulate the problem, then further studies the Sinkhorn-Knopp algorithm to make it solvable for larger scale images. Using only Monge-Kantorovich theory to solve the problem leads to n^2 variables, where n is the number of pixels in the images transformed, implementing the Sinkhorn-Knopp algorithm decreases the number of variables to 2n. Optimal massetransport är ett problem inom optimeringslära där man införskaffar ett sätt att förflytta massa, eller värden, från en plats till en annan på ett mest möjlig optimalt sätt, vara sig avstånd eller kostnad. Denna problemlösningsmetoden används inom flera områden, så som datorseende, maskininlärning och ekonomi. Om man bygger en matris där varje värde tillsvarar en bilds pixels värde på en gråskala, är det möjligt att tillämpa optimal massa transport, och på så sätt hitta det effektivaste sättet att konvertera en bild till en annan. En nackdel med denna metoden är att tillämpning på bilder efter dagens standard lätt blir för stora till att lösas direkt. I detta arbetet presenteras en metod som använder sig av Monge och Kantorovich’s formulering av problemet och Sinkhorn-Klopp algoritmen till att approximera en lösning för stor-skaliga problem. Att enbart använda sig av Monge-Kantorovich formuleringen av problemet leder till n^2 obekanta variabler, var n tillsvarar antallet pikslar i bilden man beaktar. Med hjälpa av Sinkhorn-Klopp algoritmen reduserar man antalet obekanta variabler till 2n