UNIVERSITA¨TS-BIBLIOTHEKHEIDELBERGHeidelberger Texte zurMathematikgeschichteVorlesungen u¨ber Geschichte der MathematikvonMoritz CantorAusgewa¨hlte Kapitel der letzten Auflageund die”Kleinen Bemerkungen“ Gustaf Enestro¨msaus”Bibliotheca Mathematica“zusammengestellt vonGabriele Do¨rflingerUniversita¨tsbibliothek Heidelberg2017http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/23698InhaltsverzeichnisVorwort 3Moritz Cantor: Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik . . . . . . . . . . . 3Kleine Bemerkungen zu Cantors ”Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik“ 3Zu dieser Publikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Ausgewa¨hlte Kapitel 61 Einleitung 6— Kleine Bemerkungen zur Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 XIV. Die Zeit von 1550 – 1600 1867. Geschichte der Mathematik. Classikerausgaben. Geometrie.Mechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19— Kleine Bemerkungen zum Kapitel 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3868. Fortsetzung der Geometrie und Mechanik. Cyclometrie undTrigonometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44— Kleine Bemerkungen zum Kapitel 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7169. Rechenkunst und Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80— Kleine Bemerkungen zum Kapitel 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103 Der Priorita¨tsstreit zwischen Newton und Leibniz 13094. Der Priorita¨tsstreit zwischen Newton und Leibniz bis April 1712. . . . . . . 131— Kleine Bemerkungen zum Kapitel 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14695. Der Priorita¨tsstreit seit April 1712. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149— Kleine Bemerkungen zum Kapitel 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Anhang 182A Rezension von G. Enestro¨m zum 1. Band der Vorlesungen 182B Rezension von G. Enestro¨m zum 2. Band der Vorlesungen 184C Rezension von G. Enestro¨m zum 3. Band der Vorlesungen 187D Korrespondenz Enestro¨m – Cantor zur ”Hodie-Frage“ 1902VorwortMoritz Cantor:Vorlesungen u¨ber Geschichte der MathematikMoritz Cantor publizierte von 1880 bis 1898 drei Ba¨nde seiner Vorlesungen u¨ber dieGeschichte der Mathematik, die die Zeitspanne von der Ur- und Fru¨hzeit bis 1758 behan-deln. In Anbetracht seines fortgeschrittenen Alters schrieb er vom 1908 erschienenen viertenBand, der sich mit der Zeit von 1759 bis 1799 bescha¨ftigt, lediglich den U¨bersichtsartikelselbst; fu¨r die anderen Kapitel konnte er eine Autorengruppe gewinnen. Jeder Band entha¨ltmehr als 900 Seiten.Kleine Bemerkungen zu Cantors”Vorlesungen u¨ber Ge-schichte der Mathematik“Ab 1900 erscheint die dritte Folge der Bibliotheca mathematica in erweitertem Umfang.Der Herausgeber Gustaf Enestro¨m richtet in ihr eine Rubrik mit dem Titel Kleine Be-merkungen zur zweiten Auf lage von Cantors ”Vorlesungen zur Geschichte der Mathema-tik“ ein. In ihr sollen Erga¨nzungen und Korrekturen zu Cantors Opus gesammelt werden.Enestro¨m schreibt in seinem Leitartikel Ziele und Aufgaben:”Die Bibliotheca Mathematica soll aber nicht ausschließlich dazu bestimmtsein, den Verfassern von Gesamtdarstellungen Material zu bieten, sondern siesoll u¨berhaupt das Interesse fu¨r die Geschichte der mathematischen Wissen-schaften wecken und wach erhalten. Mit Bezug hierauf wird sie auch kleinereMitteilungen vero¨ffentlichen, um dadurch dem Inhalt der einzelnen Hefte so vielAbwechselung als mo¨glich zu geben. Solche kleinere Mitteilungen ko¨nnen ja oftfu¨r die Ausarbeitung ausfu¨hrlicher Monographien ho¨chst wertvoll sein; so z. B.hat Herr A. von Braunmu¨hl fu¨r seine Vorlesungen u¨ber Geschichte der Trigo-nometrie eine ganze Menge kleiner Notizen verwertet, die von anderen Verfas-sern vero¨ffentlicht worden sind, fu¨r welche ihm die Quellen aus sprachlichen oderanderen Gru¨nden unzuga¨nglich waren. Zuweilen ko¨nnen auch Bemerkungen, dienur wenige Zeilen umfassen, von Interesse sein, besonders wenn sie Angaben all-gemein benutzter Arbeiten berichtigen oder wesentlich erga¨nzen, und aus die-sem Grunde wird die Redaktion in jedem Hefte der Bibliotheca Mathematicaeine Abteilung mit dem Titel: ”Kleine Bemerkungen zur letzten Auflage vonCantors Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik“ einfu¨hren; in dieserAbteilung werden die Bemerkungen nach den Seitenzahlen der betreffenden34Stellen der Vorlesungen geordnet sein, und durch Verweisungen wird dafu¨r ge-sorgt werden, daß der Leser eines Heftes alle in den vorangehenden Heften ein-gefu¨hrte Bemerkungen zu einer gewissen Stelle unmittelbar auffinden kann.“1Bis zum Erlo¨schen der Zeitschrift 1914 erschienen diese Bemerkungen in jedem Heft.Die Bemerkungen beziehen sich ausschließlich auf die drei von Cantor selbst verfasstenBa¨nde der Vorlesungen. Von den 118 Kapiteln dieser Ba¨nde bleiben nur die sechs Kapitel4. Griechen: Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett28.–30. Inder und51. Nicolaus Cusanus (online: http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/19824)unkommentiert.Am Anfang beteiligten sich neben Enestro¨m ca. 15 Autoren an den Bemerkungen. ImLaufe der Zeit wurden die Beitra¨ge anderer Autoren immer seltener und Enestro¨m schriebfast alle Bemerkungen selbst. Insgesamt wurden ca. 1500 Anmerkungen zu den 2700 Seitender Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik publiziert. Dies ist im Durchschnitteine Bemerkung zu knapp zwei Seiten Text. Falls alle Bemerkungen Fehlerhinweise wa¨ren,erga¨be sich eine erschreckende Bilanz. Glu¨cklicherweise beinhaltet ein erheblicher Teil derBemerkungen Erga¨nzungen und die monierten Fehler sind in der Regel geringfu¨gig.Zu dieser PublikationDurch das von Enestro¨m gewa¨hlte Verweisungsverfahren der Kleinen Bemerkungenko¨nnen ausgehend vom letzten Band der Bibliotheca Mathematica sa¨mtliche Kommen-tare zu einer beliebigen Passage des Cantor’schen Textes ermittelt werden; allerdingsmu¨ssen in der Regel mehrere Hefte der Bibliotheca Mathematica konsultiert werden.Eine engere Verknu¨pfung der Vorlesungen mit den Kleinen Bemerkungen wird in die-ser Publikation pra¨sentiert, indem ausgewa¨hlten Kapiteln der Cantor’schen Vorlesungendie Kleinen Bemerkungen direkt zugeordnet werden. Hierzu werden die kommentiertenTextpassagen durch rote Buchstaben in eckigen Klammern am Seitenrand gekennzeichnetund die Bemerkungen mit ihren Kennbuchstaben jeweils nach dem Kapitel gedruckt. DieBemerkungen werden mit der Fundstelle in Bibliotheca Mathematica und — soweit dortangegeben — mit dem Verfassernamen abgeschlossen. Mehrere Bemerkungen zur gleichenTextpassage werden durch eine Horizontallinie getrennt.Zur Orientierung werden die Originalseitenza¨hlungen der jeweils letzten Ausgabe amRand in runden Klammern angegeben.1Gustaf Enestro¨m: Ziele und Aufgaben. In: Bibliotheca mathematica, 3. Folge, Band 1 (1900), S. 5–6Ausgewa¨hlte Kapitel5Band 1EinleitungQuelle:Cantor, Moritz: Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik. – Leipzig : TeubnerBand 1. Von den a¨ltesten Zeiten bis zum Jahre 1200 n. Chr. — 3. Aufl. — 1907.S. 1 – 16Signatur UB Heidelberg: L 84-6::1(3)6Einleitung 7Anfa¨nge der Mathematik(3)La¨ngst war der Erdball so weit erkaltet, daß auf der festgewordenen Oberfla¨che Organismensich entwickeln konnten. In Zeitra¨umen, deren jeder weitaus die Spanne u¨bertrifft, welchewir mit dem stolzen Namen der Geschichte belegen — als ob nur durch den Menschenetwas geschehen ko¨nnte! — hatten neue und neue Arten lebender Wesen sich abgelo¨st.Jetzt erschien der Mensch, ausgezeichnet durch Entwicklungsfa¨higkeit vor allen anderenGescho¨pfen, hilflos wie keines in das Leben tretend, ma¨chtig wie keines auf dem Gipfelseiner Ausbildung.Der einzelne Mensch liefert nur das verkleinerte Bild des Menschengeschlechtes. DieEntwicklung des Menschengeistes hat in den, Vo¨lker genannten, Gesamtheiten stattgefun-den, und ihre aufeinanderfolgenden Stufen zu vergleichen ist von spannender Anziehung.Eines du¨rfen wir freililch bei der Anerkennung der Aehnlichkeit der Entwicklung desEinzelmenschen mit der des Menschengeschlechtes nicht außer Augen lassen. Das Kind lerntvom Tage seiner Geburt an durch Menschen. Das Menschengeschlecht begann damit, vonniedrigeren Gescho¨pfen lernen zu mu¨ssen. Werden doch wohl Tiere sein Vorbild gewesensein, aus deren Beispiel er entnahm, wie man den Durst, den Hunger stille, wie man inHo¨hlen Schutz suche vor der Unbill der Witterung, wie man zur Wehr sich setze gegenfeindlichen Angriff. Aber der Mensch war schwa¨cheren Ko¨rpers als seine Lehrmeister. Ihmwar nicht eine dichtere Behaarung wa¨hrend der ka¨lteren Jahreszeiten gegeben. Er konntenicht mit Ha¨nden und Za¨hnen des Ba¨ren oder der Hya¨ne Herr werden, denen er, die ihm denAufenthalt streitig machten. Und seine Schwa¨che wurde seine Sta¨rke. Er mußte denken! Ermußte erfinden, wenn er leben wollte. Er mußte von der ihm a¨ußerlich gebotenen Erfahrungweiter schreiten. Das Tier fu¨hrte ihn zum Baume der Erkenntnis, die Frucht desselbenpflu¨ckte er selbst.Mit dem Gedanken war das Bedu¨rfnis der Mitteilung desselben erwacht, die Spracheentstand. Der Mensch lernte den Menschen verstehen, nicht nur in dem Sinne wie dasTier das Tier versteht, nicht nur, wo es den Ausdruck besonders starker Empfindungendurch Tonbildung galt, sondern wo bestimmte Ereignisse oder gar Begriffe zur Kenntnis (4)des anderen gebracht werden sollten. Freilich begann die Sprachbildung nicht erst, als dieBegriffsbildung abgeschlossen war. Ist doch erstere wie letztere bis auf den heutigen Tagnoch im Flusse. Die beiden Ta¨tigkeiten gingen offenbar nebeneinander einher, und selbstBegriffe, welche einer und derselben Gedankenreihe entstammen, sind mit ihrer lautlichenVersinnlichung als zu verschiedenen Zeiten entstanden zu denken. Fu¨r das Sprachlichean dieser Behauptung ist es nicht schwer den Beweis zu fu¨hren, auch nur unter Zuziehungsolcher Wo¨rter, die dem Mathematiker von a¨ltester und hervorragendster Wichtigkeit sind;wir meinen die Zahlwo¨rter.Za¨hlen, insofern damit nur das bewußte Zusammenfassen bestimmter Einzelwesengemeint ist, bildet, wie scharfsinnig hervorgehoben worden ist1, keine menschliche Ei-gentu¨mlichkeit; auch die Ente za¨hlt ihre Jungen. Diesem niedersten Standpunkte ziemlichnahe bleibt das, was von einem su¨dafrikanischen Stamme berichtet wird2, daß wa¨hrend1H. Hankel, Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter. Leipzig 1874. S. 7. Wirzitieren dieses Buch ku¨nftig immer als Hankel. Einen ganz a¨hnlichen Gedanken hat (nach Kaestner,Geschichte der Mathematik I, 242) auch schon Pietro Bongo (oder Bungus) in seinem Werke Numerorummysteria (1599, II. Auflage 1618) ausgesprochen.2Pott, Die quina¨re und vigesimale Za¨hlmethode bei Vo¨lkern aller Welttheile, Halle 1847. S. 17. DiesesBuch zitieren wir in der ganzen Einleitung als Pott I, wa¨hrend Pott II die Schrift desselben Verfas-8 Band 1wenige weiter za¨hlen ko¨nnen als zehn, dessenungeachtet ihre Vorstellung von der Gro¨ßeeiner Herde Vieh so bestimmt ist, daß nicht ein Stu¨ck daran fehlen darf, ohne daß siees sogleich merkten. ”Wenn Herden von 400 bis 500 Rindern zu Hause getrieben werden,sieht der Besitzer sie hereinkommen und weiß bestimmt ob einige fehlen, wieviel und sogarwelche. Wahrscheinlich haben sie eine Art zu za¨hlen, bei welcher sie keine Worte brauchenund wovon sie nicht Rechenschaft zu geben wissen, oder ihr Geda¨chtnis erlangt fu¨r dieseneinzelnen Gegenstand durch die U¨bung eine so ungemeine Sta¨rke.“ Ohne nach so fernenGegenden unseren Blick zu richten, ko¨nnen wir a¨hnliche Erfahrungen ta¨glich an ganz klei-nen Kindern machen, welche sofort wissen, wenn von Dominosteinen etwa, mit denen sie zuspielen gewohnt sind, ein einzelner fehlt, wa¨hrend sie sich und anderen u¨ber die Anzahl ih-rer Steine noch nicht Rechenschaft zu geben wissen. Sie kennen eben die Einzel-Individuenals einzelne, nicht als Teile einer Gesamtheit, und ihr Geda¨chtnis ist fu¨r die Erinnerung(5)an Angeschautes um so treuer, je weniger andere Eindru¨cke es zu bewahren hat. In derSprache dru¨ckt sich diese Individualisierung nicht selten dadurch aus, daß dieselbe Anzahlje nach den geza¨hlten Dingen einen anderen Namen fu¨hrt, wie es bei manchen ozeani-schen Vo¨lkersta¨mmen, aber auch fu¨r Sammelwo¨rter im Deutschen vorkommt, wenn manvon einem Koppel Hunde oder, wenn deren mehrere sind, von einer Meute Hunde, voneiner Herde Schafe, von einem Rudel Hirsche, von einer Flucht Tauben, von einer KetteFeldhu¨hner, von einem Zug Schnepfen, von einem Schwarm Bienen zu reden pflegt3.Das eigentliche Za¨hlen, das menschliche Za¨hlen, wenn man so sagen darf, setzt voraus,daß die Gegensta¨nde als solche gleichgu¨ltig geworden sind, daß nur das getrennte Vorhan-densein unterschiedener Dinge begriﬄich erfaßt, dann sprachlich bezeichnet werden soll.Es liegt darin bereits eine keineswegs unbedeutende A¨ußerung der Fa¨higkeit zu verallge-meinern, zugleich auch eine ihrer fru¨hesten A¨ußerungen, denn die Zahlwo¨rter geho¨ren zuden a¨ltesten Teilen des menschlichen Sprachschatzes. In ihnen lassen sich oft noch A¨hn-lichkeiten, mithin Beweise alter Stammesgemeinschaft spa¨ter getrennter Vo¨lker auffinden,wa¨hrend kaum andere Wo¨rter auf die gleiche Zeit eines gemeinsamen Ursprunges zuru¨ck-deuten. Und was war nun der urspru¨ngliche Sinn dieser a¨ltesten, der Entstehungszeit wiedem Inhalte nach ersten Zahlwo¨rter? Die Annahme hat gewiß viel fu¨r sich, daß sie anfa¨ng-lich nicht Zahlen, sondern ganz bestimmte Gegensta¨nde bedeuteten, sei es nun, daß manvon der eigenen, von der angeredeten, von der besprochenen Perso¨nlichkeit, also von denWo¨rtern: ich, du, er ausging, um aus ihnen den Urklang fu¨r: eins, zwei, drei zu gewinnen4,sei es, daß man von Gliedmaßen seines Ko¨rpers deren Anzahl entnahm5: ”Es war demMenschen ohne Zweifel ein eben so interessantes Bewußtsein fu¨nf Finger als zwei Ha¨ndeoder zwei Augen zu haben; und das Interesse an dieser Kenntnis, welche einmal einerEntdeckung bedurfte, war ihm die Scho¨pfung eines zu deren Za¨hlung eigens verwendbarenAusdruckes wohl wert; von hier aus mag der Gebrauch auf andere zu za¨hlende Dinge u¨bert-ragen worden, sein, zuna¨chst auf solche, bei denen es auffallen mochte, daß sie in ebensogroßer Zahl vorhanden waren, als die Hand Finger hat.“ Wir; wiederholen es, solche An-nahmen haben viel fu¨r sich, sie tragen ihre beste Empfehlung in sich selbst, aber leiderauch ihre einzige. Die Sprachforschung hat nicht vermocht deren Besta¨tigung zu liefern,oder vielmehr jeder, der mit der Deutung der Zahlwo¨rter sich befaßte, hat aus ihnen die-(6)sers: Pott, Die Sprachverschiedenheit in Europa an den Zahlwo¨rtern nachgewiesen, sowie die quina¨re undvigesimale Za¨hlmethode. Halle 1868, bedeuten soll.3Pott I, S. 126.4Pott I, S. 119.5L. Geiger, Ursprung und Entwickelung der menschlichen Sprache und Vernunft. 1868. Bd. I, S. 319.Einleitung 9jenigen Zusammenha¨nge zu erkennen gewußt, welche seiner Annahme entsprachen, lautervollgelungene Beweise, wenn man den einen ho¨rt, sich gegenseitig vernichtend, wenn manbei mehreren sich Rat holt, und dieser mehreren sind obendrein recht viele. Sind demnachdie eigentlichen Fachma¨nner u¨ber Ursprung der a¨ltesten einfachen Zahlwo¨rter im Hader,so mu¨ssen wir um so mehr darauf verzichten, auf die noch keineswegs erledigten Fragenhier einzugehen. Einige Sicherheit tritt erst bei Besprechung der abgeleiteten, also ju¨ngerenZahlwo¨rter hervor.Es ist leicht begreiflich, daß auch die regste Einbildungskraft, das sta¨rkste Geda¨chtnises nicht vermochten, fu¨r alle aufeinander folgenden Zahlen immer neue Wo¨rter zu bilden,zu behalten. Man mußte mit Notwendigkeit sehr bald zu gewissen Zusammensetzungenschreiten, welchen die Entstehungsweise einer Zahl aus anderen zugrunde liegt, welche unsaber damit auch schon einen unumsto¨ßlichen Beweis fu¨r die hochwichtige Tatsache liefern:daß zur Zeit, als die meisten Zahlwo¨rter erfunden wurden, der Mensch von dem einfachstenZa¨hlen bereits zum Rechnen vorgeschritten war.Das a¨lteste Rechnen du¨rfte durch ein gewisses Anordnen vermittelt worden sein, sei esder Gegensta¨nde selbst, denen zuliebe man die Rechnung anstellte, sei es anderer leich-ter zu handhabender Dinge. Kleine Steinchen, kleine Muscheln ko¨nnen die Vertretungu¨bernommen haben, wie sie es noch heute bei manchen Vo¨lkerschaften tun, und dieseMarken, diese Rechenpfennige wu¨rde man heute sagen, werden in kleinere oder gro¨ßereHa¨ufchen gebracht, in Reihen gelegt das Zusammenza¨hlen ebenso wie das Teilen einer ge-gebenen Menge wesentlich erleichtert haben. So lange man es nur mit kleinen Zahlen zutun hatte, trug man sogar das leichteste Versinnlichungsmittel stets bei sich: die Fingerder Ha¨nde, die Zehen der Fu¨ße. Man reichte freilich unmittelbar damit nicht weit, undVo¨lkerschaften des su¨dlichen Afrika zeigen uns gegenwa¨rtig noch, wie genossenschaftli-ches Zusammenwirken die Schwierigkeit besiegt, mit nur zehn Fingern gro¨ßere Anzahlensich zu versinnlichen6: ”Beim Aufza¨hlen, wenn es u¨ber Hundert geht, mu¨ssen in der Re-gel immer drei Mann zusammen diese schwere Arbeit verrichten. Einer za¨hlt dann an denFingern, welche er einen nach dem andern aufhebt und damit den zu za¨hlenden Gegen-stand andeutet oder womo¨glich beru¨hrt, die Einheiten. Der zweite hebt seine Finger auf(immer mit dem kleinen Finger der linken Hand beginnend und fortlaufend bis (7)zum kleinen Finger der Rechten) fu¨r die Zehner, so wie sie voll werden. Der drittefiguriert fu¨r die Hunderte.“Die hierbei festgehaltene Ordnung der Finger mag man nun erkla¨ren wollen, wie esauch sei7, sie findet statt und wird uns im Verlaufe der Untersuchungen als Grundlage dessogen. Fingerrechnens noch mehr als einmal begegnen. Sie wird sogar abwechselnd mitder entgegengesetzten Ordnung benutzt, um einem einzelnen zu ermo¨glichen beliebig vieleGegensta¨nde abzuza¨hlen. Ist na¨mlich mit dem kleinen Finger der rechten Hand die Zehnerfu¨llt worden, so beginnt mit eben demselben allein aufgehoben die na¨chste Zehnzahl, umdieses Mal nach links sich fortzusetzen, d. h. der kleine Finger der linken Hand vollendetdie Zwanzig und wird zugleich auch wieder Anfang der na¨chsten Zehnzahl usf. Natu¨rlichmuß bei dieser Zahlenangabe, wenn es nicht um ein allma¨hliches Entstehen, sondern umein einmaliges Ausdru¨cken einer Zahl sich handelt, besonders angedeutet werden, daß undwie oft Zehn vollendet wurde, was etwa so geschehen kann wie bei den Zulukaffern8, die in6Schrumpf in der Zeitschrift der deutschen morgenla¨ndischen Gesellschaft XVI, 463.7Pott II, S. 46, aber auch S. 31 und 42.8Pott II, S. 47.10 Band 1solchem Falle beide Ha¨nde mit ausgestreckten Fingern wiederholt zusammenschlagen.Es ist wohl zu beachten, daß diese letztere Methode der Versinnlichung einer Zahl, ein-facher insoweit als sie nur die Ha¨nde eines einzigen bescha¨ftigt, begriﬄich weit unter jeneranderen Methode steht, die unmittelbar vorher gekennzeichnet wurde und drei oder garnoch mehrere Darsteller einer Zahl erfordert. Der einzelne kommt durch die Zehnzahl dermenschlichen Finger allerdings dazu, die Gruppe Zehn als eine besonders hervortretendezu erkennen, aber wie oft diese Gruppe selbst auch erzeugt werde, jede Neuerzeugung istfu¨r ihn der anderen ebenbu¨rtig. Ganz anders bei der Methode stufenma¨ßiger Darstellungdurch mehrere Personen. Wie der Erste so hat der Zweite, der Dritte nur je zehn Finger,und so erscheint die Gruppierung von zehn Einern zwar zuna¨chst, aber in gleicher Weiseauch die von zehn Zehnern, von zehn Hundertern. Das scheinbar umsta¨ndlichere Verfahrenfu¨hrt zu dem einfacheren Gedanken, zum Zahlensystem. Wenn von einem Schriftsteller9darauf hingewiesen worden ist, daß die Wiederholung der Zehnzahl bis zu 10 mal 10 sichbei Erfu¨llung der na¨chsten 10 ebensowohl zu 11 mal 10 als zu 10 mal 10 und 10, in Wortenebensowohl zu elfzig als zu hundertzehn fortsetzen konnte, und daß es ein besonders glu¨ckli-cher Griff war, der fast allen Vo¨lkern der Erde gelang, soweit ihre Fassungskraft u¨berhaupt(8)bis zum Bewußtwerden bestimmter, ho¨herer Zahlen ausreicht, gerade die Wahl zu treffen,welche dem Zahlensystem seine Grundlage gab; so ist diese feine Bemerkung vielleicht da-hin zu erga¨nzen, daß auf eine der hier ero¨rterten nahestehende Weise jene glu¨ckliche Wahleingeleitet worden sein mag.U¨ber die Grundzahlen solcher Zahlensysteme werden wir sogleich noch reden. Fu¨rserste halten wir daran fest, daß Zahlensysteme eine allgemein menschliche Erfindung dar-stellen, in allen bekannt gewordenen Sprachen zu einer Grundlage der Bildung von baldmehr bald weniger Zahlwo¨rtern benutzt, indem ho¨here Zahlen durch Vervielfa¨ltigung vonniedrigeren zusammengesetzt werden und bei Benennung der Zwischenzahlen auch Hin-zufu¨gungen noch notwendig erscheinen. Multiplikation und Addition sind also zweiRechnungsverfahren so alt wie die Bildung der Zahlwo¨rter.Das Zahlensystem, welches wir in seinem Entstehen uns zu vergegenwa¨rtigen suchten,wurde, sofern es auf der Grundzahl Zehn fußte, zum Dezimalsystem, heute wie unseremZifferrechnen so auch in unseren Maßen, Gewichten, Mu¨nzen fast der ganzen gebildetenErdbevo¨lkerung unentbehrlich. Wir haben als wahrscheinlich erkannt, daß es nach derZahl der Finger sich bildete, aber eben vermo¨ge dieses Ursprunges war es nicht das alleinmo¨gliche. Wie man sa¨mtliche Finger durchza¨hlen konnte, um eine Einheit ho¨heren Rangeszu gewinnen, so konnte man Halt machen nach den Fingern nur einer Hand, man konnteneben den Fingern der Ha¨nde die Zehen der Fu¨ße benutzen. In dem einen Falle blieb manbeim Quinarsysteme, in dem anderen ging man zum Vigesimalsystem u¨ber.Ein strenges Quinarsystem wu¨rde, wie leicht ersichtlich, 5 mal 5 oder 25, 5 mal 5 mal5 oder 125 usw. als Einheiten ho¨heren Ranges na¨chst der 5 selbst besitzen mu¨ssen, welchedurch einfache oder auch zusammengesetzte Namen bezeichnet mit den Namen der Zahlen1, 2, 3, 4 sich vereinigen, um so alle zwischenliegende Zahlen zu benennen. Ein solchesstrenges Quinarsystem gibt es nicht10. Dagegen gibt es Quinarsysteme in beschra¨nkteremSinne des Wortes, wenn zur Benutzung dieses Wortes schon der Umstand als genu¨genderachtet wird, daß die Fu¨nf bei allma¨hlicher Zahlenbildung einen Ruhepunkt gewa¨hre, vondem aus eine weitere Za¨hlung wieder anhebt.9Hankel, S. 10-11.10Pott II, S. 35 und 46 in den Anmerkungen.Einleitung 11Was dementsprechend von einem strengen Vigesimalsysteme zu verlangen ist, leuchtetgleichfalls ein: ein solches muß die Grundzahl 20 durchho¨ren lassen, muß die Einheit ho¨herenRanges 20 mal 20 oder 400, vielleicht auch noch ho¨here Einheiten unter besonderen Namen (9)besitzen. Sprachen, in welchen dieses System maßgebend ist, hat man mehrfach gefunden.Die Mayas in Yukatan11 haben eigene Wo¨rter fu¨r 20, 400, 8000, 160000. Die Azteken inMexiko12 hatten wenigstens besondere Wo¨rter fu¨r 20, 400, 8000 mit der Urbedeutung:das Geza¨hlte, das Haar, der Beutel, wobei auffallend erscheinen mag, daß das Haar eineverha¨ltnisma¨ßig niedrige Zahlenbedeutung hat, wa¨hrend es in karaibischen Sprachen13 weitu¨bereinstimmender mit der Wirklichkeit eine sehr große Zahl auszudru¨cken bestimmt ist.Noch andere Beispiele eines bemerkbaren mehr oder minder durchgefu¨hrten Vigesimalsy-stems hat vornehmlich Pott, dem wir hier fast durchweg folgen, in Fu¨lle gesammelt. Wirerwa¨hnen davon nur als den meisten unserer Leser zweifellos bekannt die U¨berreste ei-nes keltischen Vigesimalsystems in der franzo¨sischen Sprache in Wo¨rtern wie quatrevingts,sixvingts, quinzevingts14. Von da¨nischen U¨berresten eines Systems, in welchem Vielfachevon 20 eine Rolle spielen, ist weiter unten in etwas anderem Zusammenhange die Rede.Den Ursprung der drei Systeme, deren Grundzahlen 5, 10, 20 heißen, haben wir obenin die Finger und Zehen des Menschen verlegt. Auch dafu¨r sind sprachliche Ankla¨ngevorhanden. Zwischen den Wo¨rtern fu¨r 5 und fu¨r Hand ist in manchen Sprachen vo¨lligeGleichheit, in anderen nahe Verwandtschaft15. Alsdann darf man aber wohl annehmen, daßes fru¨her wu¨nschenswert war die Glieder des eigenen Ko¨rpers zu benennen, als Zahlwo¨rterzu bilden, daß also 5 von Hand abgeleitet wurde, nicht umgekehrt. Das Wort fu¨r 10 heißt inder Korasprache16 (einem amerikanischen Idiome) so viel wie Darreichung der Ha¨nde, unddaß ein und dasselbe Wort 20 und Mensch bedeutet kommt mehrfach vor17. Ob freilich,wie manche wollen, auch das deutsche zehn mit den Zehen, das lateinische decem mit digitiin Verbindung gebracht werden darf, daru¨ber gehen die Meinungen weit auseinander, undPott, unser Gewa¨hrsmann, steht auf der Seite der Verneinenden. Jedenfalls ist aber schondurch die erwa¨hnten Beispiele ein innerer Zusammenhang der drei genannten Systemeuntereinander und mit den menschlichen Extremita¨ten hinla¨nglich unterstu¨tzt. Gibt esnun Sprachen, in welchen auch andere Grundzahlen als 5, 10 oder 20 sich nachweisenlassen? (10)Wenn man gesagt hat18, daß kein Volk auf der ganzen Erde je von einer anderen Grund-zahl, als einer der genannten aus, sein Zahlensystem mit einiger Konsequenz ausgebildethabe, so ist dieser Ausspruch entschieden allzu verneinend, selbst wenn man einen beson-deren Nachdruck auf das Wort Konsequenz legt, dem gegenu¨ber die Frage erhoben werdenmo¨chte, wo denn folgerichtige Anwendung des Quinarsystems sich finde?Allerdings hat man einige Gattungen von Zahlensystemen nur mit Unrecht nachwei-sen zu ko¨nnen geglaubt. Falsch war es, wenn Leibniz bei den Chinesen ein Binarsystem11Pott I, S. 93.12Pott I, S. 97-98.13Pott II, S. 68.14Pott I, S. 88.15Pott I, S. 27 flgg. und S. 128 flgg. fu¨hrt Beispiele aus ozeanischen Sprachen, aus dem Sanskrit unddem Hebra¨ischen an, wenn er auch den letzteren gegenu¨ber die von Benary und Ewald herru¨hren, sichziemlich skeptisch verha¨lt.16Pott I, S. 90.17Pott I, S. 92.18Hankel, S. 19.12 Band 1annahm19. Falsch scheint Kohl den Osseten im Kaukasus ein Oktodezimalsystem zuge-schrieben zu haben20. Dagegen sind andere Angaben doch zu wohl beglaubigt, um sie ohneweiteres leugnen oder totschweigen zu du¨rfen. Die Neuseela¨nder mit ihrem merkwu¨rdigenUndezimalsysteme21, welches besondere Wo¨rter fu¨r 11, fu¨r 11 mal 11 oder 121, fu¨r 11 mal11 mal 11 oder 1331 besitzt, welches 12 durch 11 mit l, 13 durch 11 mit 2, 22 durch 2 mal11, 33 durch 3 mal 11 usw. ausdru¨ckt, lassen sich nicht vornehm beiseite schieben. Ob derZeitraum von 110 Jahren, nach welchen, wie Horaz im 21. und 22. Verse seines Carmensaeculare berichtet, die ro¨mische Erinnerungsfeier wiederkehrte, der man den Namen dersaecularen beilegte, mit einer Vermengung dezimaler und undezimaler Za¨hlweise zusam-menha¨ngt, bleibe dahingestellt. Das Wort triouech oder 3 mal 6 fu¨r 18 in der Sprache derNiederbretagner ist neben dem deunaw oder 2 mal 9 der Welschen22 fu¨r eben dieselbe Zahlnun einmal vorhanden. Die Bolaner oder Buramaner an der Westku¨ste Afrikas23 lassen,wenn sie 6 und 1 fu¨r 7, wenn sie 2 mal 6 fu¨r 12, wenn sie 4 mal 6 fu¨r 24 sagen, die Grund-zahl 6 gleichfalls durchho¨ren. Einige assyrische Zahlwo¨rter (7 und 8), auf welche wir im 1.Kapitel zuru¨ckkommen werden, zeigen dieselbe Abha¨ngigkeit von 6. Und wenn der Altfrie-se 120 mit dem Worte tolftich benannte24, so ist das sogar ein Hinweis darauf, daß auchdas vorhin als menschlichem Geiste im allgemeinen fremdverpo¨nte elfzig seine Analogienbesitzt, ist es zugleich ein Beispiel fu¨r ein eigentu¨mlich gemischtes System mit Dezimal-und Duodezimalstufen wie Skandinaven und Angelsachsen es teilweise besaßen25, wie eineverha¨ltnisma¨ßig spa¨tere Wissenschaft es in Babylon einbu¨rgerte, von wo es als Sexagesi-malsystem das astronomische Rechnen aller Vo¨lker durch Jahrhunderte beherrscht. Die(11)Vermengung dezimalen und duodezimalen Za¨hlens ko¨nnte auch als Stu¨tze der Mo¨glichkeitdienen, welche oben fu¨r dezimale und undezimale Zahlen beansprucht wurde.Das Vorhandensein von Zahlensystemen; deren Grundzahl nicht 5 oder Vielfaches von5 ist, du¨rfte damit nachgewiesen sein. Aber allerdings bilden dieselben nur Ausnahmenvon seltenem vereinzeltem Vorkommen. Auch eine andere Gattung von Ausnahmen ge-gen fru¨her Erwa¨hntes mu¨ssen wir kurz beru¨hren. Wir haben hervorgehoben, daß die Zwi-schenzahlen zwischen den Einheiten aufeinanderfolgenden Ranges multiplikativ und additivgebildet werden; wir haben daraus auf das hohe Alter dieser Rechnungsverfahren geschlos-sen. Es gibt nun Sprachen, welche die Bildung der Zahlwo¨rter auf Subtraktionen undDivisionen stu¨tzen, wodurch das hohe Alter auch dieser Rechnungsverfahren wenigstensbei den Vo¨lkern, denen jene Sprachen angeho¨ren, gleichfalls zur Mo¨glichkeit gelangt.Die Subtraktion wird am ha¨ufigsten bezu¨glich der Zahlwo¨rter eins und zwei geu¨bt26.Dieses entspricht z. B. in der lateinischen Sprache durchweg dem Gebrauch bei den Zeh-nern. Man sagt duodeviginti, d. h. 2 von 20 fu¨r 18, ebenso undecentum 1 von 100 fu¨r 99usw. Auch im Griechischen werden 1 und 2 bei den Zehnern zuweilen abgezogen, wozu dasZeitwort διν in seiner transitiven wie in seiner intransitiven Bedeutung als bedu¨rfen undals fehlen angewandt wird. So dru¨ckt man 58 aus durch δυoιν δoντς ξηκoντα = 60welche 2 bedu¨rfen, 49 durch νoς δoντoς piντηκoντα = 50 woran 1 fehlt, und ein verein-19M. Cantor, Mathematische Beitra¨ge zum Kulturleben der Vo¨lker. Halle 1863. S. 48 flgg., auch S. 44.Wir zitieren dieses Buch ku¨nftig immer als: Math. Beitr. Kulturl.20Kohl, Reisen in Su¨drußland. Bd. II, S. 216 und Pott I, S. 81.21Pott I, S. 75 flgg.22Pott II, S. 33.23Pott II, S. 30.24Pott II, S. 38.25Math. Beitr. Kulturl. S. 147.26Math. Beitr. Kulturl. S. 157.Einleitung 13zeltes Vorkommen von 9700 = 10000, welche 300 bedu¨rfen τριακoσιων αpioδoντα µυριαwird aus den Schriften des Thukydides angefu¨hrt27. Auch im Gotischen findet subtrak-tive Bildung von Zahlwo¨rtern statt. In der gemeinsamen Stammsprache, im Sanskrit, istgleichfalls eine Subtraktion mittels des Wortes una (vermindert, weniger) im Gebrauch.Sei es nun, daß das una selbst allein einem Zahlwort vorgesetzt wird, und man im Gedan-ken eka eins hinzuho¨ren muß, z. B. unavingsati, vermindertes 20 statt 19, oder daß daseka wirklich ausgesprochen wird und sich dabei mit una zu ekona zusammensetzt, z. B.ekonaschaschta, um 1 vermindertes 60 statt 59, oder daß andere Zahlen als 1 abgezogenwerden, z. B. pantschonangsatam, um 5 vermindertes 100 statt 95. Ob die babylonischeBenutzung von lal = weniger hierher geho¨rt28 oder als eigentliche Subtraktion aufzufassenist, sei dahingestellt. (12)Am seltensten dient die Division zur sprachlichen Bildung der Zahlwo¨rter. Hier kommenneben den sofort versta¨ndlichen Teilungen: ein viertel Hundert, ein halbes Tausend usw.,namentlich solche Wo¨rter in Betracht, welche eine nicht voll vorhandene Einheit zur Tei-lung bringen. Anderthalb, dritthalb, sechsthalb besagen, daß das Andere, d. h. Zweite, daßdas Dritte, daß das Sechste halb zu nehmen sei, die Existenz des Ersten, der 2, der 5 Vor-hergehenden als selbstverstanden vorausgesetzt. Verwandte Bildungen sind in lateinischerund in griechischer Sprache sesquialter = piιδυτρoς = 11/2, sesquitertius = piιτριτoς = [A]11/3, sesquioctavus = pioγδooς = 11/8 usw. Besonderer Hervorhebung scheint es wert, daßdie da¨nische Sprache in Europa und im fernen Su¨den und Osten die Sprache der Dajackenund Malaien auf den na¨chsten Zwanziger beziehungsweise Zehner u¨bergreift, um ihn ha¨lftigvorweg zu nehmen29. Ein altes Vigesimalsystem in deutlichen Spuren verratend (S. 9) sagtdie da¨nische Sprache nicht bloß tresindstyve oder 3 mal 20 fu¨r 60, firesindstyve oder 4 mal20 fu¨r 80, sondern auch halvtredsindstyve, halvfirdsindstyve fu¨r 50 und 70, d. h. der dritte,der vierte Zwanziger, welcher bei 60, bei 80 voll vorhanden ist, kommt hier nur zur Ha¨lftein Rechnung. Ja man hat sogar halvfemsindstyve oder fu¨nfthalb Zwanziger fu¨r 90, wa¨hrend100 nur durch hundrede und nie durch femsindstyve ausgedru¨ckt wird. Bei den Malaienheißt halb dreißig, halb sechzig es solle von dem letzten, also hier von dem dritten, sechstenZehner nur die Ha¨lfte genommen werden, man meine also 25, 55. Im Alttu¨rkischen wirddas Vorgreifen auf den na¨chsten Zehner noch weiter ausgedehnt30. ”Vier dreißig“ bedeutet”vier von dem dritten Zehner“ also 24. Endlich im A¨thiopischen findet sich ein merkwu¨rdi-ger Ausnahmefall31. Die A¨thiopen besitzen besondere Zeichen fu¨r die Einer, die Zehner,die Hunderter, mittels deren sie die Zwischenzahlen zusammensetzen. Sie schreiben alsoz. B. 59 durch die Zeichen ”fu¨nfzig neun“. Einzig und allein 99 wird anders geschrieben,na¨mlich nicht ”neunzig neun“, sondern ”neunzig hundert“, d. h. also etwa ”ein Neunzigernahe bei Hundert“. Der Grund dieser Ausnahme ist unermittelt.Alle diese Teilungen in sich schließende Ausdru¨cke sind gewiß merkwu¨rdig, eine genaueEinsicht in das Alter der Division verglichen mit dem Alter der Sprachbildung geben sieuns deshalb doch nicht. Es sind eben Wo¨rter mit Zahlenbedeutung, aber es sind nicht dieZahlwo¨rter! Neben ihnen und statt ihrer sind auch andere mo¨glicherweise viel a¨ltere Aus- (13)dru¨cke in Gebrauch und lassen die Entstehungszeit der ju¨ngeren Benennung im dichtestenDunkel. Nicht anders verha¨lt es sich mit den vorerwa¨hnten subtraktiven Bildungen, zu27Pott I, S. 181, Anmerkung.28Reisner in Berl. Akad. Ber. 1896, S. 425–426 mit Berufung auf Tontafeln von Ur.29Pott I, S. 103 und II, S. 88.30J. Marquart, Die Chronologie der alttu¨rkischen Inschriften. Leipzig 1898.31C. Bezold, Kebra Nagast. Mu¨nchen 1905. S. XV, Note 3.14 Band 1welchen als weiteres Beispiel bestimmter Grenzpunkte, auf welche Vorhergehendes ebensowie Folgendes bezogen wird, die Kalenderbezeichnung der Ro¨mer mit ihren Calenden, No-nen und Iden treten mag. Entscheidend dagegen sind die subtraktiven Zahlwo¨rter einigerSprachen, z. B. der Kra¨henindianer in Nordamerika32. Bei ihnen heißen 8 und 9 nie andersals no´pape, ama´tape, d. h. wo¨rtlich 2 davon, 1 davon, und das Wort Zehn, d. h. die Anzahl,von welcher 2, beziehungsweise 1 weggenommen werden sollen, ist als selbstversta¨ndlichweggelassen. Hier kann ein Zweifel kaum walten: die Namen der 8 und 9 sind erst entstan-den, nachdem der Begriff der 10 sich gebildet hatte, nachdem das Rechnungsverfahren derSubtraktion erfunden war. Mit dieser Bemerkung kehren wir zu unserer fru¨heren Behaup-tung zuru¨ck (S. 4), zu deren Begru¨ndung wir die ganze Ero¨rterung u¨ber Zahlwo¨rter undu¨ber die ersten Anfa¨nge des Rechnens gleich hier anknu¨pfen durften. Die Sprache hielt inihrer Entstehung nicht immer gleichen Schritt mit der Entstehung der Begriffe. Das auf-einanderfolgende Za¨hlen wurde unterbrochen durch das Bewußtsein notwendiger ZahlenVerknu¨pfungen, Spru¨nge in der Erfindung der Zahlwo¨rter sind nahezu sicher.Und wieder machte der menschliche Erfindungsgeist einen Schritt vorwa¨rts, einenSchritt, zu welchem er auch nicht die geringste Anregung von außen erhielt, der ganz aus ei-genem Antriebe erfolgend mindestens ebenso sehr wie die ku¨nstliche Entfachung des Feuersals wesentlich menschlich, als keinem anderen Gescho¨pfe mo¨glich anerkannt werden muß:er erfand die Schrift. Bilderschrift, so nimmt man gegenwa¨rtig wohl ziemlich allgemeinan, war die erste, welche dem Spiegel der Rede (wie bei einem Negervolke das Geschriebeneheißt)33 den Ursprung gab. Aber mit Bildern allein kam man nicht aus. Neben wirklichenGegensta¨nden mußten Ta¨tigkeiten, Eigenschaften, Empfindungen dem ku¨nftigen Wissenaufbewahrt werden. Die Notwendigkeit symbolischer oder willku¨rlich eingefu¨hrter Zeichenfu¨r diese nicht gegensta¨ndlichen Begriffe zwang zur Abhilfe. So mu¨ssen Begriffszeichen ent-standen sein, gemeinsam mit den fru¨heren Bildern eine Wortschrift herstellend. Jetzt erst —aber wer weiß in wie langer Zeit? — konnte man dahin gelangen in dem Gesprochenen nichtnur den ganzen Klang, sondern die einzelnen Laute, aus welchen er sich zusammensetzt,zu verstehen, und diese Einzellaute dem Auge zu versinnlichen. Die Silben- und Buchsta-(14)benschrift entstand. Fu¨r die Zahlen behielt man allgemein das Verfahren bei, welches inanderer Beziehung sich u¨berlebt hatte. Inmitten