La Lógica en la formación de maestros: ¿necesaria? ¿suficiente?

La presente tesis se enmarca en la problemática general del estudio de las nociones paramatemáticas y protomatemáticas, que son aquéllas que constituyen un obstáculo para la adquisición de conocimientos matemáticos (Chevallard, 1985; Brousseau, 1986). Concretamente, este trabajo gira en torno al estudio del razonamiento en la relación didáctica, retomando así las investigaciones ya realizadas por Orús y otros investigadores en el marco de la Teoría de las Situaciones Didácticas (Orús, 1992). Los resultados de estas investigaciones muestran que los razonamientos lógicos, propios de la actividad matemática y que son solicitados por los profesores, no son reconocidos por los estudiantes; ellos razonan según sus propias reglas, las reglas del pensamiento natural. De esta forma, el razonamiento lógico se revela como un conocimiento necesario para los estudiantes y el pensamiento natural como un obstáculo para su aprendizaje. Así la gestión de los razonamientos en la escolaridad obligatoria se manifiesta como un problema de contrato didáctico que el enseñante, dado su carácter paradójico, no puede resolver. Estos autores defienden que el razonamiento lógico es un requisito para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, pero no se considera un objeto de enseñanza. Orús propone como posible solución una ingeniería didáctica que permite distinguir y representar en un mismo medio adidáctico ambos tipos de razonamiento. Se trata de unas actividades que deben ser realizadas a partir de una tabla de datos binarios. Este instrumento, la tabla, sirve como medio de referencia para el alumno y como medio de negociación didáctica sobre su razonamiento espontáneo para el docente, haciéndole un lugar en la enseñanza. Las experimentaciones realizadas con este instrumento prueba su carácter fenomenotécnico, descubriendo el tipo de dificultades que aparecen y que puede ayudar a resolver. La utilización del cuestionario como instrumento fenomenotécnico, también ha sido utilizado para mostrar las dificultades lógicas que presentan los estudiantes de educación secundaria (Pitarch, 2002) y de bachillerato (Zamora et al., 2009). Estos resultados han sido punto de partida en nuestra investigación. Si el sistema de enseñanza, en general, y la enseñanza de las matemáticas, en particular, no se hacen cargo de las dificultades de naturaleza lógica, se plantea como hipótesis que estas dificultades persistirán en niveles educativos superiores, así como en los niveles universitarios; en ellos se encuentran los estudiantes futuros maestros, que a su vez van a tener que gestionar los razonamientos en situación escolar. Identificar y describir los conocimientos lógicos de alumnos del Grado de Maestro, es uno de los objetivos de nuestro trabajo. Para ello utilizaremos varios instrumentos metodológicos para abordarlos: un cuestionario basado en unas tablas de datos binarios, instrumento de diagnóstico semejante al utilizado en los trabajos precedentes; el análisis a priori de dicho cuestionario, para identificar los conocimientos lógico-matemáticos que exigen las respuestas al cuestionario; la ingeniería didáctica para la elaboración de una situación didáctica de corrección colectiva del cuestionario, que permita la devolución a los alumnos de dicha corrección, permitiendo explicitar los razonamientos y validaciones de las respuestas individuales de los alumnos al cuestionario; y por último, la experimentación y observación de dicha ingeniería. La tesis consta de una parte teórica, que recoge las principales ideas que fundamentan una parte importante de nuestro trabajo, y una parte experimental basada en la obtención de información que complementa la búsqueda de respuestas a nuestra hipótesis de partida. En la primera parte, se analiza el objeto “razonamiento” y las diferentes relaciones que pueden tener los sujetos con dicho objeto en el Sistema de Enseñanza, bajo el enfoque epistemológico de la Didáctica de las Matemáticas. Las modelizaciones del sistema de enseñanza y de la relación didáctica de la Teoría de las situaciones didácticas (TSD) y de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) han permitido la identificación de la problemática: la necesidad de los conocimientos lógicos para la formación de maestros. En la segunda parte, se muestra que, a pesar de la necesidad de los conocimientos lógicos en la formación de maestros, los estudiantes en estos niveles educativos aún presentan carencias de naturaleza lógica. La implementación de la situación didáctica diseñada en el marco metodológico de la Ingeniería Didáctica va a permitir la observación de los razonamientos de los estudiantes, mostrando al mismo tiempo las posibilidades que la situación fundamental utilizada nos ofrece, para actuar sobre la formación lógica de estos estudiantes, movilizando conocimientos lógicos como: proposición lógica, predicado, atribución del valor de verdad de un predicado, conjunción, disyunción, implicación lógica y su contrarrecíproca, contraejemplo, cuantificador universal, reglas de inferencia, etc