der Silben-, der Buchstabenschrift tretenZahlzeichen, d. h. Wortzeichen auf; und wer ein Freund philosophischen Gru¨belns ist, magdaru¨ber sinnen, warum gerade hier eine Ausnahme sich aufdra¨ngte. Warum hat gerade dasmathematische Denken von jeher durch Wortzeichen, sei es durch Zahlzeichen, sei es durchandere sogenannte mathematische Zeichen, Unterstu¨tzung, Erleichterung und Fo¨rderunggefunden? Wir stellen die Frage, wir wagen nicht sie zu beantworten. Aber die Tatsache, anwelche wir die Frage knu¨pften, steht fest, ebenso wie es feststeht, daß ein Zahlenschreibenin a¨lteste Kulturzeiten hinaufreicht, wo dessen Zeichen inmitten geschichtlicher Inschriftenvorkommen.Die Verschiedenheit der Zahlzeichen ist eine gewaltige. Wir werden in mannigfachen Ka-piteln dieses Bandes von solchen zu reden haben und wu¨nschen nicht vorzugreifen. Aberein Prinzip der Zahlenschreibung hat sich fast u¨berall Bahn gebrochen, dessen Entdeckungdem Scharfsinne Hankels34 um so gro¨ßere Ehre macht, als es trotz seiner großen Einfachheitstets u¨bersehen worden war. Es ist das Gesetz der Gro¨ßenfolge, wie wir, um eine ku¨rze-32Pott II, S. 65.33Pott I, S. 18.34Hankel, S. 32.Einleitung 15re Redeweise zu besitzen, es ku¨nftig nennen wollen, und besteht darin, daß bei allenadditiv vereinigten Zahlen das Mehr stets dem Weniger vorausgeht35. Natu¨rlichist die Richtung der Schrift bei Pru¨fung dieses Gesetzes wohl zu beachten, und wenn beider von links nach rechts gehenden Schrift des Abendlandes der Hauptteil der Zahl linksauftreten muß, so ist die Stellung bei Zahlendarstellungen semitischen Ursprunges entge-gengesetzt, und wieder eine andere, wenn, wie bei den Chinesen, die Schrift in von obennach unten gerichteten Reihen verla¨uft.Die mathematischen Begriffe, bei denen wir in unserer flu¨chtigen Betrachtung derAnfa¨nge menschlicher Kulturentwicklung, Anfa¨nge, welche selbst Jahrtausende in An-spruch genommen haben mo¨gen, zu verweilen Gelegenheit nahmen, geho¨ren sa¨mtlich demeinen Zweige der Gro¨ßenlehre an, welcher u¨ber das Wieviel? der nebeneinander auftreten-den Dinge das Was? derselben vernachla¨ssigt. Es ist aber wohl keinem Zweifel unterworfen,daß neben Kenntnis und einfachster Verbindung der Zahlen einfache astronomische wiegeometrische Begriffe wach geworden sein mu¨ssen. (15)Wir werden der Geschichte der Astronomie grundsa¨tzlich fern, bleiben, um nicht denschon so fu¨r uns fast unbezwingbar sich gestaltenden Gegenstand unserer Darstellung ohneNot zu vergro¨ßern, aber zwei Bemerkungen ko¨nnen wir hier nicht unterdru¨cken. Aufgangund Untergang der Sonne waren gewiß schon in den Zeiten nomadischen Wanderns diebeiden Marksteine, die Zeit und Raum in Grenzen schlossen. Morgen und Abend, Ost undWest waren Begriffepaare, deren Entstehung wohl nicht fru¨h genug angenommen werdenko¨nnen. Und als beim Ansa¨ssigwerden der Vo¨lker die Sonne zwar immer noch ihre Uhr,aber nicht ihren ta¨glichen Wegweiser bildete, nach deren Stande sie sich zu richten pflegten,war das Orientierungsgefu¨hl doch noch geblieben, hatte womo¨glich an Genauigkeit nochzugenommen. Am Su¨dende des Pfa¨ffiker-Sees in der Schweiz, sind Pfahlbauten beobachtetworden, welche genau nach den Himmelsgegenden gerichtet sind36, und jene Bauten rei-chen jenseits der sogenannten Bronzezeit in eine Periode hinauf, welche nach geologischerScha¨tzung etwa 4000 Jahre vor Christi Geburt lag. Wir stellen in keiner Weise in Abrede,daß man bei der Orientierung der Wohnha¨user an praktische Ru¨cksichten, an Besonnung,Wind und Wetter dachte, aber man dachte doch, man u¨bte nicht Zufa¨lliges und Unbeab- [B]sichtigtes. Von a¨hnlichen Orientierungen werden wir verschiedentlich zu reden haben. DieRichtung nach den Himmelsgegenden selbst wird uns niemals als Beweis der U¨bertragungvon Begriffen von einem Volke zum andern gelten du¨rfen. Nur die Ermittlungsweise dieserRichtung wird zum genannten Zweck tauglich erscheinen.Auch geometrische Begriffe, sagten wir, mu¨ssen fru¨hzeitig entstanden sein. Ko¨rper undFiguren mit geradliniger, mit krummliniger Begrenzung mu¨ssen dem Auge des Menschenaufgefallen sein, sobald er anfing nicht bloß zu sehen, sondern um sich zu schauen. Die Zahlder Ecken, in welchen jene Fla¨chen, jene Linien aneinanderstoßen, wird ihm der Bemer-kung wert gewesen sein, wird ihn herausgefordert haben jenen Gebilden Namen zu geben.Vielleicht ist auch in a¨ltesten Zeiten und in gegenseitiger Unabha¨ngigkeit an vielen Ortenzugleich beachtet worden, daß der Arm beim Biegen am Ellenbogen, das Bein beim Biegenam Knie, daß die beiden Beine beim Ausschreiten einen Winkel bilden, und der Namejeder von zwei einen Winkel bildenden Linien als σκλoς bei den Griechen, crus bei denRo¨mern, Schenkel bei den Deutschen, leg bei den Engla¨ndern, jambe bei den Franzosen,35U¨ber Abweichungen von diesem Gesetze vergl. Kapitel 4.36Diese Beobachtung ru¨hrt von Professor Quincke her, der uns freundlichst gestattete, von dieser seinermu¨ndlichen Mitteilung Gebrauch zu machen.16 Band 1baˆhu, d. h. Arm bei den Indern, kou, d. h. Hu¨fte bei den Chinesen, der Zusammenhang(16)γωνoς Winkel mit γoνυ Knie, dieses und a¨hnliches braucht nicht in allen Fa¨llen U¨bertra-gung zu sein. Die genannten modernen Namen werden allerdings kaum anders als durchU¨bersetzung aus dem Lateinischen, wenn nicht aus dem Griechischen entstanden sein, aberdie antiken Wo¨rter ko¨nnen sehr wohl uraltes Ergebnis mehrfacher Selbstbeobachtung sein,uraltes Wissen.Ist nun uraltes Wissen auch uralte Wissenschaft? Muß eine Geschichte der Mathematikso weit zuru¨ckgreifen, als sie noch hoffen darf mathematischen Begriffen zu begegnen?Wir haben unsere Auffassung, unsere Beantwortung dieser Fragen darzulegen geglaubt,indem wir diese Einleitung vorausschickten. Kein Erza¨hler hat das Recht das Brechen, dasZusammentragen der ersten Bausteine, aus welchen Jahrhunderte dann ein stolzes Geba¨udeaufgerichtet haben, ganz unbeachtet zu lassen; aber die Bausteine sind noch nicht dasGeba¨ude. Die Wissenschaft beginnt erza¨hlbar erst dann zu werden, wenn sie Wissenschafts-lehre geworden ist. Erst von diesem Zeitpunkte an kann man hoffen wirkliche U¨berrestevon Regeln und Vorschriften zu finden, welche es erlauben mit einiger Sicherheit und nichtin allem und jedem dem eigenen Gedankenfluge vertrauend Bericht zu erstatten. Mo¨genSchriftsteller fru¨herer Jahrhunderte ihre eigentlichen historisch-mathematischen Untersu-chungen mit der Scho¨pfung begonnen haben den Worten der Schrift folgend: Aber du hastalles geordnet mit Maß, Zahl und Gewicht37. Uns beginnt eine wirkliche Geschichte derMathematik mit dem ersten Schriftdenkmal, welches auf Rechnung und Figurenverglei-chung Bezug hat.37Weisheit Salomos XI, 22.Einleitung 17Kleine Bemerkungen zur Einleitung[A] Le mot piιδυτρoς n’est pas uscite´ en grec, ou` le rapport 11/2 est exclusivementde´signe´ par le terme ηµιoλιoς.BM 1, 265[B] Der Ursprung der Orientierung der Wohnha¨user du¨rfte in praktischen Ru¨cksichtenauf Besonnung, Wind und Wetter zu suchen sein.BM 3, 323 A. Sturm.Anmerkung (G. Do¨rflinger):In der zweiten Auflage hatte Cantor formuliert:Am Su¨dende des Pfa¨ffiker-Sees in der Schweiz, sind Pfahlbauten beobachtetworden, welche genau nach den Himmelsgegenden gerichtet sind, und jeneBauten reichen jenseits der sogenannten Bronzezeit in eine Periode hinauf,welche nach geologischer Scha¨tzung etwa 4000 Jahre vor Christi Geburtlag. Von a¨hnlichen Orientierungen werden wir verschiedentlich zu redenhaben.In der dritten Auflage beru¨cksichtigt er die Kleine Bemerkung von Sturm mit derEinfu¨gung:Wir stellen in keiner Weise in Abrede, daß man bei der Orientierung derWohnha¨user an praktische Ru¨cksichten, an Besonnung, Wind und Wetterdachte, aber man dachte doch, man u¨bte nicht Zufa¨lliges und Unbeabsich-tigtes.Band 2XIV. Die Zeit von 1550 – 1600Quelle:Cantor, Moritz: Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik. – Leipzig : TeubnerBand 2. Von 1200 bis 1668. — 2. Aufl. — 1900.S. 545 – 648Signatur UB Heidelberg: L 84-6::2(2)1867. Kapitel 1967. Kapitel. Geschichte der Mathematik. Classikerausgaben. (545)Geometrie. Mechanik.Die zum Schlusse des vorhergehenden Abschnittes angedeuteten Verha¨ltnisse und die alsFolgen derselben nicht mehr von Volk zu Volk zu trennende Entwickelung der Wissenschaf-ten no¨thigen uns, die seither von uns gebrauchte geographische Eintheilung der einzelnenAbschnitte zu verlassen. Trennt man aber nicht mehr von Volk zu Volk, ist es eben sounmo¨glich die chronologische Trennung von Jahr zu Jahr, oder von Jahrzehnt zu Jahr-zehnt vorzunehmen, weil der Jahrgang des Druckes doch nicht u¨bereinstimmt mit denoft langen Jahren der Vorbereitung, und weil ferner alsdann Dinge verschiedenster Gat-tung neben einander, getrennt dagegen von Verwandtem aufzutreten drohen, so bleibt nuru¨brig, den Stoff nach dem Inhalte der Schriften, welche wir zu nennen haben, zuordnen. Recht mangelhaft ist allerdings auch diese Anordnung. Ein und derselbe Schrift-steller wird nicht selten an verschiedenen Stellen genannt werden mu¨ssen; seine eigene Be-deutung wird mo¨glicherweise dabei nicht in einem richtigen Lichte erscheinen, insbesonderedann, wenn er das erste Mal, dass er auftritt, uns vielleicht seine schwa¨chste Seite zukehrt.Wir hoffen hier dennoch eine Abhilfe treffen zu ko¨nnen dadurch, dass wir den wirklich be-deutenden Mathematikern am Schlusse eine Zusammenfassung widmen. Lebensschicksalederselben in so engen Grenzen, als die Anlage unseres Werkes sie fordert und gestattet,werden berichtet werden, wo der Name zuerst erscheint.Wir beginnen mit solchen Schriftstellern, welche die Geschichte der Mathematikselbst zum Gegenstande ihrer Forschung machten.Petrus Ramus1, mit franzo¨sischem Namen Pierre de la Rame´e (1515–1572), (546)geho¨rte zu den einflussreichsten Schriftstelle seiner Zeit, wozu ihn einestheils Beziehun-gen zu hochgestellten Perso¨nlichkeiten, anderntheils eine ausgesprochen streitbare Geistes-veranlagung machte, welche ihn in den Vordergrund von lebhaften Ka¨mpfen stellte. Mitder These Quaecunque ab Aristotele dicta essent commentitia esse warf Ramus 1536 derganzen, an allen Universita¨ten hochma¨chtigen Aristotelischen Schule den Fehdehandschuhhin. In den Ho¨rsa¨len begann das geistige Ringen, aber an anderen Kampfpla¨tzen undmit anderen als geistigen Waffen setzte es sich fort bis die auf die Nacht des St. Bartho-loma¨us folgende Nacht Ramus dem Dolche der Mo¨rder u¨berlieferte. Bis 1568 lebte Ramusin Frankreich, meistens in Paris. Dann entzog er sich den ihm dort drohenden perso¨nlichenGefahren durch eine mit ko¨niglicher Erlaubniss unternommene Reise nach Deutschland, dieausgesprochenermassen wissenschaftlichen Zwecken dienen sollte; Strassburg, Heidelberg,Frankfurt am Main, Nu¨rnberg, Augsburg, Basel geho¨rten zu den besuchten Sta¨dten. Ue-berall war Ramus im Dienste der von ihm vertretenen Sache tha¨tig, u¨berall knu¨pften sichan seinen Aufenthalt Streitigkeiten an. Im September 1570 kehrte er nach Paris zuru¨ck,welches er nicht wieder verliess. Von den zahlreichen Schriften, welche Ramus verfasste,nennen wir an dieser Stelle nur eine aus 3 Bu¨chern bestehende von 1567, welche der Ko¨ni-gin Katharina von Medicis gewidmet war2 und welche spa¨ter, 1569 und ha¨ufiger, wiederholtgedruckt wurde, als die 3 ersten von 31 Bu¨chern mathematischer Untersuchungen, Scho-lae mathematicae. Diese 3 Bu¨cher stellen eine wirkliche Geschichte der Mathematik dar,1Ch. Waddington: Ramus, sa vie, ses e´crits et ses opinions (Paris 1855). — Cantor in der Zeitschr.Math. Phys.. H, 354–359; III, 133–143; IV, 314–315. — L. Am. Se´dillot, Les professeurs de mathe´matiqueset de physique ge´ne´rale au Colle`ge de France im Bulletino Boncompagni Bd. II und III (1869–1870). UeberRamus vergl. II, 389–418.2P. Rami prooemium mathematicum in tres libros distributum.20 Band 2natu¨rlich in sehr bescheidenen Grenzen vermo¨ge der a¨usserst geringen Mittel, u¨ber welcheman damals noch verfu¨gte, aber doch mit vorwiegender Benutzung solcher Quellen, welcheheute noch als zuverla¨ssige gelten. Beispielsweise hat Ramus offenbar sehr viel u¨ber griechi-sche Mathematik aus Proklos entnommen, dessen Erla¨uterungen zum ersten Buche dereuklidischen Elemente seit 1533, wie wir wissen (S. 406), durch Gryna¨us griechisch her-ausgegeben waren, wa¨hrend eine 1560 erschienene lateinische Uebersetzung weiter untengenannt werden wird. Ramus hat jedenfalls der griechischen Ausgabe sich bedient, da erwiederholt den griechischen Wortlaut anfu¨hrt. Den deutschen Mathematikern hat Ramuseine fast u¨bertriebene Bewunderung gezollt und sie insbesondere seinen Landsleuten alsMuster hingestellt. Andrerseits wendet er sich freilich auch an deutsche Fu¨rsten mit derAufforderung, Professuren der Mathematik an ihren Universita¨ten zu errichten, und schla¨gtz. B. fu¨r Heidelberg ausdru¨cklich Xylander als geeignete Perso¨nlichkeit vor, einen Ge-(547)lehrten, der uns bald bescha¨ftigen wird. Der Inhalt der Geschichte der Mathematik gliedertsich fu¨r Ramus in vier Perioden. Er unterscheidet 1. eine chalda¨ische Periode von Adambis zu Abraham; 2. eine egyptische Periode, beginnend von Abraham, der die Mathe-matik in dieses Land brachte. Beide Perioden zusammen sind auf vier Seiten abgehandelt.3. Die griechische Periode von Thales bis zu Theon von Alexandrien fu¨llt bei Ramus 34Seiten. 4. Die neuere Mathematik werde, hofft Ramus, einen, anderen Bearbeiter finden.[A]Ein zweiter Schriftsteller, welcher auf geschichtliche Untersuchungen sein Augenmerkrichtete, war Bernardino Baldi3 (1553 bis 1617). Er ist in Urbino geboren. Sein Fa-milienname war eigentlich Cantagallina, wa¨hrend der Name Baldi sich von einem Ur-grossvater auf ihn vererbte. Baldi war in neuen und alten Sprachen hochgelehrt; er sprachz. B. franzo¨sisch und deutsch und las gela¨ufig arabisch. In der Mathematik war er Schu¨lerdes Commandinus, von welchem wir noch zu reden haben. Im Jahre 1586 zum Abte vonGuastalla gewa¨hlt, bescha¨ftigte Baldi sich von da an wesentlich mit theologischen und kir-chenrechtlichen Fragen. Seine mathematisch-wissenschaftliche Tha¨tigkeit war aber damitdoch nicht abgeschlossen. Fru¨chte derselben sind eine Cronica de’ Matematici und Vitede’ Matematici aus der Zeit bis 1596. Erstere erschien 1707 in Urbino im Drucke, letzterebefanden sich handschriftlich in der reichen Sammlung des Fu¨rsten Boncompagni in Rom;eine gewisse Anzahl der in ihnen enthaltenen Lebensbeschreibungen ist vero¨ffentlicht4.Leicht hat sich Baldi, welcher zwo¨lf Jahre sammelte, dann zwei Jahre zur eigentlichenNiederschrift verwandte, seine Aufgabe nicht gemacht. Wie schwierig sie aber fu¨r ihn warund blieb, zeigt schon ein Blick in die nach der Zeitfolge geordnete Mathematikerchronik.Jordanus ist ziemlich richtig auf 1250 angesetzt, sein Name aber Hemorarius geschrieben.Leonardo von Pisa dagegen erscheint mit richtigem Namen im. Jahre 1400. So ungewisswar damals die Kenntniss von jenen beiden grossen Ma¨nnern. Baldi hat seine Arbeit bisin die Zeit fortgesetzt, welcher er selbst angeho¨rte. Tartaglia, Ramus, Clavius kommen(548)noch bei ihm vor, Guidobaldo del Monte ist die letzte bei ihm genannte Perso¨nlichkeit.Bei Ramus sind besonders die Scholae mathematicae geru¨hmt, welche also vermuthlichauch als mittelbare Quelle benutzt wurden. Die Vite behandeln meistens a¨ltere Mathe-matiker, hauptsa¨chlich Griechen, dann Araber, doch sind auch spa¨tere Schriftsteller nicht3Affo, Vita di Monsignore Bernardino Baldi da Urbino (1783). — Ka¨stner II, 129–142. — Libri IV,70 – 78.4Bulletino Boncompagni an vielen Stellen, welche in dem Gesammtregister der XX Ba¨nde des Bulletinopag. 731 angegeben sind. Vergl. Bull. Boncamp. Bd. V, XII, XIX, XX. Die Vorrede zu den Vite vergl. IXI,355-357. Auf der letzten Seite die Stelle: Dodici anni ho io pensato nel raccogliere da varij autori la materiadi questa istoria, e quasi in due ho dato forma ehe si vede a l’edifitio.67. Kapitel 21vernachla¨ssigt, Campanus5 z. B., der in der Chronik auf das Jahr 1264 angesetzt ist, inder ausfu¨hrlicheren Lebensbeschreibung dagegen unrichtig auf 1200. Die einzelnen Lebens-beschreibungen sind selbst genau datirt, so die des Campanus vom 13. October 1588. DieChronik du¨rfte also hier die spa¨tere Bearbeitung sein. Um so auffallender ist es, dass dieLebenszeit nicht ihr entsprechend auch in den Vite richtig gestellt wurde. [B]Ein besonderes Kapitel aus der Geschichte der Mathematik hat 1557 und in verbesser-ter Auflage 1569 der bekannte Nu¨rnberger Humanist Joachim Camerarius (1500–1574)bearbeitet, die Lehre von den Zahlzeichen und vom Rechnen6. Der sehr umsta¨ndliche Titelsagt, dass die griechischen und ro¨mischen, sowie die sarracenischen oder indischen Zahlzei-chen beschrieben wu¨rden, auch die Anfa¨nge griechischer Logistik, endlich sei ein Ueberblicku¨ber die Arithmetik des Nikomachus gegeben. Das Bu¨chlein ist auch heute noch lesenswerthund entha¨lt manche scha¨tzbare Einzelheiten.Mattha¨us Hostus7, ein Sprachforscher und Mu¨nzenkundiger (1509–1587), war 53Jahre lang Professor der griechischen Sprache in Frankfurt an der Oder. Er gab 1582 inAntwerpen eine 62 Seiten starke Schrift De numeratione emendata veteribus Latinis etGraecis usitata heraus, welche gleichfalls heute noch lesenswerth ist. [C]Geschichtlichen Arbeiten nahe verwandt sind die Bemu¨hungen der Ma¨nner, wel-che Werke des Alterthums, sei es im Urtexte, sei es in Uebersetzungen, zumersten Male oder neuerdings herausgaben.Wir ha¨tten deren eine grosse Menge zu nennen, wenn wir Vollsta¨ndigkeit anstrebten.Wir begnu¨gen uns damit, die wichtigsten hervorzuheben. Joachim Camerarius, vondem wir erst gesprochen haben, gab 1549 die beweislosen Sa¨tze der sechs ersten Bu¨cherder euklidischen Elemente griechisch und lateinisch heraus. Eine Vorrede dazu schriebRha¨ticus. Spa¨ter wurde 1577 die gleiche Ausgabe noch einmal aufgelegt durch Moritz [D]Steinmetz, sogar 1724 noch einmal durch L. F. Weisse8. Pierre Mondore´9, lateinischPetrus Montaureus, Bibliothekar der ko¨niglichen Bibliothek in Paris, vero¨ffentlichte (549)1551 das zehnte Buch der euklidischen Elemente, spa¨ter beabsichtigte er Weiteres folgen zulassen. Aber sein langes Zuru¨ckhalten brachte den vorbereiteten Schriften den Untergang.In der Bartholoma¨usnacht wurde Mondore´ geto¨dtet, sein Arbeitszimmer geplu¨ndert. DieHandschriften seiner Werke wurden vernichtet.Jean de la Pe`ne10, ein Professor am Colle`ge de France, der, 1528 in Aix geboren, 1556 [E]erstmalig in Folge von Wettbewerb seine Lehranstellung erhielt, aber schon 1558 im Altervon kaum 30 Jahren starb, gab 1557 die Spha¨rik des Theodosius griechisch und lateinisch, [F]im gleichen Jahre auch ebenso die optischen und musikalischen Schriften des Euklid heraus.Dasselbe Jahr 1557 ist das Druckjahr der Ausgabe der euklidischen Elemente durchJacques Peletier oder Peletarius, von welcher wegen der Anmerkungen weiter un-ten zu reden sein wird und 1557 war es auch, dass Pasquier Duhamel († 1565) einenCommentar zu der Sandeszahl des Archimedes herausgab11.Der Zeitfolge wenig voraneilend nennen wir eine franzo¨sische Euklidu¨bersetzung durch5Bulletino Boncompagni XIX, 591–596.6Ka¨stner, I, 134–136,7Cantor, Mathem. Beitr. z. Kulturleb, d. Vo¨lker S. 159, Anmerkung 318.8Ka¨stner I, 345–3489Montucla I, 564.10Montucla I, 564. — Se´dillot im Bulletino Boncompagni II, 391 und 422.11Poggendorff I, 616.22 Band 2Pierre Forcadel12, Buch I bis V seiner Euklidu¨bersetzung erschienen 1564, Buch VIIbis IX sodann 1566. Schon vor der Euklidu¨bersetzung gab Forcadel 1561 eine franzo¨sischeUebersetzung der Arithmetik des Gemma Frisius (S. 411), den er Gemme Phrison nannte,und nachmals 1570 wieder eine franzo¨sische Uebersetzung des Algorithmus demonstratus(S. 63). Forcadel aus Beziers geho¨rte gleich Jean de la Pe`ne zu den Schu¨lern im engeren Sin-ne und zu den Freunden von Ramus, welcher ihm 1560 zur Erlangung der mathematischenProfessur am Colle`ge de France behilflich war, die er bis zu seinem Tode 1573 inne hatte.Forcadel, vielgeru¨hmt und vielgetadelt, lehrte ausschliesslich in franzo¨sischer Sprache, undzwar 1548 in Lyon, seit 1550 in nicht officieller Stellung in Paris. Eine Reise in Italien fa¨lltvor 1561.Schon 1562 war in Deutschland eine deutsche Euklidu¨bersetzung erschienen, welcherwir, sowie einer anderen Uebersetzung aus der Feder des gleichen Gelehrten, uns etwasausfu¨hrlicher zuwenden mu¨ssen. Wilhelm Holzmann, weitaus bekannter unter dem Ge-lehrtennamen Xylander13, ist 1532 in Augsburg als Sohn armer Eltern geboren und 1576(550)als Professor der aristotelischen Logik in Heidelberg gestorben. Diese Stellung nahm er seit[G]1562 ein, nachdem er vorher vier Jahre Professor der griechischen Sprache gewesen war undin dem letzten dieser vier Jahre u¨berdies mathematische Vorlesungen gehalten hatte. Einerseiner wenig beru¨hmten Vorga¨nger in diesem letzteren Fache war Marcus Morsheimer,welchen nur nennen, weil ein 1558 von ihm vero¨ffentlichtes Buch14 das erste zu sein scheint,welches u¨ber Rechnungen des Rechtsverkehrs in den Druck gegeben wurde. Als Xylanderdie logische Professur u¨bertragen wurde, welche in jeder Beziehung ho¨here Anspru¨che be-friedigte, als die untergeordnete mathematische Lehrtha¨tigkeit der damaligen Zeit, wurdefu¨r diese Simon Gryna¨us der Ju¨ngere (1539–1582) mit dem unverha¨ltnissma¨ssig ge-ringen Jahresgehalte von fl. 60 nebst freier Wohnung angestellt, der Sohn eines Vettersjenes a¨lteren Simon Gryna¨us, welcher die erste griechische Euklidausgabe veranstaltet hat-te Wilhelm Xylander also hat schon 1562 von Heidelberg aus eine deutsche Uebersetzungder euklidischen Elemente Buch I bis VI in Basel drucken lassen. Vorangegangen war imDrucke eine 1556 von Augsburg aus veranstaltete Ausgabe der Lehrbegriffe des Psellusin griechischer und lateinischer Sprache, aber die Euklidu¨bersetzung war schon vor die-sem letztgenannten Drucke mindestens begonnen, denn in der Vorrede zum Euklid sagt”M. Wilhelm Holzmann genannt Xylander, Griechischer Professor des Churf. Studiums inHeydelberg“, er habe schon vor sieben Jahren, mithin 1555, die ersten vier Bu¨cher Euklid’saus dem Griechischen ins Deutsche u¨bersetzt und erla¨utert und von seiner Hand geschrie-ben der Augsburger Stadtbeho¨rde u¨bergeben, die auch solches gu¨nstiglich angenommenund in sondern Gnaden gegen ihn erkannt haben. Als erste Bearbeitung in einer leben-den Volkssprache ist Xylander’s Euklid merkwu¨rdig genug und mag in Deutschland durchVerbreitung geometrischen Wissens unter Malern, Goldarbeitern, Baumeistern, fu¨r welcheausgesprochenermassen die Uebersetzung bestimmt ist, also unter demselben Kreise, fu¨rwelchen Albrecht Du¨rer einst schrieb (S. 459), wirksam gewesen sein. Die arithmetischenBu¨cher Euklid’s waren schon etwas fru¨her in deutscher Sprache bekannt. Ihr Herausgeber12Ebenda I, 722. — L. Am. Se´dillot, Les Professeurs de mathe´matique et de physique ge´ne´rale auColle`ge de France im Bulletino Boncompagni II, 424–427. — Fonte`s, Pierre Forcadel, lecteur du Roy esMathe´matiques in den Me´moires de l’Academie des sciences, inscriptions et belles-lettres de Toulouse. 9.Se´rie, T. VI (1894), VII (1895), VIII (1896).13Freher, Theatrum virorum eruditione clarorum pag. 1471. — Ka¨stner I, 184, 279, 348. — Zeitschr.Math. Phys. III, 138–139. — Allgem. Deutsche Biographie XLIV, 582–593 (Artikel von Fr. Scholl).14Disputatio juridica de rebus mathematicis. Basel 155867. Kapitel 23war Johann Scheybl15, lateinisch Scheubelius (1494–1570). Dessen Vero¨ffentlichungvon 1558 fu¨hrt den Titel: Das sibend, acht und neunt Buch des hochberu¨hmbten Mathema-tici Euclidis Megarensis. Der Xylander’sehen Bearbeitung der ersten sechs planimetrischen (551)Bu¨cher sind nicht allzuviele Verdienste nachzuru¨hmen. Die Beweise z. B., von welchen Xy-lander wie seine Vorga¨nger und wie noch viele Nachfolger annahmen, dass sie gar nicht demEuklid angeho¨rten, sondern Zusa¨tze des Theon, des Hypsikles, des Campanus seien, die erunterschiedslos nach einander aufza¨hlt, hat er mitunter weggelassen. ”Mo¨gen auch etwaschwerlich von Ungelehrten begriffen werden, und ein einfa¨ltiger deutscher Liebhaber die-ser Ku¨nste ist wohl zufrieden, so er die Sache versteht, ob er wohl die Demonstration nichtweiss.“ Statt der Beweise mu¨ssen nicht selten Zahlenbeispiele dienen, welche Xylander alsseinen Zwecken entsprechender ansah, und die Beweise und Erkla¨rungen, die er giebt, sindzum Theil u¨beraus kla¨glich. Dass auf wirkliche Schwierigkeiten, wie sie z. B. die Lehre vonden Parallellinien oder von den Beru¨hrungen bietet, nicht mit einer Silbe eingegangen ist,erscheint demnach nur als selbstversta¨ndlich. Ungleich wichtiger ist eine Vero¨ffentlichungXylander’s aus dem Jahre 1575, in welcher er keinerlei Vorga¨nger besass, vielmehr einenungemein schwierigen Schriftsteller des Alterthums fu¨r Europa erstmalig lesbar machte:seine lateinische Diophantu¨bersetzung16. Wohl hatte Regiomontanus (S. 263) Dio-phant’s Arithmetik in Italien gesehen und ihren hohen Werth erkannt, wohl hatte 1572ein Italiener, Bombelli, der uns als algebraischer Schriftsteller wieder begegnen wird, inGemeinschaft mit einem anderen Gelehrten, Pazzi, eine Vaticanhandschrift des Diophantzu u¨bersetzen angefangen und davon sowie von dem nachmaligen Scheitern ihres Unter-nehmens in einer Vorrede von 1572 Mittheilung gemacht17, aber Xylander’s Bemu¨hungenwaren davon ganz unabha¨ngig, und, was die Hauptsache ist, sie waren erfolgreich. Auf ei-ner Reise nach Wittenberg wurde Xylander von dortigen Professoren aul den griechischenArithmetiker aufmerksam gemacht, indem er bei ihnen die Abschrift eines Bruchstu¨ckes zusehen bekam. Ein gewisser Andreas Dudicius Sbardellatus, Gesandter des ro¨mischen Kai-sers am polnischen Hofe, wurde ihm als Besitzer eines vollsta¨ndigen Codex genannt. Andiesen wandte sich Xylander, erhielt ohne Verzug die Handschrift mit der dringenden Er-munterung zur Herausgabe und vollzog die Uebersetzung, welche 1575 in Basel die Presseverliess. Ein griechischer Text war allerdings nicht mit abgedruckt, mancherlei Fehler derUebersetzung sind spa¨ter nachgewiesen worden, allein das Eine wie das Andere findet volle (552)Entschuldigung darin dass d Uebersetzer nur ein einziger Text zur Verfu¨gung stand. StattSplitterrichterei zu u¨ben , sollte man vielmehr das grosse Verdienst Xvlander’s um die Neu-entdeckung des geistreichen Werkes anerkennen, welches alsbald von den hervorragendstenGeistern insbesondere in Frankreich und Belgien studirt wurde und ungeahnte Fru¨chte trug.In der Xylander’schen Diophantu¨bersetzung findet sich auf S. 9 und o¨fter ein Gleichheits-zeichen in Gestalt zweier senkrechten Parallelstriche ‖. Ueber den Ursprung des Zeichensist nichts angegeben Vielleicht war in Xylander’s griechischer Vorlage das Wort iσoι durchzwei ι abgeku¨rzt, wa¨hrend eine Pariser Handschrift bekanntlich ein ι als Abku¨rzungszei-chen dafu¨r benutzt (Bd. I, S. 442). Da die von Xylander benutzte Handschrift mit grosserWahrscheinlichkeit diejenige ist, welche gegenwa¨rtig als Cod. Guelferbytanus Gudianus l inWolfenbu¨ttel aufbewahrt wird18, so mo¨chte es sich lohnen dort einmal nachzusehen. Jeden-15Poggendorff II, 792.16Nesselmann, Algebra der Griechen S. 279–280.17Vergl. S. 4 der paginirten Vorrede Agli Lettori in der Algebra von Rafael Bombelli (Venedig 1572).18P. Tannery im II. Bande seiner in der Bibtiotheca Teubneriana erschienenen Diophantausgabe, Pro-legomena pag. XXVIII–XXIX, Nr. 1124 Band 2falls erkennt man aus Xylander’s Zeichen, dass das von Recorde erfundene damals, also 18Jahre nach dessen Vero¨ffentlichung (S. 479), sich noch nicht verbreitet hatte. Der Diophantist dem Herzoge Ludwig von Wu¨rttemberg zugeeignet. Es wird zwar berichtet, dieser ha-be die Widmung durch ein Geschenk von 500 Thalern beantwortet, doch betrug dasselbein Wahrheit nur 50 Thaler, so dass Xylander, der sich fortwa¨hrend in Geldverlegenheitenbefand, noch in dem gleichen Jahre 1575 oder zu Anfang von 1576 kurz vor seinem Todesich bei der Universita¨tsbeho¨rde um ein Darlehen von 50 Gulden bewarb, gegen welches ersein Silberzeug zu verpfa¨nden sich erbot.Zehn Jahre spa¨ter 1585 gab ein belgischer Mathematiker, der uns mehrfach bescha¨ftigenwird, Simon Stevin19, eine franzo¨sische Bearbeitung der ersten vier Bu¨cher des Diophantheraus.Einer ganz eigenthu¨mlichen Behandlungsweise des VII. Buches der Euklidischen Ele-mente bediente sich 1564 ein gewisser Johannes Sthen20 aus Lu¨neburg. Philomathesund Orthophronius unterhalten sich u¨ber mathematische Dinge, und bei dieser Gelegen-heit werden Erkla¨rungen und Sa¨tze jenes VII. Buches griechisch angefu¨hrt. Die lateinischeUebersetzung und Erla¨uterung folgt jedesmal unmittelbar, aber kein Beweis. Statt des-sen dienen vorzugsweise Zahlenbeispiele. Auch das VIII. und IX. Buch wollte Sthen ina¨hnlicher Weise bearbeiten, doch scheint er nicht dazu gekommen zu sein. Um die glei-(553)che Zeit erschienen 1564 bis 1566 in Strassburg Abdru¨cke und Bearbeitungen der Eukli-dischen Elemente in griechischer und lateinischer Sprache, bei deren ZusammenstellungConrad Dasypodius und Christian Herlinus21 theilweise zusammengewirkt hatten,ersterer in weitesten Kreisen bekannt durch die von ihm erfundene und ausgefu¨hrte, sowie1578 beschriebene kunstreiche Uhr im Strassburger Mu¨nster22. Die von Dasypodius alleinveranstalteten Abdru¨cke enthalten den Euklidischen Text in griechischer und lateinischerSprache neben einander. Die Bearbeitung der sechs ersten Euklidischen Bu¨cher, zu welcherBeide in der Weise sich vereinigten, dass Herlinus Buch I und V, Dasypodius Buch II, III,IV, VI u¨bernahm, lassen alle Folgerungen in der Form schulgerechter Schlu¨sse erscheinen,eine wohl ziemlich zwecklose Ku¨nstelei, welche aber damals anders beurtheilt worden seinmuss, sonst wa¨re nicht 1571 eine neue Auflage mo¨glich gewesen.Als einer der fleissigsten Uebersetzer und Herausgeber, wobei das lobende Beiwort Gel-tung beha¨lt, auch wenn wir den Vergleich auf Herausgeber aller Jahrhunderte ausdehnen,muss Federigo Commandino23 (1509–1575) von Urbino geru¨hmt werden. Schriften desPtolema¨us, des Archimed, des Apollonius, des Euklid, des Aristarch, des Pappus, des Heronhat er u¨bersetzt, und diese Bearbeitungen erschienen in den Jahren 1558 bis 1592, also biszu 17 Jahren nach Commandino’s Tode. Einzelne dieser Uebersetzungen, insbesondere diedes Pappus, sind Jahrhunderte lang die einzigen geblieben, welche u¨berhaupt vorhandenwaren, und sie mussten sogar den Urtext ersetzen, welcher noch nicht gedruckt wordenwar. Neben seiner mathematischen Uebersetzungstha¨tigkeit war Commandino auch Arzt.Ein griechisch zwar schon in Verbindung mit den Euklidischen Elementen durch dena¨lteren Gryna¨us herausgegebener Schriftsteller War Proklus. Seine Uebersetzung stellte19Quetelet pag, 159, Note 1.20Ka¨stner I, 132–134.21Ka¨stner I, 332–334.22Ebenda II, 215–221. — Wilhelm Schmidt, Heron von Alexandrien, Konrad Dasypodius und dieStrassburger astronomische Mu¨nsteruhr. Zeitschr. Math. Phys. XLII. Supplementheft S. 177–194.23Libri III, 118-121.67. Kapitel 25ein venetianischer Edelmann Francesco Barozzi24, lateinisch Barocius (etwa 1538 bisnach 1587) sich als Aufgabe, und diese Uebersetzung erschien 1565. Auch Schriften von [H]Heron hat Barozzi u¨bersetzt, wenngleich diese Uebersetzungen sich wegen des a¨usserstmangelhaften Zustandes des zu Grunde liegenden Textes nicht sehr brauchbar erweisenkonnten.Immer blieb noch Euklid der meistbevorzugte griechische Schriftsteller, wie einige Na-men besta¨tigen, welche wir jetzt zu nennen haben. Da tritt uns der sogenannte Euklid (554)des Candalla gegenu¨ber. Franc¸ois de Foix-Candale25 (etwa 1502–1594) war ausko¨niglichem Blute, wie in Distichen geru¨hmt wird, welche zu Anfang der Euklidausgabe [I]stehen. Er war Bischof im su¨dlichen Frankreich und trieb Mathematik aus innerem Drange.Die Ausgaben der Euklidischen Elemente von Campanus und von Theon — unter letzte-rem Namen ist die von Zamberti verstanden — machten ihn stutzig. Entweder mu¨ssen derVerschiedenheit dieser Ausgaben gema¨ss mehrere Euklide gewesen sein, oder des einzigenSchriftstellers Werk mu¨sse vielfache Vera¨nderung erlitten haben. Dann war aber eine Wie-derherstellung geboten, und dieser Aufgabe unterzog sich Candale oder Flussates, wie seinName (von Foix abgeleitet) sich gleichfalls geschrieben findet. Unter dem Eigenen, welchesCandale bei dieser Bearbeitung bot, nennen wir seine Bemerkung zu Euklid III, 16. DerBeru¨hrungswinkel, sagt er, sei von anderer Art als ein geradliniger, also kein Wunder, dasser kleiner sei als jeder geradlinige und dass es doch unter den Beru¨hrungswinkeln immerkleinere und kleinere gebe. Die Art des Beru¨hrungswinkels sei eben kleiner als die des ge-radlinigen, wie die gro¨sste Mu¨cke kleiner sei als das kleinste Kamel. Candale hielt sich beieiner Bearbeitung von einiger Freiheit fu¨r berechtigt, den Elementen neue Bu¨cher eigenerErfindung u¨ber regelma¨ssige Ko¨rper hinzuzufu¨gen. Der erste Abdruck von 1566 entha¨lt [J]ein solches Zusatzbuch, der zweite von 1578 deren drei. Unter den neuen Ko¨rpern ist einerdurch 6 Quadrate und 8 Dreiecke, ein anderer durch 20 Dreiecke und 12 Fu¨nfecke begrenzt.Exoctaedron und Icosidodecaedron sind die Namen, welche fu¨r jene Ko¨rper vorgeschlagensind.Das Jahr 1570 ist das Druckjahr des ersten englischen Euklid26. Sir Henry Bil-lingsley war der Uebersetzer. Als Gehilfe diente ihm dabei eine ungleich interessanterePerso¨nlichkeit zu welcher wir uns wenden.John Dee27 (1527–1608) verliess England schon mit 21 Jahren. Er lehrte 1549 inLo¨wen, 1550 in Paris. Seine Zuho¨rer, meist a¨lter als er selbst, waren, wie er erza¨hlt, sozahlreich, dass kein geschlossener Raum sie fasste; ein Theil dra¨ngte sich von aussen andie Fenster, um so bestmo¨glich ho¨ren und sehen zu ko¨nnen. Eine Berufung nach Oxford (555)lehnte er 1554 ab. Mit dem Beginne der Regierung von Ko¨nigin Elisabeth, also etwa 1558,trat dagegen Dee in ko¨nigliche Dienste. Im Jahre 1564 begab er sich nach Deutschland zuKaiser Maximilian II., dem er eine Schrift zugeeignet hatte. 1570 erschien Dee in Urbinobei Commandino. Er brachte die Uebersetzung der Euklidischen Schrift von der Theilungder Figuren mit (Bd. I, S. 272), deren arabische Bearbeitung durch Mohammed Bagdadi-nus er um 1563 in der Bibliotheca Cottoniana28 aufgefunden, u¨bersetzt und als euklidisch24Vossius pag. 336.25Ka¨stner I, 313–324. — Poggendorff I, 764 unter dem Namen Flussates. P. Tannery in dem Bulle-tin Darboux XXVIII, 59 (1893) macht darauf aufmerksam, dass die Linie Foix-Candale ihren Namen vonder englischen Grafschaft Kendal entnommen habe, mit welcher ihr Gru¨nder, belehnt worden war.26Ball, History of mathematics at Cambridge pag. 22–23.27Ka¨stner II, 46–47 und I, 272, — Encyclopaedia Britannica (ed. IX) VII, 22. — Ball l.c., pag. 19–2128Von Sir Robert Cotton angelegt, wurde diese Sammlung 1700 Staatseigenthum und befindet sich26 Band 2erkannt hatte, ein Beweis fu¨r Dee’s Sprachkenntnisse wie nicht minder fu¨r sein umfassendesWissen in mathematisch-geschichtlicher Beziehung. Der Druck des Werkchens wurde 1570durch Dee und Commandino gemeinschaftlich veranstaltet und erfolgte 1703 auf’s Neuein der von David Gregory besorgten Gesammtausgabe der Euklidischen Werke. Dee’sWanderleben fu¨hrte ihn auch 1571 nach Lothringen, 1578 wieder nach Deutschland, dazwi-schen wiederholt nach England, 1583 nach Polen und Bo¨hmen, wo er viel mit Alchymie sichbescha¨ftigte und in Folge dessen bei Kaiser Eudolf II. in grosser Gunst stand. Zuletzt lebteer in England in Noth und Zuru¨ckgezogenheit, weil er um einiger mechanischer Kunstwerkewillen, die er angefertigt hatte und in Folge einer sehr auffa¨lligen Tracht, die er anzulegensich gewo¨hnt hatte, fu¨r einen Zauberer gehalten und von Jedermann gemieden wurde.Die lateinische Ausgabe der euklidischen Elemente von Clavius geho¨rt demJahre 1574 an und wurde 1589, 1591, 1603, 1607, 1612 neu aufgelegt. Christoph Clavi-us29, urspru¨nglich Schlu¨ssel, ist 1537 in Bamberg geboren. Er war Mitglied des Jesui-[K]tenordens und lehrte 14 Jahre lang Mathematik in dem Collegium seines Ordens in Rom.Dort starb er 1612. Weiten Kreisen ist er bekannt als einer der Mitarbeiter an dem Werkeder Kalenderverbesserung, zu welchem Papst Gregor XIII. ihn beizog. Die zahlreichenneuen Auflagen, in welchen sein Euklid gedruckt werden musste, beweisen die hohe Aner-kennung, welche dieses Werk fand, und selten ist eine solche Anerkennung in gleich hohemMaasse verdient gewesen. Clavius hat in einem umfang- und inhaltreichen Bande verei-nigt, was die fru¨heren Herausgeber und Erkla¨rer da und dort zerstreut mitgetheilt hatten.Er hat bei dieser Sammlung scharfe Kritik geu¨bt, alte Irrthu¨mer aufgedeckt und vernich-tet. Er ist keiner einzigen Schwierigkeit aus dem Wege gegangen. Er hat vielfach eigene(556)Erla¨uterungsversuche mit Glu¨ck gewagt. Nur wenige Einzelheiten wollen wir hervorheben.Ob wir gleich das Erste, welches wir erwa¨hnen, die Benutzung des Wortes fluere bei derBeschreibung der Entstehung30 von Linien und Oberfla¨chen mittels fliessender Punkte undLinien Clavius zuschreiben du¨rfen, ist bei der grossen Aehnlichkeit seiner Ausdrucksweisemit der von Petru Philomeni von Dacien (S. 91) gebrauchten fast zweifelhaft, Die Paralle-lentheorie sucht Clavius31 auf folgende beide Sa¨tze zu stu¨tzen: 1. Eine Linie, deren einzelnePunkte gleich weit von einer derselben Ebene mit ihr angeho¨renden Geraden abstehen, istgerade. 2. Wenn eine Gerade la¨ngs einer anderen Geraden so hingeschoben wird, dass beidefortwa¨hrend einen rechten Winkel mit einander bilden, so beschreibt auch der andere End-punkt der verschobenen Geraden eine Gerade. Bei Clavius32 du¨rfte als einem der Erstendie jetzt wohl allgemein angenommene Ansicht ausgesprochen sein, dass die Entstehungdes pythagoraeischen Lehrsatzes eine zahlentheoretische von der Gleichung 32 + 42 = 52aus war, und dass erst in zweiter Linie die Verallgemeinerung desselben auf jedes recht-winklige Dreieck stattfand. Der Irrthum, dass Euklid von Megara Verfasser der Elementegewesen sei, wird von Clavius endgu¨ltig abgethan, wa¨hrend, wie wir noch sehen werden,der andere Irrthum, als wenn nur die Lehrsa¨tze von Euklid, die Beweise dagegen von Theonherru¨hrten, bereits 1559 durch Buteo beseitigt war. Unter den Prolegomena genanntenVorbemerkungen findet sich ein Abschnitt u¨ber die Perso¨nlichkeit des Euklid, und in diesemist ausdru¨cklich des Gegensatzes gedacht, welcher zwischen den Berichten des Proklos undgegenwa¨rtig im Britischen Museum in London.29Allgem. deutsche Biographie IV, 298–299, Artikel von Bruhns.30Euclidis Elementa ed. Clavius. Ko¨ln 1591 (III. ed.) pag. 2 und pag, 3.31Ebenda pag. 50–51. Vergl. Sta¨ckel und Engel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis aufGauss (Leipzig 1895) S. 17–18.32Clavius 1. c. pag. 85.67. Kapitel 27des Valerius Maximus obwaltet, und ist die Entscheidung im Sinne des Proklos getroffen:unser Euklid, der so scharfsinnige Geometer, ist ein durchaus Anderer als der Philosophvon Megara33. Davon, dass Euklid die Beweise nicht selbst verfasst haben sollte, ist beiClavius nur so weit die Rede, als er es durchaus verwirft34. Dagegen ist nach den Axiomenund unmittelbar vor dem Satze I, l ausdru¨cklich gesagt35, es seien Unterschiede zwischender theonischen Ueberlieferung, traditio Theonis, und der von Campanus befolgten arabi-schen Ueberlieferung, ordo quem Campanus ex traditione Arabum est secutus, vorhanden,welche man kennen mu¨sse, wenn man nicht durch Verweisungen, welche bald die eine bald (557)die andere Ausgabe beru¨cksichtigen, in Verwirrung gerathen solle. Desshalb ist jeder Satzdes Clavius mit doppelter Bezifferung versehen, einer im Texte fortlaufenden nach Theon,einer Randbezifferung nach Campanus, d. h. also nach den Arabern, und grade die dadurchin leichter Weise ermo¨glichte Vergleichung der einander entsprechenden Ordnungszahlen,welche gestattet, ohne Mu¨he zu erkennen, ob ein mittelalterlicher Schriftsteller nach demarabischen oder nach dem griechischen Euklid seine geometrischen Kenntnisse sich erwor-ben habe, la¨sst die Ausgaben von Clavius noch heute fu¨r geschichtliche Untersuchungendas Beiwort der Unentbehrlichkeit verdienen.Von einer spanischen Uebersetzung36 der 6 ersten Bu¨cher der euklidischen Elemente,welche 1576 in Sevilla gedruckt wurde, ist uns nur der Name des Uebersetzers RodrigoZamorano bekannt.Ein Neapolitaner Giuseppe Auria37 u¨bersetzte auf Grundlage einiger im Vatican be-findlichen Codices geometrisch-astronomische Schriften des Theodosius, welche 1587 und1588 gedruckt wurden. Eine Diophantu¨bersetzung ins Lateinische soll ebenderselbe ange-fertigt haben, u¨ber deren handschriftliches Vorhandensein berichtet wird.Baldi, der gelehrte Abt von Guastalla (S. 547) [S. 20], u¨bersetzte die Automaten desHeron und gab sie 1589 im Drucke heraus. Die Originalhandschrift dieser Uebersetzungist im Besitze Libri’s38, eines Liebhabers solcher Schriftstu¨cke, der sie zu beurtheilenverstand, gewesen. Nach seiner Aussage wa¨re die Ausfu¨hrung der Federzeichnungen zu denFiguren von wunderbarer Vollendung gewesen, wodurch der Bericht an Glaubwu¨rdigkeitgewinnt, dass Baldi ebensoviele Begabung als Neigung zur Malerei besessen habe undnur mit Gewalt von seinen Lehrern abgehalten worden sei, sich der Kunst zu widmen39.Auch Heron’s Schrift u¨ber Wurfgeschosse hat Baldi u¨bersetzt, doch fand diese erst 1616Vero¨ffentlichung40.Ein. fu¨r die damalige Zeit hochmerkwu¨rdiges Druckwerk ist die arabische Bearbeitungder euklidischen Elemente von Nas.ˆıir Eddˆın (Bd. I, S. 735), welche 1594 in Rom erschien41.Es wird berichtet, dass Baldi grade dieses Buch mit Vorliebe in den Nachmittagsstundengelesen habe42.Als letzten Uebersetzer von Schriften des Alterthums nennen wir einen Mann, der seinerLebenszeit nach schon wesentlich fru¨her ha¨tte erwa¨hnt werden mu¨ssen, und dessen Bear- (558)33Itaque Euclides noster, Geometra acutissimus, ab illo Megareo Philosopho longe alius est.34Clavius 1. c. II, pag. 191.35Ebenda I, pag. 19.36Ka¨stner I, 263.37Montucla I, 564. — Diophant u¨bersetzt von Otto Schulz (Berlin 1822), Vorbericht S. XLII–XL1II.38Libri IV, 72.39Ebenda IV, 70.40Ebenda IV, 77, Note 1.41Ka¨stner I, 367 flgg.42Libri IV, 7528 Band 2beitungen eine ganze Anzahl anderweitiger Bemu¨hungen u¨berflu¨ssig gemacht ha¨tten wennsie rechtzeitig zum Drucke gegeben worden wa¨ren. Francesco Maurolico43 (1494–1575)von Messina war wie Keiner befa¨higt gerade solchen Arbeiten sich zu widmen. Sein Vater,ein byzantinischer Arzt, war vor den Tu¨rken fliehend nach Sicilien gekommen und unterr-richtete selbst den hoffnungsvollen Sohn in Naturwissenschaften und Astronomie sowie inder griechischen Sprache, die u¨berdies in Sicilien keineswegs ausgestorben war. Frances-co Maurolico, mit latinisirtem Namen Maurolycus, auch wohl Maroli genannt, wurdeGeistlicher, seine wissenschaftliche Tha¨tigkeit aber griff nach allen Fa¨chern u¨ber Die blos-sen Titel der von ihm theils vollendeten, theils geplanten Werke fu¨llen ganze Seiten. DieStadt Messina ernannte ihn zu ihrem Geschichtsschreiber. Physikalische und besondersmeteorologische Beobachtungen, welche er anstellte, gaben ihm unter den Physikern einenehrenvollen Platz. Dabei fand er noch Zeit, die Festungsbauten von Messina bei ihrer Her-stellung zu u¨berwachen, schrieb er zahlreiche , handschriftlich vorhandene und in unsererZeit gedruckte mathematische Abhandlungen. Fu¨r’s Erste haben wir es nur mit seinen Ue-bersetzungen zu thun. Nur ein Sammelband ist 1558 bei Maurolico’s Lebzeiten erschienen.Seinen Inhalt bilden die Spha¨rik des Theodosius, die des Menelaus, eine eben solche vonMaurolico selbst, das Buch des Autolykus von der bewegten Kugel, Theodosins u¨ber diebewohnte Erde, die Phaenomena des Euklid. Nur seltene Exemplare dieses Bandes habensich erhalten44. Noch im XVI. Jahrhunderte, aber erst nach dem Tode des Uebersetzers,[L]erschienen 1591 die euklidischen Phaenomena abermals. Die beiden wichtigsten Ueberset-zungen blieben dagegen fast ein volles Jahrhundert der Oeffentlichkeit vorenthalten. DieKegelschnitte des Apollonius erschienen 1654. Maurolico hat hier erstmalig einen Versuchgewagt, der spa¨ter vielfach den Scharfsinn der Mathematiker in Bewegung setzt, den ei-ner sogenannten Restitution. Nur 4 Bu¨cher Kegelschnitte haben griechisch sich erhalten.Maurolico stellte nun nach den ziemlich du¨rftigen Angaben u¨ber den Inhalt der folgen-den Bu¨cher, welche da und dort vorkommen, diese wieder her, allerdings ein missglu¨ckterVersuch, wie sich herausstellte, als im XVII. Jahrhunderte wenigstens das 5., 6. und 7.Buch in arabischer Bearbeitung aufgefunden wurden, aber immerhin Interessantes bie-(559)tend, insbesondere wo es um gro¨sste und kleinste Werthe sich handelt, welche gewisse mitden Kegelschnitten in Verbindung stehende Strecken annehmen, eine Gattung von Un-tersuchungen, welche den Inhalt des fu¨nften Buches bildet. Am hervorragendsten ist dieArchimedu¨bersetzung Maurolico’s, der sich unter den Zeitgenossen schon den Namen deszweiten Archimed erworben hatte. Erst 1670 begann man den Druck dieser Bearbeitung,welcher nach mannigfachen Zwischenfa¨llen gar erst 1685 in Palermo vollendet wurde.Wir haben eine ziemlich grosse Anzahl von Schriftstellern aller La¨nder genannt, wel-che Uebertragung der Werke griechischer Mathematiker bald ins Lateinische, bald in dielebenden Sprachen sich angelegen sein liessen, und wir haben, wie wir (S. 548) [S. 21] esaussprachen, nicht einmal auf Vollsta¨ndigkeit in dieser Beziehung gesehen. Die Wirkungaller dieser Vero¨ffentlichungen blieb nicht aus. Mit der Vervielfa¨ltigung der Mittel geome-trische Kenntnisse zu erwerben wuchs die Verbreitung dieser Kenntnisse, mit dieser derenWerthscha¨tzung. Hatte man lange genug den ersten Unterricht, so weit er u¨berhaupt Ma-thematisches enthielt, auf das Rechnen beschra¨nkt, so dra¨ngte jetzt die Geometrie sichvor. Von Heinrich von Navarra, dem nachmaligen Heinrich IV. von Frankreich, und von43Ka¨stner II, 64–74. — Libri III, 102–118; IV, 241. — F. Napoli im Bulletino Boncompagni (1876)IX, 1–22.44Hultsch, Vorrede zur Ausgabe des Autolykos (Leipzig 1885) pag. XVI, Note 17: Maurolyci libri quam-vis typis olim expressi exempla nunc multo rariora sunt quam Autolyci codices Graeci manu scripti.67. Kapitel 29dessen Freund Coligny wissen wir, dass sie als Knaben hauptsa¨chlich zwei Werke zu le-sen bekamen, Plutarch’s Lebensbeschreibungen und Euklid’s Elemente45. Schriftstelleru¨ber Geometrie traten auf, in erster Linie jene Uebersetzer selbst, welche nicht im-mer sich damit begnu¨gten, nur das Alte in neuer Sprache wiederzugeben, welche vielmehres liebten, in Gestalt von Erla¨uterungen von dem Ihrigen hinzuzuthun. Die Lehre vomContingenzwinkel bot zu solchen eigenen Gedanken reichlich Gelegenheit. Mit ihr hatsich, wie wir (S. 554) [S. 25] beilaufig erwa¨hnten, Candale einigermassen bescha¨ftigt.Cardano’s Auffassung, hauptsa¨chlich in dem Opus novum de proportionibus niedergelegt,haben wir (S. 533–535) vorgreifend geschildert, als wir die Gesammttha¨tigkeit dieses geist-reichen Mannes darlegten. Damals nannten wir Peletier als den Vertreter einer anderenMeinung, welche er in einer Euklidausgabe aussprach; als wir jedoch (S. 549) [S. 21] jenerEuklidausgabe von 1557 gedachten, verwiesen wir auf spa¨ter, um von den Anmerkungen zureden, worunter wir eben das auf den Contingenzwinkel Bezu¨gliche verstanden. Wir wollenjetzt diese Zusage erfu¨llen, indem wir an den ausfu¨hrlichen Bericht uns anlehnen, welchen (560)Clavius in seiner Euklidausgabe gegeben hat46. Da hat Peletier die Schwierigkeit dadurch,zu heben versucht, dass er den Contingenzwinkel gar nicht als einen Winkel betrachtete, ersei ein Nichts, und, was genau damit u¨bereinstimmt, der Winkel welchen der Kreis mit demDurchmesser bilde, sei von dem rechten Winkel nicht im mindesten verschieden. Claviusseinerseits meint wenn dem so wa¨re, wu¨rde eine Schwierigkeit u¨berhaupt niemals vorhanden [M]gewesen sein, denn der Euklidische Satz III, 16 besage dann nur, dass das Nichts kleiner seials ein spitzer Winkel, und das bedu¨rfe nicht erst eines Beweises. Man komme vielmehr nurso u¨ber die Sache hinaus, dass man mit Cardano (er ha¨tte hinzufu¨gen ko¨nnen auch mit Can-dale, den er in der That an einer Stelle47 neben Cardano nennt) den Contingenzwinkel zwarfu¨r ein Etwas, fu¨r einen Winkel, aber fu¨r einen Winkel anderer Art, als der geradlinige sei,erkla¨re. Ein Grund, welchen Peletarius scharfsinnig genug fu¨r seine Mei-nung anfu¨hrte, war folgender: Die Winkel, welche (Figur 107) concentri-sche, immer gro¨sser werdende Kreise mit dem allen gemeinsamen Durch-messer bilden, werden vom kleineren zum gro¨sseren Kreise verglichen je-denfalls nicht kleiner, denn sonst ko¨nnte, wenn man den a¨usseren Halb-kreis la¨ngs des Durchmessers bis zur Beru¨hrung mit dem inneren Halb-kreise verschiebe, sein mit dem Durchmesser gebildeter Winkel den deskleineren Halbkreises mit demselben Durchmesser nicht umschliessen.Gro¨sser ko¨nnen jene Winkel aber auch nicht werden, weil sie sonst beifortwa¨hrendem Wachsen, dem niemals ein Ende gesetzt zu werden brau-che, schliesslich einmal gro¨sser als ein rechter Winkel werden wu¨rden,was unmo¨glich sei. Folglich seien alle jene Winkel thatsa¨chlich gleichund der bei der erwa¨hnten Verschiebung auftretende Contingenzwinkel sei der Unterschiedganz gleicher Gro¨ssen, mithin Nichts. Clavius fu¨hlte die Sta¨rke des ersten, die Schwa¨chedes zweiten Theils dieser Beweisfu¨hrung und entgegnete, es sei einfach nicht wahr, dass beifortwa¨hrender Vergro¨sserung eines Winkels die Gro¨sse des rechten Winkels erreicht odergar u¨bertroffen werden mu¨sse.Man denke sich nur (Figur 108) den geradlinig rechten Winkel BAF . Ziehe manAC, so weiche CAF von dem rechten Winkel um den spitzen Winkel CAB ab; aber45De Jouy, L’hermite en province. Le Berceau de Henry IV. No. XIV, 28. Juni 1817 ed. Mozin II, 77.46Euclidis Elementa ed. Clavius, Ko¨ln 1591 (ed. III) pag. 133–I45.47Ebenda pag. 144.30 Band 2man ko¨nne auch AD, AE und unendlich viele andere Gerade ziehen, deren mit AFgebildete Winkel gro¨sser und gro¨sser werden, ohne jemals den rechten Winkel zu errei-(561)chen. Alle u¨brigen Gru¨nde, welche von beiden Seiten, und zwar, wie es in der Regelder Fall zu sein pflegt, mit um so gro¨sserer Heftigkeit und Hartna¨ckigkeit, je wenigerschliesslich bei dem Streite herauskam, ins Gefecht gefu¨hrtwurden, waren von a¨hnlicher Art. Wichtig erscheint der Be-griff der Grenze, welcher eine fortwa¨hrend wachsende Gro¨ssesich na¨hert, ohne sie zu u¨berschreiten, wichtig der Begriff derKrummlinigkeit, der als zur geraden Linie gegensa¨tzlich sichbemerklich macht, wie er auch von der einen oder von deranderen Partei aufgefasst wurde. Wir sprechen von der einenund von der anderen Partei, weil der Streit nicht zwischenden bis hierher genannten Perso¨nlichkeiten zu Ende gefu¨hrtwurde. Noch Stro¨me von Tinte wurden vergossen, bis erst im XVII. Jahrhunderte der Streitu¨ber den Contingenzwinkel aufho¨rte, nicht weil eine Partei sich als besiegt zugestand, son-dern weil im Streite u¨ber das Unendlichkleine ein noch mehr zu logischen Spitzfindeleienherausfordernder Gegenstand auftauchte.Das von uns erwa¨hnte Erwachen geometrischer Neigungen zeitigte auch fruchtbarereUntersuchungen als solche u¨ber den Contingenzwinkel. Peletier hat 1573 eine kleineSchrift De l’usage de la ge´ome´trie dem Drucke u¨bergeben. Neben Fla¨chenberechnungenist auch ein Distanzmesser48 beschrieben, auf dessen Erfindung Peletier sich sehr viel zugute that, dessen genaue Einrichtung wir aber der uns zur Verfu¨gung stehenden etwas sehr[N]undeutlichen Beschreibung nicht zu entnehmen vermo¨gen..Ein. geistvoller Geometer war Johannes Buteo49 oder Borrel (1492—1572). Er istin Charpey in der Dauphine´e geboren, wesshalb er in den Ueberschriften mitunter Delphi-naticus heisst. Er geho¨rte dem Mo¨nchsorden des heiligen Antonius an. Seine mathemati-schen Studien hat er unter Orontius Finaeus gemacht, was ihn aber nicht abhielt, gegendessen vermeintliche Kreisquadratur aufzutreten. Gedruckt sind von ihm Opera geometrica1554, De quadratura circuli einem Anhange Annotationen in errores interpretum Euclidis1559 und eine Logistica 1559. In der Logistik sollen sa¨mmtliche mit vier Wu¨rfeln u¨ber-[O](562) haupt mo¨gliche Wu¨rfe aufgeza¨hlt und Schlu¨ssel mit Buchstabenversetzungen beschriebensein, Aufgaben von der Art derer, mit welchen Cardano und Tartaglia sich bescha¨ftig-ten. Die Opera geometrica sind einzelne Abhandlungen von sehr gemischter Natur, welchenur zu einem Bande zusammengestellt sind. Vieles ist antiquarischen Inhaltes, bildet al-so gewissermassen geometrische Erla¨uterungen zu ro¨mischen Schriftstellern. Buteo hat z.B. muthmasslich nach Valla (S. 345) auf jene Stelle des Quintilian aufmerksam gemacht,welche unrichtige Fla¨chenberechnungen betrifft. Ferner sind ro¨mische Gesetze an der Handder Geometrie gepru¨ft. Ein Beispiel eigener Erfindungsgabe Buteo’s liefert die AbhandlungAd problema cubi duplicandi. Stifel’s Wu¨rfelverdoppelung wird darin mit Recht getadelt,[P]damit aber ein sehr ungerechtfertigter Spott u¨ber die barbarische Schreibweise der ganzenArithmetica integra verbunden50 und insbesondere eine na¨herungsweise Wu¨rfelverdoppe-48Ka¨stner I, 653–655. Brieflicher Mittheilung von H. Ambros Sturm zufolge ist in einem Antiquariats-kataloge Peletarius, De usu geometriae liber, Paris 1571, angezeigt gewesen, vielleicht gleichen Inhaltesmit der ju¨ngeren franzo¨sichen Ausgabe.49Montucla I, 574–575. — Ka¨stner I, 468–476, — Nouvelle Biographie universelle VII, 898–899.50In libro cui titulum fecit Arithmetica integra, ubi etiam multa super geometricis inculcavit, ab Euclide (utipse iactat) omissa. Cuius propositiones inquit non sunt evangelium Christi. Huiusmodi autem Arithmetica67. Kapitel 31lung mittels Zirkel und Lineal gelehrt. Sie besteht in Folgendem. Sei ein Wu¨rfel von derSeite a, also dem Ko¨rperinhalte a3 gegeben, so ist es leicht, durch Aneinandersetzung zweiersolcher Wu¨rfel ein Parallelopipedon von dem Ko¨rperinhalte 2a3 zu erhalten, dessen Ho¨he aist, wa¨hrend die Grundfla¨che aus einem Rechtecke von den Seiten a und 2a besteht. DiesenKo¨rper will Buteo nach und nach in einen Wu¨rfel verwandeln. Zuna¨chst verwandelt er dieGrundfla¨che in ein Quadrat von der Seite a√2, und legt er nun den neuen Ko¨rper, welcherimmer noch den Ko¨rperinhalt 2a3 besitzt, auf eine Seitenfla¨che, so ist a√2 die Ho¨he desneuen Parallelopipedons, dessen rechteckige Grundfla¨che die Abmessungen a und a√2 be-sitzt. Diese Grundfla¨che verwandelt sich in ein Quadrat von der Seite 4√2, und ein erneutesUmlegen des entstandenen Ko¨rpers zeigt ihn in Form eines Parallelopipedons von der Ho¨hea 4√2 mit der Grundfla¨che, welche durch das Rechteck der Seiten a√2 und a 4√2 gebildet ist.Es ist leicht ersichtlich, dass man in ganz a¨hnlicher Weise von dem jetzt bekannten drittenParallelopipedon zu einem vierten, von diesem weiter gelangen kann. Das siebente Paral-lelopipedon hat Abmessungen, welche durch a · 2 2164 , a · 2 2164 , a · 2 1132 in heutiger Schreibweisedargestellt werden, und hier, sagt Buteo, sei die Ungleichheit nicht mehr merklich; was abernicht in die Sinne falle, hindere beim Gebrauche nicht, und von diesem Gedanken ha¨tten (563)auch. Archimed und Ptolema¨us bei der Kreisrechming Gebrauch gemacht. Nach diesemAusspruche weiss man schon, was man von Buteo’s De quadratura circul i zu erwarten hat,Anerkennung na¨herungsweiser, Widerlegung vermeintlich genauer Kreisquadraturen. Diebeiden Bu¨cher, in welche jene Schrift zerfa¨llt, erfu¨llen diese Erwartung. Das erste Buchist vorzugsweise den Arbeiten Archimed’s und seiner Vorga¨nger gewidmet. Mit vollendeterKlarheit weiss Buteo Archimed’s Ziel und Verfahren darzustellen, aber, was noch mehrheissen will, er wird auch dem vielverketzerten Bryson (Bd. I, S. 191) gerecht51. Wennman nur sage, das dem Kreise fla¨chengleiche Quadrat sei irgend ein mittleres, quadratummedium utcunque, zwischen Sehnen- und Tangentenvieleck, so sei damit eine Wahrheit aus-gesprochen. Nach der Auseinandersetzung der archimedischen Untersuchung ist unter derUeberschrift Quemadmodum et alii ad dimensionem limites vero propiores inveniantur52,d.h. wie auch andere der Wahrheit na¨herkommende Grenzen fu¨r die Ausmessung gefundenwerden, gezeigt, dass allerdings genauere Verha¨ltnisszahlen als 31/7 und 310/71 gefundenwerden ko¨nnen, aber nur auf Kosten der Bequemlichkeit der Rechnung, weil mit viel gro¨sse-ren Zahlen alsdann umgegangen werden mu¨sse. Hierher geho¨rt das ptolema¨ische 3 17120 (Bd.I, S. 394). Aus dem zweiten Buche erwa¨hnen wir, dass pi =√10 den Arabern zugeschrie-ben wird53. Ferner ist der sogenannten Quadratur des Campanus (S. 101) gedacht54. Essei unmo¨glich der Verfasser dieses Schriftchens derselbe Campanus, welcher durch seineUebersetzung der euklidischen Elemente aus dem Arabischen und durch seine Anmerkun-gen und Zusa¨tze zu denselben sich so sehr verdient gemacht habe. Sodann widerlegt Buteomit ziemlichem Geschicke verschiedene Quadraturen, die wir nebst ihren Urhebern Nico-laus von Cusa, Orontius Finaeus, Du¨rer, Bovillus bereits kennen. Dem zweiten Buche folgtnoch der Anhang Annotationes in errores interpretum Euclidis. In ihm ist, wie (S. 556)[S. 26] schon erwa¨hnt wurde, in ausfu¨hrlicher Untersuchung55 und unter Zuziehung dermultiplici rerum verborumque barbarie tantum inter alias, quascungue legerim, caput extulit omnes (ut cumpoeta dieam) Quantum lenta solent inter viburna cupressi.51De quadratura circuli (Lugduni 1559) pag. 14.52Ebenda pag. 63.53Ebenda pag. 106.54Ebenda pag. 10755Ebenda pag. 209–212.32 Band 2einschlagenden Quellen, welche Buteo vollsta¨ndig beherrscht, der Nachweis geliefert, dassEuklid selbst und nicht Theon der Verfasser der in den Elementen mitgetheilten Beweise,und Theon nur Herausgeber gewesen sei.Unter die Schriftsteller u¨ber Geometrie ist bis zu einem gewissen Grade auch Ramus zuza¨hlen, dessen Scholae mathematicae von 1569 (S. 546) [S. 19] sich u¨ber nahezu alle Theile(564)der Mathematik verbreiten und dadurch ihrem Verfasser mehr als nur einen Platz in unse-rer Zusammenstellung sichern zu mu¨ssen scheinen. Fu¨hren wir Einiges hierher Geho¨rendean. Vom 8. Buche der Scholae mathematicae an welches die Sa¨tze des I. Buches der eu-klidischen Elemente zu erla¨utern bestimmt ist, kommen wiederholt Figuren vor. Bald sinddieselben ohne jede Bezeichnung, bald fu¨hren sie in altgewohnter Weise Buchstaben, dieden einzelnen Punkten als Benennung dienen56. Auffallend ist dabei die Reihenfolge derBuchstaben. Wa¨hrend fru¨her entweder die griechische, beziehungsweise die arabische, oderdie lateinische Reihenfolge, also entweder a, b, g oder a, b, c u. s. w. u¨blich war, entferntRamus sich von beiden. Er benutzt zuna¨chst immer die Selbstlauter a, e, i, o, u, y, und nurwenn mehr als sechs Punkte der Bezeichnung bedu¨rfen, treten auch Mitlauter auf, zuersts, dann r, t, l,m u. s. w. Einen Grund fu¨r die Abweichung von der eingebu¨rgerten Uebunggiebt Ramus nicht an. Wir halten es fu¨r mu¨ssig unsererseits nach einem solchen zu suchen;die Thatsache selbst schien uns aber erwa¨hnenswerth, weil bei der grossen Verbreitungder Schriften des Ramus insbesondere unter den Anha¨ngern der kirchlichen Reformationhier vielleicht der Ursprung einer anderweitigen Bezeichnung liegt, von welcher wir im 69.Kapitel zu reden haben. Aber suchen wir Bemerkenswertheres auf. In der BewunderungEuklid’s stimmten und stimmen alle Schriftsteller u¨berein, welche mit seinen Elementensich bescha¨ftigt haben. Ramus theilt kaum die Bewunderung der Elemente, geschweigedenn die Euklid’s57. Man mu¨sse gleich Proklos von der Sucht, Euklid immer nur lobenzu wollen, ergriffen sein, um gegen die grossen methodischen Fehler, welche er sich zuSchulden habe kommen lassen, blind zu sein. Die Arithmetik gehe ihrem Begriffe nach derGeometrie voraus, Euklid drehe die Reihenfolge um. Ferner stelle Euklid eine ganze Anzahlvon Definitionen an die Spitze, und das sei vollends verkehrt. Die Natur hat nicht einenWald dadurch hervorgebracht, dass sie am Anfange die Wurzeln aller Ba¨ume steckte, derArchitekt nicht dadurch eine Stadt, dass er am Anfange alle Fundamentirungen vornahm.Jedem folgenden Baume gab die Natur seine Wurzeln, jedem Ge- ba¨ude der Baumeisterseine Grundmauern. So musste Euklid das Dreieck definiren, wo die Lehre von den Drei-ecken beginnt, das Vieleck, wo von Vielecken gehandelt wird, und denselben Weg u¨berallbei den Anfa¨ngen einschlagen. Das X. Buch vollends, welches, wie wir (S. 549) [S. 21] ge-sehen haben, durch Mondore´ besonders herausgegeben und dadurch bevorzugt worden(565)war, ist fu¨r Ramus eine Qual58. Kein Theil der Geometrie erscheint ihm unnu¨tzer, keineru¨berladener mit Vorschriften und Lehrsa¨tzen; es ist ihm zweifelhaft, ob u¨berhaupt dieseSpitzfindeleien berechtigt sind, innerhalb einer wahren Bescha¨ftigung mit der Geometrie ei-ne Stelle einzunehmen. Er selbst habe das X. Buch mit Eifer und Genauigkeit durchforscht,aber kein anderes Urtheil fa¨llen ko¨nnen, als dass in ihm ein Kreuz fu¨r edle Geister errichtetsei. Um alle Beschwerden des Ramus gegen Euklid vereinigt zu sehen, greifen wir u¨berdie eigentlich geometrischen Bu¨cher hinaus und sehen zu, was er von den arithmetischenBu¨chern sagt. Ihnen wird der Mangel an Brauchbarkeit durchweg vorgeworfen und, um ein56Scholae mathematicae (ed. Frankfurt 1627) pag. 174, 176, 179, 180, 183, und ha¨ufiger.57Ebenda pag. 96–98.58Scholae mathematicae (ed. Frankfurt 1627) pag. 252.67. Kapitel 33bestimmtes Beispiel ins Auge zu fassen, der Satz IX, 20 von der Unendlichkeit der Anzahlder Primzahlen als zu speciell getadelt. Von allen Zahlengattungen gebe es unendlich vie-le, zusammengesetzte, gerade, ungerade59, vollkommene u. s. w. Man mu¨sse desshalb alsallgemeine Forderung aufstellen, dass jede Anzahl ins Unendliche wachse und nicht Sonder-beweise fu¨hren. Diese Auszu¨ge, welche wir hier vereinigt haben, lassen, so kurz sie gewa¨hltwurden, Ramus als das erkennen, als was wir ihn fru¨her schilderten, als streitbaren undstreitsu¨chtigen Dialektiker. Theoretische Feinheiten richtig zu wu¨rdigen war seine Sachenicht, und strengen, nach seiner Meinung ganz unno¨thigen Beweisfu¨hrungen der Geome-trie zog er gewo¨hnliches Rechnen vor, wie es von den Kaufleuten der Strasse St. Denis [Q]in Paris zu erlernen war, die zu besuchen, und mit denen fu¨r ihn lehrreiche Gespra¨chezu fu¨hren fu¨r Ramus ein Genuss war60. So entziehen sich die Scholae mathematicae fastvollsta¨ndig der Erwa¨hnung in einem der Geschichte der Mathematik gewidmeten Werke,und man findet es begreiflich, dass Mathematiker, welche einen auch nur flu¨chtigen Blickhineinwarfen, nicht Neigung empfanden, ein Werk Zu studiren, dessen drei ersten Bu¨cherallein von Wichtigkeit gewesen wa¨ren, weil sie, wie wir (S. 546) [S. 19] sagten, fu¨r ihrengeschichtlichen Inhalt Quellen verwertheten, denen heute noch das Lob der gro¨ssten Zu-verla¨ssigkeit gespendet werden muss. Ob eine von Ramus veriasste Geometrie, welche 1577nach seinem Tode im Drucke erschien, sich von den Ma¨ngeln frei zu halten wusste, welcheihr Urheber Euklid vorzuwerfen liebte, ob sie dadurch so viel besser war, wissen wir nicht.Ein wirklicher Geometer war Giovanni Battista Benedetti oder Benedictis(1530–1590), Philosoph und Mathematiker des Herzogs von Savoyen. In Venedig gebo- (566)ren, nennt er sich bis einem gewissen Grade Schu¨ler des Tartaglia61. Es sei billig undrecht, Jedem das Seine zu geben, und desshalb sage er, dass Tartaglia ihm die vier erstenBu¨cher des Euklid, aber auch nur diese erkla¨rt habe. Alles u¨brige habe er mit eigenerMu¨he und Arbeit untersucht, denn fu¨r den Wissbegierigen sei nichts schwer. So dru¨cktsich Benedetti in der Vorrede zu einem 1553 gedruckten Werke62 aus, welches er dem- [R]nach mit 23 Jahren vollendet hatte. Der Inhalt ist eine vollsta¨ndige Auflo¨sung der Aufga-ben, welche in den euklidischen Elementen vorkommen, sowie anderer unter Anwendungeiner einzigen Zirkelo¨ffnung. Da wir diesen Gegenstand wiederholt als italienischeLiebhaberei bezeichnet haben, so ist es nicht u¨berflu¨ssig, die Jahreszahlen der einzelnenVero¨ffentlichungen ins Geda¨chtniss zuru¨ckzurufen. Die Cartelli und Risposte sind von 1547bis 1548 erschienen, und in ihnen konnte Benedetti, welcher mit 18 Jahren fu¨r ein Wundergalt63, Aufgaben dieser Gattung von seinem Lehrer gestellt, von Ferrari gelo¨st finden. AuchCardano’s De subtilitate von 1550 kann die Neigung gestachelt haben, die Geometrie mitbleibender Zirkelo¨ffnung zu fo¨rdern. Die Auflo¨sungen Tartaglia’s dagegen erschienen erst1560 im Drucke, und wenn eine Einwirkung vorhanden war, so kann sie nicht von Tar-taglia auf Benedetti stattgefunden haben, sondern nur umgekehrt. Die Auszu¨ge aus demBenedetti’schen Werke64, welche unserem Berichte zu Grunde liegen, zeigen indessen keineAehnlichkeit des Ganges weder mit Ferrari noch mit Tartaglia, und auf den Gang, das59Ebenda pag. 250.60Ebenda pag. 52.61Libri III, 123 Note 1.62Benedictis, De resolutione omnium Euclidis problematum aliorumque una tantummodo circuli dataapertura. Venedig 155363Libri III, 123 Note 2 beruft sich fu¨r diesen Ausspruch auf Mazzuchelli, Scrittori d’Italia tomo II,part. 2, pag. 218.64Ebenda III, 266–271.34 Band 2heisst auf die Reihenfolge der behandelten Aufgaben, deren jede, sobald sie selbst gelo¨stist, bei Lo¨sung der folgenden Aufgaben dienen kann, kommt es natu¨rlich hauptsa¨chlichan. Die fu¨nf ersten Aufgaben Benedetti’s sind: 1. Auf. einer Linie in einem bestimmtenPunkte derselben eine Senkrechte zu errichten. 2. Eine Strecke um ein ihr gleiches Stu¨ckzu verla¨ngern, sofern die Strecke kleiner ist als die gegebene Zirkelo¨ffnung. 3. Das Gleichezu leisten, sofern die Strecke gro¨sser als die gegebene Zirkelo¨ffnung ist. 4. Eine gegebeneStrecke zu halbiren. 5. Von einem gegebenen Punkte auf eine gegebene Gerade eine Senk-rechte zu fa¨llen. Wir fu¨hren nur die Auflo¨sung der letzteren Aufgabe an, um ein Beispielvon Benedetti’s Verfahren zu geben (Figur 109). Von d soll eine de senkrecht zu cf gezogenwerden. Man zieht von einem Punkte f der gegebenen Geraden aus die fd und verla¨ngert(567)sie gema¨ss 2. oder 3. um da = fd. Dann zieht man von a aus ac nach einem zweitenPunkte c der gegebenen Geraden und halbirt ac gema¨ss 4. in b. Die nun gezogene bd istsomit der cf parallel, und wird gema¨ss 1. die de senkrecht zu bd gezogen, so ist de auchsenkrecht zu cf , Ein zweites Werk Benedetti’s fu¨hrt die Ueberschrift Speculationes diversaeund ist 1585 gedruckt. Die im Titel ausgesprochenen verschiedenen Untersuchungen sind inder That verschiedenartig65. Sechs Abschnitte enthalten arithmetische Sa¨tze, Perspective,Mechanik, Proportionen, Streitfragen, Briefe. Unter den arithmetischen Sa¨tzen findet sichder Beweis der Vertauschbarkeit der Factoren eines Productes, welche bis dahin zwar wohlverschiedentlich bemerkt, aber noch nie als eines Beweises bedu¨rftig gefunden worden war.In eben diesem Abschnitte sind algebraische Aufgaben durch geometrische Betrachtungengelo¨st, wa¨hrend man sonst umgekehrt vorzog, die Auflo¨sung geometrischer Aufgaben durchZuru¨ckfu¨hrung derselben auf Gleichungen zu erreichen. Seien beispielsweise drei Unbekann-te x, y, z aus den Gleichungen x + y = 50, y + z = 70, z + x = 60 zu bestimmen. Durchy = 50+70−602 = 30 wird weiter x = 50 − 30 = 20, z = 70 − 30 = 40 gefunden. So weit ist65Libri III, 124–131, 258–265, 272–27667. Kapitel 35freilich von Geometrie keine Rede, aber nachtra¨glich zeigt Benedetti an einer Zeichnungdie Richtigkeit der Rechnung (Figur 110). Dem Dreiecke abc ist der Kreis eou einbeschrie-ben und jede Seite ist die Summe zweier Unbekannten, welche als die Entfernungen derEckpunkte des Dreiecks von den Beru¨hrungspunkten des Kreises aufgefasst werden. Mansiehr hier deutlich, wie die eine Unbekannte doppelt u¨brig bleibt, wenn man eine Seite vonder Summe der beiden anderen abzieht. Eine zweite Aufgabe, die Gleichung x2+Ax = B2 (568)oder (A+ x)x = B2, wird geometrisch folgendermassen gelo¨st (Figur 111).Die Stu¨cke ef = A,de = B werden unter rechtem Winkelan einander gesetzt. Dann wird ef in a halbirt und um a alsMittelpunkt mit ad als Halbmesser ein Kreis beschrieben, biszu dessen Durchschnitt in b und c die ef nach beiden Seitenverla¨ngert wird. Offenbar ist be = fc = x. Hier vermuthlichist die Aufgabe gelo¨st mit vier gegebenen Strecken alsSeiten ein Sehnenviereck zu zeichnen66.Bevor wir u¨ber den Abschnitt der Speculationes diversaeberichten, welcher der Mechanik gewidmet ist, mu¨ssen wirzuru¨ckgreifend eines Schriftstellers gedenken, der auf diesemGebiete Benedetti’s Vorga¨nger war.Guidobaldo del Monte67 (1545–1607) war ein hochangesehener Edelmann ausPesaro. Er hatte erst beabsichtigt, sich dem Studium zu widmen, dann focht er ge-gen die Tu¨rken, spa¨ter hat er als Inspector der Festungen Toscanas seinem Va-terlande gedient; zuletzt erfreute er sich auf seinen Gu¨tern einer wissenschaftlichausgefu¨llten Zuru¨ckgezogenheit. In seiner Mechanik von 1577 ist das Gesetz ent-halten, dass Last und Kraft zu einander im umgekehrten Verha¨ltnisse der Ra¨umestehen, welche sie in derselben Zeit durchlaufen, aber u¨ber die Anwendung beimFlaschenzuge ging Del Monte nicht hinaus, die Lehre von der schiefen Ebene, vom Keil,von der Schraube hat er nicht verstanden68, 1579 wurde die Theoria planisphaerorium ge-druckt. In ihr sind mancherlei Constructionen gelehrt, welche nicht ohne Interesse sind69;die Quellen, welchen sie entstammen, scheinen nicht genannt zu sein. Dort findet man dieBeschreibung der Ellipse durch einen Punkt einer Strecke, welche mit ihren Endpunktenauf den Schenkeln eines Winkels sich verschiebt, wie Proklus sie kannte (Bd. I, S. 466), dievon den drei Bru¨dern beschriebene Ga¨rtnerconstruction der Ellipse (Bd. I, S. 690) u. s. w.Andere Schriften Del Monte’s sind durch Auszu¨ge zu wenig bekannt, als dass wir uns einUrtheil daru¨ber bilden ko¨nnten, wie weit eine Geschichte der Mathematik bei denselbenzu verweilen hat.Und nun kehren wir zu Benedetti’s Werk von 1585 zuru¨ck. In dem mechanischen Ab- (569)schnitte ist die Wirkungsweise des Keils und des Flaschenzuges, so wie auch die des Win-kelhebels richtig verstanden. Wenn Benedetti sagt, dass die Gro¨se eines beliebigen Ge-wichtes oder die bewegende Kraft in Beziehung auf eine andere Gro¨se durch den Nutzen,beneficio, der Senkrechten erkannt werde, die vom Mittelpunkte der Wage auf die Linieder Neigung gezogen seien so ist damit die Grundlage der gegenwa¨rtigen Lehre von den66Chasles, Aperc¸u, hist. 443 (deutsch 496).67Libri IV, 79–84.68Lagrange, Analytische Mechanik (deutsch von Servus). Berlin 1887, S. 17 und 8.694) Vergl. Chasles, Aperc¸u hist. 98 (deutsch 95) mit Les Oeuvres mathe´mathiques de Simon Stevin(Leyden 1634), pag. 347–348.36 Band 2Momenten ausgesprochen70. Benedetti hat ferner erkannt, dass ein auf gezwungener Bahnsich bewegender Ko¨rper, wenn er freigelassen werde, die Richtung der Beru¨hrungslinie ein-schlage71. In den Streitschriften, welche gegen Aristotelische Lehren gerichtet sind, wendetsich Benedetti unter Anderem der von Aristoteles geleugneten, ununterbrochen auf einerbegrenzten Strecke fortdauernden. Bewegung zu72. Aristoteles hatte na¨mlich in seiner Phy-sik (VIII, 8 pag. 262 a) darauf hingewiesen, dass der Ko¨rper am Ende der Strecke angelangtnothwendig anhalten mu¨sse, bevor er den gleichen Weg zuru¨ckmache, dass also ein Augen-blick der Ruhe die Bewegung unterbreche. Benedetti widerlegte die Behauptung dadurch,dass er die hin- und hergehende geradlinige Bewegung von einer in gleichbleibendem Sinneandauernden, also nie unterbrochenen kreisfo¨rmigen Be-wegung abha¨ngig machte, mithin bis zu einem gewissenGrade einer 1570 vero¨ffentlichten von Ferrari gemachtenErfindung (S. 535) sich bediente (Figur 112). Der Punkt[S]A, welcher den Kreisumfang ANU im Sinne des Zeigerseiner Uhr durchla¨uft, ist in jeder seiner Lagen mit demPunkte B geradlinig verbunden. NB und UB sind dieGrenzlagen dieser Geraden, jede andere Lage schneidetdie Strecke CD in irgend einem Punkte T , und wa¨hrend Aeinen ganzen Kreisumlauf vollzieht, bewegt sich. T unter-brechungslos erst von C nach D, dann zuru¨ck von D nachC. Eine zweite gleichfalls geometrische Betrachtung Be-nedetti’s wendet sich gegen die Aristotelische Behauptungauf einer endlichen geraden Strecke sei eine unendliche Be-wegung nicht denkbar. Die Gerade CR (Figur 113) drehe[T]sich im Sinne des Zeigers einer Uhr um C, so dass sie die Gerade BR in einem von R sich(570)weiter und weiter entfernenden Punkte A schneidet. Zugleich schneidet sie alsdann die RXwelche als Senkrechte beiden Parallelen BR und CX verbindet, in einem Punkte I, unddieser Punkt I durchla¨uft die endliche Strecke RX wa¨hrend A auf der Strecke BR einenunendlichen Weg zuru¨cklegt, mithin vollzieht sich hier eine unendlich Bewegung auf RX.Es ist der Anfang einer geometrisch begru¨ndeten Mechanik der sich in diesen Betrach-tungen enthu¨llt. Die Mechanik ho¨rt allma¨lig auf, blosse Erfahrungssa¨tze zu sammeln, oder,was noch schlimmer war, philosophisch abgeleitete Behauptungen in die Welt zu schleudern,unbeku¨mmert darum, ob sie zur Erfahrung passen oder ihr widersprechen. Die Mechanikbeginnt ein Kapitel der Mathematik zu werden.Der Mechanik und der Geometrie gemeinschaftlich geho¨ren Untersuchungen an, wel-che Maurolycus und Commandinus unabha¨ngig von einander anstellten, und in de-70Du¨hring, Kritische Geschichte der allgemeinen Principien der Mechanik (Berlin 1873) S. 17.71Montucla I, 693–69472Lasswitz, Geschichte der Atomistik vom Mittelalter bis Newton (Hamburg und Leipzig) II, 14–18.67. Kapitel 37ren Vero¨ffentlichung Commandinus a¨hnlich wie bei den Uebersetzungsarbeiten, seinemVorga¨nger den Rang ablief. Es handelt sich um Schwerpunktsbestimmungen. Seit Ar-chimed (Bd. I, 308–309) solche wiederholt vornahm, seit Pappus (Bd. I, S. 421) daraufzuru¨ckkam, war der Gegenstand lange Jahrhunderte hindurch fast unberu¨hrt geblieben,bis Lionardo da Vinci (S. 302) den Schwerpunkt einer Pyramide mit dreieckiger Basisentdeckte. War er durch das Studium Archimedischer Schriften dazu gefu¨hrt worden, dieseAufgabe sich zu stellen? Wir mo¨chten es fast annehmen. Jedenfalls traten Schwerpunkt-saufgaben in den Vordergrund, als man in Folge des Erscheinens neuer mit reichhaltigenErla¨uterungen versehener Ausgaben der griechischen Classiker die Bedeutung dieser Auf-gaben zu wu¨rdigen lernte, und es ist nichts weniger als Zufall, dass die Herausgeber desArchimed und des Pappus zu den ersten Schriftstellern geho¨ren, welche wieder an Schwer-punktsbestimmungen sich versuchten73.Maurolycus fand 1548 den Schwerpunkt der Py-ramide, des Kegels, des Umdrehungsparaboloids, er verwerthete die Kenntniss desselbenzur Raumbestimmung jener Ko¨rper a¨hnlich wie Pappus es gethan hatte. Gedruckt wurdenallerdings alle diese Dinge erst 1685 in der Archimedausgabe des Maurolycus, nachdem dieWissenschaft in gewaltigen Schritten diese ersten Zielpunkte la¨ngst und weit hinter sichgelassen hatte, angeku¨ndigt waren sie in den Opuscula mathematica des Maurolycus von (571)1575. Commandinus dagegen gab seine fest gleichinhaltliche Schrift De centro gravitatissolidorum schon 1565 alsbald nach der Fertigstellung im Drucke heraus.Eine Stelle der Opuscula mathematica desMaurolycus hat Beachtung gefunden74, inwelcher man eine Art von geometrischer Dualita¨t erkennen wollte. Man kann allenfallsdiese Benennung gebrauchen, muss sich aber ja davor hu¨ten, mehr aus diesem Namenherauslesen zu wollen, als Maurolycus bei der Sache dachte. Dieser sagt na¨mlich, der Wu¨rfelsei ein Wu¨rfel mit 6 Fla¨chen und 8 Ecken, das Octaeder ein solcher mit 6 Ecken und 8Fla¨chen, sie entspra¨chen einander durch Correlation, unde haec sibi invicem correlativasunt. Ebenso seien Ikosaeder und Dodekaeder correlative Ko¨rper, weil das Ikosaeder 20Fla¨chen und 12 Ecken, das Dodekaeder 20 Ecken and 12 Fla¨chen besitze. Das Tetraedermit 4 Fla¨chen und 4 Ecken habe keinen correlativen Ko¨rper, es entspreche sich selbst,ipsum enim met sibi respondet.Von den uns als Uebersetzer bekannt gewordenen Schriftstellern verdient auch Barozzials Geometer genannt zu werden. Er hat 1586 einen Band vero¨ffentlicht, welcher von denAsymptoten handelt75. Verdienstlich ist daran die umfassende Literaturkenntniss des Ver-fassers. Griechen (Apollonius, Pappus, Eutokius), neuere Schriftsteller (Orontius Finaeus,Werner, Cardano, Peletarius), ju¨dische Philosophen aus verschiedenen Jahrhunderten hater gelesen, und er giebt sich die mitunter recht u¨berflu¨ssige Mu¨he, ihre philosophischenZweifel zu ero¨rtern. Dagegen hat er, so weit er in dieser ersteren Beziehung ausgreift,seinen eigentlichen Gegenstand zu eng gefasst. Nur die Asymptoten der Hyperbel sindbetrachtet. Dass es auch andere Linien mit geradlinigen Asymptoten gebe, wie z. B. dieConchoide (Bd. I, S. 335) ist mit keinem. Worte angedeutet, und noch weniger ist natu¨rlichvon allgemeinen asymptotischen Eigenschaften die Rede.73Libri III, 115–116.74J. H. T. Mu¨ller in Grunert’s Archiv der Mathematik und Physik XXXIV, 1–675Ka¨stner II, 94–98.38 Band 2Kleine Bemerkungen zum Kapitel 67[A] Der von Herrn Cantor erwa¨hnte Passus, wo Ramus seine Hoffnung, fu¨r die Geschichteder neueren Mathematik einen anderen Bearbeiter zu finden, ausspricht, verdient hiervollsta¨ndig mitgeteilt zu werden, weil er zeigt, wie wenig man zuweilen die Verdien-ste seiner Zeitgenossen richtig zu wu¨rdigen versteht. Der Passus lautet: ”Spero autemaliquem nostro exemplo excitatum recentiores mathematicos descripturum esse, abeoque praecipue Franciscum Flussatem Candallam, genere quidem illustremprincipiem, sed mathematica glorai universae Galliae longe principem celebratumiri“. Bekanntlich ist die mathematische Geschichtsschreibung der Ansicht des Ra-mus nicht beigetreten, denn in der Geschichte der Mathematik nimmt Fr. de FoixCandale einen sehr bescheidenen Platz ein, und zwar wesentlich als Herausgebereiner lateinischen Edition der Elementa, wa¨hrend die Verdienste vieler anderer Zeit-genossen des Ramus ausfu¨hrlich behandelt werden.BM 8, 84 G. Enestro¨m.[B] Ich erlaube mir, hier einige Zeilen (Z, 6–12) zum Abdruck zu bringen, die fu¨r dieCantorscbe Arbeitsweise besonders kennzeichnend sind.Campanus z. B., [ist] in der Chronik [d. h. Cronica de matematici overoepitome dell istoria delle vite loro von B. Baldi] auf das Jahr 1264 ange-setzt, in der ausfu¨hrlicheren Lebensbeschreibung [d. h. der von E. Nar-ducci 1886 vero¨ffentlichten] dagegen unrichtig auf 1200. ... Die Chronikdu¨rfte ... die spa¨tere Bearbeitung sein. Um so auffallender ist es, daß dieLebenszeit nicht ihr entsprechend auch in den Vite [= der ausfu¨hrlicherenLebensbeschreibung] richtig gestellt wurde.Sucht man nun die Stelle der Lebensbeschreibung auf, an der Baldi die Frage derLebenszeit des Campano behandelt, findet man folgendes (Bullett. di bibliogr.di sc, matem. 19, 1886, S, 595–596):Fiori il nostro Campano intorno al mille ducento e sessantaquattro; il cheraccolgo, da lo scriuere egli d’hauer composto quell’ opera de lequationede pianeti ad instanza d’Urbano Quarto, il quale, come tutti scriuono, fucreato del mille ducento sessantuno, e uisse tre anni del Pontificato. Oltradi cio` nel suo Computo maggiore scriue, de la Natiuita` di Cristo infino asuoi tempi esser corsi tre uolte quattrocento anni, e poco di sotto dodiciuolte cento; onde si uede che, quando egli scriueua il computo, era del milleducento di punto. Oltra che egli fa meatione di Ruberto Linconicie[!],che fiori del mille cento e quarantuno ... Visse lunghissino tempo; il cheargomento di qui, che, se nel mille ducento egli scriueua il Computo, edopo il mille ducento sessantaquattro egli scriueua il trattato de la Sfera(percioche` dopo il modo de lequatione de’ pianeti scrisse de la Sfera); nonpotendo essere che ne lo scriuere il Computo egli hauesse manco di uen-ticinque anni, e forza che, quando egli scrisse de la Sfera, hauesse intornonouanta anni, o poco manco.Baldi hebt also ausdru¨cklich hervor, daß man, um die Lebenszeit Campanos fest-zustellen, auf zwei Angaben Bezug nahmen muß, na¨mlich: 1) daß Campano seinen67. Kapitel 39Traktat ”De sphaera“ etwa 1264 verfaßt hat, 2) daß er seinen ”Compatus“ im Jahre1200 schrieb; diese zwei Angaben, deren Richtigkeit Baldi nicht bezweifelt, versuchter miteinander in U¨bereinstimmung zu bringen, indem er annimmt, daß Campanoerst in hohem Alter starb, Wenn man die gewissenhafte Darstellung Baldis mitder oben abgedruckten Bema¨ngelung dieser Darstellung zusammenstellt, lernt mansehr gut die Cantorsche Arbeitsweise kennen.BM 13, 164 G. Enestro¨m.[C] Den zwei von Cantor genannten Schriften u¨ber Geschichte der Zahlzeichen ko¨nnteauch eine dritte hinzugefu¨gt werden, na¨mlich S. Medici De latinis numerorum no-tis, Venetiis 1557 (s. Riccardi, Bibliot. matem. ital. I, S. 146; Favaro, Biblioth.Mathem. 1892, S. 70).BM 1, 510[D] Die Vorrede zur Euklidausgabe des Camerarius stammt nicht von Rhaeticus,sondern von Camerarius selbst. Der Drucker der Steinmetzschen Ausgabe, JonasSteinmann, sagt na¨mlich in einem kurzen Vorberichte, daß Camerarius vor 28Jahren die Vorrede ”sub alieno nomine“ gemacht habe.BM 9, 76 A. Sturm.[E] C’est Montucla qui a eu le premier la fantaisie d’e´crire, sans aucun garant, Jeande la Pe´ne au lieu de J. Pena. La famille provenc¸ale Pena a subsite´ jusqu’aucommencement du 19e sie`cle.BM 1, 510 P. Tannery.[F] Penas griechisch-lateinische Ausgabe der Spha¨rik des Theodosius erschien (wenig-stens vollsta¨ndig) 1558 (nicht 1557). Das im Anfang des Buches abgedruckte ko¨nigl.Privilegium ist zwar ”3. Id. Jun. 1557“ datiert, das den beiden getrennt paginiertenTeilen gemeinsame Titelblatt aber tra¨gt die Jahreszahl 1558 und die besondere Vor-rede zum lateinischen Teil ist ”3. Non. Mart. 1558“ datiertBM 6, 401 Stockholm C. Gro¨nblad.[G] Xylanders Euklid ist nicht als die erste Bearbeitung dieses Schriftstellers in einerlebenden Volkssprache anzusehen, da die italienische U¨bersetzung von Tartagliaschon 19 Jahre fru¨her, na¨mlich 1543 erschienen ist.BM 2, 355 G. Wertheim.Außer der italienischen U¨bersetzung Euklids von Tartaglia aus dem Jahre 1543(S. 514) gibt es noch eine andere vom Jahre 1545 vonAngelo Cajani: I quindici libridegli elementi di Euclide, di greco tradotti in lingua Thoscana. Roma MDXXXXV.Freilich entha¨lt diese U¨bersetzung nur die Sa¨tze, aber nicht die Beweise.BM 9, 76 A. Sturm.[H] Ganz wie in der ersten Auflage steht hier Z. 10 v. u. unrichtig 1565 statt 1560 alsDruckjahr der Proklos-U¨bersetzung von Barozzi. Die richtige Jahreszahl hat HerrCantor selbst S. 546 gebracht. Statt der recht unbestimmten Angabe, daß Barozzi”auch Schriften von Heron“ u¨bersetzt hat, sollte gesetzt werden: Barozzi gab 1572in Venedig Heronis mechanici liber de machinis bellicis necnon liber de geodesia40 Band 2heraus.BM 12, 252 G. Enestro¨m.[I] Foix-Candale a e´te´ e´ve`que d’Aire.BM 1, 510 P. Tannery.[J] Nach Ka¨stner berichtet Herr Cantor hier u¨ber die Euklidausgabe von F. deFoix-Candale (erste Auflage 1566, neue Auflage 1578) und widmet dabei auch eini-ge Zeilen den Zusa¨tzen vonCandale u¨ber regelma¨ßige Ko¨rper, besonders die Ko¨rper,die dieser ”Exoctahedron“ und ”Icosidodecahedron“ nennt. Nach Ka¨stner werdendiese Ko¨rper im zweiten Zusatzbuche der neuen Auflage von 1578 behandelt, undda Herr Cantor angibt, daß die erste Auflage von 1566 nur ein Zusatzbuch entha¨lt,wird man versucht, daraus zu folgern, daß die fraglichen Ko¨rper erst in der neuenAuflage untersucht wurden. Diese Folgerung ist indessen falsch. Es ist buchsta¨blichrichtig, daß die Auflage von 1566 nur ein Zusatzbuch entha¨lt, aber nachdem die-ses mit den Worten ”libri decimi sexti finis“ geendet hat, folgen noch 5 Druckseitenmit weiteren Ausfu¨hrungen, und dabei werden erst die zwei oben genannten halbre-gelma¨ßigen Ko¨rper behandelt.BM 12, 252 G. Enestro¨m.[K] Clavius hieß urspru¨nglich Klau, nicht Schlu¨ssel, auch nicht Nagel oder Nagler, wieS. Gu¨nther meint (Zeitschr. fu¨r mathem. Unterr. 23, 1892, S. 519). Allerdingsspielt Kepler in einem Briefe an Ma¨stlin (Kepleri Opera, ed. Frisch, IV, 7) andie Ableitung von Nagel an, aber nur scherzweise, da er auch die Ableitung von Keulebeifu¨gt.BM 4, 285 A. SturmAnmerkung: Enestro¨m verweist auf eine weitere Bemerkung zu Band II, S. 555,die sich in der Bibliotheca Mathematica, Band 6 auf S. 322 befinden soll. Allerdingsbefinden sich auf dieser Seite keine Bemerkungen zu den Vorlesungen; im Band 6wird zur Seite 555 nur auf die Bemerkung von Band 4 verwiesen.G. Do¨rflinger[L] Die hier erwa¨hnten nachMaurolicos Tode 1591 abermals erschienenen euklidischenPhaenomena sind eigentlich nicht als eine Neuausgabe, sondern als eine selbsta¨ndigeArbeit von Giuseppe Auria zu betrachten. Der Titel lautet:Euclidis phaenomena post Zamberti & Maurolyci editionem, nunctandem de Vaticana Bibliotheca deprompta. Scholiis autiquis: & figurisoptimis illustrata: & de Graeca Lingua in latinum conversa. A JosephoAuria. Romae 1591. Folio, (24) + 99 S.BM 9, 76 G. Enestro¨m[M] Statt ”Clavius seinerseits meint, wenn dem so wa¨re, wu¨rde eine Schwierigkeit u¨ber-haupt niemals vorhanden gewesen sein“ (Z. 6–8) schlage ich vor: ”Clavius seinerseitsmeint, wenn dem so wa¨re, wu¨rde Euklides u¨berhaupt nicht den Schluß des SatzesIII: 16 in die Elemente aufgenommen haben“ zu setzen. Clavius sagt selbst: ”SiEuclides sensisset, angulum contactus nihil prorsus esse . . . , quid, obsecro, tan-topere desudasset, ut demonstraret, angulum contactus esse minorem omni acuto67. Kapitel 41rectilineo.“BM 12, 252 G. Enestro¨m.[N] U¨ber die Schrift De l’usage de la ge´ome´trie (Paris 1579) von Peletier bemerkt HerrCantor:Neben Fla¨chenberechnungen ist auch ein Distanzmesser beschrieben, aufdessen Erfindung Peletier sich sehr viel zugute that, dessen genaue Ein-richtung wir aber der uns zur Verfu¨gung stehenden etwas sehr undeutlichenBeschreibung nicht zu entnehmen vermo¨gen.Die Beschreibung ist, wie die erste Fußnote zeigt, die von Ka¨stner (Geschichteder Mathematik 1, Go¨ttingen 1796, S. 653–655) gegebene, und wenn man diese Be-schreibung gelesen hat, muß man von der Cantorschen Bemerkung sehr u¨berraschtwerden. Die Beschreibung bei Ka¨stner ist na¨mlich gar nicht undeutlich und mansieht daraus sofort, daß der Distanzmesser wesentlich von derselben Art ist, wie der ineinem Kapitel der ”Geometria Gerberti“ (Kap. 38 bei Olleris; im Voru¨bergehenschon Kap. 26) beschriebene. Der Unterschied ist nur, daß der verschiebbare (hori-zontale) Stab abgeteilt ist, so daß man nicht immer u¨ber den Endpunkt desselbenzu visieren braucht. Der Distanzmesser ist also sozusagen ein Mittelding zwischendem oben erwa¨hnten Instrument der ”Geometria Gerberti“ (der horizontale Stabverschiebbar aber nicht abgeteilt) und dem geometrischen Quadrate (der horizonta-le Stab fest aber abgeteilt). Der Distanzmesser Peletiers ist mithin eigentlich garnichts neues und Ka¨stner gibt auch nicht an, daß Peletier beansprucht, das In-strument ”erfunden“ zu haben. Dagegen teilt Ka¨stner mit, daß Peletier sich aufeine besondere Anwendung des Distanzmessers sehr viel zugute tut, na¨mlich fu¨r denFall, daß die zu messende Entfernung sehr groß ist. In diesem Falle schreibt Peletiernach dem Ka¨stnerschen Berichte vor, man solle sich auf eine Ho¨he stellen, und esist klar, daß man auf diese Weise fu¨r sehr große Entfernungen ein besseres Resultatbekommen wird, vorausgesetzt, daß man die Ho¨he genau messen kann.Die einzige Ausstellung, die man meines Erachtens gegen die Deutlichkeit desKa¨stnerschen Berichtes machen kann, bezieht sich auf die Schlußworte: ”wo dieSchwierigkeit nicht so sehr darauf anko¨mmt, daß die Weite groß ist, als daß es gefa¨hr-lich ist aus zween (!) Sta¨nden zu visiren“, denn schon im Altertum hatte man jaMethoden, eine La¨nge von einem einzigen Punkte aus zu messen.Es wa¨re also angebracht, den ganzen Absatz (Z. 21–28): ”Das von uns erwa¨hnte ...zu entnehmen vermo¨gen“ zu streichen.BM 13, 70 G. Enestro¨m.[O] Il convient de faire observer que, dans le troisie`me livre de sa Logistica, Buteoemploie en passant des e´quations dont le second membre est nul. Ainsi p. ex. dans leproble`me 6 (p. 146), on trouve a` la fin de l’exercise:1%M 7 [M 1 c’est a` dire x− 7 = −11%M 6 [0 x− 6 = 01% [6] x = 6BM 7, 91 H. Bosmans.42 Band 2[P] Der Bericht (Z. 16 – 36) u¨ber die angena¨herte Wu¨rfelverdoppelung Buteos ist zumTeil ungenau. S. 561 verweist Herr Cantor in der letzten Fußnote auf Ka¨stner,und teils hieraus, teils aus dem Berichte selbst kann man schließen, daß er die Schriftvon Buteo nicht gelesen hat.Z. 22 – 26 sagt Herr Cantor: ”Zuna¨chst verwandelt er [Buteo] die Grundfla¨che inein Quadrat von der Seite a√2, und legt er nun den neuen Ko¨rper, welcher immernoch den Ko¨rperinhalt 2a3 besitzt, auf eine Seitenfla¨che, so ist a√2 die Ho¨he desneuen Parallelopipedons(!), dessen rechteckige Grundfla¨che die Abmessungen a unda√2 besitzt.“ Allein weder Ka¨stner noch Buteo selbst legt den neuen Ko¨rper aufeine Seitenfla¨che, und ich verstehe auch nicht, was man dadurch gewinnt. Ka¨stnersagt in seinem Berichte: Nun nimmt er [Buteo] zwischen den beyden Seiten derGrundfla¨che des ersten Ko¨rpers die mittlere Proportionallinie = a√2, derselbenQuadrat als Grundfla¨che und darauf die Ho¨he = a.“ Ganz auf dieselbe Weise lehrtButeo selbst (Opera geometrica S. 60):Nune inter inaequalia duo latera basis solidi primi, quae sunt ba, & bcadinveniatur media proportionalis linea bf . Ex qua describatur quadratum,quod sit bghf ... Et super basi bghf , constituatur solidum rectangulumaeque altum solido primo,und aus der Figur links am Ende der Seite sieht man sofort, daß der neue Ko¨rpernicht auf eine Seitenfla¨che gelegt worden ist. Ebenso sind die Grundfla¨chen der fol-genden Ko¨rper immer Quadrate, nicht Rechtecke wie bei demCantorschen Berichte.In betreff der Angabe des Herrn Cantor (Z. 33 – 36): ”Das siebente Parallelopipe-don(I) hat Abmessungen, welche durch a.22164 , a.22164 , a.21132 in heutiger Schreibweisedargestellt werden, und hier, sagt Buteo, sei die Ungleichheit nicht mehr merklich“ist folgendes zu bemerken.I. Die Abmessungen dieses siebenten Ko¨rpers gibt Buteo auch nicht andeutungs-weise an; er fu¨gt nur eine Figur bei. Indessen sieht man sofort, daß das Verfahren vonButeo ein sehr einfaches Beispiel der sogenannten Iterationsrechnung ist, und es istdarum leicht, die Exponenten der Abmessungen des n-ten Ko¨rpers zu ermitteln. Seidie Seite der quadratischen Grundfla¨che dieses Ko¨rpers a.2un und die Ho¨he a.2rn , soerha¨lt man ohne weiteres die zwei Gleichungenun+1 =un + vn2, vn+1 = un,und wenn man die Gro¨ßen vn, vn+1 wegschafft, bekommt man die sehr einfache lineareDifferenzengleichung zweiter Ordnungun+2 − 12un+1 −12un = 0,deren Integral fu¨r ganzzahlige Werte von nun = A+B(−12)nist. Auf Grund der Gleichungen u1 = 0, v1 = 1 wird nunA =13, B =23,67. Kapitel 43so daß die Exponenten der drei Abmessungen des n-ten Ko¨rpers sind:13+23(−12)n,13+23(−12)n,13− 43(−12)n.Setzt man hier n = 7, bekommt man die drei Zahlen 2164 ,2164 ,1132 , so daß die von HerrnCantor angegebenen Exponenten richtig sind.II. Buteo behauptet gar nicht, daß in betreff der Abmessungen des siebentenKo¨rpers die Ungleichheit nicht mehr merklich ist, sondern er sagt wo¨rtlich (a. a. O.S. 61):Si in huiusmodi figuratione solidorum, secundum formam datam perstite-rimus, sicut hic ad septimum usque solidum feci, inaequalitas ipsa laterumsensim(!) minuetur: ut sit tandem(!) insensibilis.Buteo bemerkt also, daß die Ungleichheit allma¨hlich vermindert und zuletztnicht mehr merklich wird. Allerdings ist Herr Cantor in diesem Falle durch denBericht Ka¨stners (a. a. O. S. 47l) irregeleitet worden.BM 12, 253–254 G. Enestro¨m.[Q] Eine Geometrie (und Arithmetik) von Ramus erschien bereits 1569, gleichzeitig mitden Scholae mathematicae: P. Ramie Arithmeticae libri duo; Gemetriae septem etviginti (Basileae MDLXIX). Das Urteil Cantors u¨ber Ramus als Mathematikerwird durch dieses Werk nach jeder Richtung hin besta¨tigt.BM 4, 285 A. Sturm.[R] Anm. 2) [62] lies ”circini“ statt ”circuli“.BM 8, 85[S] Die Bemerkung, daß Benedetti (1885) bis zu einem gewissen Grade sich einer 1570vero¨ffentlichten, von Ferrari gemachten Erfindung bediente, du¨rfte auf einem Miß-versta¨ndnis beruhen. Der fragliche, von Ferrari nacherfundene Satz, bezieht sich,wie oben S. 509 auseinandergesetzt worden ist, auf die Verwandlung einer kreisfo¨rmi-gen Bewegung in eine einfach gradlinige (also nicht hin- und hergehende) oder um-gekehrt.BM 1, 510 G. Enestro¨m.[T] L. 2 en remontant, lire CA au lieu de CR.BM 1, 51044 Band 268. Kapitel. Fortsetzung der Geometrie und Mechanik. Cyclo-(571)metrie und Trigonometrie.Wir mu¨ssen noch einen Schriftsteller nennen, welcher auf den hier in unserer Darstellungvereinigten Gebieten der Geometrie und Mechanik sich grosse Verdienste erworben hat:(572)Simon Stevin1Er ist 1548 in Bru¨gge geboren, 1620 in Leiden oder in Haag gestorben. Er begann alsKaufmann in Antwerpen und setzte vermuthlich diese Bescha¨ftigung auf Reisen in Polen,Da¨nemark, dem ganzen no¨rdlichen Europa fort. Spa¨ter stand Stevin in nahen Beziehungenzu Moritz von Oranien, der ebenso ausseramtlich auf seinen Rath ho¨rte, als ihm amtlicheStellungen zuwies. Man weiss von einer Anstellung Stevin’s als Vorstand des Waterstaet(Oberwasserbaumeister ) und von einer solchen als Generalquartiermeister. Ein von Stevinzuerst ausgesprochener, dann von den Zeitgenossen viel bewunderter und weitergespon-nener Gedanke ist der von dem ”weisen Jahrhunderte“2. Vor undenklichen Zeiten habe,behauptet er, das Menschengeschlecht ein allumfassendes Wissen besessen, von welchemmehr und mehr verloren ging, und welches erst allma¨lig wieder erworben werden mu¨sse, da-mit dereinst ein zweites weises Jahrhundert erscheine. Stevin war Niederla¨nder durch unddurch und schrieb vorzugsweise in seiner niederdeutschen Muttersprache, welche er fu¨rdiejenige erkla¨rte, die vermo¨ge ihres Reichthums an einsilbigen leicht zusammensetzbarenSta¨mmen sich vorzugsweise zur Weltsprache eigne3. Freilich fu¨gte er sich der Thatsache,dass die von ihm erwu¨nschte Allgemeinversta¨ndlichkeit des Niederdeutschen, nicht entferntvorhanden war, und u¨bersetzte theils selbst seine Schriften nachmals ins Franzo¨sische, theilsliess er es zu, dass sie ins Lateinische u¨bersetzt wurden. Zuerst scheinen 1584 Zinstafeln[A]im Drucke erschienen zu sein, dann 1585 ein Band, welcher die Arithmetik, die vier erstenBu¨cher des Diophant, die praktische Arithmetik und eine Schrift mit dem Titel La Dismein sich schloss. Demselben Jahre 1585 geho¨ren fu¨nf Bu¨cher geometrischer Aufgaben an.[B]Im Jahre 1586 folgten einige Bu¨cher mechanischen Inhaltes. Sehr mannigfaltig sind dieHypomnemata mathematica, welche Snellius ins Lateinische u¨bersetzt hatte, und welchein dieser letzteren Sprache 1608 gedruckt wurden.Die Trigonometrie Stevin’s fand 1628 einen Uebersetzer in die deutsche Sprache in(573)Daniel Schwenter4, der uns im 71. Kapitel bekannt werden wird. Noch spa¨teren Datumssind Schriften Stevin’s u¨ber Befestigungskunst, welche unter den Fachma¨nnern nicht minderberu¨hmt sind, als die demselben Gegensta¨nde gewidmeten Untersuchungen Du¨rer’s (S.468). Auch bei Stevin sind bahnbrechende Gedanken ausgesprochen, von welchen hier,wo wir mit einfacher Namensnennung uns begnu¨gen mu¨ssen, der der Verteidigung mittelsSchleussenwerke erwa¨hnt werden darf, weil er Stevin in seiner doppelten Eigenschaft alsWasser- und Festungsbaumeister kennzeichnet.Die eigentlich mathematischen Schriften Stevin’s no¨thigen uns, ihm mehrfach unsere1Ka¨stner III, 392–418. — Steichen, Me´moire sur la vie et les travaux de Simon Stevin (Bruxelles1846). — Quetelet pag. 144–168. — Bierens de Haan, Bouwstoffen voor de geschiedenis der wis- ennatuurkundige wetenschappen in de Nederlande II, 183–229 und 440–445. — Allgem. deutsche Biographie.XXXVI, 158–160. Die Werke Stevin’s wurden von Albert Girard 1634 in einem starken Foliobandeim Drucke herausgegeben, den wir als Stevin citiren. Zwei Schriften (u¨ber Musik und u¨ber Mu¨hlen) hatBierens de Haan neu aufgefunden und 1887 l.c. pag. 231–360 zum Abdrucke gebracht.2Stevin pag. 106 (Geographie, Definition VI).3Stevin pag. 114 sqq.4Wertheim brieflich.68. Kapitel 45Aufmerksamkeit zuzuwenden. Fu¨r’s Erste haben wir es mit seinen geometrischen und me-chanischen Werken zu thun, wobei aber eine Schwierigkeit auftritt. Die weitaus verbreitesteAusgabe von Stevin’s Werken ist die franzo¨sische Uebersetzung durch Albert Girard,welche nach Stevin’s Tode vorbereitet erst 1634 nach Girard’s Tode herauskam. Bei deran Unauffindbarkeit grenzenden Seltenheit der fru¨heren Drucke ist es uns unmo¨glich zubestimmen, wie weit in dieser Girard’schen Gesammtausgabe, abgesehen von Zusa¨tzen desHerausgebers, welche durch Beisetzung von dessen Namen als solche gekennzeichnet sind,noch Vera¨nderungen eintraten. Ob z. B. die fu¨nf Bu¨cher geometrischer Aufgaben von 1585in den sechs Bu¨chern De la practique de Ge´ome´trie unserer Ausgabe enthalten sind, la¨sstsich nicht entnehmen. Unwahrscheinlich ist es nicht, aber denkbar wa¨re auch, dass jeneerste geometrische Schrift fu¨r uns ga¨nzlich verloren gegangen wa¨re. Die letztere Mo¨glich-keit beruht darauf, dass in der lateinischen Ausgabe von 1605–1608, welche in manchenDingen von der franzo¨sischen Ausgabe sich unterscheiden soll, und welche namentlich ei-ne Abtheilung De miscellaneis besitzt, welche dort ganz fehlt5, auch ein Verzeichniss vonSchriften sich findet, welche ha¨tten abgedruckt werden sollen, aber vom Herausgeber nochnicht druckfertig gestellt werden konnten und desshalb vorla¨ufig zuru¨ckgelegt wurden6.Allerdings sind die Problemata geometrica weder in den Miscellaneis noch in dem Ver-zeichnisse fehlender Stu¨cke enthalten, und damit ist fu¨r die erstere Mo¨glichkeit eine Stu¨tzegewonnen, welche durch einen Ausspruch des Adriaen van Roomen von 1593 wesentlichversta¨rkt wird. Dieser berichtet na¨mlich7 von einem umfassenden geometrischen WerkeStevin’s, an welchem derselbe arbeite, nachdem er 1583 (?) eine Probe davon in den fu¨nfBu¨chern Aufgaben gegeben habe. (574)Die franzo¨sische Ausgabe besteht aus sechs Theilen, von welch der I. eine besondereSeitenza¨hlung, S. l–222, besitzt, wa¨hrend die Theile II bis VI gemeinschaftlich einer neuenSeitenbezeichnung S. l–678, unterworfen sind. Das Ganze bildet mithin einen sehr star-ken Folioband von 900 Seiten. Die durch zweifache Seitenza¨hlung angedeutete wesentlicheZweitheilung des ganzen Bandes ist darauf zuru¨ckzufu¨hren, dass in der vor S. l des I. Theilssich befindende Inhaltsu¨bersicht die Theile II bis V als Memoires mathematiques du PrinceMaurice de Nassau (Accente sind im Drucke nur a¨usserst selten angegeben) bezeichnetsind, denen dann mit den einfu¨hrenden Worten et apres les susdites Memoires der VI.Theil folgt. Natu¨rlich ist nicht gemeint, die Theile II bis V seien von Moritz von Nassauverfasst. Dem widerspricht schon die Thatsache, dass in ihnen die mechanischen Schrifteninbegriffen sind, welche Stevin 1586 unter eigenem Namen vero¨ffentlichte. Die Meinung istvielmehr die, es seien hier Arbeiten vereinigt, welche fu¨r jenen Fu¨rsten bestimmt waren undauf deren Niederschrift er einen gewissen Einfluss ausu¨bte, welcher da und dort durch dieBemerkung, solches ru¨hre vom Prinzen her, hervorgehoben ist. Wie weit diese Bemerkun-gen selbst auf der Wahrheitsliebe Stevin’s, wie weit sie auf seiner ho¨fischen Gewandtheitberuhen, das zu ermitteln ist unmo¨glich. Der I. Theil entha¨lt Arithmetisches und Algebrai-sches, der II. Theil mathematische Kosmographie, der III. Theil die oben erwa¨hnten sechsBu¨cher praktischer Geometrie, der IV. Theil Mechanisches, der V. Theil Optisches, der VI.Theil auf das Kriegswesen bezu¨gliche Schriften.Dem III. Theile, zu welchem wir uns na¨her wenden, ein ganz allgemeines Lob zuspenden, ist nicht viel Veranlassung. Die praktische Geometrie Stevin’s ist unzwei-5Ka¨stner III, 407.6Ebenda III, 410–4117Quetelet pag. 167, Note 1.46 Band 2felhaft ein durch seine Anlage eigenthu¨mliches Werk, aber darum noch kein weit her-vorragendes; Die Eigentu¨mlichkeit besteht darin, dass Stevin bestrebt ist, der Geome-trie eine arithmetische Anordnung zu geben. In der Arithmetik lernt man zuerst dieZahl aussprechen, dann fu¨hrt man mit der Zahl die vier einfachen Rechnungsverfahrendes Addirens, Subtrahirens, Multiplicirens, Dividirens aus, dann kommen die Propor-tionsrechnungen. Dem entsprechend lehrt die Geometrie zuerst die einzelnen Raumge-bilde kennen, welche spa¨ter den Rechnungsverfahren unterworfen, zuletzt in Verha¨ltnisszu einander gebracht werden. In das Bereich des Kennenlernens einzelner Raumgebildezieht aber Stevin Aufgaben, welche man nicht leicht dort suchen wird. Wir nennen de-ren zwei auf die Ellipse bezu¨gliche, deren Auflo¨sungen Stevin selbst anzugeho¨ren schei-nen: die punktweise Zeichnung einer Ellipse, deren beide Axen gegeben sind, und dieAuffindung der kleinen Axe, wenn die grosse Axe und ein Ellipsenbogen gegeben sind8(575)(Figur 114). Die halbe kleine Axe wird als Verla¨ngerung der grossen Axe gezeichnet,ausserdem eine ihr gleiche Senkrechte in dem Punkte errich-tet, wo beide Axen aneinanderstossen und aus dem gleichenPunkte als Mittelpunkt mit der halben kleinen Axe als Halb-messer ein Kreisquadrant beschrieben. Den wagrechten Halb-messer des Kreisquadranten und ebenso die halbe grosse Axetheilt man, jede dieser Strecken fu¨r sich, in eine gleiche An-zahl, etwa vier gleiche Theile und nennt diejenigen Theilpunk-te einander entsprechend, Welche von dem mehrgenannten Aneinanderstossungspunkte dergrossen und halben kleinen Axe nach rechts und links geza¨hlt die gleichvielten sind. In al-len Theilpunkten werden Senkrechte errichtet, auf den Theilpunkten der halben kleinenAxe bis zum Durchschnitte mit dem beschriebenen Kreisquadranten. Die Senkrechten inden Theilpunkten der halben grossen Axen macht man den nunmehr schon abgegrenz-ten La¨ngen der Senkrechten in den entsprechenden Theilpunkten gleich, so sind dadurchPunkte der Ellipse gegeben.Fu¨r die zweite Aufgabe beruft sich Stevin auf einen Satz, welchen Gui-do Ubaldus, also offenbar Guidobaldo del Monte, bewiesen habe, und derdahin zielt, dass wenn von einem Punkte G der kleinen Axe (Figur 115)nach einem Punkte I der Ellipse die GI der halben grossenAxe gleich gezeichnet wird, das Stu¨ck HI dieser Geraden derhalben kleinen Axe gleich sein muss und umgekehrt9. Kenntman also die grosse Axe, so zieht man in deren Mitte senk-recht die Richtung der kleinen Axe, schla¨gt von einem Punk-te I des gegebenen Ellipsenbogens mit der halben grossenAxe einen Kreisbogen, der die Richtung der kleinen Axe inG schneidet und misst auf IG das Stu¨ck IH bis zum Durch-schnitte mit der grossen Axe, so ist dadurch die halbe kleineAxe bestimmt. Bei der Definition der Ko¨rper sind Ko¨rpernetze gezeichnet10, wie Du¨rersie auch hergestellt hat (S. 466). Fu¨r das Paralleltrapez ist der Name hace (Axt) statt(576)8Stevin II, 348–349. Unter I, beziehungsweise II, verstehen wir die beiden Paginirungen, von welchen imTexte die Rede war.92) Die Wahrheit es Satzes beweist sich leicht wie folgt: IH : HM = GH : HC, also IH(CMMH) =GH ·MH, IH · CM = IG ·MH, IG2 = ( IH·CMMH)2 = b2x2b2y2= a2.10Stevin II, 359.68. Kapitel 47des gebra¨uchlicheren mensa (Tisch) in Vorschlag gebracht11. Beim Addiren von Linien,welches ebenso wie das von Fla¨chen und auch das von Ko¨rpern gelehrt wird, ist eines dervorgefu¨hrten Beispiele die Addition zweier Kreisperipherien12, welche durch die Peripherieeines neuen Kreises dargestellt werde, dessen Halbmesser die Summe der Halbmesser derbeiden gegebenen Kreise sei. Unter dem Begriffe des Theilens von Fla¨chen behandelt Stevindie Aufgabe die Za¨hne eines kleinen Rades einzuschneiden13. Man befestigt das ku¨nftigeRa¨dchen in dem Mittelpunkte einer sehr viel gro¨sseren kreisrunden Platte, deren Umfangman in die vorgeschriebene Anzahl von Theilen theilt. Dann zieht man Halbmesser nachallen Theilpunkten, wodurch die kleinere Scheibe mit getheilt wird. Fehler seien auch beider Theilung des grossen Kreises unvermeidlich, aber verkleinert werden sie unmerklich,la faute se trouve du tout insensible en la petite plague. Auch Figuren mit einspringendenWinkeln werden der Theilung unterworfen14. Dabei ist die Bemerkung gemacht, welche alsDefinition solcher Figuren gelten kann, man mu¨sse darauf achten dass eine Gerade, welchedieselbe in zwei Theile zerlege, wirklich nicht mehr als zwei Theile hervorbringe.Ungleich wichtiger als Stevin’s geometrische Leistungensind seine Verdienste innerhalb der Mechanik, welche wir hier imVerein mit jenen behandeln. Stevin war es, der das Gesetz desGleichgewichtes auf der schiefen Ebene entdeckte (Figur116). Das Dreieck ACB stehe senkrecht auf einer Ebene, welche [C]die Grundlinie AC unterstu¨tzt15. Die Seite BC sei halb so grossals die BA. Man legt eine Kette von in gleichen Entfernungenvon einander aufgereihten gleichen Kugeln um das Dreieck, sodass zwei Kugeln la¨ngs BC, vier la¨ngs BA ha¨ngen, fu¨nf nach un-ten einen Zug ausu¨ben. Das ganze System ist nun offenbar im Gleichgewichte, weil sonstin einem Drehungssinne oder in dem entgegengesetzten eine niemals aufho¨rende Bewegungeintreten rnu¨sste, was widersinnig ist, et ainsi ce mouvement n’aurait aucune fin, ce qui estabsurde. Die fu¨nf unten ha¨ngenden Kugeln halten sich aber bei dem gleichma¨ssigen Zugeden sie ausu¨ben, gegenseitig im Gleichgewichte und ko¨nnen daher entfernt werden, dannbleibt noch immer Gleichgewicht zwischen den vier Kugeln auf AB und den zwei Kugelnauf BG. Die vier Kugeln ko¨nnen dabei in eine und ebenso die zwei in eine vereinigt werden,wenn nur ihre Gewichte den Geraden AB, BC proportional bleiben. Weiter wird alsdann (577)die BC senkrecht gedacht und durch ein Seil um eine Rolle bei B, an welchem ein Gewichtha¨ngt, ersetzt, so wird in dieser Form das Gesetz des Gleichgewichtes der schiefen Ebenevollends klar16. Aber Stevin geht noch einen grossen Schritt weiter: er erkennt das Gleich-gewicht zwischen drei Kra¨ften, welche den Seiten eines Dreiecks parallel und proportionalsind17, er fu¨hrt damit zugleich in die Mechanik die Uebung ein, Kra¨fte nach Richtungund Grosse durch gerade Linien zu versinnlichen, wodurch die Mechanik vollendseine geometrische Wissenschaft wird.Noch hervorragender steht Stevin in der Geschichte der Hydrostatik da, wo er durch11Stevin II, 373.12Ebenda II, 389.13Ebenda II, 403.14Ebenda II, 405 und 411.15Ebenda II, 448.16Stevin II, 449 Corollaire IV.17Ebenda II, 449 Corollaire VI.48 Band 2das sogenannte hydrostatische Paradoxon18 den ersten gewaltigen Fortschritt seit Archi-med und u¨ber das von Jenem Geleistete hinaus vollbrachte. Mit jenem Namen hat man denSatz belegt, dass jede wie immer geformte Flu¨ssigkeitssa¨ule auf ihre Grundlage einen demProducte der Ho¨he in die Basis der Sa¨ule proportionalen Druck ausu¨be. Stevin’s Beweisist folgender. Zuerst zeigt er, dass ein fester Ko¨rper, welcher einer Flu¨ssigkeit parigrave ist— gleiche Dichtigkeit mit ihr hat — an jedem Orte der Flu¨ssigkeit, wo er nur eingetauchtwird, in Ruhe verbleibt. Ein gerader Flu¨ssigkeitscylinder dru¨ckt ferner seine Grundlagemit dem ganzen Gewichte, welches dem Producte aus Ho¨he in Basis proportional ist. EineVera¨nderung kann an dieser Wahrheit nicht stattfinden, wenn nach dem Vorhergehendenein parigraver Ko¨rper beliebiger Form eingetaucht wird, und ebensowenig, wenn man sichdiesen Ko¨rper am Rande des Gefa¨sses befestigt denkt, so dass er mit dem Gefa¨sse einswird, und nur die beliebig geformte Flu¨ssigkeitssa¨ule u¨brig bleibt. Der Seitendruck derFlu¨ssigkeiten wird demna¨chst untersucht und dabei eine Methode angewandt, welche,wenn auch Archimed offenbar nachgebildet, doch von hervorragendster Bedeutung ist, in-sofern sie zum ersten Male uns wieder begegnet19. Die gedru¨ckte Seitenwand wird in kleineFla¨chentheilchen zerlegt, und da zeigt sich, dass jedes Fla¨chentheilchen einem Drucke aus-gesetzt ist, welcher zwischen zwei Grenzen liegt, d. h. gro¨sser ist als ein gewisser kleinsterDruck, kleiner als ein anderer gro¨sster Druck, dass ferner jene als Grenzen auftretendenDruckgro¨ssen wie die Gewichte ein- und umschriebener Ko¨rper sich verhalten. Dann fa¨hrtStevin aber fort: Que si on divisait le fond ACDE en plus de 4 parties egales, soit en 8; ilappert que les corps inscrits et circonscrits ne differoyent que de la moitie´ de la difference(578)precedente; et est manifeste qu’on pourroit partir le fond en tant de parties egales que la descorps inscrits et circonscrits a` la demi-colomne, differeroyent moins qu’aucun corps donne´,si petit puisse-il estre. Es ist nicht zu verkennen, dass hier ein Grenzu¨bergang vorgenom-men ist auf Grundlage der Zerlegung eines Fla¨chenstu¨ckes in mehr und mehr, kleinere undkleinere Fla¨chentheilchen, und bei der grossen Wichtigkeit der spa¨teren Entwickelung gradedieser Betrachtungsweise erscheint es wu¨nschenswerth hervorzuheben, dass diese Untersu-chungen Stevin’s zuerst 1608 in der lateinischen Ausgabe der Hypomnemata mathematicain deren dritten Bande gedruckt wurden.Die Schwimmfa¨higkeit beladener Schiffe untersuchend kam. Stevin zu den Sa¨tzen20,dass der Schwerpunkt des Schiffes tiefer als der Schwerpunkt des verdra¨ngten Wassers sichbefinden mu¨sse, und dass ein Umschlagen des Schiffes um so leichter zu befu¨rchten stehe,je ho¨her sein Schwerpunkt liege. Wenn auch nicht deutlich ausgesprochen, lag darin dieUnterscheidung des labilen von dem stabilen Gleichgewichte wenigstens angedeutet.Bei seinen Zeitgenossen war Stevin viel bewundert wegen der der Erfindung eines mitSegeln versehenen Wagens, der um das Jahr 1600 auf dem Strande zwischen Scheweningenund Petten seine Probefahrt machte. Der Wagen, dessen kleineres Modell man 1802 inScheweningen noch aufbewahrte, war mit 28 Personen besetzt. Prinz Moritz selbst lenkte,und die alleinige Kraft des Windes trieb das Fuhrwerk 14 Wegstunden weit mit solcherGeschwindigkeit, dass kein Pferd mitkommen konnte21. Soviel zuna¨chst u¨ber Stevin.Den geometrischen und mechanischen Betrachtungen gleichma¨ssig verwandt ist dieHerstellung gewisser Vorrichtungen, welche in das Ende des XVI. Jahrhunderts fa¨llt.Commandinus soll einen doppelten Zirkel mit beweglichem Scharnier und vera¨nderli-18Ebenda II, 488 Corollaire II.19Ebenda II, 488 sqq. The´orme IX.20Stevin II, 512–513.21Quetelet pag. 155–156.68. Kapitel 49chen Zirkelstangen erfunden haben22, welcher dazu diente, eine gegebene Strecke in eineAnzahl von gleichen Theilen zu theilen.Barozzi hat einen Kegelschnittzirkel eigener Erfindung beschrieben23. Ob freilichdie Erfindung eine ganz selbsta¨ndige war, oder ob Barozzi auf irgend eine Weise Kenntnissvon arabischen Vorarbeiten (Bd. I, S. 707) erhalten hatte, mu¨ssen wir dahingestellt seinlassen. Jedenfalls ist Barozzi’s Vorrichtung denen der Araber sehr a¨hnlich. Die Beschrei- (579)bung findet sich in dem Buche u¨ber Asymptoten und kennzeichnet die Vorrichtung als einesolche, welche den Kegelschnitt als Durchschnitt einer Ebene mit einem Kreiskegel entste-hen la¨sst. Die eine Zirkelstange entha¨lt na¨mlich ein Ro¨hrchen, in welchem ein Stift derartigverschiebbar ist, dass er, wa¨hrend das Ro¨hrchen einen Kegelmantel beschreibt, fortwa¨hrendmit der Zeichnungsebene in Beru¨hrung bleibt und auf ihr, je nach der Stellung des Zirkels,diesen oder jenen Kegelschnitt hervorbringt. Nach seinem Instrumente hat dann Barozzinoch ein zweites beschrieben, welches ungefa¨hr auf dem gleichen Grundgedanken beruht,und welches von einem anderen Italiener Giulio Thiene24 erfunden worden ist.Ein Professor Hommel (1518 – 1562) in Leipzig bediente sich25 dessogenannten Transversalmaassstabes (Figur 117), bei welchem durch [D]Transversallinien, die von dem oberen Rande desMaassstabes gegen den unteren geneigt gezeich-net sind, die Mo¨glichkeit gegeben ist, auch solcheLa¨ngen abzumessen, welche in Gestalt von Brucht-heilen der kleinsten in Anwendung kommendenMaasseinheit sich ausdru¨cken. Dass er in Levi benGerson (S. 289) einen Vorga¨nger hatte, war ihmvermuthlich unbekannt.Eine a¨hnliche Aufgabe hatte, wie wir uns er-innern, Nonius sich gestellt (S. 389), eine a¨hn-liche lo¨ste Clavius26. Allerdings fa¨llt die Vero¨ffentlichung der von Clavius ersonnenenVorrichtung schon in den Anfang des XVII. Jahrhunderts, aber unsere Leser sind dar-an gewo¨hnt, dass wir die Zeitgrenzen nicht genau einhalten ko¨nnen. Clavius verlangt,man solle einen Maassstab in 100 oder, wenn seine La¨nge es gestattet, in 1000 gleicheTheile theilen. Auf einem be- sonderen Sta¨bchen werde die La¨nge von 11 Theilen auf-getragen und selbst in 10 gleiche Theile getheilt. Jedes Theilchen des Hilfsmaassstabesbetra¨gt also 11 Tausendstel des urspru¨nglich l00theiligen, beziehungsweise 11 Zehntau-sendstel des urspru¨nglich l000theiligen Maassstabes, und durch Verschiebung la¨ngs demurspru¨nglichen Maassstabe kann eine Messung auf 1/10 der dortigen kleinsten La¨ngenein-heit genau vorgenommen werden. Das Neue und Wichtige bei dieser Einrichtung ist die (580)Auftragung der Hilfstheilung auf ein frei bewegliches Sta¨bchen, welche von daan, wenn auch nicht sofort, Regel und stete Uebung geworden ist. Clavius vero¨ffentlichteseine Erfindung 1606 in seiner Geometria practica, und in einer zweiten Schrift, Astrolabi-22Libri III, 121.23Ka¨stner II, 98. — A. von Braunmu¨hl, Notiz u¨ber die ersten Kegelschnittzirkel. Zeitschr. Math.Phys. XXXV, Histor.-literar. Abthlg. S. 161.24Ueber ihn vergl. Lampertico, Di Giulio Thiene uome d’arme e di scienza del Secolo XVI in den Attides R. Institute Veneto fu¨r l891.25Ka¨stner II, 355.26Breusing, Nonius oder Vernier? in den Astronomischen Nachrichten von 1880 Nr. 2289 (Band XCVI,S. 129–134).50 Band 2um, hat er sie auch auf Winkelablesungen ausgedehnt Ein in einzelne Grade abgetheilterKreisquadrant dient zur Ablesung von einzelnen Winkelminuten, sofern ein Hilfsbogen von61o in 60 gleiche Theile getheilt zum Anlegen vorbereitet ist. Die Geometrica practica ver-dient vollauf das Lob, welches in den Worten ausgesprochen ist27, sie sei ”das Muster einesLehrbegriffes der praktischen Geometrie, vollkommen fu¨r ihre Zeit“. Das Werk ist in achtBu¨cher getheilt. Das 1. Buch entha¨lt die Beschreibung von zu La¨ngen- und Winkelmes-sungen no¨thigen Vorrichtungen und die trigonometrische Berechnung von Dreiecken. Dieeigentliche Feldmessung ist im 2 und 3. Buche gelehrt. Das 4. Buch bringt Inhaltsformelnfu¨r ebene Figuren, das 5. Buch solche fu¨r Raumko¨rper, wobei die archimedische Verha¨lt-niszahl 22/7 als genu¨gend benutzt wird. Das 6. Buch lo¨st allerlei Theilungsaufgaben, sowiesolche, welche auf Vergro¨sserung von Raumgebilden in gegebenem Verha¨ltnisse sich be-ziehen. Die Wu¨rfelverdoppelung bildet einen besonderen Fall der letzteren Aufgabe, undClavius bedient sich bei ihr der von griechischen Schriftstellern zu gleichem Zwecke benutz-ten krummen Linien. Im Anschlusse an die Wu¨rfelverdoppelung erscheint die Lehre vonden Wurzelausziehungen um die vorher geometrisch gelo¨sten Aufgaben auch rechnerischbewa¨ltigen zu ko¨nnen. Das 7. Buch bezeichnet sich als das von den isoperimetrischen Figu-ren und Ko¨rpern nebst einem Anhange von der Quadratrix. In dem ziemlich umfangreichen8. Buche sind sehr verschiedene geometrische Aufgaben vereinigt. Dort sind z. B. auch eini-ge von den Na¨herungsconstructionen besprochen, welche Du¨rer gelehrt hat (S. 462), undwelche unter Handwerkern weit verbreitet waren. Trigonometrische Rechnung fu¨hrt im 29.Satze dieses Buches zur Auffindung der Winkel in dem mit fester Zirkelo¨ffnung hergestelltengleichseitigen Fu¨nfecke, und damit zum Nachweise, dass von genauer Gleichwinkligkeit hiernicht die Rede sein ko¨nne. Im 30. Satze wird die Auffindung der Siebenecksseite als halbeDreiecksseite gelehrt, aber in einer anderen Ausdrucksweise und unter Berufung auf Ca-rolus Marianus Cremonensis, eine Perso¨nlichkeit, die damals bekannter gewesen sein[E]muss, als sie gegenwa¨rtig ist. Seine Vorschrift verlangt28, dass man (Fig. 118) den Halb-(581)messer DA des Kreises, in welchen das regelma¨ssige Siebeneck eingezeichnet werden soll,um AE = 14DA verla¨ngere. Dann soll man um E mit EB = DA alsHalbmesser einen neuen Kreis beschreiben, welcher den ersten in Bschneide, so sei AB die Siebenecksseite. Die Rechnung liefertDE = 5r4 ,wenn BE = BD = r. Ist BG⊥DE, so folgt weiterDG = GE = 5r8 undBG2 = BE2GE2 = r2− 25r264 = 39r264 +(r− 5r8 )2 = 3r24 also AB =r2√3,und das ist die Ha¨lfte der Seite des regelma¨ssigen Sehnendreiecks. DenSchluss des ganzen Werkes bildet eine Tafel der Quadrate und Wu¨rfelaller ganzen Zahlen von l bis 1000 und eine Anweisung, wie man beiAusziehung von Quadrat- und Kubikwurzeln diese Tafel mit Vortheilanwenden ko¨nne. So weit die Tafel Kubikzahlen enthielt, war sie dievon gro¨sster Ausdehnung, welche noch vero¨ffentlicht worden war undblieb es auch fu¨r lange Zeit. Die Tafel der Quadratzahlen aber warschon vor ihrem Erscheinen durch die Tabula tetragonica von 1592 desitalienischen Astronomen Magini (1555–1615) weit u¨berboten29. Auf 24 Bla¨ttern entha¨ltdiese die Quadrate der Zahlen von l bis 100100.27Ka¨stner III, 287.28Auf das Verfahren des Cremonesers hat S. Gu¨nther, Zeitschr. Math. Phys. XX, Hist.-literar. Abthlg.S. 116 aufmerksam gemacht, dann H. A. J. Pressland, On the history and degree of certain geometricalapproximations in den Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society Vol.X.29J. W. L. Glaisher, Report of the Committee of mathematical tables. London 1873 S, pag. 26.68. Kapitel 51Ha¨tten wir streng die Zeitfolge eingehalten, so wa¨re vor Clavius ein anderer ganz tu¨chti-ger Geometer zu nennen gewesen. Simon Jacob30 ist in Coburg geboren und 1564 inFrankfurt am Main gestorben. Er verfasste ein Rechenbuch nebst Geometrie als zweiteBearbeitung eines bloss der Rechenkunst gewidmeten Werkes und schrieb 1552 die Vorre- [F]de dazu. Der Druck begann 1557, wurde aber unterbrochen. Als der Verfasser dann 1564starb, besorgte sein Bruder Pancraz Jacob 1565 die neue Ausgabe, welche selbst wieder-holt gedruckt wurde. In dem dritten, geometrischen Theile ist im 59. Satze angegeben, die (582)Seiten 25, 33, 60, 16 in der genannten Reihenfolge aneinander gefu¨gt bildeten ein Sehnen-viereck im Kreise vom Durchmesser 65, die beiden Diagonalen seien 52 und 39. Wie Jacobzu diesen Zahlen gekommen ist, hat er mit keinem Wort angedeutet. Erwa¨hnenswerth magaber auch erscheinen dass das Wort corauscus, eine andere Form fu¨r coraustus, erkla¨rt wirdals ”eine Linie, so mit dem Basi Parallel oder gleichweitig ist“Wenzel Jamitzer31 (1508–1586), dessen Name auch in den Schreibweisen Jamnitzerund Gamiczer vorkommt, ein geschickter Goldschmied zur Nu¨rnberg, hat 1568 Abbildun-gen zahlreicher geometrischer Ko¨rper der Oeffentlichkeit u¨bergeben. Hat die Sammlunggleich mehr ku¨nstlerisches als geometrisches Interesse, so darf doch vielleicht bemerkt wer-den, dass in ihr auch Zeichnungen von Sternpolyedern vorkommen, den ersten, welchenachgewiesen worden sindEine ganz andere Perso¨nlichkeit als diejenigen, welchen wir die letzten Seiten gewidmethaben, war Franciscus Vieta32, der gro¨sste franzo¨sische Mathematiker des ganzen XVI.Jahrhunderts. Franc¸ois Vite Seigneur de la Bigotire ist 1540 in Fontenay-le-Comtein Poitou geboren, 1603 in Paris gestorben. Er geho¨rte einer katholischen Familie an undstarb als Katholik. Da er unzweifelhaft eine Reihe von Jahren hindurch zu den Hugenotten [G]geho¨rt hat, so muss eine zweimalige Glaubensa¨nderung bei ihm angenommen werden. Vietawidmete sich der Rechtsgelehrsamkeit und begann nach in Poitiers vollendetem Studiumseine Laufbahn als Rechtsanwalt in seiner Vaterstadt, eine Stellung, welche er jedoch 1567freiwillig wieder aufgab. Als er spa¨ter Parlamentsrath in Rennes geworden war, vertriebenihn die aus Religionszwistigkeiten entstandenen Unruhen, und Herzog von Rohan, der be-kannte Fu¨hrer der Hugenotten, nahm Vieta unter seinen perso¨nlichen Schutz. Auf seineEmpfehlung hin wurde Vieta 1589 Maˆıtre des requeteˆs, Berichterstatter u¨ber Bittschriften.Nachdem Heinrich von Navarra als Ko¨nig Heinrich IV. den Thron bestiegen hatte, wur-de Vieta 1589 Parlamentsrath in Tours, spa¨ter Mitglied des ko¨niglichen geheimen Raths.Vieta’s Tod wird von dem Herausgeber seines Nachlasses als ein plo¨tzlicher bezeichnet,praecipiti et immaturo autoris fato33, Na¨heres ist aber nicht —- (583) bekannt. Von Vie-ta’s amtlicher Tha¨tigkeit wird nur eine verdienstliche Leistung berichtet: in Tours sei es ihmgelungen, den Schlu¨ssel zu einer aus mehr als 500 Zeichen bestehenden Geheimschrift zuermitteln, deren die mit Frankreich auf feindlichem Fusse stehende II spanische Regierungsich bediente, wodurch alle aufgefangenen Depeschen plo¨tzlich leicht versta¨ndlich wurden.Schriftsteller war Vieta nur auf mathematischem Gebiete und zwar in a¨usserst fruchtbarerWeise. Er liess seit 1571, besonders aber seit 1591, zahlreiche Abhandlungen und Bu¨cher30Allgem. deutsche Biographie XIII, 559.31Doppelmayr S. 160 und 205. — Ka¨stner II, 19–24. — Gu¨nther, Vermischte Untersuchungen zurGeschichte der mathematischen Wissenschaften, S. 35–36. — Allgemeine Deutsche Biographie XIII, 691–692. Artikel von R. Bergau.32Ka¨stner III, 37–38 und 162–175. — Nouvelle Biographie universelle (Paris 1866) XLVI, 135–137. Die1646 veranstaltete Ausgabe von Vieta’s Werken citiren wir als Vieta mit nachfolgender Seitenzahl.33Vieta pag. 83.52 Band 2auf eigene Kosten drucken und verschickte sie an Fachgenossen aller La¨nder. Dabei kamenihm seine gu¨nstigen Vermo¨gensverha¨ltnisse zu statten. In dieser Beziehung wird erza¨hlt,es ha¨tten sich 20000 Thaler in klingender Mu¨nze neben seinem Sterbebette vorgefunden.Fu¨r den guten Gebrauch, welchen er von seinen Geldmitteln zu machen wusste, und nichtminder fu¨r die Milde seines Charakters zeugt die Thatsache, dass er zwischen 1600 und1601 einen wissenschaftlichen Gegner, Adriaen van Roomen, einen Monat lang als Gastbei sich beherbergte und ihm alsdann die Ru¨ckreise bezahlte34. Vieta’s Schriften wurdengema¨ss der erwa¨hnten Art ihrer Verbreitung rasch bekannt, gingen aber auch rasch ver-loren, und so war bereits 1646 Franciscus van Schooten, der eine Gesammtausgabeder Vieta’schen Abhandlungen veranstaltete, nicht mehr im Stande, sie sa¨mmtlich beizu-bringen. Wir werden sehen, dass muthmasslich wenigstens einige wesentliche Verluste zubeklagen sind. Dazu geho¨rt bereits der Canon mathematicus von 1579. Es war ein Tabel-lenwerk35, welches die Sinus, Tangenten und Secanten aufeinanderfolgender Winkel, nochverschiedene andere Tafeln und eine ebene und spha¨rische Trigonometrie enthielt. ZahlloseDruckfehler entstellten das Werk, und deshalb zog Vieta alle Exemplare, deren er habhaft[H]werden konnte, zuru¨ck und vernichtete sie. In Folge dessen geho¨rt Vieta’s Canon von 1579zu den gro¨ssten Seltenheiten36, und noch weniger bekannt ist ein Abdruck, welcher 1609,also nach Vieta s Tode, veranstaltet wurde37. In dem Canon findet sich eine entschiedeneAbsage an die Sexagesimalbru¨che zu Gunsten der Decimalbru¨che. Letztere sind meistensdurch kleinere Typen von den ganzen Zahlen unterschieden, zuletzt ausser durch kleinereTypen noch durch einen sie von den ganzen Zahlen trennenden senkrechten Strich, den(584)Vorga¨nger des spa¨ter eingefu¨hrten Pu¨nktchens38. Die Gesammtausgabe von 1646 entha¨lt[I]die in ihr gesammelten Schriften nicht in der Zeitfolge ihres Erscheinens geordnet, auchnicht innerhalb der sachlich zusammengeho¨renden Abhandlungen ist diese Zeitfolge genaueingehalten, und ebensowenig unterstu¨tzen Datirungen die Uebersicht; man ist vielmehrgeno¨thigt, aus anderen bibliographischen Schriften die Angaben zu entnehmen, wann dieeinzelne Stu¨cke erstmalig gedruckt worden sind39.Zuna¨chst haben wir es mit Vieta als Geometer zu thun und haben desshalb mit zweiAbhandlungen zu beginnen, welche 1593 zuerst im Drucke erschienen: Effectionum geo-metricarum canonica recensio40 und Supplementum Geometriae41. Die erstere Schrift istdas, was man heute algebraische Geometrie zu nennen pflegt d. h. eine Zusammen-stellung derjenigen mit Zirkel und Lineal ausfu¨hrbaren Constructionen, welche dazu die-nen, gewisse Rechnungsoperationen, z. B. Auffindung des geometrischen Mittels zwischenzwei gegebenen Werthen, Auffindung des vierten Gliedes einer Proportion, von welcherdrei Glieder bekannt sind u. s. w., durch Zeichnung auszufu¨hren. Das war freilich kei-neswegs neu. Fast jede der in den Effectiones geometricae beschriebenen Constructio-34So berichtet der franzo¨sische Geschichtsschreiber De Thou im 129. Buche seiner Geschichte, aus wel-chem ein Auszug der Gesammtausgabe von Vieta’s Werken vorgedruckt ist.35Montucla I, 610–611.36Ein Exemplar findet in der Landesbibliothek zu Kassel. Vergl. Hunrath in Zeitschr. Math. Phys.XXXVIII, Histor.-literar. Abthl. S. 25.37Ein Exemplar findet sich in der ko¨niglichen Bibliothek zu Stockholm. Vergl. G. Enestro¨m in derBiblioth. mathem. 1892 S. 92.38Hunrath l. c. S. 26.39Wesentliche Dienste leistet z. B. J. G. Th. Graesse, Tre´sor de livres rares et pre´cieux ou NouveauDictionnaire Bibliographique.40Vieta pag. 229–239.41Ebenda pag. 240–257.68. Kapitel 53nen ist bereits in den Euklidischen Elementen gelehrt oder stu¨tzt sich unmittelbar aufdort Gelehrtes, und wenn auf ganz neuerdings Vero¨ffentlichtes Ru¨cksicht genommen wer-den will, so hat Benedetti in seinen Speculationes diversae von 1585 (S. 567) Aehnli-ches behandelt. Aber neu war die Zusammenstellung dieser Aufgaben, ihre Vereinigungin der bestimmten Absicht, rechnerisch erhaltene Ausdru¨cke geometrisch zu ermitteln,und darin lag ein bemerkenswerther Fortschritt. Zirkel und Lineal genu¨gen aber ent- [J]fernt nicht, alle Aufgaben zu lo¨sen. Sie reichen schon bei solchen nicht aus, die wir ku-bische Aufgaben nennen, weil sie in Gleichungsgestalt vorgelegt zum dritten Grade sicherheben. Dazu kann man sich dann verschiedener Curven bedienen, z. B. der nikomedi-schen Conchoide, welche die Aufgabe lo¨st, von einem gegebenen Punkte aus eine Geradeso zu ziehen, dass deren zwischen zwei gegebenen Linien liegendes Stu¨ck eine gegebeneLa¨nge besitze; auch Archimed za¨hlte die Ausfu¨hrung dieses Verlangens zu den erfu¨llbarenForderungen42. Mit Constructionen solcher Art hat es (585)das Supplementum Geometriae zu thun. Im 9. Satzedesselben ist z. B. die Dreitheilung eines Winkels in derWeise vollzogen, dass man (Figur 119) den zu theilenden [K]Winkel DBE als Centriwinkel eines Kreises zeichnet,den einen Schenkel DB bis zum zweiten DurchschnitteC mit dem Kreise und daru¨ber hinaus verla¨ngert undalsdann vom Endpunkte E des anderen Schenkels nachdem verla¨ngerten ersten Schenkel DB eine Gerade EFzieht, deren jenseits des Kreises gelegenes Stu¨ck GFdem Kreishalbmesser BE gleich sei. Der Winkel beiF ist alsdann ein Drittel des zu theilenden Winkels.Vieta’s Construction ist nicht die des Nikomedes (Bd. I, S. 337), sondern diejenige desArchimed (Bd. I, S. 284). Nun ist aber nicht u¨berflu¨ssig in Erinnerung zu bringen,dass die archimedische Construction in den sogenannten Wahlsa¨tzen erhalten ist, dienikomedische bei Pappus. Die Sammlungen des Pappus waren seit 1588 durch Com-mandinus herausgegeben, und Vieta hat sie, wie aus vielfachen Uebereinstimrnungenausser Zweifel ist, eingehend studirt. Die Wahlsa¨tze Archimed’s dagegen wurden ausdem Arabischen erstmalig 1659 durch Foster bekannt43. Daraus geht hervor, dass dieDreitheilung des Winkels, welche Vieta lehrte, kein Anlehen bei einem alten Schriftsteller,sondern selbsta¨ndige Nacherfindung war. Die ganze Bedeutung des SupplementumGeometriae enthu¨llt aber der 16. und besonders der 25. und letzte Satz, der allgemeineFolgesatz44, consectarium generale, Vieta’s, dass jede kubische oder biquadratischeAufgabe, wenn sonst nicht lo¨sbar, ihre Lo¨sung dadurch finde, dass man sieentweder auf eine Einschiebung zweier mittleren Proportionalen oder aufeine Winkeldreitheilung zuru¨ckfu¨hre. Fu¨r die biquadratischen Aufgaben gelte dieseBehauptung, weil biquadratische Gleichungen, wie in der Abhandlung De aequationumrecognitione gezeigt sei, immer auf kubische sich zuru¨ckfu¨hren lassen. Zweierlei ko¨nnenwir diesem Ausspruche nebenher entnehmen. Erstens geht aus ihm hervor, dass dieRecognitio aequationum, wenn sie auch erstmalig 1615 durch Anderson dem Druckeu¨bergeben wurde, doch 1593 bereits der Hauptsache nach fertig gestellt war. Zweitens42Ebenda pag. 240: Et opus ille videtur absolvisse Nicomedes sua conchoide .... Postulatum autem omninoadmisit Archimedes.43Archimedes (ed. Heiberg) II, 428.44Vieta pag. 257.54 Band 2kann man den Ausdruck omnia Problemata alioqui non solubilia, nachdem die Auflo¨sungkubischer Gleichungen durch ein algebraisch allgemeines Verfahren einmal bekannt war,(586)billigerweise nicht anders verstehen, als dass Vieta sich vollsta¨ndig klar daru¨ber war,dass die geometrische Auflo¨sung den grossen Vorzug vor der algebraischen besass, dassfu¨r sie die Schwierigkeit von unter dem Kubikwurzelzeichen auftretenden imagina¨renQuadratwurzeln nicht vorhanden war.Wieder im Jahre 1593 erschien Variorum de rebus mathematicis responsorum liberVIII 45, ein einzelnes Buch aus einer Sammlung, welche leider nicht vollsta¨ndiger bekanntgeworden ist. In dem allein vero¨ffentlichten achten Buche ist auch der Streit u¨ber denContingenzwinkel Gegenstand der Betrachtung46. Vieta stellt sich ganz und voll auf denStandpunkt Peletier’s, der Contingenzwinkel sei kein Winkel, aber die Beweisfu¨hrung istneu. Der Kreis, sagt Vieta, wird als eine ebene Figur von. unendlich vielen Seiten und Win-keln betrachtet; eine gerade Linie aber, welche eine Gerade beru¨hrt, recta rectam contin-gens, wird, von wie unbedeutender La¨nge sie sein mag, mit jener Geraden zusammenfallen,coincidit in eandem lineam rectam, und bildet keinen Winkel, nec angulum facit. Nirgendwar noch so deutlich ausgesprochen worden, was eigentlich unter Beru¨hrung zu verstehensei. Des Wortes Contingenzwinkel oder eines a¨hnlich klingenden bedient sich u¨brigens Vie-ta nicht. Er u¨bersetzt das griechische χε%ατoειδµς (Bd. I, S. 250) mit cornicularis. Das istu¨berhaupt eine Eigentu¨mlichkeit Vieta’s, durch welche seine Schriften meistens so schwerzu lesen sind, dass er es liebte, mit Neubildungen um sich zu werfen, in deren Auswahler meistens so wenig glu¨cklich griff, dass seine Ausdru¨cke kaum je Bu¨rgerrecht erlangten.Vieta besass durchweg die Neigung, seine Entdeckungen in thunlich dunkelste Sprache zukleiden, vielleicht mit der Absicht, in deren Alleinbesitz zu bleiben, wa¨hrend andererseitsdurch den Druck sein Erstlingsrecht gewahrt war.Dem Jahre 1596 entstammt der Pseudomesolabum et alia quaedam adiuncta capitula47.Es war eine Streitschrift gegen einen in ihr nicht mit Namen genannten Verfasser, den aberjeder zeitgeno¨ssische Leser sofort als Josef Scaliger erkennen musste. Dessen Werk von1594, die in Leyden gedruckten Cyclometrica elementa, nebst den vielen Widerlegungen,welche es hervorrief, werden noch in diesem Kapitel zur Rede kommen. Vieta’s Pseudo-mesolabum ero¨rtert die Mo¨glichkeit einer Wu¨rfelverdoppelung, sofern andere Aufgaben alsbereits gelo¨st vorausgesetzt werden, aber freilich sind das selbst Aufgaben, deren Bewa¨lti-(587)gung andere Mittel als die ausschliessliche Benutzung von Zirkel und Lineal erfordert.Die Zusa¨tze, adiuncta capitula, betreffen zuna¨chst die Aufgabe, aus vier Strecken, vondenen je drei eine gro¨ssere Summe als die vierte haben ein Sehnenviereck herzustellen. Dieschon von Regiomontanus ins Auge gefasste Aufgabe hatte jetzt zeitgema¨sses Interesse.Benedetti und Jacob waren Vieta vorausgegangen, ein anderer deutscher Geometer, denwir gleich nennen werden, folgte, auch Scaliger, und das gab offenbar Vieta Veranlassungzum Nachdenken u¨ber die Aufgabe, hatte eine Behandlung derselben vorgeschlagen, die wiegewo¨hnlich falsch war. Seien a, b, c, d die vier zur Bildung eines Sehnenvierecks geeignetenund gegebenen Strecken. Nun seien√a2 + b2 und√c2 + d2 die Hypotenusen, welche a, bbeziehungsweise c, d zu einem rechtwinkligen Dreieck erga¨nzen; ihr arithmetisches Mittel12√a2 + b2 + 12√b2 + d2 werde der Durchmesser des Umkreises des verlangten Sehnenvier-ecks sein. Die Widerlegung Scaliger’s war fu¨r Vieta leicht. In denselben Umkreis, sagte er,45Vieta pag. 347–435.46Ebenda pag. 386.47Ebenda pag. 258–285. Fu¨r die Datirung vergl. Chasles, Aperc¸u hist. pag. 443 Note 3 (deutsch S. 497Note 126).68. Kapitel 55mu¨sse das Sehnenviereck wie in der Reihenfolge a, b, c, d der Seiten, so auch in deren Rei-henfolge a, c, b, d sich einzeichnen lassen, aus welcher fu¨r den Durchmesser des Umkreisesnach Scaliger’s Vorschrift12√a2 + c2 +12√b2 + d2sich ergebe; es wu¨rde also√a2 + b2 +√c2 + d2 =√a2 + c2 +√b2 + d2sein mu¨ssen, und das ist nicht wahr. Bei a = 15, b = 20, c = 7, d = 24 ist√a2 + b2 +√c2 + d2 =√255 + 400 +√49 + 576 = 25 + 25 = 50und √a2 + c2 +√b2 + d2 =√225 + 49 +√400 + 576 < 17 + 32 < 50Vieta bleibt bei dieser Widerlegung nicht stehen, sondern zeigt nun seinerseits, wie unterAnwendung von Zirkel und Lineal die Aufgabe der Lo¨sung fa¨hig sei48, wobei er vorzugs-weise den Fall von vier unter einander ungleichen Strecken als den einzigen, der wirklicheSchwierigkeiten macht, behandelt (Figur 120, folg. S.). Weil im Sehnenvierecke gegenu¨ber-liegende Winkel sich zu zwei Rechten erga¨nzen, muss ∠ABE = 180oADV = CDE sein;ferner ist ∠AEB = CED, also 4ABE ∼ CDE, also EA : EB : AB = EC : ED : CD. (588)Mit Hilfe dieser Proportion kann man jede Seite des Dreiecks CDE berechnen, also auchdie Ho¨he CK und den Abschnitt EK. Ferner ist4ECK ∼ EDL,wenn DL senkrecht zu BC gezogen ist. Die Aehnlichkeit dieser Dreiecke gestattet DLund CL unmittelbar zu finden, mittelbar auch BL. Dann liefern DL und BL die Dia-gonale DB, und diese gestattet mit den vier gegebenen Strecken, das Viereck ABCDwirklich zu zeichnen. Dessen Umkreis ist zugleich Umkreis des in allen seinen Sei-ten gegebenen Dreiecks ABD, und den Durchmesser des Umkreises eines Dreiecks ausdessen Seiten zu finden, ist bekannt. Ein zweiter Zusatz zu dem Pseudomesolabum4948Vieta pag. 278.49Vieta pag. 283–285.56 Band 2lehrt die na¨herungsweise Auffindung der Seiten der re-gelma¨ssigen Fu¨nfecke, Siebenecke, Neunecke, die einemgegebenen Kreise einbeschrieben sind (Figur 121). In demgegebenen Kreise istDB die Vierecksseite,DF die Sechs-ecksseite. Letztere wird zum Durchschnitte G mit demverla¨ngerten Durchmesser CB ausgezogen, dann wirdBG in I halbirt und DI gezogen, deren Stu¨ck DU derUngleichung DF < DH < DB genu¨gt und nahezu denfu¨nften Theil der Kreisperipherie bespannt. In a¨hnlicher Weise wie 5 zwischen 6 und 4, liegt7 zwischen 8 und 6, liegt 9 zwischen 10 und 8. Das Sehnensiebeneck wird demnach gefunden,indem man (Figur 122) von der Spitze des senkrechten Kreisdurchmessers aus die Seitendes Sehnensechsecks und des Sehnenachtecks zeichnet und bis zum Durchschnitte mit demwagrechten Durchmesser verla¨ngert. Die durch jene Durchschnittspunkte begrenzte Strecke(589)wird halbirt und der Halbirungspunkt wieder mit der Spitze des senkrechten Durchmes-sers , vereinigt, so entsteht eine Sehne u¨ber nahezu dem Siebentel der Kreisperipherie. DieZeichnung des Neunecks mit Hilfe der Achtecks- und Zehnecksseite ergiebt sich darnachvon selbst. Vieta hat das volle Bewusstsein der nur na¨herungsweisen Richtigkeit dieserZeichnungen in dem Maasse, dass er am Schlu¨sse durch Rechnung nachweist, wie gross derdabei begangene Fehler ist.Ein deutscher Geometer, sagten wir, habe nach Vieta die Aufgabe vom Sehnenviereckebehandelt. Johannes Richter (1537 bis 1616), fast ausschliesslich unter dem wissen-schaftlichen Namen Pra¨torius50 bekannt, war Verfertiger mathematischer Instrumentein Nu¨rnberg, dann von 1571 ab wa¨hrend fu¨nf Jahren Professor der Mathematik in Wit-tenberg, worauf er in gleicher Eigenschaft nach der nu¨rnbergischen Universita¨t Altdorfu¨bersiedelte. Er erfand etwa im Jahre 1590 den Messtisch, welcher nach ihm auch wohlMensula Praetoriana genannt worden ist. Dem Jahre 1598 entstammt eine eigene Schriftu¨ber das Sehnenviereck51: Problema, quod jubet ex quatuor lineis rectis datis quadrilaterumfieri, quod sit in circulo, aliquot modis explicatum. Pra¨torius beginnt mit einem geschicht-lichen Ueberblicke. Die Aufgabe sei eine bereits alte, und die Fragen, welche man sichvorgelegt habe, seien hauptsa¨chlich die nach dem Durchmesser des Umkreises und nachdem Fla¨cheninhalte des Vierecks. Regiomontanus habe mit der Aufgabe sich bescha¨ftigt,Simon Jacob habe die Diagonalen des Vierecks und den Kreisdurchmesser berechnet. Vie-ta’s Auflo¨sung der Aufgabe wird alsdann ero¨rtert, und die Bemerkung ist beigefu¨gt, es gebenoch neuere Auflo¨sungen, welche er (Pra¨torius) aber nicht kenne. Endlich geht Pra¨toriusdazu u¨ber, die Ausdru¨cke fu¨r die Diagonalen zu bestimmen und zu zeigen, wie alsdann,der Durchmesser des Umkreises berechnet werde. Sein Bestreben geht dahin, alle siebenauftretenden Maasszahlen rational werden zu lassen, und dieses gelingt ihm in dreifacherMo¨glichkeit: erstens durch die Seiten 25, 39, 52, 60; zweitens durch 33, 39, 52, 56; drittensdurch 16, 25, 33, 60, welche letzteren Zahlen Jacob schon angegeben hatte. Pra¨torius hatauch 1599 ein in der Mu¨nchner Bibliothek aufbewahrtes Manuscript niedergeschrieben,welches Bemerkenswerthes entha¨lt. In ihm findet sich eine angena¨herte Wu¨rfelverdoppe-lung, auf der Gleichsetzung von 3√2 mit sec 37o30′ beruht, und bei welcher angegeben ist,der in der Zeichnung benutzte Winkel sei kaum um 2′ unrichtig. Da 3√2 = 1, 2599210,(590)sec 37o30′ = 1, 2604724, sec 37o28′ = 1, 2599101, so erkennt man, wie genau Pra¨torius50Allgemeine deutsche Biographie XXVI, 519–520. Artikel von Gu¨nther.51Chasles, Aperc¸u hist. 444–445 (deutsch 498–499).68. Kapitel 57gerechnet hat52.Wir kehren nach dieser Einschaltung zu Vieta’s geometrischen Schriften zuru¨ck, derenwichtigste, der Apollonius Gallusfootnote Vieta pag. 325–346. Mit Wiederherstellungs-versuchen der Apollonischen Beru¨hrungen haben sich bescha¨ftigt: J. Wilh. Camerer,Apollonii de tactionibus quae supersunt, 1795. C. G. Haumann, Versuch einer Wie-derherstellung der Bu¨cher des Apollonius von Perga¨ von den Beru¨hrungen, 1817. W. L.Christmann, Apollonius Suevus sive tactionum problema nunc demum restitutum, 1821.von 1600 noch aussteht. Adriaen van Roomen hatte 1593 o¨ffentlich allen Mathematikerneine Aufgabe gestellt, auf welche wir noch zu reden: kommen. Vieta lo¨ste dieselbe und liessseine gegen den Urheber der Aufgabe einigermassen ho¨hnisch gefasste Auflo¨sung drucken.Zugleich stellte er die Gegenaufgabe, die verlorene Schrift des Apollonius Perga¨ von denBeru¨hrungen, piε%ιεpiαϕων so weit wiederherzustellen, dass man einen Kreis zeichne, derdrei gegebene Kreise beru¨hre; bringe Belgien keinen Apollonius hervor, so werde ein gal-lischer auftreten. Van Roomen, ein geborener Belgier, gab nach nicht langer Zeit eineAuflo¨sung mit Hilfe einer Hyperbel. Darauf erschien der schon genannte Apollonius Gal-lus. Eine Auflo¨sung mit Hilfe de Hyperbel sei nicht verlangt worden; eine solche sei nichteigentlich geometrisch; vielmehr mu¨sse sie, um diesen Namen zu verdienen sich auf die An-wendung von Zirkel und Lineal beschra¨nken, und eine derartige Auflo¨sung gab nun Vieta inder That. Sie beruht auf der Kenntniss der beiden Aehnlichkeitspunkte zweier Kreise53,welche Vieta in Lemmen zum 8. Probleme als solche Punkte auf der Centrallinie zwei-er Kreise, in jungente ipsorum centra, definirt, welche die Eigenschaft besitzen, dass jededurch sie hindurchgehende Secante der beiden Kreise a¨hnliche Kreisabschnitte beider her-vorbringt. Wahrscheinlich gelangte Vieta durch das Studium des 7. Buches von Pappus zurEntdeckung dieser Punkte, da dort, gerade in den Lemmen zu den Beru¨hrungen des Apol-lonius, derselben soweit vorgearbeitet ist (Bd. I, S. 423), als wenigstens gelehrt wird, dassdie Verbindungsgerade der entgegengesetzten Endpunkte paralleler Halbmesser zweier sicha¨usserlich beru¨hrender Kreise durch den Beru¨hrungspunkt gehe, und als auch der a¨ussereAehnlichkeitspunkt einer Figur entnommen werden kann. Aber habe Vieta dort auch dieAnregung zur Stellung der Aufgabe, habe er dort einen Gedanken gefunden, der fruchtbarsich erwies, immerhin ist das bei Pappus Vorhandene durch Vieta weitaus u¨berholt, so dass (591)ihm mit vollem Rechte die eigentliche Entdeckung der Aehnlichkeitspunkte zugeschriebenwird. Anha¨nge zum Apollonius Gallus bescha¨ftigen sich dann weiter mit der Auflo¨sung mit-tels Zirkel und Lineal von anderen Aufgaben, welche von Vieta’s Vorga¨ngern immer nuralgebraisch behandelt worden waren. Dreiecke werden gezeichnet, deren Grundlinie undHo¨he gegeben ist und als drittes Stu¨ck das Product der beiden anderen Seiten oder derenQuotient, deren Summe, deren Differenz, oder auch der Winkel an der Spitze des Dreiecks.Ferner wird ein rechtwinkliges Dreieck hergestellt, dessen Seiten eine stetige geometrischeProportion bilden. Bei der letzteren Aufgabe ist ganz beila¨ufig ausgesprochen, der Kreis-durchmesser verhalte sich zum Quadranten sehr nahezu, proxime, wie 100000 : 78540, d. h.Vieta setzt hier pi = 3, 14160. Eigentu¨mlich genug erscheint es, dass im Apollonius GallusVieta die rein geometrischen Auflo¨sungen den algebraisch-geometrischen vorzieht, er, derwie wir gesehen haben, die algebraische Geometrie als zusammenha¨ngendes Ganzes gelehrthat, der, wie wir noch sehen werden, der Algebra selbst zu wesentlichsten Fortschritten ver-half.52Curtze in Zeitschr. Math. Phys. XL, Histor.- literar. Abthlg. S. 11– 12.53Ebenda pag. 334–335.58 Band 2Einen geometrischen Gegenstand haben wir seither nur ganz gelegentlich und dadurchrecht stiefmu¨tterlich in Betracht zu ziehen gehabt, welcher von nun an aufmerksamereBeachtung in so hohem Grade verlangt, dass er einen selbsta¨ndigen Abschnitt geometrischerUntersuchung bildet: die Cyclometrie oder Ausmessung des Kreises54.Zu denen, welche im XVI. Jahrhunderte glaubten, den Kreis genau in ein Quadrat ver-wandeln zu ko¨nnen, geho¨rten Orontius Finaeus (S. 378), Bouvelles (S. 383). In No-nius (S. 389) und Buteo (S. 563) nannten wir Widerleger ihrer Irrthu¨mer. Auch Claviusha¨tten wir diesen beigesellen du¨rfen, welcher in seiner Geometriae practica gegen Finaeusauftrat. Ein neuer der Natur der Sache nach gleichfalls unglu¨cklicher Verfasser von fu¨rgenau gehaltenen Kreisquadraturen war Simon Duchesne. Man kennt seinen GeburtsortDoˆles in Frankreich. Er muss aber fru¨hzeitig nach Holland gekommen sein, wo sein Namesich in Van der Eycke, lateinisch a Quercu umwandelte, und wo er seine Muttersprache(592)so gru¨ndlich verlernte, dass seine franzo¨sisch geschriebenen Bu¨cher schlechten wo¨rtlichenUebersetzungen aus dem Holla¨ndischen gleichen55. Er wohnte 1584 in Delft und lebte noch1603. Er hat 1583 eine ersten, 1586 einen zweiten Versuch zur Kreismessung gemacht. Erwusste, dass Archimed dem Verha¨ltnisse des Kreisumfanges zum Durchmesser, also derje-nigen Zahl, welche seit der Mitte des XVIII. Jahrhunderts etwa durch pi bezeichnet wird56,zwei Grenzen gesetzt hat, indem er 31071 < pi < 317 nachwies, und er erkannte zuna¨chstdie Richtigkeit dieser archimedischen Grenzen an. Zwischen ihnen lag auch die erste vonDuchesne gegebene Verha¨ltnisszahl pi = 3 69484 , denn in Decimalbru¨che umgesetzt ist31071= 3, 14084507 · · · , 3 69484= 3, 14256198 · · · , 317= 3, 14285714 · · · ,Die Duchesne’sche Zahl 3 69484 besitzt u¨berdies die Eigenschaft, ein vollsta¨ndiges Quadrat(3922)2 zu sein, und dadurch ist die Auffindung des dem Kreise fla¨chengleichen Quadrateswesentlich erleichtert da dessen Seite 3944d wird, unter d den Kreisdurchmesser verstehend.Die von den Aegyptern benutzte Verha¨ltnisszahl fu¨hrte zu 89d als Quadratseite (Bd. I,S. 57), Inder fanden sie als 78d (Bd. I, S. 602), Franco von Lu¨ttich57 benutzte 910d.Diese drei Werthe scheinen die einzigen zu sein, welche neben dem von Duchesne pi als[L]quadratisch auftreten lassen. Wahrscheinlich 1585 erschien eine Gegenschrift von Ludolphvan Ceulen, dessen hervorragende eigene Leistungen in ein spa¨teres Jahr fallen und unsdort Gelegenheit geben werden, von ihnen zu reden. Wider diese Gegenschrift wandte sichDuchesne in einer Vero¨ffentlichung von 1586, welcher im gleichen Jahre eine abermaligeEntgegnung von Ludolph van Ceulen folgte58. So viel hatte die Gegenschrift gefruchtet,dass Duchesne nicht bei seinem ersten Werthe blieb, aber er ersetzte ihn durch einenweitaus unvollkommneren, durchpi =√√320− 8 = 3, 1446055 · · · ,54Hervorragende Untersuchungen u¨ber die Geschichte der Cyclometrie bei Montucla, Histoire des re-cherches sur la quadrature. du cercle. 2e dition (Paris 1831). — Vorsterman van Oijen im BulletinoBoncompagni I, 141 – 156 (Rom 1868). — J. W. L. Glaisher im Messenger of Mathematics, New SeriesNo. 20 (1872) und 26 (1873). — Bierens de Haan im Bullet. Boncomp. VII, 99–140 (1874) und Bouwstof-fen voor de Geschiedenis der wis- en natuurkundige wetenschappen in de Nederlanden (1878). — Rudio,Das Problem von der Quadratur des Zirkels (Zu¨rich 1890).55Bouwstoffen etc. pag. 100.56Enestro¨m in der Bibliotheca mathematica 1889, pag. 28.57s) Zeitschr. Math. Phys. XXVII, Supplementheft S. 187.58Bouwstoffen etc. pag. 112–113.68. Kapitel 59d. h. durch eine Zahl, welche gro¨sser war als die von Archimed aufgestellte obere Gren- (593)ze 317 , und Duchesne handelte hierbei keineswegs unbewusst. Er erkla¨rt vielmehr ruhig:demzufolge komme die richtige Verha¨ltnisszahl zwischen Durchmesser und Kreisumfangausserhalb der archimedischen Grenzen zu liegen und sei gro¨sser als 317 .Trotz dieser Eigenschaft des neuen Werthes, welche jeden ernsthaf-ten Mathematiker auch der damaligen Zeit kopfscheu machen musste,fand derselbe einen Bewunderer in Raimarus Ursus59. Dieser Land- [M]messer aus dem Dithmarschen, welcher durch eigenes Studium vomSchweinehirten zum kaiserlichen Mathematiker auf gestiegen war, wid-mete in seinem Fundamentum astronomicum von 1588 ein besonderesBlatt Simoni a Quercu inventori divini artificii. Die Erfindung selbstwird folgendermassen geschildert (Fig. 123). Sei AB ein Kreisdurch-messer und BD Beru¨hrungslinie an den Kreis, ferner AD so gezo-gen, dass das innerhalb des Kreises fallende Stu¨ck AC dem von derBeru¨hrungslinie abgeschnittenen Stu¨cke BD gleich wird, so ist AC zu-gleich auch die La¨nge des Kreisquadranten. Zieht man die Hilfslinie BC, so sind die beidenrechtwinkligen Dreiecke ABD, BCD einander a¨hnlich, mithin AD : BD = BSD : CD.Nun heisse BD = AC = x, CD = y, AB = d, so ist(x+ y)2 = x2 + d2, y =√x2 + d2 − xund jene Proportion geht u¨ber in√x2 + d2 : x = x : (√x2 + d2 − x),woraus x = d4√√320− 8 folgt. Ist nun x wirklich die La¨nge des Quadranten oder pid4 ,so erscheint in der That pi =√√320− 8, aber fu¨r jene Gleichsetzung, welche doch erstbewiesen werden mu¨sste, scheint eine Begru¨ndung nicht versucht zu sein.Vieta gab, wie wir schon gesagt haben, 1593 das 8. Buch der vermischten Aufgabenheraus, und dort sind der Zahl pi mehrere Anna¨herungen gegeben, welche aber immer nurals Anna¨herungen bezeichnet Vieta’s wissenschaftlichen Standpunkt wahren60. Zuna¨chsterkla¨rt Vieta, er sei den Spuren Archimed’s folgend weit u¨ber das von diesem erreichte Zielhinausgekommen. Er habe na¨mlich gefunden: (594)3141592653710000000000< pi <3141592653710000000000.Na¨chst dieser auf 9 Dezimalstellen genauen Ermittelung schla¨gt Vieta folgende vor: das [N]kleinere Stu¨ck einer im goldenen Schnitt getheilten Strecke verhalte sich zur ganzen Streckewie der Kreisdurchmesser zu 1012 der Peripherie. Dieser Annahme entsprichtpi =18 +√18010= 3, 14164075 · · · ,d. h. ein Werth, welcher von dem des Ptolema¨us (Bd. I., S. 394) sich erstvon der 5. Decimalstelle an unterscheidet. Eine Konstruktion desselben ist folgende59Ka¨stner I, 632. — Allgem. deutsche Biographie XXVII, 179–180. — Rud. Wolf, AstronomischeMittheilungen Nr. LXVIII.60Vieta pag. 392–393.60 Band 2(Figur 124): BC und DE sind zwei im Mittelpunkte A senk-recht durchkreuzende Durchmesser. AD ist in F halbirt unddurch B und F die BG bis zum Durchschnitte mit der Kreis-linie gezogen, dann von G aus die GH‖DE. Man macht FZ =FA, EI = BZ, zieht IH und mit ihr parallel EK, so ist AK dieangena¨herte La¨nge des Kreisquadranten. Wegen AB = 2AF istBH = 2GH, und da GH2 = BH ·HC, so ist auch GH = 2HC,BH = 4HC = 45d, AH =45d− 12d = 0, 3d. FernerFB =√AB2 +AF 2 =d4√5, BZ = EI =d4(√5− 1),AI = AE − EI = d4(3−√5).Aber AI : AE = AH : AK, mithinAK =AE ·AHAI=d2 · 3d10d4(3−√5)=320d(3 +√5),und da AK der Kreisquadrant oder dpi4 sein soll, so wird pi =18+√18010 wie oben. Auch eineZeichnung des fla¨chengleichen Quadrates wird unter Voraussetzung des gleichen Werthesvon pi gelehrt.Wissenschaftlich weit merkwu¨rdiger ist eine zweite von Vieta ein-geschlagene Gedankenfolge61, von welcher er selbst aussagt, sie sei dasin Rechnung umgesetzte Verfahren des Antiphon (Bd. I, S. 190). Sei(Figur 125) AB = an die Seite des regelma¨ssigen Sehnen-n-ecks, des-(595)sen Fla¨che Fn heisse, sei ferner AC = a2n die Seite des regelma¨ssigenSehnen-2n-ecks und F2n dessen Fla¨che. OC = r ist der Halbmesser,BE = an ist die Supplementarsehne von AB, fu¨r welche Vieta desNamens Apotome sich bediente. Offenbar ist4ABE ∼ ADO,mithin BE : AE = OD : OA oder ODr =an2r . Ferner ist4OAC = 12nF2n, 4OAD = 12nFn,Fn : F2n = 4OAD : 4OAC = OD : OC = an : 2r.Genau ebenso beweist sich F2n : F4n = a2n : 2r, F4n : F8n = a4n : 2r u. s. w. Multiplicatio-nen von k solcher aufeinander folgenden Proportionen giebtFn : F2kn = an · a2n · · · a2k−1n : (2r)k.Ist n = 4, so ist F4 = 2r2 und 2k · n = 2k+2, 2k−1 · n = 2k+1, alsoF2k+2 = 2r2 · 2ra4· 2ra8· · · 2rak+12.61Vieta pag. 398–400.68. Kapitel 61Bei unendlich werdendem k fa¨llt F2k+2 mit der Kreisfla¨che r2pi zusammen und durch leichteUmformung ist2pi=a42r· a82r· a162r· · · in infin.Nun ist aber an2r = cosAEB = cos360o2n oder die unendliche Factorenfolge rechter Handwu¨rde sich heute in der Formcos90o2· cos 90o4· cos 90o8· · ·darstellen. Die Werthe dieser einzelnen Factoren sind aber√12,√12+12√12,√√√√12+12√12+12√12, · · ·und so kommt2pi=√12·√12+12√12·√√√√12+12√12+12√12· · · ,wie Vieta gefunden hat. Es war das die erste unendliche Factorenfolge, welche auf-gestellt worden ist, und ein glu¨cklicher. Zufall wollte, dass es eine convergente Factorenfolgewar, welche entstand62. Eine praktische Folge hatten die vollsta¨ndig aus dem gewohntenGedankenbereiche sich entfernenden Untersuchungen Vieta’s nicht. Sie verhinderten nicht (596)einmal, dass ein auf anderen Gebieten hervorragender Gelehrter schon im folgenden Jahremit neuen Verkehrtheiten an die Oeffentlichkeit trat. Joseph Scaliger63 (1540 – 1609)geboren in Agen in der franzo¨sischen Provinz Guienne, kam als bereits weit und breitberu¨hmter Mann 1593 an die Leidener Hochschule, welcher er bis zu seinem Lebensen-de angeho¨rte. Sein Opus de emendatione temporum von 1583 war ein bahnbrechendesLehrbuch der Chronologie und erwarb ihm den keineswegs unverdienten Namen, derVater dieser Wissenschaft gewesen zu sein. Begreiflicherweise sah man daher mit zum vor-aus hochgespannter Erwartung seinen Cycloometrica elementa entgegen, welche 1594 beieinem der ersten damaligen Drucker, Raphelengius (Franz von Ravelingen) in Leiden ingla¨nzender Ausstattung erschienen (S. 586) [S. 54] und welchen noch im gleichen Jahredas Mesolabium sowie ein Appendix ad cyclometrica nachfolgten. Wie verkehrt Scaliger’sMeinungen waren, zeigt gleich die Thatsache, dass im ersten Buche der Cyclometrica derSatz ausgesprochen ist, das Quadrat des Kreisumfanges sei das Zehnfache des Quadratesdes Durchmessers (pi =√10) , wa¨hrend im zweiten Buche behauptet wird, die Kreisfla¨chesei gleich einem Rechtecke , dessen Grundlinie die Seite des dem Kreise eingeschriebenengleichseitigen Dreiecks und dessen Ho¨he 910 des Kreisdurchmessers sei (pi =√9, 92). EinenWiderspruch sah Scaliger in diesen beiden Behauptungen deshalb nicht, weil er die Wahr-heit des archimedischen Satzes leugnete, die Fla¨chen des Kreises und eines rechtwinkligenDreiecks mit Kreisumfang und Halbmesser als Katheten seien gleich. Ja es kam ihm auchdarauf nicht an, herauszurechnen, die Seiten des regelma¨ssigen Sehnenzwo¨lfecks besa¨sseneine gro¨ssere Summe als der Kreisumfang u. s. w. Ein franzo¨sischer Schriftsteller u¨ber62Den Beweis der Convergenz hatH. Rudio in der Zeitschr. Math. Phys. XXXVI, Histor.-liter. AbtheilungS. 139–140 gefu¨hrt.63Ka¨stner I, 487–497. — Bouwstoffen etc. pag. 280–314. —Wolf, Geschichte der Astronomie pag. 337.62 Band 2Befestigungskunst, Jean Errard de Barleduc64, Ludolph van Ceulen, Clavius,Van Roomen, Vieta, ein Italiener Pietro Antonio Cataldi erhoben ihre Stimmengegen Scaliger, aber ohne ihn eines Besseren zu belehren. Sein Appendix giebt zwar eini-ge Fehler der Cyclometrica zu, aber es seien nur nebensa¨chliche Irrthu¨mer, wa¨hrend diearchimedische Lehre in allen Hauptpunkten falsch sei. Vieta hatte sich nicht nur in demschon von uns genannten Pseudomesolabium gegen Scaliger ausgesprochen, sondern auchin einer zweiten Schrift Munimen adversus nova cyclometrica. Aus dieser erwa¨hnen wir(597)nur die Bemerkung, Scaliger’s pi =√10 sei nicht einmal neu, sondern von Arabern la¨ngstin Anwendung gebracht65.Auch Jacob Christmann66 (1554 – 1630 [†1613]), Orientalist und Astronom in Hei-delberg, schrieb 1595 eine vornehmlich gegen Scaliger gerichtete Tractatio geometrica dequadratura circuli, welche den Satz vertheidigte, es sei u¨berhaupt nicht mo¨glich, den Kreisirgend einer geradlinig begrenzten Figur genau gleich zu setzen, nur eine anna¨herungsweiseQuadratur sei ausfu¨hrbar. An Christmann’s Perso¨nlichkeit knu¨pfen sich zwei bemerkens-werthe Dinge, erstens, dass fu¨r ihn in Heidelberg 1609 die erste Professur der arabischen[O]Sprache gegru¨ndet wurde, welche es u¨berhaupt in Europa gab, und zweitens, dass er eineZeit lang der Besitzer der Originalhandschrift des Werkes des Koppernicus u¨ber die Welt-systeme war. Eine 1611 von ihm in Heidelberg zum Druck gegebene Theoria lunae entha¨lteine Stelle aus Johannes Werner’s Trigonometrie, in welcher man die erste abendla¨ndi-sche Anwendung der Prosthaphaeresis (S. 454) erkannt hat.Die Zeitfolge fu¨hrt uns zu einem weiteren Bearbeiter der Kreismessung, dessen Namenwir schon einigemal zu nennen hatten: Adriaen van Roomen67, latinisirt Adrianus Ro-manus (1561 bis 1615). Er ist in Lo¨wen geboren und hat sich dort, dann in Ko¨ln, zuletztin Italien medicinischen und mathematischen Studien gewidmet. Im Jahre 1586 war er be-reits verehelicht und wohnte in Berlin, bis er als Professor an seine heimathliche Hochschuleberufen wurde. Die mitunter auftretende Behauptung, Van Roomen sei an Stelle des ver-storbenen Gemma Frisius berufen worden, beruht auf Irrthum, da jener 1555, also sechsJahre vor Van Roomen’s Geburt starb. Ebensowenig kann aber die Berufung an Stelle desSohnes Cornelis Gemma Frisius (1535–1577) stattgefunden haben, bei dessen Tode VanRoomen erst 16 Jahre alt war. In Lo¨wen vero¨ffentlichte er 1593 seine Ideae mathematicae.Den Inhalt bildeten wesentlich Untersuchungen u¨ber regelma¨ssige Vielecke und u¨ber denWerth ihrer Seiten in Bruchtheilen des Durchmessers des einbeschriebenen, aber auch des-jenigen des umschriebenen Kreises. In dieser Weise fand er pi auf 17 Decimalstellengenau und damit na¨her, als man diese Zahl bisher kannte. Auch eine Aufgabe stellte er[P]gleichzeitig Mathematikern aller Orten: Problema Mathematicum omnibus totius orbis ma-thematicis ad construendum propositum. Das war jene Aufgabe, welche Vieta lo¨ste und mit(598)der Gegenfrage nach dem drei gegebene Kreise beru¨hrenden Kreise beantwortete (S. 590)[S 57]. Van Roomen erledigte sie, wie wir wissen, unter Anwendung von Kegelschnitten,was Vieta wieder die Gelegenheit zur Vero¨ffentliche seines Apollonius Gallus bot. Van Roo-men hatte inzwischen sein Aufenthalt vera¨ndert. Er war nach Wu¨rzburg berufen wordenund 1594 etwa dorthin u¨bergesiedelt. Dort gab er jedenfalls 1597 eine Streitschrift heraus.64Diese Schreibweise entnehmen wir dem in den Bouwstoffen etc. pag. 293 abgedruckten Titel der Re-futation. Poggendorff I, 672 schreibt Erard.65Vieta pag. 439.66Ka¨stner I, 497–498. — Allgem. deutsche Biographie IV, 222. — Urkundenbuch der Universita¨t Hei-delberg (1886) Bd. II, S. 180, Nr. 1488 und 1489.67Ka¨stner I, 457–468 und 504–511. — Bouwstoffen etc. pag. 315– 326.68. Kapitel 63Sie begann mit der Uebersetzung und Erla¨uterung von Archimed’s Kreismessung, dannfolgte Apoloqia pro Archimede gegen Scaliger, den Schluss bildeten Exercitationes cyclicaegegen Orontius Finaeus und gegen Raimarus Ursus, also eigentlich, gegen Simon Duches-ne. In dieser Streitschrift, welche einer von Ludolph van Ceulen verfassten Schrift ganza¨hnlichen Inhaltes ziemlich rasch nachfolgte, vielleicht hervorgerufen durch einen hoch-trabenden Brief Scaliger’s68, der dessen Missachtung Aller, welche ihm zu widersprechengewagt hatten, Ausdruck gab. Van Roomen zeigte dabei, dass Duchesne’s pi =√320−8 ei-ner der Werthe war, welche Nicolaus von Cusa beila¨ufig einmal angegeben, Regiomontanuswiderlegt hatte. Dieselbe Bemerkung war auch von Ludolph van Ceulen gemacht worden,und sie ist insofern nicht unwichtig, als sie zeigt dass man damals unter den niederla¨ndi-schen Kreisberechnern jener a¨lteren Literatur volle Aufmerksamkeit widmete. Nun folgte1600 Vieta’s Apollonius Gallus und die im Anschlusse daran unternommene Reise nachFrankreich. Der Aufenthalt in Wu¨rzburg wurde Van Roomen durch den dort eintretendenTod seiner Gattin verleidet. Er gab seine Professur ab und beabsichtigte sich in ein Klosterzuru¨ckzuziehen. Er muss damals nach Lo¨wen zuru¨ckgekehrt sein, von wo er 1606 neuerdingsnach Wu¨rzburg u¨bersiedelte. Ein 1606 gedrucktes Speculum astronomicum Van Roomen’snennt den Verfasser auch ausdru¨cklich Kanonikus der Johanneskirche in Wu¨rzburg. ImJahre 1610 folgte Van Roomen einer Berufung nach Polen. Nach fu¨nfja¨hrigem Aufenthaltedaselbst wollte er seiner zerru¨tteten Gesundheit durch Gebrauch der Ba¨der in Spaa wiederaufhelfen. Unterwegs starb er in Mainz.Ludolph van Ceulen69 (1540–1610) haben wir schon wiederholt genannt. Der Namekommt auch in der Form van Keulen und van Collen vor, vielleicht einen ko¨lnischen Ur-sprung der Familie bezeugend. Ludolph ist in Hildesheim geboren, in Leiden gestorben, woer die von Prinz Moritz von Oranien gegru¨ndete Professur der Kriegsbaukunst inne hatte. (599)Er wurde in der Peterskirche zu Leiden Begraben, woselbst 1840 die inzwischen nicht wie-der aufgefundene Inschrift noch vorhanden war, welche pi auf 35 Decimalstellen genaubestimmte, eine alle fru¨heren Berechnungen so weit u¨bertreffende Anna¨herung, dass esnicht unverdient erscheint, wenn man iene Verha¨ltnisszahl ha¨ufig die Ludolphische Zahlgenannt hat. Die genaue Berechnung von pi bildet den Hauptgegenstand der Schriften Lu-dolph’s van Ceulen, sowohl der Streitschriften, welche er gegen Simon Duchesne und gegenScaliger verfasste, als auch eines selbsta¨ndigen Werkes Van den Circkel, welches erstmalig1596 im Drucke erschien und nochmals 1615 nach dem Tode des Verfassers, sowie zumdritten Male 1619 in lateinischer Sprache. Die lateinische Ausgabe ru¨hrt vonWillebrordSnellius her, die zweite holla¨ndische YOH der Wittwe Ludolph’s van Ceulen, AdrianaSymonsz, welche ihrem Gatten auch scho¨n bei der mu¨hsamen Rechnung geholfen hatte.Die Berechnung selbst ging den seit Archimed altbekannten Weg, dass unter Anwendungfortwa¨hrender Quadratwurzelausziehungen die La¨nge der Seiten eingeschriebener und um-schriebener regelma¨ssiger Vielecke zu der des Kreisdurchmessers in Verha¨ltniss gesetztwurde, indem man von dem jeweil betrachteten Vielecke zu dem mit doppelter Seitenzahlu¨berging. Die Tangentenvielecke verfolgte Ludolph yan Ceulen mit dem Sechsecke begin-nend bis zu dem mit 192 Ecken, die Sehnenvielecke wurden berechnet bis zu dem mit 96Ecken. In den gedruckten Werken ist dieser Genauigkeit entsprechend pi erst auf 20, spa¨terauf 32 Decimalstellen bekannt gemacht. Die in der Grabschrift angegebenen drei weiterenStellen ru¨hren aber gleichfalls von Ludolph van Ceulen her, wie durch ein 1621 erschienenes68Ka¨stner I, 506–508.69Ka¨stner III, 50–51. — Bouwstoffen etc. pag. 123– 170. — Allgem. deutsche Biographie IV, 93.64 Band 2Werk von Snellius besta¨tigt wird70. Ludolph van Ceulen hat eine andere Schrift noch hinter-lassen De arithmetische en geometrische Fondamenten. Diese wurde 1615 in holla¨ndischerSprache gedruckt, spa¨ter abermals in einer lateinischen Bearbeitung von Snellius.Der letzte hier zu erwa¨hnende Schriftsteller ist Adriaen Anthonisz71 (1527–1607),welcher in Metz geboren in den Niederlanden als Kriegsbaumeister tha¨tig war. Er war in[Q]Alcmaer ansa¨ssig und wurde sogar 1573 zum Bu¨rgermeister dieser Stadt ernannt. Von demGeburtsorte Metz ist der Beiname Metius abgeleitet, welcher den beiden So¨hnen von An-thonisz, Adriaen und Jacob, geradezu als Familienname diente. Von diesen beiden So¨hnenwar Jacob Glasschleifer, Adriaen Metius (1571 – 1635) aber Mathematiker. Aus einer(600)1625 gedruckten Arithmetica et Geometria nova dieses Adriaen Metius ist ersichtlich, dassdessen Vater72 eine Gegenschrift gegen Duchesne verfasst hat und in dieser zwei Grenzwert-he aufstellte, zwischen welchen pi enthalten sein mu¨sse: 3 15116 < pi < 317120 . Spa¨ter ging dann[R]Anthonisz einen Schritt weiter, indem er diesen Grenzwerthen einen Mittelwerth dadurchentnahm, dass er, wie es Chuquet gemacht hatte (S. 352), die Za¨hler und die Nennereinander addirte:315 + 17106 + 120= 332226= 416113=355113= 3, 1415929 · · · ,also 6 richtige Decimalstellen. Die Entstehungsweise des Werthes von Anthonisz wird mannicht fu¨glich anders als eine zufa¨llige nennen ko¨nnen; aber da die Ludolphische Anna¨he-rung bereits bekannt war, als Anthonisz die seinige fand, so ist es unglaublich, dass nichtdurch ihn selbst eine Vergleichung sollte angestellt worden sein, welche das vortreﬄiche Uebereinstimmen von 355113 nachwies, und welche dadurch die grossen Vorzu¨ge dieses in verha¨lt-nissma¨ssig sehr kleinen Zahlen ausgedru¨ckten Verha¨ltnisses enthu¨llte. Jedenfalls hat derSohn diese Thatsache hervorgehoben.Bei allen cyclometrischen Versuchen wirklicher Mathematiker, die wir aufzuza¨hlen hat-ten, spielten Wurzelausziehungen ganz regelma¨ssig eine wesentliche Rolle. Man wird kaumetwas Auffallendes darin finden, dass nicht ha¨ufiger trigonometrische Functionen dabei ge-nannt wurden, welche doch die Beziehungen zwischen Vielecksseiten und Kreisdurchmesserso bequem erkennen lassen, denn im Grunde genommen handelt es sich dabei nur um an-dere Namen fu¨r die gleiche Sache. Die trigonometrischen Functionen selbst entstammenWurzelausziehungen, und dieser Zusammenhang mag a¨usserlich darin sich spiegeln, dasswir im Anschlu¨sse an die Kreismessung jetzt von der Anfertigung trigonometrischerTafeln handeln.Als ein hervorragender Tabellenberechner ist uns schon (S. 474) Rha¨ticus bekanntgeworden. Wir mu¨ssen der unterbrochenen Lebensgeschichte dieses Gelehrten uns wiederzuwenden, den wir zuletzt 1542 von Wittenberg nach Leipzig u¨bersiedeln sahen. Dortbegann er die Berechnung eines grossartigen Tafelwerkes der Sinus, Tangenten und Secantenfu¨r Winkel, welche um je 10” zunehmen, und unter Benutzung eines Kreishalbmessers(601)10000000000, d. h. also auf 10 Decimalstellen. Das Wort Sinus vermied Rha¨ticus dabei, essei barbarisch, und er bediente sich statt dessen des Wortes perpendiculum; fu¨r den Sinus70Bouwstoffen etc. pag. 147 die 32 Decimalstellen Ludolph’s van Ceulen; ebenda pag. 15l die 35 Stellenabgedruckt aus dem. Cyclometricus von Willebrord Snellius.71Bouwstoffen etc. pag. 219–253.72Parens meits P. M. Die beiden Buchstaben P. M. sind eine oft gebrauchte Abku¨rzung von piaememoriae. Man hat daraus fru¨her irrthu¨mlich einen Peter Metius gemacht. Yergl. Bierens de Haan imBullet. Boncomp. VII, 124.68. Kapitel 65complementi sagte er basis73. Wenn wir von der Berechnung durch Rha¨ticus sprechen, sowa¨re es fast richtiger gewesen, von einer Berechnung unter seiner Aufsicht zu reden, denn erbenutzte zwo¨lf Jahre lang mehrere Rechner zur Beihilfe, was ihn multa florenorum millia,Tausende von Gulden kostete74. Gegen 1575 sich bei Rha¨ticus ein gewisser ValentinusOtho, von dem lange Zeit bekannt war, was er selbst u¨ber sich berichtet, dass er inWittenberg von des Rha¨ticus Arbeiten geho¨rt und sich ihm darauf als Gehilfen angebotenhabe. Er nennt sich Parthenopolitanus, muss also wohl in Magdeburg geboren sein undzwar um. 1550, denn Rha¨ticus verglich sein Alter mit dem, in welchem er selbst 25-ja¨hrigzu Koppernikus gereist sei75. Johann Pra¨torius hat in einem in der Mu¨nchner Bibliothekaufbewahrten Schriftstu¨cke76 (S. 589) [S. 56] diese Mittheilungen erga¨nzt. Pra¨torius wares, der 1573 in Wittenberg den Otho auf Rha¨ticus hinwies. Er selbst hatte den jungenMann im Monat August des erwa¨hnten Jahres dadurch kennen gelernt, dass dieser ihmzwei Na¨herungswerthe von pi vorlegte. Einmal sei6424777960915000000000< 2pi < 6424777961115000000000(in Decimalen geschrieben 3, 14159265365 < pi < 3, 1415926537) und zweitens seianna¨hernd pi = 355113 . Der letztere Werth sei ein Mittelwerth zwischen dem. archimedischen227 und dem ptolema¨ischen377120 und dadurch aus beiden erhalten, dass Za¨hler von Za¨hlerund zugleich Nenner von Nenner abgezogen wurde. Pra¨torius macht die Zusatzbemerkung,jene erste Angabe habe er spa¨ter bei Vieta gefunden, aus dessen Schule sie vermuthlichstamme. So wahr es ist, dass Vieta die Zahlen kannte (S. 594) [S. 59], so hat er sie docherst 1593 in Druck gegeben, und der Nachweis ist nicht gebracht, dass Vieta schon 20 Jahrefru¨her in deren Besitz war. Was den anderen Werth 355113 betrifft, so haben wir (S. 600) [S.64] gesehen, dass Adriaen Anthonisz ihn durch Addition zweier Za¨hler und zweier Nennersich verschaffte, als er ihn in einer Streitschrift gegen Duchesne vero¨ffentlichte. Duchesne (602)selbst schrieb (S. 592) [S. 58] nicht vor 1583. Die Gegenschrift ist mithin mindestens zehnJahre spa¨ter verfasst., als Valentin Otho seinen Besuch bei Pra¨torius machte, und somitmuss Otho als Erfinder jenes Werthes gelten, womit die Selbsta¨ndigkeit von Anthonisz inkeiner Weise in Abrede gestellt werden will. Rha¨ticus nahm Otho’s Anerbieten an undbegann ihn zu unterweisen. Dazu bedurfte er schon fertig berechneter Theile der Tafeln,welche, es ist nicht gesagt wieso, in Krakau sich befanden, und Otho wurde abgesandt, sievon dort zu holen, wa¨hrend Rha¨ticus einer Einladung auf ein Schloss folgte, wo er ein neugetu¨nchtes Zimmer beziehen musste und daran erkrankte. Drei Tage nach Otho’s Ru¨ckkehrreisten beide nach Kaschau in Ungarn zu Johannes Ruber, einem hohen Beamten. Dortverschlimmerte sich der Zustand des Rha¨ticus von Tag zu Tag, und kaum eine Woche nachder Ankunft starb Rha¨ticus in den Armen seines jungen Freundes, welchen er als Erbenseiner Arbeit und der schon vollendeten Abschnitte derselben eingesetzt hatte; Otho solledie letzte Hand daran legen und den Druck u¨berwachen. Kaiser Maximilian II besta¨tigtediese Verfu¨gung und sagte zu, fu¨r die Kosten aufzukommen. Allein 1576 starb der Kaiser,und sein Nachfolger hatte fu¨r derartige Zwecke kein Geld u¨brig. Ruber deckte einige Zeitdie Kosten, bis Otho zur Wittenberger Professur der Mathematik berufen wurde und derKurfu¨rst August von Sachsen sich der Sache annahm. Aber da brachen die kryptocalvini-73Ka¨stner I, 601.74Ka¨stner, Geometrische Abhandlungen I. Sammlung S. 576.75Profecto in eadem aetate ad me venis, qua ego ad Copernicum veni76Curtze, Zur Biographie des Rheticus in der Altpreussischen Monatsschrift XXXI, 491–496.66 Band 2stischen Ha¨ndel aus, in deren Folge der Kurfu¨rst seine Hand von der Universita¨t abzog undOtho musste wiederholt einen neuen Go¨nner aufsuchen. Er fand ihn in Kurfu¨rst FriedrichIV. von der Pfalz, und mit dessen Unterstu¨tzung wurde das Werk vollendet und 1596 inNeustadt als Opus Palatinum de Triangulis77 gedruckt. Ausser den Tafeln und der Lehrevon ihrer Berechnung ist auch eine vollsta¨ndige ebene und spha¨rische Trigonometrie dar-in enthalten, aus welcher letzteren insbesondere die Unterscheidung der zweideutigenFa¨lle hervorzuheben ist78. Unter den Formeln, deren Rha¨ticus zur Berechnung der Ta-feln sich bediente, in welchen, wie naturgema¨ss, die meisten Za¨hlen mittelbar aus anderenwenigen, die unmittelbar ausgerechnet waren, abgeleitet wurden, hat mansinnα = 2 sin(n− 1)α · cosα− sin(n− 2)α,cosnα = 2 cos(n− 1)α · cosα− cos(n− 2)α[S]hervorgehoben79, deren Richtigkeit am Einfachsten aus(603)sin a+ sin b = 2 sina+ b2· cos a− b2undcos a+ cos b = 2 cosa+ b2· cos a− b2sich ergiebt.Rha¨ticus hatte ausser den im Opus Palatinum abgedruckten Tafeln noch gro¨ssere be-rechnet, bei welchen der Halbmesser zu l mit 15 Nullen angenommen war. Die Winkelwuchsen in denselben um je 10”, fu¨r den ersten und letzten Grad des Quadranten aberwaren die Winkel gar von Secunde zu Secunde unterschieden, allerdings nur unter Angabedes Sinus. Diese grossen Tafeln waren, wie Otho sich erinnerte, vorhanden, aber er wus-ste nicht mehr wo. Diese Geda¨chtnissschwa¨che, der als Grund sein Alter beigefu¨gt wird,wa¨hrend er, 1596 doch noch nicht einmal 50 Jahre za¨hlte, ist einigermassen auffallend,aber an ihrem Vorhandensein ist nicht zu zweifeln, da ein eigener Bote nach Wittenberggeschickt wurde, um die, wie Otho meinte, dort vielleicht von ihm zuru¨ckgelassenen Tafelnzu ermitteln. Natu¨rlich war die Sendung fruchtlos, denn als Otho starb und der gesammteNachlass des Rha¨ticus, den Otho besessen hatte, mit Einschluss der Originalhandschriftdes Werkes des Koppernikus, in Christmann’s Ha¨nde kam (S. 597) [S. 62], fand sich dar-unter jene grosse Tafel, der sogen. grosse Canon. Dessen Bearbeitung wurde einer fu¨r unsneuen Perso¨nlichkeit anvertraut.Bartholoma¨us Pitiscus80 (1561–1613), aus Gru¨neberg in Schlesien, war Hofpredi-ger des Kurfu¨rsten Friedrich IV. von der Pfalz, doch waren mathematische Neigungen ihmangeboren, fu¨r die er neben der Theologie manche Zeit verwandte. Als Abraham Sculte-tus81 (1566–1625), gleich Pitiscus in Gru¨neberg geboren und in Heidelberg ansa¨ssig, wo er77Die Beschreibung bei Ka¨stner I, 590–611.78Ka¨stner I, 603.79Rud. Wolf, Handbuch der Astronomie, ihre Geschichte and Literatur I, 170 (Zu¨rich 1890).80Ka¨stner I, 564–565, 581–590, 612–626; II, 743–745. — Allgem. deutsche Biographie XXVI, 204–205.— N. L. W. A. Gravelaar, Pitiscus Trigonometria in dem Nieuw Archief voor Wiskunde, 2. Reihe, III.Theil (auch als Sonderdruck 1898).81Poggendorff II, 883.68. Kapitel 67zuerst als Professor der Theologie, spa¨ter als Hofprediger Friedrich V. wirkte, im Jahre 1595Sphaericorum libri tres in Heidelberg erscheinen liess, gab Pitiscus dazu einen 57 Seitenstarken Anhang unter dem Titel Trigonometrien, sive de solutione triangulorum tractatusbrevis et perspicuus, dessen acht letzte Seiten von ebenen Dreiecken handelten. Aus diesemAnhange entstand ein Werk, welches gleichfalls Trigonometria genannt im Jahre 1600 inAugsburg gedruckt wurde. In einem Antiquariatskataloge finden wir eine ebenfalls 1600 in [T]London gedruckte von einem gewissen Hamson herru¨hrende englische Uebersetzung ange-zeigt. Wir wissen nicht, ob sie nach dem Anhange von 1595 oder schon nach der Augsburger (604)Ausgabe hergestellt war. Eine abermals erweiterte Ausgabe erschien 1612 in Frankfurt undist auf dem Titelblatte als dritte Ausgabe bezeichnet, wodurch die Abhandlung von 1595doch wohl mit Wissen des 1612 noch lebenden Pitiscus zum Range einer ersten Ausgabe desumfangreichen Werkes heraufru¨ckte. Der Titel Trigonometrie ist, wie es scheint,von Pitiscus erfunden, wenigstens la¨sst er sich fru¨her nicht nachweisen. Dieser Trigono-metrie sind Tabellen beigegeben, welche die trigonometrischen Linien Sinus u. s. w., liefern,und zwar in der Auflage von 1612 mit Decimalstellen, welche durch einen Punkt von [U]den u¨brigen Stellen getrennt sind, vielleicht in Nachahmung Vieta’s (S. 584) [S. 52].Das eigentliche Tabellenwerk aber, um dessen Vollendung Pitiseus sich Verdienste erwarb,der grosse Canon des Rha¨ticus, erschien 1613 unter dem Titel Thesaurus mathematicus.Bei denjenigen Rechnungen welche Pitiscus selbst zur Erga¨nzung der vorhandenen Lu¨ckenvornahm, bediente er sich vorzugsweise der Regula falsi, welche allma¨lig zu wah-ren Na¨herungsmethoden fu¨r Auflo¨sung von Zahlengleichungen sich ausgebildet hatte, undmittels deren man die trigonometrische Dreitheilung und Fu¨nftheilung des Bogens voll-zog, d. h. eigentlich Gleichungen dritten und fu¨nften Grades lo¨ste. Bei Pitiscus findensich fortwa¨hrend die Namen Tangente und Secante in Gebrauch, doch ru¨hren diese nichtvon ihm her. Sie sind etwas a¨lteren Ursprunges. Ihr erstes Vorkommen ist in der 1583in Basel gedruckten Geometria rotundi. Deren Verfasser, Thomas Finck82 (1561–1656)aus Flensburg, war Mediciner und Mathematiker und bald in der einen, bald in der ande-ren Eigenschaft tha¨tig, bald 1587 Leibarzt des Herzogs von Schleswig-Holstein in Gottorp,bald 1591 Professor der Mathematik in Kopenhagen, dann wieder seit 1603 ebenda Pro-fessor der Medicin. Noch ein Name entstand um den Anfang des XVII. Jahrhunderts, derName Cosinus statt des bei Pitiscus z. B. noch u¨blichen Sinus Complementi. Diese Umstel-lung (complementi sinus, co. sinus, cosinus) ru¨hrt von dem Engla¨nder Edmund Gunter(1581–1626) her, von welchem wir spa¨ter noch zu reden haben, wa¨hrend wir hier nur imZusammenhange die Ma¨nner nennen wollen, welche verschiedene Namen zuerst benutzten,die dann rasch sich einbu¨rgerten.Zu den trigonometrischen Schriftstellern geho¨rt auch der namentlich als vorzu¨glicherBeobachter beru¨hmte Astronom Tycho Brahe (1546–1601). In einem Hefte83, welchesauf der Aussenseite die Jahreszahlen 1591 und 1595 tra¨gt, hat er die wichtigsten Sa¨tze der (605)Ebenen und der spha¨rischen Trigonometrie zusammengestellt.Ganz anderer Natur waren die Fortschritte, welche die Lehre von den trigonometrischenFunctionen und welche die Trigonometrie in den Ha¨nden Vieta’s und Van Roomen’smachten. Das 8. Buch von Vieta’s vermischten Aufgaben von 1593 hat (S. 586) [S. 54]schon einmal unsere Aufmerksamkeit beansprucht. In ihm ist auf S. 402 der sogenannteCosinussatz der ebenen Trigonometrie in der Form 2ab : (a2+b2−c2) = sin 90o : sin(90o−C)82Allgem. deutsche Biographie VII, 13–14.83Als Photographotypie durch H. Studnicˇka 1886 in Prag herausgegeben.68 Band 2ausgesprochen. In demselben ist auch eine ziemlich vollsta¨ndige Sammlung von Aufgabender spha¨rischen Trigonometrie enthalten, z.B. der beiden Aufgaben, aus den drei Seiteneinen Winkel, aus den drei Winkeln eine Seite zu finden84, mit welchen seit Regiomontan (S.271) kein Mathematiker mehr sich bescha¨ftigt hatte, und Vieta giebt die jenen Aufgabenentsprechenden Lo¨sungen seiner Gewohnheit gema¨ss in fast unversta¨ndlichen Worten85,welche aber in die Proportionensin a · sinb : (cos c∓ cos a · cos b) = 1 : cosCsinA · sinB : (cosA · cosB ± cosC) = 1 : cos chaben umgesetzt werden ko¨nnen. Insbesondere aber ist zum ersten Male das reciprokeDreieck eines spha¨rischen Dreiecks erwa¨hnt, welches entsteht, wenn aus den Eck-punkten des gegebenen Dreiecks als Mittelpunkten gro¨sste Kreise beschrieben werden, diealsdann bei ihrem gegenseitigen Durchschneiden eben jenes reciproke Dreieck bilden86. Indemselben Jahre 1593 stellte Van Roomen, wie wir wiederholt erza¨hlt haben, eine o¨ffentli-che Aufgabe. Es handelte sich um eine Gleichung 45. Grades, welche gelo¨st werden sollte.Vieta war im Stande, schon 1594 die richtige Auflo¨sung im Drucke erscheinen zu lassen,[V]Responsum ad problema quod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuitAdrianus Romanus87 nannte Vieta seine Abhandlung. Es handelte sich um Folgendes, wennwir durch Anwendung unserer heutigen Bezeichnung den Gedankengang leichter versta¨nd-lich machen, als er es in der Sprache Vieta’s ist. Gegeben war also eine Gleichung 45. Grades,in welcher sa¨mmtliche Potenzen der Unbekannten mit ungeraden Exponenten jeweils ab-wechselnd mit positiven und negativen Zahlencoefficienten versehen vorkamen. Man solltedaraus den Werth der Unbekannten ermitteln. Die Potenzen der Unbekannten waren nach(606)dem Vorgange Stevin’s, wie wir noch sehen werden, durch die eingeringelten Exponentendargestellt, also x durch k1 , x3 durch k3 , ... x45 durch k45 . Die ganze Gleichung war:45x − 3795x3 + 95634x5 − 1138500x7 + 7811375x9 − 34512075x11 + 105306075x13 −232676280x15 + 384942375x17 − 488494125x19 + 483841800x21 − 378658800x23 +236030652x25 − 117679100x27 + 46955700x29 − 14945040x31 + 3764565x33 − 740259x35 +111150x37 − 12300x39 + 945x41 − 45x43 + x45 = B.Van Roomen hatte hinzugesetzt, dass, wennB =√2 +√2 +√2 +√2sei, der Werth sich ergebex =√√√√2−√2 +√2 +√2 +√3.Vieta erkannte die Beziehung zwischen x und B als eine derartige, dass sich B = 2 sinφund x = 2 sin φ45 darstellte, oder, nach geometrischer Aussprache, dass B eine Sehne und84Vieta pag. 407.85A. von Braunmu¨hl, Zur Geschichte des spha¨rischen Polardreiecks in Biblioth. math. 1898, S. 65–72.86Vieta pag. 418: Si sub apicibus singulis propositi tripleuri sphaerici describantur maximi circuli, tripleu-rum ita descriptum tripleuri primum propositi lateribus et angulis est reciprocum; vergl.A. von Braunmu¨hll. c.87 Vieta pag. 305– 324.68. Kapitel 69x die Sehne des 45. Theiles ihres Bogens war. Vieta fu¨gte auch, in der Erkenntniss, dass45 = 3·3·5 ist, hinzu, die Aufgabe lasse in drei andere sich spalten, na¨mlich in die Auflo¨sungvon 3z−z3 = B mit z = C, dann 3y−y3 = C mit y = D, endlich von 5x−5x3+x5 = D mitx = dem gesuchten Werthe. So weit mag man die Verdienste der beiden Nebenbuhler um dieErweiterung der Kenntnisse von den trigonometrischen Linien etwa als gleiche betrachten.Wenn Vieta das scheinbar alle menschliche Kunst Ueberschreitende geleistet hat, dass erden Ursprung der vorgelegten Gleichung sofort erkannte, so war dieses schlechterdingsnur dadurch mo¨glich, dass er die Bildung der Sehne des m-fachen Bogens aus derSehne des einfachen bereits kannte. Genau das Gleiche mu¨ssen wir aber auch fu¨rVan Roomen in Anspruch nehmen. War sein Wissen von den erwa¨hnten Beziehungen nurirgend geringer als das Vieta’s, so wa¨re es ihm nie gelungen, die Gleichung aufzustellen,welche er der Oeffentlichkeit u¨bergab, so wa¨re es ihm nie eingefallen, fu¨r x die Sehne von30o16 = 1o 52′ 30′′ zu setzen, um B als die Sehne von 45·30o16 = 84o 22′ 30′′ zu finden und dannru¨ckwa¨rts zu sagen, aus jenem B ergebe sich dieses x.Nun ging aber Vieta noch einen gewaltigen Schritt u¨ber Van Roomen hinaus. Letztererwar mit Vieta an der Spitze aller Mathematiker, die mit dem Zusammenhange trigonome-trischer Linien einfacher und vielfacher Bogen sich bescha¨ftigten, aber Vieta war u¨berdies, (607)was Van Roomen nicht war, der gro¨sste Algebraiker seiner Zeit. Er wusste, das wird imfolgenden Kapitel sich zeigen, von der Anzahl der Wurzeln einer Gleichung. Wenn alsofu¨r Van Roomen die Umkehrung, dass er x aus B abzuleiten verlangte, wa¨hrend er Baus x hergestellt hatte, lediglich eine solche Bedeutung hatte, wie wenn man etwa einemgeometrischen Satze, den man gefunden hat, eine Aufga¨be entnimmt, zu deren Auflo¨sunger sich eignet, so war fu¨r Vieta die Umkehrung von ganz anderem Inhalte erfu¨llt. Ausserdem Werthe von x, welcher zur Auffindung von B gefu¨hrt hat, kann es, sagte er sich,noch andere geben, und diese anderen Werthe von x hat Vieta fast sa¨mmtlich zu findengewusst, nachdem er mit grosser Wahrscheinlichkeit der Aufgabe diese neue Fassung gege-ben hatte. Denselben Werth B2 , welchen sinφ besitzt, besitzen auch die Sinuslinien andererWinkel, na¨mlich sin(360o+φ), sin(2 ·360oφ); sin(3 ·360o+φ) u. s. w. und nicht minder auchsin(180o − φ), sin(360o + 180o − φ), sin(2 · 360o + 180o − φ) u. s. w. Somit ist fu¨r x2 als demSinus des 45. Theiles des vorgenannten Bogens auch eine viele Mo¨glichkeiten enthaltendeAuffindung vorhanden. Dasselbe kann sein sin φ45 , sin(8o+ φ45), sin(16o+ φ45) u. s. w., bezie-hungsweise sin(4o − φ45), sin(12o − φ45), sin(20o − φ45) u. s. w. Wie weit konnte, durfte diesesu. s. w. sich erstrecken? Noch immer war man an die Schranke positiver Gleichungswurzelngebunden, noch immer gab es Sinuslinien nur fu¨r Bo¨gen zwischen 0 und 180o. Demzufolgemusste φ < 180o, φ45 < 4o sein, und als weitere Folge konnten nur die Werthesinφ45, sin(1 · 8o + φ45), sin(2 · 8o + φ45), . . . sin(22 · 8o + φ45als Gleichungswurzeln gelten odersin(4o − φ45), sin(4o + 1 · 8o − φ45), . . . sin(4o + 22 · 8o − φ45),welche in umgekehrter Reihenfolge genau dieselben Wurzelwerthe sind, wie vorher. Esgab deren 23. Das ist, was Vieta gefunden hat, wenn auch weitaus nicht in der scharfen,leicht durchsichtigen Ausdrucksweise, welche die heutige Sprache seinen Gedanken zu leihenweiss. Wer es versucht, Vieta’s Abhandlung durchzulesen, wird der Ueberzeugung sich70 Band 2anschliessen, dass es ein wenn nur nachtra¨gliches, doch keineswegs geringfu¨giges VerdienstVan Roomen’s bildet, Vieta’s Responsum verstanden zu haben. (608)Vieta schrieb u¨ber verwandte Untersuchungen, welche wir zu zeigen gesucht haben, bei[W]Anfertigung des Responsum schon abgeschlossen gewesen sein mu¨ssen, wenn wir auch nichtwissen weit sie zu Papier gebracht waren, Theoremata ad angulares sectiones88. Erst gegen1615 hat Anderson, ein Mathematiklehrer in Paris diese Sa¨tze mit Beweisen versehen.Von Van Roomen ist noch ein Canon triangulorum sphaericorum89 von 1609 anzufu¨hren,welcher die Weitschweifigkeit des Opus Palatinum einda¨mmend statt 28 Sonderfa¨lleder spha¨rischen Trigonometrie deren nur 6 anerkannte. Aehnliches hatte Vieta inseinen vermischten Aufgaben von 1593 geliefert.Eine gewisse Berechtigung hat es wohl, wenn wir im Anschlusse an die Schriftsteller,welche mit Trigonometrie sich bescha¨ftigten, ganz im Vorbeigehen bemerken, dass die Nie-derlande von der zweiten Ha¨lfte des XVI. Jahrhunderts an auch Wohnsitz von solchenGelehrten waren, welche die Entwerfung von Landkarten zu ihrer Aufgabe wa¨hlten90.Gerhard Mercator (1512 – 1594) von Rupelmonde an der Schelde diene als Vertreterdieser Richtung. Die ausfu¨hrlichere Darstellung seiner Projectionsmethode und dessen, wasseine Schu¨ler aus ihr gemacht haben, geho¨rt allerdings der Geschichte der Geographie oderder Kartographie an.88Vieta pag. 237–304.89Montucla I, 579.90Quetelet pag. 110–126. — Breusing, Gerhard Mercator, der deutsche Geograph (1869).68. Kapitel 71Kleine Bemerkungen zum Kapitel 68[A] Les Tafelen van Interest, midtsgaders de Constructie der seluer ont paru a` Anversde`s 1582, et parmi les ouvrages publie´s par Stevin en 1585 il convient de mentionnereu premier lieu De thiende, dont la traduction franc¸aise. La disme parut la meˆmeanne´e dans la seconde partie de L’arithme´tique.BM 3, 141 H. Bosmans.[B] Die Angabe, daß Stevin fu¨nf Bu¨cher geometrischer Aufgaben dem Jahre 1585geho¨ren, ist schon von Cantor selbst im Vorworte (S. VIII) dahin berichtigt, daßdie Problematum geometriorum libri V im Jahre 1583 in Antwerpen erschienen (vgl.hierzu Bierens de Haan, Bibliographie ne´erlandaise . . . des ouvrage . . . sur lessciences mathe´matiques et physiques, Rome 1883, S. 263), so daß sich der S. 573zitierte Ausspruch des Adrian van Roomen als richtig erweist. U¨brigens scheintdiese Schrift gar nicht selten zu sein; ich besitze selber ein Exemplar derselben, undzufa¨lliger Weise habe ich erfahren, daß in der Universita¨tsbibliothek in Messina einanderes befindlich ist.BM 1, 510 G. Enestro¨m.[C] Folgende Aufgabe, die Regiomontan an Christian Roeder, Professor in Erfurt,sendete (Aufgabe λ des Briefes vom 4. Juli 1471), zeigt, daß der Verfasser doch wohlu¨ber die Gesetze der schiefen Ebene sich klar gewesen sein muß. Der Wortlaut istfolgender:λ Duo sunt pondera colligata atque secundum situm equipollentia, quorum alterumquidem recte, alterum vero oblique descenderet, si a communi ligatura solverentur.Via autem obliqua secundi ponderis cum orizonte angulum continet viginti graduum,qualium unus rectus est nonaginta: quero proportionem talium ponderum. Equipol-lentia autem voco pondera, que sese vicissim a descensu prohibent. Ut si bc rectavice orizontis intelligatur, ab autem ad centrum mundi vergat, et ac cum bc angu-lum viginti graduum contineat, d pondus minus per ab, et e pondus maius per acdescensum petat abiecto communi vinculo.Daß Regiomontan fu¨r die von ihm gestellten Aufgaben entweder Lo¨sungen besaß,oder wenigstens zu besitzen glaubte, ist aus den von ihm in der Handschrift seinesBriefwechsels vielfach hinzugefu¨gten ausfu¨hrlichen Lo¨sungen sicher. Wa¨re der Brief-wechsel mit Roeder. weiter gefu¨hrt worden, so ha¨tte sich vielleicht auch hierzu dieLo¨sung erhalten.BM 2, 355–356 M. Curtze.[D] Daß Hommel indirekt doch von Levi Ben Gerson abha¨ngt, la¨ßt sich folgenderma-ßen erweisen. Das, was Cantor anfu¨hrt, beruht in letzter Instanz auf einer Bemer-kung Tychos in den Epistol, astronom. lib. I. (Norib. 1601) p. 62. Nun war aberTycho nicht direkter Schu¨ler Hommels, sondern verkehrte nur mit dessen Schu¨lerBartholomaeus Scultetus. Dieser aber sagt in seiner Schrift Von allerlei Solarien72 Band 2(Go¨rlitz 1582) auf S. 5, nachdem er den Transversalmaßstab beschrieben hat: Solcheangezeigte Form, den Circulum in Minuten zu theilen, haben vor zeiten im brauchegehabt die zwene fu¨rtreﬄiche Mathematici Georgius Purbachius und Joh. Re-giomantonus, zu welcher ehren und gedechtnis wir denn auch denselben modumallhie beschrieben, damit er auch zu unsern Zeiten nicht vergessen, sondern mehr inU¨bung bliebe und in brauch erhalten wu¨rde.”Daraus ist doch wohl klar, daß Hom-mel nur das lehrte, was er aus uns jetzt nicht zuga¨nglichen Schriften Regiomontansentnommen hatte. Da aber Regiomontan nachweislich das Buch Levi Ben Ger-sons u¨ber den Jacobstab gekannt hat, so du¨rfte seine Benutzung der Vorrichtung aufdieses Buch zuru¨ckgehen. Es mu¨ßte daher der Schlußpassus bei Cantor eine kleineA¨nderung erfahren.BM 2, 145 M. Curtze.[E] Nach Clavius wird hier u¨ber die von Carlo Mariani gegebene Vorschrift fu¨r dieAuffindung der Seite des gleichseitigen Siebenecks berichtet, aber u¨ber Marianiselbst bemerkt Herr Cantor nur, daß jener um das Jahr 1606 bekannter gewesensein muß als er heute ist. Willkommener fu¨r den Leser wa¨re es gewiß zu erfahren, daßdie betreffende Vorschrift in der Arbeit De aequali eptipartitione peripheriae circuli(Rom 1592, 42 Bl. 4o) vorkommt (vgl. Riccardi, Bibliot. matem. ital. II, 114), undvielleicht ko¨nnte hinzugefu¨gt werden, daß Mariani nach Riccardi eine Schrift Decirculi quadratura (Cremona 1599) verfaßt hat. Im Register wird unter ”Marianus“auf ”Cremonensis“ verwiesen, was wohl nicht angezeigt ist.BM 4, 207 G. Enestro¨m.[F] In betreff des Simon Jacob bemerkt Herr Cantor: ”Er verfaßte ein Rechenbuchnebst Geometrie als zweite Bearbeitung eines bloß, der Rechenkunst gewidmetenWerkes und schrieb 1552 die Vorrede dazu. Der Druck begann 1557, wurde aberunterbrochen. Als der Verfasser dann 1564 starb, besorgte sein Bruder Pancraz Ja-cob 1565 die neue Auflage, welche selbst wiederholt gedruckt wurde“. Fragt man nun:wann erschien die erste Auflage der Arbeit, deren neue Auflage von Pancraz Jacobbesorgt wurde? Oder ist diese erste Auflage u¨berhaupt nicht erschienen?, so kann manaus den Angaben des Herrn Cantor keine bestimmten Antworten bekommen, undin der Tat ist die Auskunft, die Pancraz Jacob 1565 in seiner Vorrede gab, nichtganz klar. Meines Erachtens sind die Angaben dieser Vorrede auf folgende Weise zudeuten: Simon Jacob verfaßte ein Rechenbuch nebst Geometrie und schrieb 1552 dieVorrede dazu. Dies Werk bestand aus drei Teilen, na¨mlich zwei arithmetischen undeinem geometrischen. Der erste Teil (also Bl. 1–63 der Auflage von 1565) wurde inetwas umgearbeiteter Form (”in Frag vnd Antwort gerieht“, ”Frag vn Antwort weiß“)von Simon Jacob selbst 1557 vero¨ffentlicht (vermutlich in einer sehr kleinen Auf-lage), aber das U¨brige blieb damals ungedruckt. Nach seinem Tode fand der Bruderdas urspru¨ngliche Manuskript (”Arithmetic vnd Geometri . . . fein rein abgeschriebenbey einander“) wieder, und gab das vollsta¨ndige Werk 1565 heraus. Von der erstenAuflage kenne ich kein Exemplar, und sie scheint allen Bibliographien unzuga¨nglichgewesen zu sein. Von dem vollsta¨ndigen Werke sind eigentlich nur zwei Auflagen er-schienen, na¨mlich 1565 und 1600; von der zweiten Auflage gibt es Exemplare mit 1612neu gedrucktem Titelblatt, und andere Exemplare scheinen das Druckjahr 1599 zuhaben. Die vonMurhard (Litteratur der mathematischen Wissenschaften I, Leipzig68. Kapitel 731797, S. 172) zitierte Auflage von 1560, die auch die wa¨lsche Praktik, also den zweitenTeil enthalten haben wu¨rde, existiert sicherlich nicht.BM 8, 85–86 G. Enestro¨m.Ich kann jetzt meine fru¨here Bemerkung u¨ber das kleine Rechenbuch Simon Jacobs(BM 8, 1907/8, S. 85–86) erga¨nzen. Freilich ist es mir nicht gelungen, die Auflage von1557 aufzufinden, aber seit einiger Zeit bin ich im Besitz einer spa¨teren Auflage, dieebenfalls sehr selten zu sein scheint, und deren Titel ich hier zum Abdruck bringe:Rechenbuch= ‖buch auff den linien vnd mit ‖ Ziffern/ sampt allerleyvortheilen/ frag= ‖ weise/ Jetzt von neuwen und zum neuntenmal ‖ mitvielen gru¨ndlichen anweisungen/ oder Demon= ‖ stration/ sampt dersel-ben Vnderrichtung gemeh= ‖ ret. Der gestalt vormals nicht ‖ getruckt. ‖Sampt angehengtem gru¨ndlichen vnd ‖ kurzen Bericht/ wie man auff einjede Eich/ Vi= ‖ sierruthen zurichten vnd bereyten soll. ‖ Jetzt neuw hin-zu gethan: ‖ Durch Simon Jacob von Koburgk/ ‖ weilandt Rechenmeisterzu Franck= ‖ fort am Mayn. ‖ Im Jahr 1600.1Oktav, (24) S.+ 175 numerierten Bla¨ttern. — Druckort fehlt.Unmittelbar nach dem Titelblatte kommt eine Vorrede (20 Druckseiten), die vom23. Februar 1557 datiert ist, und die die Richtigkeit meiner Deutung der VorredePankraz Jacobs durchaus besta¨tigt. Simon Jacob berichtet na¨mlich, daß er ausgewissen Gru¨nden bisher verhindert worden sei, das ganze Rechenbuch herauszuge-ben; dann setzt er fort:hab ich darum noht halben fu¨r mich genomen den anfang vnd erste theilmehr gemelts meins buchs, denselben an orten, da es von no¨the, gebessert,Vnd ... in Fragen gestelt.Die Angabe (Z. 29–30) der Vorlesungen: ”der Druck begann 1557, wurde aber unter-brochen“ sollte also entweder gestrichen oder modifiziert werden.Aus dem oben abgedruckten Titel geht hervor, daß die Auflage 1600 des kleinenRechenbuches Jacobs die neunte ist, und alle vorigen Auflagen scheinen sehr seltenzu sein — keine einzige findet sich in der Plimptonschen Bibliothek in New York(siehe D. E. Smith, Rara arithmetica, Boston 1908, S. 298). Von diesen a¨lterenAuflagen verzeichnet Murhard (Litteratur der mathematischen Wissenschaften I,Leipzig 1797, S. 171) vier (1557, 1589, 1590, 1599); ein Exemplar der Auflage 1599war im Besitz des Fu¨rsten B. Boncompagni (siehe Catalogo della insigne biblioteca... del principe B. Boncompagni Roma 1895, S. 463), aber ob die Auflagen 1589und 1590 wirklich existieren, weiß ich nicht. Dagegen existieren Auflagen von 1565(Frankfurt a. M.) und 1574 (Getruckt zu Franckfort amMayn, bey Christian EgenolffsErben. In Verlegung D. Adami Loniceri, M. Johannis Cnipij vnd Pauli Steinmeyers,M.D.LXXIIII, (32) S. + 174 Bl. 8o), von denen Exemplare vor einigen Jahren inAntiquariatskatalogen ausgeboten wurden.BM 9, 326–327 G. Enestro¨m.1Original in Frakturschrift. G. Do¨rflinger74 Band 2[G] D’apre`s les nouvelles recherches de Fre´d. Ritter (Franc¸ois Vie`te, Paris 1895), Vi-ette (c’est ainsi qu’on devrait e´crire) ne paraˆıt pas avoir jamais abjure´ le catholi-cisme, quelles qu’aient e´te´ ses relations avec le parti huguenot. C’est de`s 1564 qu’il aquitte´ sa situation d’avocat a` Poitiers pour s’attacher a` la dame de Soubise. Nomme´en 1574 conseiller au Parlament de Rennes, il fut presqu’imme´diatement de´tache´ auService du roi Henri III, qui, de`s 1581, le nomma maˆıtre des requeˆtes au Conseilprive´. Apre`s une interruption amene´e par des motifs politiques, il en reprit les fonc-tions en 1589, mais ne fit point partie du Parlement de Tours.BM 1, 510 P. Tannery.[H] Die Behauptung ”Zahllose Druckfehler entstellten das Werk“ [Vie`tes Canon mathe-maticus] ist nicht richtig; vgl. Braunmu¨hl, Gesch. d. Trigonom. I, S. 158 und Fre´d.Ritter, Franc¸ois Vie`te (Paris 1895), S. 54–55.BM 1, 270Durch eine genaue Untersuchung der zwei bisher bekannten Exemplare (in Stockholmund in Lo¨wen) hat es sich ergeben, daß die von Herrn Cantor erwa¨hnte neue Auf-lage des Canon mathematicus des Vie`te nur eine neue Titelauflage ist; in der Thatsind nur drei Seiten neu gedruckt, na¨mlich der Titel, die Ru¨ckseite des Titels unddie darauf folgende Seite (vgl. H. Bosmans, Le traite´ des sinus de Michiel Coignet,Bruxelles 1901, S. 21–24). Der vollsta¨ndige Titel lautet: FRAN. VIETAEI ‖ LIBEL-LORVM ‖ SVPPLICVM IN REGIA ‖magistri insignisque Mathematici varia ‖ operaMathematica. ‖ IN QVIBVS TRACTATVR CANON MATHEMATICVS ‖ SEV ‖AD ‖ TRIANGVLA ‖ ITEM CANONION TRIANGVLORVM LATERVM ‖ ratio-nalium: vna cum vniversalium inspectionum ad Cano−‖ nem Mathematicum, librosingulari. ‖ QVAE QVIDEM OMNIA ILLUSTRANTVR TABVLIS ‖ & Appendici-bus ab eodem authore recognitis. ‖ PARISIIS ‖ Apud Bartholomaeum Macaeum, inMonte D. ‖ Hilarij, sub scuto Britanniae. ‖M.D.C.IX. ‖ CVM PRIVILEGIO REGIS.Merkwu¨rdigerweise giebt es noch eine andere Titelauflage des Canon mathematicus,von welcher zwei Exemplare (in der Nationalbibliothek in Neapel und im BritishMuseum in London) bekannt sind. Der Freundlichkeit des Herrn G. Vacca, derdas zuerst genannte Exemplar eingesehen hat, verdanke ich die folgende Abschriftdes Titels: FRANCISCI VIETAEI OPERA MA −‖ THEMATICA, ‖ IN QVIBVSTRACTATVR ‖ CANON MATHEMATICVS ‖ sev ‖ ad triangvla. ‖ Item Canoniontriangulorum laterum rationalium: vna cum ‖ vniversalium inspectionum ad Cano-nem Mathe −‖ maticum, libro singulari. ‖ Quae quidem omnia illustrantur Tabuliset Appendicibus ‖ ab eodem authore recognitis. ‖ LONDINI ‖ Apud FranciscumBounier, M. D. LXXXIX.Es ist schwer zu verstehen, warum der Titel des Canon mathematicus zweimal neugedruckt worden ist.BM 2, 356 G. Enestro¨m.In einer fru¨heren Bemerkung (BM 2, 1901, S. 356) habe ich Notizen u¨ber die zweineuen Titelauflagen des Canon mafhematicus gegeben. Da zuweilen behauptet wird— bei Herrn Cantor kommt allerdings die Behauptung nicht vor —, Vie`te habewirklich eine Neuausgabe veranstalten wollen (vgl. z. B. Braunmu¨hl, Vorlesungen68. Kapitel 75u¨ber Geschichte der Trigonometrie 1, Leipzig 1900, S. 158), erlaube ich mir daraufaufmerksam zu machen, daß diese Behauptung sicherlich durch ein Mißversta¨ndnisenstanden ist. Braunmu¨hl verweist auf die Seiten 371 und 400 der Opera, unddie erste Stelle lautet: ”In recognitione Canonis Mathematici, et universalium adeundem inspectionum singularis libri (is enim infeliciter editus est anno 1579) repetivi,ac in brevem Epitomen congessi Analytica fere omnia quae pertinent ad generale,quod aperui mysterium angularium sectionum“. Hier bedeutet ”recognitio“ meinerAnsicht nach, nur ”pru¨fende Besichtigung“ oder etwas A¨hnliches, und daß der Zweckwar, eine neue Auflage zu veranstalten, deutet Vie`te gar nicht an. An der zweitenStelle sagt Vie`te: ”Dum renovatur meus ad Canonem inspectionum liber, Analyticaemeae methodi . . . ultro copiam facio“, und hier handelt es sich offenbar nur um den”Universalium inspectionum ad canonem mathematicum liber singularis“; das Wort”renovatur“ braucht u¨brigens nicht notwendigerweise zu bedeuten, daß Vie`te an eineneue Auflage dieser Schrift dachte.BM 13, 164–165 G. Enestro¨m.[I] Es ist richtig, daß Vie`te in seinem 1579 gedruckten Tabellenwerke zuletzt die De-zimale durch einen sie von den ganzen Zahlen trennenden senkrechten Strich un-terschied. Da indessen Tropfke (Geschichte der Elementarmathematik 1, Leipzig1902, S. 89) auf diesen Umstand so großen Wert legt, daß er in gesperrter Schrift be-merkt: ”Damit war der erste Dezimalbruch geschrieben“, erlaube ich mir dieCantorsche Angabe ein wenig zu erga¨nzen.In dem eigentlichen Canon mathematicus setzt Vie`te den Radius, der fu¨r Sinus undCosinus ”hypotenusa“, fu¨r Tangente und Sekante ”basis“, fu¨r Cotangente und Cose-kante ”perpendiculum“ genannt wird, gleich 100000. Im allgemeinen sind die Zahlender Tafel ganze Zahlen, aber in gewissen Fa¨llen benutzt Vie`te genauere Na¨herungs-werte mit Dezimalbru¨chen, und dann sind diese Bru¨che mit kleineren Typen gedruckt,aber immer ohne trennenden Strich.U¨berdies entha¨lt das Tabellenwerk Vie`tes verschiedene Tafeln, worin Dezimalbru¨chezuweilen vorkommen, und in einigen dieser Tafeln benutzt Vie`te wagerechte Stri-che unter den Bruchziffern. Beispielsweise kommt im ”Universalium inspectionum adcanonem mathematicum u¨ber singularis“ folgende Stelle (S. 15) vorSemi-diameter 100,000,000,00, semiperimeter circuli satis accurate314,159,265,35,also 100000pi = 314 159, 265 35. Dieselbe Bezeichnungsweise hat Vie`te S. 51–54,56–59 angewandt. Erst S. 64–65 des ”Liber singularis“ kommen kleine senkrechteStriche vor, und zwar gibt es zusammen 96 Zahlen, deren Dezimalziffern auf dieseWeise von den u¨brigen Ziffern getrennt werden Beispielsweise steht am Ende der Seite65 folgende Zahl:9, 999, 999, 348 | 00, 00, 10, 62, 76die 9 999 999 348, 0000106276 bedeutet. Man kann also mit Herrn Cantor diesenStrich den Vorga¨nger des spa¨ter eingefu¨hrten Pu¨nktchens nennen, aber Vie`te selbstlegt offenbar keinen Wert auf seine ganz beila¨ufig benutzte Bezeichnung, die u¨brigensschon 1530 bei Rudolff vorkommt (siehe BM 10, 1909/10,8.243).BM 11, 340 G. Enestro¨m.76 Band 2[J] Was Herr Cantor u¨ber den Inhalt der Abhandlung Effectionum geometricarum ca-nonica recensio sagt, ist nicht unrichtig, aber ich verstehe eigentlich nicht, warumer stillschweigend u¨bergeht, daß Vie`te in der Abhandlung lehrt, die Gleichungx2 ± ax = ±b2 geometrisch zu lo¨sen. Aus den Worten des Herrn Cantor (Z. 27–28)”rechnerisch erhaltene Ausdru¨cke geometrisch zu ermitteln“ wird man versucht an-zunehmen, daß Vie`te nur Ausdru¨cke aber nicht Gleichungen geometrisch behandelt.BM 11, 166 G. Enestro¨m.[K] Herr Cantor macht darauf aufmerksam, daß Vie`te fu¨r die Dreiteilung eines Win-kels dieselbe Konstruktion angibt, die sich in einer demArchimedes zugeschriebenenarabischen Schrift findet, welche Schrift aber erst nach Vie`tes Tode in lateinischerU¨bersetzung vero¨ffentlicht wurde. Dann fu¨gt Herr Cantor hinzu: ”daraus geht her-vor, daß die Dreiteilung des Winkels, welche Vieta lehrte, kein Anlehen bei einemalten Schriftsteller, sondern selbststa¨ndige Nacherfindung war“. Diese Schlußfolge istindessen nur dann berechtigt, wenn es besta¨tigt wird, daß die fragliche Konstruk-tion von keinem abendla¨ndischen Mathematiker vor 1593 gelehrt wurde, und sovielich weiß, sind noch keine eingehenden Untersuchungen u¨ber diese Frage angestelltworden. An sich ist es ja gar nicht unwahrscheinlich, daß diese Konstruktion, die be-kanntlich den arabischen Mathematikern gela¨ufig war, durch eine U¨bersetzung oderBearbeitung aus dem Arabischen im Abendlande bekannt, und von einem Mathema-tiker des 16. Jahrhunderts in einer gedruckten Schrift erwa¨hnt worden ist.Aber angenommen, daß die angedeuteten Untersuchungen wirklich ein negatives Re-sultat ergeben wu¨rden, so scheint mir dennoch die Schlußfolge des Herrn Cantor nurbis zu einem gewißen Grade berechtigt. In der Tat hat er selbst S. 82 hervorgehoben,daß die bei Jordanus Nemorarius vorkommende, von den drei Bru¨dern entlehnteWinkeldreiteilung im Grundgedanken mit dem 8. Lemma des Archimedes nahe ver-wandt ist, und S. 105 angegeben, daß gerade dies Verfahren des Jordanus in einemAnhange zum 4. Buche der Ratdoltschen Euklid-Ausgabe von 1482 gelehrt wird.Aber dieser Anhang findet sich auch in vielen folgenden Euklid-Ausgaben, und demVie`te kann das Verfahren kaum unbekannt gewesen sein. Nun gibt Chasles (sieheGeschichte der Geometrie, u¨bertr. durch L. A. Sohncke, S. 597) ganz bestimmt alsPrinzip des Verfahrens die Archemedische Konstruktion an, und wenn dies richtigist, wa¨re es wohl mehr angebracht Vie`teS Winkeldreiteilung eine wenig wesentlicheModifikation eines schon vor ihm allgemein bekannten Verfahrens zu nennen.BM 5, 69–70 G. Enestro¨m.[L] Francon de Lie´ge prenait√58d pour le coˆte´ du carre´ e´quivalent a` cercle de diame`tred (voir BM. 13, 1900, p. 269).BM 2, 146[M] Da man gewo¨hnlich annimmt, daß Reimers (Raimarus Ursus) 1599 gestorben ist(vgl. z. B. A. von Braunmu¨hl, Geschichte der Trigonometrie I, Leipzig 1900, S.204), erlaube ich mir hier die Notiz einzufu¨gen, daß Reimers am 15. August 1600in Prag starb. Diese Notiz entnehme ich einer freundlichen Mitteilung des Herrn F.R. Friis, der sich auf den Anzeiger fu¨r Kunde der deutschen Vorzeit (Nu¨rn-berg), Jahrg. 1877, S. 330–331, beruft; hier ist na¨mlich die folgende Aufzeichnungzum Abdruck gebracht: ”1600. 15 August. Mane phtisi mortuus est Pragae Bohe-68. Kapitel 77miorum Nicolaus Raymarus Ursus Dithmarsius“. Daß Reimers am 3. August1600 todeskrank war, sieht man u¨brigens aus einem Briefe von Tycho Brahe anHolger Rosenkrantz (siehe F. R. Friis, Epistolae quas Tycho Brahe et Oli-gerus Rosenkrantzius inter se scripserunt, Ko¨benhavn 1896, S. 58).BM 7, 387 G. Enestro¨m.[N] Schon im Canon mathematicus hat Vie`te die Zahl pi auf zehn Dezimalen richtigangegeben (Universalium inspectionum ad Canonem mathematicum liber singularis,S. 15).BM 1, 270 A. von Braunmu¨hl.[O] Ce n’est pas a` Heidelberg, en 1609, que fut fonde´ la premie`re chair d’arabe en Europe,puisque celle du Colle`ge de France de Paris remonte au moins a` 1569.BM 2, 146 P. Tannery.[P] ”Adriaen van Roomen . . . fand pi auf 17 Dezimalstellen genau“; hier ist 15 statt17 zu setzen (Braunmu¨hl, Gesch. d. Trigonom. I, S. 174).BM 1, 270[Q] Adriaen Metius ist unter dem Namen Adriaen Adriaenz (Adrian Adriani)1597 als Dozent in Jena genannt worden. In dem Codex MC 25 der Universita¨tsbi-bliothek zu Tu¨bingen ist eine Arbeit, ein Kollegienheft eines Ungenannten, enthalten,mit dem Titel: Fundamenta Geometriae ab Adriano Adriani Belgae in JenensiumAcademia privatim proposita 1597. In demselben Bande findet sich auch eine Arbeit:Idaea Mathematica seu Capita praecipua Arithmeticae, Geometriae, Astronomiae,Opticae. A Clarissimo ac disertissimo viro D. M. Giorgio Lymnaeo, Matheseos inSalana Tyringetarum Professore publice proposita 15. Nov. h. 8. Anno 1596. Von die-sem Manne kannte Poggendorff keine Schrift. Unter Metius, Adriaan schreibtLetzterer: ”Eigentlich hieß er, da Familiennamen damals noch nicht, oder noch nichtallgemein in Holland u¨blich waren, Adriaan Adriaanszoon (Adriaansz), weilsein Vater den Namen Adriaan fu¨hrte, und dieser nannte sich aus gleichem Grundenach, dem Großvater Anthonis, Adriaan Anthoniszoon“. Da Adriaan Metiuserst 1598 Professor in Franeker wurde, so kann fu¨glich an seinem Aufenthalt 1597 inJena kaum gezweifelt werden.BM 2, 146 M. Curtze.[R] Herr Cantor berichtet hier u¨ber die a¨lteste Geschichte des Na¨herungswertes 355113 fu¨rpi und gibt dabei an, daß Adriaen Anthonisz erst fu¨r pi die zwei Grenzwerte 3 15106und 3 17120 aufstellte, dann etwas spa¨ter durch Addition der Za¨hler und der Nenner derBru¨che den Na¨herungswert 3 16118 =355113 herleitete. Dieser Bericht stimmt nicht ganzmit den Angaben von Bierens de Haan (siehe Notice sur quelques quadrateurs ducercle dans les Pays-Bas; Bullett. di bibliogr. d. sc. Matem 7, 1874, S. 121 –127) und Braunmu¨hl (siehe Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik 1, Leip-zig 1900, S. 175) u¨berein, und diese zwei Verfasser sind als sehr zuversichtlich2 zubetrachten. Allein in diesem Falle muß ich mich merkwu¨rdigerweise auf die Seite desHerrn Cantor stellen. Braunmu¨hl bemerkt: “Eine bequeme Form fu¨r pi gab etwasspa¨ter Adriaen Metius (1571 – 1636) in seiner ’Arithmetica et Geometria‘ 1625,2Korrekt: zuverla¨sslich G. Do¨rflinger78 Band 2indem er in den von seinem Vater Adriaen Anthonisz (1527 – 1607) gegebenenGrenzwerten 3 15106 < pi < 317120 Za¨hler und Nenner addierte“. Braunmu¨hl stu¨tzte sichoffenbar auf die Stelle, die Bierens de Haan a. a. O. S. 124 abgedruckt hat, aber eru¨bersah die daselbst S. 122 –123 wiedergegebenen Stellen, an denen Adriaen Meti-us ausdru¨cklich seinem Vater den Na¨herungswert zuweist. Anderseits sagt Bierensde Haan (a. a. O S. 121): ”Dans son e´crit contre van der Eycke . . . il [AdriaenAnthonisz] trouva la proportion 355113“, wahrend aus seinen Belegen gar nicht her-vorgeht, daß der Na¨herungswert in der Streitschrift gegen van der Eycke vorkam;Bierens de Haan weist ja selbst a. a. O. S. 126–127 nach, daß diese Schrift vor1589 angefertigt wurde, wa¨hrend Adriaen Metius angibt, daß sein Vater den Wert355118 ”einige Jahre“ vor 1625 herleitete. Allerdings sollte man nach P. Mansion (Surle calcul de pi; Mathesis 8, 1908, S. 241) statt 1625 die Jahreszahl 1611 einsetzen,aber in keinem Falle kann man die Angabe des Adriaen Metius mit Sicherheitauf die erwa¨hnte Streitschrift beziehen. Bis auf weiteres du¨rfte es also am richtigstensein zu sagen, das Adriaen Anthonisz wahrscheinlich den Wert 355118 erst nach derAnfertigung der Streitschrift herleitete.Dagegen kann der Cantorsche Bericht von einem anderen Gesichtspunkte ausbema¨ngelt werden. Herr Cantor hat na¨mlich eine Notiz von M. Curtze (Die ab-geku¨rzte Multiplikation; Zeitschr. fu¨r Mathem. 40, 1895, Hist. Abt. S. 13) u¨ber-sehen, woraus hervorzugehen scheint, daß Valentin Otto3 schon 1573, also vorAdriaen Anthonisz, den Na¨herungswert 335118 fu¨r pi kannte.BM 13, 264 G. Enestro¨m.[S] Statt cosnα = 2 cos(n − 1)α · cosα − cos(n − 2)α muß es cosnα = cos(n −2)α− 2 sinα sin(n− 1)α heißen. (Braunmu¨hl, Gesch. d. Trigonom. I, S. 213).BM 1, 270[T] Die drei Ausgaben der Trigonometrie des Pitiscus erschienen 1600 in Augsburg, 1608in Augsburg uud 1612 in Frankfurt; alle drei finden sich auf der Berliner Ko¨nigl.Bibliothek und der Mu¨nchener Hof- und Staatsbibliothek. Vielleicht hatten einigeExemplare der ersten Auflage, dessen Vorwort vom 23. August 1599 ist, auf demTitelblatt die Jahreszahl 1599, denn Vossius (De universae mathesios natura etconstitutione, S. 70) sagt: ”anno C| C| CXCIX Bartholomaeus Pitiscus ... ediditlibros quinque trigonometriae“, und in einigen neueren historischen Arbeiten, Biblio-graphien und Bu¨cherkatalogen findet man auch 1599 als Druckjahr der ersten Auflageangegeben. — Der englische U¨bersetzer von Pitiscus’ Trigonometrie scheint Hand-son (also nicht ”Hamson“ und auch nicht ”Hundson“, wie Braunmu¨hl in seinerGesch. d. Trigonom. I, S. 223 den Namen schreibt) zu heißen.BM 1, 270–271 G. Enestro¨m.Die hier nach einem Antiquariatskataloge zitierte, angeblich 1600 in London gedruck-te und von einem gewissen Hamson herru¨hrende englische U¨bersetzung von Pitiscus’Trigonometrie existiert sicherlich nicht; vermutlich ist 1600 Druckfehler statt 1630,wie Hamson ganz gewiß Druckfehler statt Handson ist. Die erste englische U¨berset-zung von Pitiscus’ Trigonometrie ist ohne Zweifel die 1614 in London erschienene;3i.e. Valentin Otho G. Do¨rflinger68. Kapitel 79diese hat den Titel: ”Trigonometry: or the doctrine of triangles. Now translated in-to English by Ra. Handson. Whereunto is added (for the Marriners vie) certaineNauticall questions, together with the finding of the variation of the compasse. Allperformed arithmetically, without Mappe, Sphaere, Globe, or Astrolabe, by the saidE. H.“.Die Arbeit ist in Quartformat und besteht aus drei Teilen [I:(l2) + 176 S.; II:33 +(3) S.; III: (92) S.]. Der dritte Teil hat den Spezialtitel: ”A canon of triangles: or, thetables of sines, tangents and secants, the radius assumed to be 100,000“.Eine spa¨tere Auflage dieser U¨bersetzung mit dem Druckjahre 1630 findet sich imBritish museum, und vermutlich ist diese Auflage in dem von Herrn Cantor zitiertenAntiquariatskataloge gemeint.BM 8, 211 G. Enestro¨m.[U] Z. 10 muß ”in den Auflagen von 1608 und 1612“ statt ”in der Auflage von 1612“ ge-setzt werden (vgl. S. 619, wo Herr Cantor die unvollsta¨ndige Angabe der 1. Auflageder Vorlesungen verbessert hat).BM 6, 108 G. Enestro¨m.[V] Nach Fr. Ritter (Fr. Vie`te, 1895) hat Vieta allerdings das Problem, das ihm imOktober 1594 vorgelegt wurde, sofort gelo¨st, aber das Responsum wurde erst um dieMitte 1595 vero¨ffentlicht.BM 8, 86 A. Sturm[W] Z. 3–8 bemerkt Herr Cantor: ”Vieta schrieb u¨ber verwandte Untersuchungen . . .wenn wir auch nicht wissen, wie weit sie zu Papier gebracht waren, Theoremata adangulares sectiones. Erst gegen 1615 hat Anderson . . . die Sa¨tze mit Beweisen ver-sehen“, und verweist in betreff des Traktates auf S. 237 [lies 287!] – 304 der Schoo-tenschen Ausgabe, aber ob der Traktat fru¨her erschienen ist, kann man natu¨rlichaus der Cantorschen Angabe nicht ausfindig machen. In Wirklichkeit erschien derTraktat eben im Jahre 1615 und ich gebe hier unten den Titel der OriginalausgabeAndersons wieder.AD ‖ ANGVLARIVM ‖ SECTIONVM ‖ ANALYTICEN. ‖ THEORE-MATA. KAΘOΛIKΩTEPA ‖ A FRANCISCO VIETA FONTE ‖ naeen-si primum excogitata, at absque vlla demonstra ‖ tione ad nos transmissa,iam tandem demonstrationibus confirmata. ‖ Opera & studio AlexandriAndersoni ‖ Scoti. ‖[Buchdruckermarke.] ‖ PARISIIS, ‖ Apud Olivervm de Varennes ‖ viaJacobaea sub signo Lilij. ‖ Anno, M.DC.XV.Klein-Folio, 48 S.; in Wirklichkeit ist die Druckfla¨che der Seiten nur 18 x 11 cm,also ein wenig kleiner wie die der Bibliotheca Mathematica; — S. 3–5 enthalteneine Zueignung an den Fu¨rsten von Wales, die Schooten bei dem Neudruckweggelassen hat.In betreff des sehr interessanten Inhaltes des Traktates verweise ich auf die ausfu¨hr-liche Darstellung bei A. von Braunmu¨hl (Vorlesungen u¨ber Geschichte der Trigo-nometrie 1, Leipzig 1900, S. 165–169).BM 12, 346–347 G. Enestro¨m.80 Band 269. Kapitel. Rechenkunst und Algebra.(608)Wir gehen zur Rechenkunst und zur Algebra u¨ber. Die Rechenbu¨cher, mit denen wir esin den fru¨heren Abschnitten zu thun hatten, waren fast durchga¨ngig beiden gewidmet. Sielehrten das gewo¨hnliche Rechnen oftmals gar in doppelter Art, so dass das Rechnen auf denLinien und das auf der Feder neben einander hergingen, sie lehrten auch Gleichungen erstenund zweiten Grades auflo¨sen, enthielten u¨berdies einen rechnend geometrischen Abschnitt.Gegen Ende der ersten Ha¨lfte des XVI. Jahrhunderts gewann die Algebra an Ausdehnung.Rudolf und Stifel in Deutschland, Recorde in England, Cardano und Tartagliain Italien schrieben Bu¨cher, die fast lediglich der Lehre von den Gleichungen gewidmet(609)waren. Dieser Umschwung vollzieht sich in der zweiten Ha¨lfte des XVI. Jahrhunderts im-mer mehr. Wohl erschienen noch Rechenbu¨cher, welche man ebensogut Lehrbu¨cher dergesammten Mathematik nennen ko¨nnte, weil sie neben dem Zahlenrechnen die Lehre vonden Gleichungen und Feldmesserisches in sich schliessen, aber eine Theilung der Ziele bringtmehr und mehr gesonderte Bearbeitungen hervor. Geometrie als solche haben wir weiteroben besprochen und haben dabei zum Voraus des Simon Jacob als Rechenmeisters gedacht(S. 581). Einige Jahre vor seinem Rechenbuche erschienen 1556 zwei allenfalls erwa¨hnens-werthe Schriften, ein Hilfsbuch zur Berechnung des Silbergehaltes und des Silberwerthesvon Johann Marheld1 in deutscher und ein ganz kurzgefasster Lehrgang des Rechnensmit Sexagesimalbru¨chen nebst Anweisung zur Auflo¨sung quadratischer Gleichungen vonKaspar Peucer2 (1525–1602) in lateinischer Sprache. Das erstere ist ein mit Tabellenversehenes um nicht zu sagen aus Tabellen bestehendes Buch von einer Art, wie uns vorhernoch keins begegnete. An dem zweiten ist nichts interessant als der Verfasser, ein Schwie-gersohn Melanchthon’s, der von 1554–1559 eine mathematische Professur in Wittenberginne hatte und dann zur medicinischen Faculta¨t u¨berging. Er musste schwer unter demVerdachte des Kryptocalvinismus leiden und brachte zwo¨lf Jahre in harter Gefangenschaftauf der Pleissenburg in Leipzig zu. Er hatte vermuthlich Valentin Otho den Rath ertheilt(S. 602), Wittenberg noch rechtzeitig zu verlassen und an den Pfa¨lzer Hof nach Heidelbergsich zu begeben.Von Simon Jacob’s Rechenbuch ist uns nur die vervollsta¨ndigte Ausgabe von 1565bekannt. So weit wie der Verfasser eines lateinischen Lobliedes, welches der Vorrede zumNew und wolgegru¨ndt Rechenbuch unmittelbar folgt, mo¨chten wir freilich nicht gehen. Erbehauptet schlankweg, Koburg sei durch den dort geborenen Jacob zu gleicher Beru¨hmt-heit gelangt, wie die beiden anderen fra¨nkischen Sta¨dte: Ko¨nigsberg und Karlstadt durchRegiomontanus und Johannes Schoner und versu¨ndigt sich dadurch an Regiomontanus,aber immerhin ist Jacob’s Rechenbuch besser als viele, vielleicht als die meisten a¨hnlichenWerke der gleichen Zeit. Jacob lehrt der Uebung folgend am Anfange auch das Linienrech-nen, aber er ist sich der Umsta¨ndlichkeit desselben wohl bewusst und weiss ferner, wo espassende Anwendung findet, wo nicht. Wahr ist’s, dass sie zu Haussrechnungen, da man(610)viel Summierens, Aussgebens und Eynnemens bedarff, etwan fo¨rderlich erscheinen, aber inKunstrechnungen, die ein wenig etwas wichtig, zum offtenmal verhinderlich. Nicht sag ich,dass man auff den Linien dieselben Rechnungen nicht auch machen ko¨ndte, sondern soviel vortheils ein Fussga¨nger, der leichtfertig und mit keiner Last beladen ist, gegen einen,der unter einer schwa¨ren Last stecket, hat, so viel vortheils hat auch ein Kunstrechner auf1Ka¨stner I, 131.2Ebenda I, 131–132. Allgem. deutsche Biographie XXV, 552–556, Artikel von Wagenmann.69. Kapitel 81oder mit den Ziphern fu¨r einem mit den Linien3. Damit entschuldigt es Jakob, dass ernunmehr vom Dividiren ab das Linienrechnen ganz bei Seite lasse. Er kennt4 die Summeder Quadratzahlen in Gestalt der Formel 12+22+ · · ·+n2 = 2n+13 (1+ 2+ · · ·+2n), sowiedie der Kubikzahlen 13 + 23 + · · ·+ n3 = (1 + 2+ · · ·+ n)2 und beruft sich fu¨r den Beweisauf das 8. Buch der Arithmetik des Jordanus, welche mithin damals in Deutschland noch [A]gelesen wurde. Die Berufung ist hier allerdings nicht glu¨cklich gewa¨hlt, oder mindestensnicht hinreichend begru¨ndet, denn im 8. Buche der genannten Arithmetik kommt wederdie Summenformel der Quadratzahlen noch, die der Kubikzahlen vor. Jacob musste des-shalb sagen, auf welche Sa¨tze jener Beweis sich stu¨tzen solle. Im 2. Theile ist das Dreieckder Binonaialcoefficienten5 bis zu denen der 11. Potenz nicht in der Form wie bei Stiefel,dagegen ganz a¨hnlich wie in Tartaglia’s General Trattato von 1556 abgedruckt mit demeinzigen Unterschiede, dass bei Tartaglia die Coefficienten bis zu denen der 12. Potenzsich erstrecken. Jacob beruft sich auf Vorga¨nger — und wirt diese Tafel von etlichen alsogemacht — wo er die Enstehungsweise(mk)+(mk + 1)=(m+ 1k + 1)mittheilt. Einige unbestimmte quadratische Aufgaben6 sind so gelo¨st, dass die an bestimmtgegebenen Zahlen gelehrte Vorschrift zugleich als allgemein giltig bezeichnet ist. (a2 )2 + 1sei eine Zahl, welche um die gegebene Zahl a vergro¨ssert oder verkleinert zur Quadrat-zahl werde; (a+b+12 )2 − a werde zur Quadratzahl, wenn man entweder die gegebene Zahla addire, oder die gleichfalls gegebene Zahl b subtrahire; (d+12 )2 und (d−12 )2 seien zweiQuadratzahlen von der gegebenen Differenz d u.s.w. Auf diese wenigen von uns besondershervorgehobenen Dinge beschra¨nkt sich keineswegs das Interesse von Jacob’s Rechenbuch.Ungemein viele kaufma¨nnische Aufgaben, Gesellschaftsrechnungen, Mischungsrechnungen, (611)zusammengesetzte Proportionen und dergleichen sind behandelt, wobei die welsche Praktiknicht zu kurz kommt. Der dritte Theil geho¨rt der Geometrie an, und von ihm war im 68.Kapitel die Rede.Rechenmeister, wenn auch nicht alle Jacob ebenbu¨rtig, gab es damals in Deutschland,wo man hinblickte. Eine Stadt du¨rfte aber noch besonders namhaft gemacht werden, inwelcher eine vollsta¨ndige Rechenschule entstanden war: Ulm7. Diese Reichsstadt wett-eiferte hierin wie in Vielem mit Nu¨rnberg. Die Ulmer Schule ist begru¨ndet durch ConradMarchtaler, der sich 1545 von Wittenberg, wo er studirte, wo ihm aber die Mittel zumla¨ngeren Verweilen ausgingen, dem Ulmer Rathe zur Errichtung einer Rechenschule an-bot, ein gern und rasch angenommener Vorschlag. Marchtaler’s Nachfolger hiess GallusSpa¨nlein. Dann war Johannes Kraft 1597 Modist und Rechenmeister. Er verfasstemehrere Lehrbu¨cher, die sehr verbreitet waren. Gleichzeitig war auch ein gewisser Da-vid Selzlin Rechenmeister, der Lehrer eines bekannteren Schu¨lers, von dem wir im XV.Abschnitte reden: Johann Faulhaber.In Frankreich sind Schriften von Pierre Forcadel8 (S. 549) nennenswerth. Eine3New und wolgegru¨ndt Rechenbuch fol. 10 verso.4Ebenda fol. 15 verso bis 16 recto.5Ebenda fol. 104 verso.6Ebenda fol. 239 recto.7Ofterdinger, Beitra¨ge zur Geschichte der Mathematik in Ulm bis zur Mitte des XVII. Jahrhunderts(Ulm 1867).8Fonte`s in den Me´moires de L’Acade´mie des Sciences, Inscriptions et Belles-lettres de Toulouse, Se´rie 9,82 Band 21556–1557 erschienene dreiba¨ndige Arithime´tique entha¨lt manches Eigenthu¨mliche. Zah-lentheoretische Aufgaben, wie z. B. die Auflo¨sung von x3 + x2 = y2 mittels x = z3 − 1,y = z(z2−1) stehen schon im ersten Bande. Ebendort wird die 5. Potenz der Unbekanntenbald quatriesme quantite´ bald cinquiesme produit genannt. Die Binomialcoefficienten sindim dritten Bande als die Ziffern der auf einander folgenden Potenzen von 11 erkannt. Dasist sofort ersichtlich bei 111 = 11, 112 = 121, 113 = 1331, 114 = 14641. Bei der 5. Potenzhilft sich Forcadel dadurch, dass er gewissermassen zweiziffrige Ziffern einfu¨hrt und1 4 6 4 11 4 6 4 11 5 (10) (10) 5 1als das Product von 11 · 14641 betrachtet. Eine Arithmetique par les geets von 1558 ist einLehrbuch des Linienrechnens.Das Linienrechnen lehrte auch Jean Trenchant in seinem 1566 in Lyon gedruckten[B]Buche L’arithme´tique departie en trois livres. Ensemble un petit discours des changes avecl’art de calculer aux jetons9, von dessen Beliebtheit Ausgaben von 1571, 1588, 1602, 1632(612)zeugen. Jean Trenchant hat auch Zinstafeln herausgegeben10.Petrus Ramus mit seinen Scholae mathematicae von 1569 verdient hier gleichfallseinen kleinen Platz. Bei den Gespra¨chen des Verfassers mit Kaufleuten, welche er bei sei-nen Spazierga¨ngen besuchte (S. 565), lernte er mancherlei unbedeutende Rechenvortheile,welche er schildert. Wir brauchen ihm darin nicht zu folgen. Das Einzige, was wir demBuche entnehmen mo¨chten, ist die lakonische Art, in welcher das Multiplikationsergebniss:Minus mal Minus giebt Plus, gerechtfertigt wird: E duabus negatis fit affirmatus, quia mul-tiplicator non est integer11, aus zwei Negativen wird ein Positives, weil der Multiplicatornicht vollsta¨ndig ist. Als Beispiel dient(8− 9) · (8− 9) = −72 + 81 + 64− 72 = 1.Hier ist uns im Drucke zuerst ein Anklang an das Wort negativ begegnet, und dem Dia-lectiker, welcher den Satz kannte, dass zwei Negationen bejahen, lag die Benutzung geradedieses Ausdruckes nahe. Handschriftlich ko¨nnen wir das Wort etwas weiter zuru¨ckverfolgen.Eine Handschrift der Go¨ttinger Bibliothek, welche in den Jahren 1545–1548 geschrie-ben ist und einst dem 1574 verstorbenen Mathematiker und Schreibku¨nstler Stephan[C]Brechtel12 geho¨rte, entha¨lt eine muthmasslich auf eine viel a¨ltere Quelle zuru¨ckweisendeAlgebra, die der Namen numeri affirmativi und negativi sich bedient.Ein Schu¨ler des Ramus war Salignac13, ein zweiterUrstisius14, deutschWursteisen(1544–1588), von welchen jener 1575, dieser 1579 ein lateinisches Rechenbuch herausgab,an welchen nichts bemerkenswert erscheint, als die grosse Verehrung ihres Lehrers, welchemu¨brigens Salignac doch Fehler nachweist.T. VI (1894), VII (1895), VIII (1896).9B. Boncompagni im Bulletino Boncompagni I, 150 Note.10Bierens de Haan, Bouwstoffen etc. II, 186.11Scholae mathematicae pag. 269.12Doppelmayr S. 203.13Ka¨stner I, 136–139.14Ebenda I, 139–143.69. Kapitel 83Eine herzlich unbedeutende Arithmetik und eine Algebra, der man kein besseres Zeug-niss auszustellen vermag, hat Lazarus Schoner15, ein Sohn von Andreas und Enkel vonJohannes Schoner, 1592 herausgegeben. Als Verfasser ist Petrus Ramus genannt, als eineeigene Zugabe des Herausgebers ist aber ein Buch u¨ber figurirte Zahlen und ein ande- [D]res u¨ber das Rechnen mit Sexagesimalbru¨chen bezeichnet16. Unter figurirten Zahlen ver-steht Schoner solche, welche durch Multiplication entstanden sind, die Factoren werden (613)Seiten genannt17. Eine einzige Bemerkung des Buches lohnt die Mu¨he des Durchlesens.Schoner beruft sich na¨mlich einmal auf den 33. Satz des Algorithmus demonstratus desJordanus18. Damit ist festgestellt, dass der Enkel dessen, welcher 1543 den Algorithmusdemonstratus herausgab, die Ueberzeugung besass, jene Schrift stamme von Jordanus, unddass er ohne weiteren Zusatz, gleichsam als seinen Lesern hinla¨nglich bekannt, jener Ue-berzeugung Worte lieh. Bedu¨rfte es a¨usserer Besta¨tigung fu¨r die gegenwa¨rtige Annahme,wer den Algorithmus demonstratus verfasste, so wa¨re sie, scheint es, hier schwerwiegendgegeben.Von Tartaglia’s General Trattato (S. 517) scheint der erste Band wiederholt beson-ders herausgegeben worden zu sein. Eine Ausgabe19 fu¨hrt z. B. den Titel: Tutte l’Opere [E]d’Arithmetica del Famosissimo Nicolo Tartaglia (Venedig 1592–1593). Ein a¨hnlicher, abernatu¨rlich a¨lterer erste Band wurde vielleicht 1577 in Frankreich unter dem Namen derArithmetik des Tartaglia von einem Guillaume Gosselin20 ins Franzo¨sische u¨bersetztund mit Erla¨uterungen versehen. Welcher Art diese sind, mag an einem Beispiele klar wer-den, welches u¨berdies sehr an dasjenige erinnert, was wir erst aus den Scholae mathematicaedes Ramus vorfu¨hrten. Es sei6 = 8− 2 = 10− 4,also mu¨ssen (8− 2) · (10− 4) = 36 sein, und es komme nur heraus, wenn Minus mal PlusMinus und Minus mal Minus Plus gebe. Ob es ein anderer Gosselin mit dem VornamenPierre war, der 1577 in Paris ein Werk De arte magna herausgab, und ob dieses Werk in [F]seinem Titel eine Abha¨ngigkeit von Cardano verrathen sollte, wissen wir nicht.Franciscus Maurolycus (S. 558) hat 1575 in Venedig eine Arithmetik in zweiBu¨chern herausgegeben, welche wir wegen eines darin vorkommenden neuen Untersu-chungsgegenstandes nebst zugeho¨rigem Kunstausdrucke erwa¨hnen. Sei p(n) eine nte Viel- [G]eckszahl, so nennt Maurolycus deren Product in n eine columna, Sa¨ule, und leitet eineganze Reihe von Sa¨tzen u¨ber solche Sa¨ulen von Polygonalen her21.Kaum mit solchen minderwerthigen Leistungen vergleichbar, jedenfalls einen ganz an-deren wissenschaftlichen Standpunkt einnehmend, sind die arithmetischen Schriften von (614)Simon Stevin. Bereits 1584 hat er Zinstafeln dem Drucke u¨bergeben22, welche mitvla¨mischem Texte in Leiden angefertigt und dem Bu¨rgermeister dieser Stadt gewidmetwaren, wenn auch der Druck in Antwerpen in der beru¨hmten Plantin’schen Druckerei er-folgte. In der Leidner Werksta¨tte des gleichen Hauses erschien alsdann 1585 ein sta¨rkerer15Doppelmayr S. 81 Note g.16Petri Rami Arithmetices libri duo et Algebrae totidem a Lazaro Schonero emendati et explicati. EiusdemSchoneri libri duo: alter, de Nuneris figuratis; alter de Logistica sexagenaria (Frankfurt 1592).17Figuratus dicitur numerus multiplicatione factus: eiusque factores dicuntur latera (pag. 217).18pag. 234 lin. 16–17.19 G. Wertheim brieflich.20Ka¨stner I, 197–200. — Poggendorff I, 929–930.21G. Wertheim in der Zeitschr. Math. Phys. XLIII, Histor.- literar. Abthlg. S. 42.22Quetelet pag. 147.84 Band 2Band, vier Schriften in franzo¨sischer Sprache enthaltend23: eine Arithme´tique, die vier er-sten Bu¨cher des Diophant, eine Practique d’Arithme´tique und eine Abhandlung, welcheden Titel La Disme fu¨hrte, und welche laut einer Vorbemerkung urspru¨nglich vla¨misch[H]niedergeschrieben war. Hier haben wir es mit den beiden letzten Schriften des Bandeszu thun, da die Arithme´tique, eigentlich eine Algebra, erst nachher zur Rede kommt, dieDiophantbearbeitung schon (S. 552) erwa¨hnt wurde.Die Practique d’Arithme´tique lehrt alle Rechnungen ausfu¨hren, welche die Regeldetrizur Grundlage haben, und die nicht im kaufma¨nnischen Leben vorkommen. Als Schrift-steller, welche Derartiges erfolgreich gelehrt haben, nennt Stevin Namen aus verschiedenenLa¨ndern24, abermals ein Zeugniss dafu¨r, wie vo¨lkergemeinsam damals bereits mathemati-sche Schriften waren. Cardano, Stifel, Tartaglia, Gemma Frisius, Cuthbert Ton-stall sind die Erwa¨hnten und wenn ausserdem Juan Peris de Moya auftritt, so ist dasin den damals noch fast spanischen Niederlanden begreiflich. Ueberdies hat die Aritmeticapractica y especulativa dieses Schriftstellers nur innerhalb der Zeit von 1609 bis 1761 drei-zehn Auflagen erlebt25. In einer noch a¨lteren Ausgabe von 1590 findet sich auf fol. 227 dieAusziehung der Quadratwurzel unter Anwendung der von Chuquet erfundenen Regel dermittleren Zahlen (S. 352), welche De Moya aus dem vielverbreiteten Lehrbuche des De laRoche (S. 371–374) kennen gelernt haben du¨rfte26. Stevin bezog sich auf den fru¨her erschie-nenen Tratado di matema´ticas (Alcala 1573). In letzterem ist auch u¨ber die Darstellungder Zahlen mittels Fingerbiegung bei den Arabern gehandelt27. De Moya ist, wie wir hiereinschaltend erwa¨hnen28, in der Sierra Morena in St. Stefano geboren und war Canonicusin Granada. Das Hauptgewicht legt Stevin in der Practique d’Arithme´tique auf Zinstafeln,welche hier in neuem Abdrucke und mit sachlich, nicht bloss sprachlich vera¨ndertem Texte(615)erscheinen29. Es sind, genauer gesagt, Rabattirungstafeln, welche den Baarwerth einer For-derung von 10 000 000 erkennen lassen, welche erst in 1, 2 bis 33 Jahren fa¨llig zu Zinseszinsauf die Gegenwart zuru¨ckzufu¨hren ist. Der Zinsfuss ist zuna¨chst in ganzen Procenten als l,2 bis 16procentig angenommen, dann in Stammbru¨chen des Kapitals als 115 ,116 bis herabzu 122 wofu¨r die Ausdru¨cke dienen au denier 15, au denier 16 bis zu au denier 22, d. h. 1 &Zins fu¨r 15, 16, ... 22 & Kapital. Wird umgekehrt nach der Summe gefragt, zu welcher einKapital in einer gegebenen Zeit bei Zinseszins zu einem gegebenen Procentsatze anwa¨chst,so soll man mittelbaren Gebrauch von den Tafeln machen. Ist z. B. vermo¨ge derselben6005739 der Baarwerth von nach 13 Jahren fa¨lligen 10 000 000 bei 4%, so wa¨chst das Ka-pital K zu 4% in 13 Jahren zu 10 000 0006 005 739 K an. Auch Zeitfragen werden beantwortet30. Inwelcher Zeit wird 800 zu 117 Zins zu 2500? Wir vera¨ndern 2500 in 10 000 000, mithin 800 in3 200 000 und suchen diese Zahl in der Tafel von 117 Zins. Bei 19 Jahren steht dort 3 375 605,also ist die gesuchte Zeit la¨nger als 19 Jahre. Den u¨berschu¨ssigen Bruchtheil eines Jahressoll man folgendermassen suchen. Es fand sich eine um 3 375 605− 3 200 000 = 175 605 zugrosse Zahl; 3 200 000 giebt zu 117 im Jahre3 200 00017 Zins; 170 605 Zins entstehen also in17·175 6053 200 000 =2 985 2853 200 000 Jahren. Allerdings kleidet Stevin seine Regel etwas anders ein. Statt23Ebenda pag. 159 Note 1.24Stevin I, 181.25G. Vicuia in der Bibliotheca mathematica, 1890, pag. 35.26G. Wertheim, Die Berechnung der irrationalen Quadratwurzeln und die Erfindung der Kettenbru¨chein Zeitschr. Math. Phys. XLII, Supplementheft S. 150.27Bulletino Boncompagni I, 312–313.28Vergl. Bibliotheca Hispana nova auctore D. Nicolao Antonio Hispalensi I. C. (Madrid 1783) I, 757.29Stevin I, 191–197.30Ebenda I, 199.69. Kapitel 85den Ueberschuss so zu suchen, wie wir es thaten, vervielfacht er das ganze 3 375 605 mit 17und dividirt dieses Product durch 3 200 000, wobei als Quotient 172 985 2853 200 000 erscheint, undvon diesem Quotient mu¨sse man immer die ganze Zahl, hier also 17, weglassen31. Ist dieFrage nach dem Zinsfusse gestellt, mittels dessen etwa 1000 in 7 Jahren zu 2000 gewordensind, so sollen die Tafeln folgendermassen genutzt werden32. Statt 2000 muss 10 000 000,also statt 1000 die Zahl 5 000 000 gesetzt werden, und nun suche man, in welcher Tabellebeim 7. Jahre 5 000 000 stehe. Bei 10% findet sich 5 131 582, bei 11% steht 4 816 585, alsoist der Zinsfuss zwischen 10 und 11%, na¨her bei 10 als bei 11.Nach der Practique d’Arithme´tique kommt auf nur sieben Seiten eine Abhandlung33,welche den vielsagenden Titel fu¨hrt: La Disme enseignant facilement expedier par nombres (616)entiers sans rompuz tout comptes se rencontrans aux affaires des Hommes. Ohne Bru¨che,nur mittels ganzer Zahlen sollen alle Rechnungen, welche im menschlichen Gescha¨ftslebenvorkommen, ausgefu¨hrt werden! Wir wissen heute, dass dieser Ausspruch wirklich gewagtwerden durfte, dass Decimalbru¨che in der That das leisten, was Stevin versprach. Er warvon der grossen Bedeutung des in der Disme Gelehrten durch und durch erfu¨llt. Am Schlus-se macht er es den Regierungen zur Pflicht, das Ihrige zu thun, um das neue Rechnen zueinem in allen Fa¨llen unmittelbar anwendbaren zu machen; er verlangt mit du¨rren WortenDecimaltheilung der Mu¨nzen, der Maasse, der Gewichte. Mo¨ge, fa¨hrt er fort, die Einfu¨hrungder Decimalbru¨che vielleicht nicht so bald in Aussicht stehen, als er es wu¨nsche; das seisicher, dass ein ku¨nftiges Geschlecht, wenn nur die Menschennatur die gleiche bleibe, nichtimmer einen so grossen Vortheil ausser Acht lassen werde34. Er ahnte nicht, dass es nochzwei Jahrhunderte dauern sollte, bis man anfing, seinen Plan zu verwirklichen, trotzdemmo¨glicherweise ein hervorragender Kirchenfu¨rst, Bischof Ernst von Baiern35 zu Ko¨lna¨hnliche Gedanken hegte, zum Mindesten wie Adrian van Roomen in einer Vorrede von1609 erza¨hlt hat, alle Maasse und Gewichte auf eine einzige geometrische Reihe gru¨ndenwollte36. Wir greifen mit diesem Zwischensatze in eine damals weit entlegene Zukunft vor,wir thun es, um das ganze Gewicht der Stevin’schen Leistung auf uns wirken zu lassen. DerGedanke decimaler Theilung und decimaler Rechnung, konnte man einwerfen, sei nicht neugewesen. Gewiss, seit Jahrhunderten hatte das eine Verfahren zur Auffindung angena¨herterWurzelwerthe, hatte die Einrichtung von Sinustafeln, in welchen die La¨nge des Halbmes-sers durch eine mit Nullen versehene Einheit dargestellt wurde, darauf vorbereitet. Aberdecimal leicht aussprechbare La¨ngen und sogar die Benutzung von Bru¨chen, deren Nenneraus Einheiten mit Nullen bestehen, sind noch keine Decimalbru¨che. Dazu geho¨rt ein Weite-res: die Anwendung der Stellung zur Bezeichnung des verminderten Werthes der einzelnenZahlzeichen, das darauf beruhende Weglassen der Nenner, und will man daran erinnern,dass auch dieser Gedanke nichts weniger als neu war, dass er bei der fortgesetzten Sexage-simaltheilung der Winkelgrade seit Jahrtausenden bereits in Uebung war, so mag Stevinvielleicht an diese Anregung gedacht haben; aber seiner Erfindung ist dadurch, mo¨chten wir (617)sagen, nur ho¨herer Wert beigelegt; denn warum haben jene Jahrtausende nicht geleistet,31lesquels 17 on delaissera pour reigle generale.32Stevin I, 201.33Ebenda I, 206–213.34Il est certain gue si les hommes futurs sont de telle nature comme ont este les precedens qu’ils ne serontpas tousiours negligens en leur si grand avantage.35Allgemeine Deutsche Biographie VI, 250–257. Artikel von Ennen.36Le Paige, Notes pour servir a` l’histoire des mathe´matiques dans l’ancien pays de Lie`ge in dem Bulletinde l’institut archeo´logiques Lie`geois XXI, 490–491.86 Band 2was Stevin als nothwendig erkannte? So ganz vollsta¨ndig ist allerdings das Wegbleiben derNenner bei Stevin noch nicht. Er benutzt noch nicht ein Pu¨nktchen oder Komma, um dieEiner von den Decimalbruchstellen zu trennen. Er schreibt vielmehr von der Einheitsstellean jeder Stelle zur Rechten ein Rangzeichen bei, welches in einer eingeringelten Zahl be-steht. Eine eingeringelte 0, l, 2, 3 bezeichnet die links davon befindliche Stelle als Einer,Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, z.B. 237 k0 5 k1 7 k2 8 k3 bedeutet ihm 237 5781000 . Aberer sieht doch bereits die Mo¨glichkeit einer ku¨rzeren Schreibweise, denn 54 k2 bedeutetihm schon 54100 und in der Practique de Geometrie, welche in einzelnen Theilen vielleichtauch bis 1585 zuru¨ckgeht (S. 572), findet sich37 707 k2 fu¨r 7 7100 . Bei der Ausfu¨hrung derRechnungen, der Additionen, Subtractionen, Multiplicationen, Divisionen, werden die ein-geringelten Stellenzeiger u¨ber die betreffenden Ziffern gesetzt und gelten beispielsweise beider Addition fu¨r sa¨mmtliche Posten, sowie fu¨r die aus ihnen gebildete Summe, wodurchdie Vereinfachung der Schreibweise sich noch erho¨ht:k0 k1 k2 k32 7 8 4 73 7 6 7 58 7 5 7 8 29 4 1 3 0 4Was fu¨r Stevin die eigentliche Bedeutung der eingeringelten Stellenzeiger war, werden wirbei Besprechung seiner algebraischen Leistungen sehen.Ein Pu¨nktchen oder eine den Einern ihre Wo¨lbung zukehrende Halbklammer zurAbgrenzung von Decimalstellen scheint zuerst Joost Bu¨rgi38 (1552–1632 oder 1633)[I]benutzt zu haben. Er war Schweizer von Geburt, brachte aber den gro¨ssten Theil seinesLebens in Kassel und Prag zu. In Kassel war Bu¨rgi Hofuhrmacher des um die Sternkun-de hoch verdienten Landgrafen Wilhelm IV., in Prag kaiserlicher Kammeruhrmacher.Dort stand er in perso¨nlichen Beziehungen zu Kepler. Im Jahre 1622 kehrte Bu¨rgi nach(618)Kassel zuru¨ck, wo er den Abend seines Lebens verbrachte. Von den Schreibweisen des Na-mens Bu¨rgi, Burgi, Byrgi ist durch Funde im St. Galler Archive die erste als die richtigegesichert, wenigstens hat seit dem XVI. Jahrhunderte die Familie stets nur Bu¨rgi geheis-sen. Die lange Lebenszeit Bu¨rgi’s und noch mehr die verschiedenartigen Verdienste umderenwillen die Geschichte der Mathematik sich mit ihm zu bescha¨ftigen hat, macht esnothwendig, ihn ausser im XIV. auch noch im XV. Abschnitte zu behandeln. Hier habenwir es zuna¨chst nur mit dem Rechner Bu¨rgi zu thun. Was wir von seiner Bekanntschaft mitDecimalbru¨chen oben angedeutet haben, beruht zum Theil auf einer nur handschriftlichvorhandenen Arithmetica39, welche wahrscheinlich kurz nach dem im August 1592 erfolgtenTode des Landgrafen Wilhelm IV., von dem in der Vorrede mit dem Beiworte ”hochselicherGeda¨chtniss“ die Sprache ist, verfasst wurde, und welche mit dem Kepler’schen Nachlasseauf die Bibliothek von Pulkowa kam, der sie noch angeho¨rt, zum wesentlicheren Theile aufder Aussage von Kepler. Letzterer sagt in seinem 1616 vero¨ffentlichten Auszug aus der ur-alten Messe-Kunst Archimedis40), wo er jene Halbklammer den Lesern erkla¨rt: ”diese Art37Stevin II, 390 letzte Zeile.38Rud. Wolf, Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz (Zu¨rich 1858) I, 57–80. Derselbe, Astronom.Mittheilungen Nr. LXXII und LXXXI. Derselbe, Bibliotheca mathematica 1889 p. 33. Derselbe, Handbuchder Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur (Zu¨rich 1890) 86–88 und 173–175.39Ein Auszug von Rud. Wolf in dessen Astronom. Mittheilungen Nr. XXXI.40 Opera Kepleri (ed. Frisch) V, 547.69. Kapitel 87von Bruchrechnung ist von Jost Bu¨rgen zu der sinusrechnung erdacht“. Darnach mu¨ssteman auch Bu¨rgi’s Unabha¨ngigkeit von Stevin annehmen, was bei einem ohne wesentlichenUnterricht Aufgewachsenen41 glaubhaft ist. In der handschriftlichen Arithmetik dient ei-ne unter der Einerstelle befindliche 0 bisweilen als Abtheilungszeichen 14140 = 141410 . Amgleichen Orte wird die abgeku¨rzte Multiplication gelehrt, wofu¨r das Beispiel sich findet0123412358012340246 8037 006 10 901525Hier ist allerdings kein Abtheilungszeichen, und man muss aus dem Ergebnisse folgern, dasseigentlich 0,1234 und 1,2358 die Factoren sind welche das Product 0,1525 liefern. In Ueber- (619)einstimmung mit Kepler’s Aussage ist die (S. 604) angefu¨hrte Thatsache, dass Pitiscusim Tabellenanhange seiner Trigonometrie von 1608 sowie von 1612 (nicht in den fru¨herenAuflagen) das Decimalstellen abtrennende Pu¨nktchen benutzt hat. In derselben Ausgabe [J]seiner Trigonometrie S. 44 nennt aber Pitiscus den Bu¨rgi in einer Weise, als ob er dessenUnterricht genossen ha¨tte, wenn wir auch nicht anzugeben wissen, wo das stattgefundenhaben sollte. Es mag fu¨r die Einfu¨hrung jenes Decimalpu¨nktchens nicht unerinnert blei- [K]ben, dass la¨ngst bevor man Decimalbru¨che schrieb, Pu¨nktchen benutzt wurden, um in sehrgrossen Zahlen Gruppen von bald je drei, bald je vier Stellen abzugrenzen. Pra¨torius hatin seiner Handschrift von 1599 (S. 589) unzweifelhaft selbsta¨ndig unter der UeberschriftCompendiosa multiplicatio duorum inter se sinuum quando factus per 1000 etc. dividendusest die abgeku¨rzte Multiplication deutlicher und genauer als Bu¨rgi gelehrt42.Neben Vieta, Stevin, Bu¨rgi, Pra¨torius ist ein fu¨nfter Bewerber um die selbsta¨ndige [L]Erfindung der Decimalbru¨che vorhanden: Johann Hartmann Beyer43 (1563–1625) ausFrankfurt am Main. Dieser vero¨ffentlichte 1603 eine mehrfach neu aufgelegte Logisticadecimalis, das ist die Kunstrechnung mit den zehnteiligen Bru¨chen. Beyer nimmt deren Er-findung ausdru¨cklich fu¨r sich in Anspruch. Er bemerkt, es habe ihn, indem er sich zuweilenin den mathematischen Ku¨nsten erlustiret, die Praxis der Astronomen, geringere Theile alsGrade mit 60theiligen Scrupeln zu messen, auf den Gedanken gebracht, dass statt der sech-zigtheiligen Bru¨che, welche einen mu¨hsamen Calculum erfordern, wohl auch eine andereDenomination anwendbar, und dass hierzu die 10 eine sonderlich bequeme und gleichsamprivilegirte Zahl sei, welche im Addiren, Subtrahiren, vornehmlich aber im Multiplicirenund Dividiren grosse, bei keiner andern Zahl zu findende Vorteile gewa¨hre. Beyer nenntdie Bruchtheile: erste, zweite, dritte ... Zehnder, oder erste, zweite, dritte ... Scrupel, oderPrimen, Secunden, Terzen ... und bezeichnet sie durch u¨berschriebene Indices, nach denGanzen setzt er einen Punkt: v8.798 bedeutet bei ihm also 8798100000 . Daru¨ber, dass Beyer die41In der Vorrede zur handschriftlichen Arithmetik sagt Bu¨rgi von sich:”der ich doch Griechischer undlateinischer Sprach unerfahren und derohalben die Jenige, wo¨lliche hiervon geschrieben in Irer rechtenSprach nit vernehmen kho¨nde.“ Wolf, Astron. Mittheil. Nr. XXXI S. 9.42Curtze in Zeitschr. Math. Phys. XL, Histor.-liter. Abthlg. S. 7–11.43Poggendorff I, 183. — Unger S. 105, dem wir die Beschreibung der Logistica decimalis wo¨rtlichentnehmen.88 Band 2Stevin’schen Schriften gekannt hat, Zweifel nicht mo¨glich. Die Ausdru¨cke Prime, Secundeu. s. w. zeigen eine auffallende Aehnlichkeit mit der Practique d’Arithmetique44. Ueberdies(620)ist auf S. 113 von Beyer’s Logistica decimalis sogar von Johann Semsen45 Decimalrech-nung (auss Anweisung Simon Stevins) im 3., 4., 5. und 6. cap. lib. Geodaes. ausdru¨cklichdie Rede46.Von Stevin’s Schriften sei gegenwa¨rtig noch eine erwa¨hnt, De Apologistica PrincipumRatiocinio Italico, welche 1605 in dem II. Bande der Hypomnemata mathematica erschi-[M]en47. Rechnung der Fu¨rsten nach italienischer Weise hat man den Titel u¨bersetzt. Esist die Anwendung der doppelten Buchfu¨hrung auf den Staatshaushalt. Stevin hat-te fu¨r die Hofhaltung des Prinz Moritz von Nassau italienische Buchfu¨hrung eingerichtet,welche ihm entweder aus den Schriften italienischer oder niederla¨ndischer und deutscherGelehrten, oder wahrscheinlicher durch eigene Uebung wa¨hrend der Zeit, in welcher erkaufma¨nnisch sich betha¨tigte, bekannt war. Waren doch in Nachahmung der Italiener An-leitungen zur doppelten Buchfu¨hrung von Jan Ympyn 1543, von Valentin Mennheraus Kempten 1550 und 1565 in vla¨mischer und in franzo¨sischer Sprache in Antwerpen imDrucke herausgekommen, und waren doch bei Mennher die unperso¨nlichen Conti neben denperso¨nlichen in fortwa¨hrendem Gebrauche48. Jetzt wu¨nschte Stevin die Anwendung des inkleineren Verha¨ltnissen Erprobten in einem grossen Staatswesen einzufu¨hren und wandtesich desshalb an den franzo¨sischen Staatsmann Sully, der ja gerade dem Finanzwesen diegro¨sste Aufmerksamkeit schenkte. Ihm widmete er die Schrift, welche zur Empfehlung je-ner Buchfu¨hrung dienen sollte. Wesentlich ist derselben nicht nur das doppelte Eintragenjedes einzelnen Postens, der einmal in einem Soll, das andere Mal in einem Haben vor-kommen muss, sondern auch die Einfu¨hrung der vorerwa¨hnten unperso¨nlichen Conti.Gerade diese letzteren — z. B. in einem Gescha¨fte, welches u¨berseeische Producte fu¨hrt,die Anlegung eines Kaffeeconto, Theeconto, Pfefferconto u. s. w. — erleichtert ungemein die(621)Uebersichtlichkeit, und diesen Vortheil beabsichtigte Stevin auch in der Staatsbuchfu¨hrunghervortreten zu lassen, was ihm vollsta¨ndig und weit rascher gelang, als die Durchsetzungseiner Wu¨nsche nach decimalen Theilungen. Die unperso¨nlichen Conti, welche Stevin hiereinfu¨hrte, waren die der fu¨rstlichen Ku¨che, der Wohnung, des Marstalls, der Rechnungs-kammer, ferner solche u¨ber das Seewesen, Strafgelder u. s. w.Wir gelangen zur letzten Gruppe mathematischen Wissens, deren Entwickelung in derzweiten Ha¨lfte des XVI. Jahrhunderts wir zu suchen haben, zur Algebra.[N]Einige Schriften, welche ihrem Inhalte wie ihrer Entstehungszeit nach fast besser hierhergeho¨ren wu¨rden, sind vorgreifend im XIII. Abschnitte geschildert worden. Um den Einblickin den Zusammenhang der Erfindungen nicht einzubu¨ssen, rufen wir die Ueberschriften je-ner Werke, welche uns statt der Inhaltsangabe dienen mu¨ssen, und deren Druckjahre ins44Stevin I,.208 Definition 3: Et chasque dixiesme partie de l’unite´ de commencement nous la nommonsPrime; et chasque dixiesme partie de l’unite´ de Prime nous la nommons Seconde, et ainsi des autres chasquedixiesme partie de l’unite´ de son signe precedent tousiours en l’ordre un d’avantage..45Johann Sems, ein Niederla¨nder, verfasste gemeinsam mit Joh. Pietersen Dou eine spa¨ter auch insDeutsche u¨bersetzte Geoda¨sie. Ka¨stner III, 291–293.46Hunrath in Neue philologische Rundschau (herausgegeben von Wagner und Ludwig) 1892, S. 235.47Der II. Band der Hypomnemata erschien 1605, der I. erst drei Jahre spa¨ter 1608. Der Grund lag darin,dass die Schriften des I. Bandes noch ins Lateinische zu u¨bersetzen waren, wa¨hrend die des II. Bandesurspru¨nglich lateinisch verfasst waren. Ueber die Apologistica vergl. Ka¨stner III, 408–410 und Ja¨ger,Lucas Paccioli und Simon Stevin (Stuttgart 1876), S. 109–137.48Kheil, Ueber einige a¨ltere Bearbeitungen des Buchhaltungs-Tractates von Luca Paccioli (1896) undKheil, Valentin Mennher und Antich Rocha (1896).69. Kapitel 89Geda¨chtniss zuru¨ck. Wir nennen Cardano’s Practica arithmeticae generalis von 1539, Sti-fel’s Arithmetica integra von 1544, Cardano’s Ars magna von 1545, die von Stifel besorgteII. Auflage der Rudolf’schen Coss von 1553, Recorde’s Whetstone of witte von 1556, Car-dano’s Regula Aliza von 1579, desselben Sermo de plus et minus zwischen 1572 und 1576. [O]Fu¨r die letztgenannte ganz kurze Abhandlung war die Zeitbestimmung dadurch gegeben,dass Cardano 1576 starb, wa¨hrend die Abhandlung ein 1572 erstmalig gedrucktes Werkvoraussetzt: Bombelli’s Algebra. Von diesem Buche und seinem Verfasser haben wir jetztzu reden.Was wir freilich von Rafaele Bombelli49 aus Bologna wissen, ist kaum mehr, alsin diesen Worten bereits gesagt ist. Sein Vorname, seine Heimath sind bekannt. Der Titelseines beru¨hmten Werkes heisst l’Algebra. Er schrieb dasselbe auf Aufforderung des ihm [P]geneigten Bischofs von Malfi, und es ist zuerst 1572 in Venedig, dann abermals 1579 inBologna gedruckt. Damit sind die Notizen seine Perso¨nlichkeit im Wesentlichen erscho¨pft.Der Inhalt der Algebra gliedert sich in drei Bu¨cher. Das 1. Buch besteht aus einer Leh-re von den Wurzelgro¨ssen, so weit solche bei der Auflo¨sung von Gleichungen Anwendungfindet; insbesondere ist Gewicht auf die Ausziehung der Kubikwurzel aus einem Binomi-um gelegt, von dessen beiden Theilen der eine eine Quadratwurzel ist. Das 2. Buch istdie eigentliche Algebra, die Lehre von den Gleichungen der vier ersten Grade mit einerUnbekannten. Das 3. Buch ist eine Sammlung von ungefa¨hr 300 Aufgaben, welche zur [Q]Einu¨bung des in den beiden ersten Bu¨chern Gelehrten dienen. (622)Eine wichtige Stelle des ersten Buches ist lange Zeit so gut wie unbeachtet geblieben. In [R]ihr ist die Ausziehung der Quadratwurzel mittels der Kettenbru¨che gelehrt50, alsodie Formel √a2 + b = a+b2a+ b2a+. . .Freilich hat sich Bombelli mit dem Zahlenbeispiele√13 begnu¨gt. Er findet a = 3, b = 4 undals ersten Na¨herungswerth 3 + 46 = 323 . dann la¨sst er46 zu dem im Nenner befindlichen 6hinzufu¨gen, so entsteht als weiterer Na¨herungswerth 3+ 46+ 46= 335 . Dass Bombelli u¨ber dieSache klarer dachte als er sie auszudru¨cken wusste, geht aus seiner weiteren Behandlunghervor, welche wir in unserem Berichte nur so weit aba¨ndern, dass wir die Unbekannteund deren Quadrat durch x und x2 ersetzen. Ist√13 = 3 + x, so folgt 13 = 9 + 6x + x2,4 = 6x + x2. Gewo¨hnlich vernachla¨ssigt man x2 und schreibt nur 4 = 6x, woraus x = 23folgt. Will jetzt das vernachla¨ssigte x2 auch in Rechnung gezogen werden, so muss x2 = 23xoben eingesetzt werden. Man erha¨lt also 4 = 6x+ 23x =203 x und x =35 . Dieser neue Werthno¨thigt zu x2 = 35x d.h. zu 4 = 6x+35x =335 x nebst x =2033 u. s. w.Da die Gleichungen dritten und vierten Grades den Schwerpunkt des Werkes bilden,so ist natu¨rlich, dass Bombelli auch in der damals noch in ganz frischem Angedenken ste-henden, kaum erst durchgefochtenen Streitsache zwischen Tartaglia auf der einen, Cardanound Ferrari auf der anderen Seite Partei ergreifen musste. Er that es zu Gunsten der beidenLetztgenannten, sei es dass die Gerechtigkeit ihrer Sache ihn u¨berzeugte, sei es dass fu¨rihn auch ins Gewicht fiel, dass Ferrari von Bologna seine eigene Heimath theilte. Tartaglia,49Libri III, 181–184.50Wertheim, Die Berechnung der irrationalen Quadratwurzeln und die Erfindung der Kettenbru¨che.Zeitschr. Math. Phys. XLII, Supplementheft S. 149–160 mit Berufung auf Bombelli, Algebra S. 35.90 Band 2so dru¨ckt Bombelli sich aus51, sei von Natur so gewo¨hnt gewesen, Bo¨ses zu sagen, dass erdachte, ein ehrenvolles Zeugniss fu¨r sich abgelegt zu haben, wenn er von einem Anderen(623)Uebles geredet hatte. Auffallen muss dabei, dass Bombelli in dem ganzen Buche nicht eineinziges Mal des Scipione Del Ferro gedenkt, der doch auch Bologneser war, und demnach u¨bereinstimmender Aussage der Gegner die erste Auflo¨sung der kubischen Gleichunggeglu¨ckt war.Die rasche Aufeinanderfolge der beiden Ausgaben, in welchen 1572 und 1579 die Algebra[S]erschien, ist Zeugniss dafu¨r, dass sie Ka¨ufer fand, eine fu¨r diese Ka¨ufer selbst schmeichel-hafte Thatsache, da Bombelli’s Schreibart durch ungewohnte Namen und Bezeichnungenzuerst fast abschreckend wirken musste. Die Unbekannte nannte Bombelli tanto oder quan-tita, ihr Quadrat potenza, und das du¨rfte das erste Vorkommen dieses Wortes sein, welchesspa¨ter die allgemeine Bedeutung erhielt, welche ihm heute noch anhaftet, wa¨hrend Bombellifu¨r den weiteren Begriff mit Tartaglia des Wortes dignita sich bedient. Die Quadratwurzelaus einer negativen Zahl heisst piu di meno oder meno di meno, je nachdem sie selbstpositiv oder negativ genommen werden soll. Auch in den Bezeichnungen schlug Bombelliandere als die gewohnten Bahnen ein. Es war gewiss ein glu¨cklicher Gedanke von ihm, dieaufeinanderfolgenden Potenzen der Unbekannten durch Zahlen anzudeuten, unter welchenein kleiner Bogen sich befand, also 1^, 2^, 3^, 4^ zu schreiben, eine Bezeichnung, welchewenig spa¨ter von Pietro Antonio Cataldi in seinem Trattato del modo brevissimo di[T]trovare la radice quadra delli numeri von 1613, von welchem im 75. Kapitel zu reden seinwird, aber schon in seinem Trattato dell’ Algebra proportionale von 1610 dahin vera¨ndertwurde, dass die kleinen Bo¨gen unter den Zahlzeichen wegfielen und letztere durchstrichenwurden. Bei Cataldi war also /3 die dritte, /7 die siebente und sogar /l die erste Potenz derUnbekannten52. Glu¨cklich war auch Bombelli’s Gedanke, die Wurzeln aus zusammenge-setzten Ausdru¨cken durch eine besondere Bezeichnung deutlich, hervortreten zu lassen.Paciuolo (S. 320) besass bereits das Wort Radix universalis mit der Bezeichnung R/V,um Wurzeln aus vereinigten Gro¨ssen zu ziehen, z.B. R/V7p˜R/14 =√7 +√14. Cardanoin seiner Practica Arithmeticae generalis von 1539 unterschied von der Radix universalisdie Radix ligata53, bei welcher das erste Wurzelzeichen nur der unmittelbar folgenden Zahlgilt, also zwei Quadratwurzeln addirt werden. Als eigentlich ganz u¨berflu¨ssiges Zeichen(624)schrieb Cardano ein L vor die erste Wurzel, z. B. L R/7pR/14 =√7 +√14. Bombelli warder Meinung, man solle fu¨r Radix universalis beide Namen, Radix universalis oder Radixlegata unterschiedlos gebrauchen54; er selbst bediente sich spa¨ter fast ausschliesslich desAusdruckes Radix legata. Dabei schrieb er ein L hinter das erste R/, und eine Umkehrungdesselben in der Form Lschloss am Ende den ganzen der Wurzelausziehung unterworfenenAusdruck ab, z. B.R/L7pR/14 L=√7 +√14.Solche Vereinigungen unter ein gemeinsames Wurzelzeichen wandte er auch bei Wurzeln51Di sua natura era cosi assuefatto a dir male, che all’ hora egli pensava di haver dato onorato saggio dise, quando che di alcuno havesse sparlato (S. 5 des Vorwortes Agli Lettori).52G. Wertheim in der Zeitschr. Math. Phys. XLIV, Histor.-liter. Abthlg. S. 48.53Cardano IV, 14.54Bombelli, Algebra S. 99.69. Kapitel 91ho¨heren Grades und auch in Wiederholung an.R/qLR/cLR/q68p2 LmR/cLR/q68m2 L L=√[ 3√(√68 + 2)− 3√(√68− 2)], 55R/cL4pdimR/q11 LpR/cL4mdimR/q11 L= 3√(4 +√−11) + 3√(4−√−11).56Wir benutzen dieses letztere Beispiel, um zu zeigen, wie Bombelli an demselben die Wurzel-ausziehung vollzieht. Sei zuna¨chst allgemein angenommen, man habe es mit 3√a+√−b+ [U]3√a−√−b zu thun, und es sei 3√a+√−b = p + √−q. Die Erhebung zum Kubus undGleichsetzung der reellen wie der imagina¨ren Theile zeigt, dass a − p3 − 3pq, √−b =(3p2− q)√−q und dadurch ergiebt sich die zweite Kubikwurzel als 3√a−√−b = p−√−q,die Summe beider also als3√a+√−b+ 3√a−√b = p+√−q + p−√−q = 2p.Es kommt also ausschliesslich auf die Auffindung von 2p an. Multiplicirt man die beidenKubikwurzeln miteinander, so entsteht 3√a2 + b = p2 + q und, wenn 3√a2 + b = c rationalist, p2 + q = c, q = c − p2, −3pq = 3p3 − 3cp, p3 − 3pq = 4p3 − 3cp. Wir hatten aberals ein erstes Ergebniss a = p3 − 3pq, mithin ist p eine Wurzel der kubischen Gleichung4p3 − 3cp = a.In dem gegebenen Zahlenbeispiele ista = 4, b = 11, c = 3√42 + 11 = 3und 4p3 − 9p = 4, 8p3 − 18p = 8, (2p)3 − 9(2p) = 8aufzulo¨sen. Kann man, was in diesem Beispiele nicht zutrifft, hieraus mit Leichtigkeit 2p (625)ermitteln, so ist die Aufgabe gelo¨st. [V]Dagegen bilde ein anderes Mal57 z3 = 15z + 4 den Ausgangspunkt der ganzen Unter-suchung. Die Formel des Del Ferro lehrt z = 3√(2 +√−121) + 3√(2−√−121). Hier ista = 2, b = 121, c = 3√22 + 121 = 5, 4p3 − 15p = 2, (2p)3 − 15(2p) = 4, welches bei 2p = 4erfu¨llt wird. Das hier vorhandene Rationalsein von c tritt immer ein, so oft eine kubischeGleichung den Ausgangspunkt bildete. Aus x3 = mx+ n folgt na¨mlichx = 3√(n2+√(n2)2 − (m3)3) + 3√(n2−√(n2)2 − (m3)3)mit a = n2 , b = (m3 )3 − (n2 )2, also a2 + b = (m3 )3 und c = 3√a2 + b = m3 .Die Bedeutung der Bombelli’schen Untersuchung liegt offenbar nicht etwa darin, dass siedie kubische Gleichung leichter auflo¨sen lehrte. Wir haben ja gerade an dem zuletzt von unsbesprochenen Beispiele gesehen, dass die Umwege nur dahin fu¨hrten, dass man schliesslichzu derselben Gleichung zuru¨ckkehrte, von welcher man ausgegangen war, und deren Wurzel4 somit unmittelbar ha¨tte gefunden werden ko¨nnen. Aber durch die gefu¨hrte Untersuchungwurde einleuchtend gemacht, dass jene beiden Kubikwurzeln der Del Ferro’schen Formel55Ebenda pag. 356.56Ebenda pag. 294–295.57Bombelli, Algebra pag. 293.92 Band 2der Auswerthung fa¨hig waren, und dass in Folge derselben die imagina¨ren Theile sichweghoben. ”Ein ausschweifender Gedanke“, sagt Bombelli58”nach der Meinung Vieler. Ichselbst war eine Zeit lang der gleichen Ansicht. Die Sache schien mir auf Sophismen mehrals auf Wahrheit zu beruhen, aber ich suchte so lange, bis ich den Beweis fand.“Die Gleichung vierten Grades behandelt Bombelli59 nach Ferrari, und da wir dessenMethode schon fru¨her (S. 509–510) aus Cardano’s Ars magna ero¨rtert haben, so du¨rfen wiruns hier an der Bemerkung genu¨gen lassen, dass alle Einzelfa¨lle in grosser Ausfu¨hrlichkeitdurchgesprochen werden.Der Auflo¨sung von Gleichungen durch allgemeine Formeln steht die durch Rechnungmit bestimmten Zahlen gegenu¨ber. Auch mit solchen Methode hat, wie wir wissen, Carda-no es versucht. Ein eigenthu¨mliches Verfahren ersann Johannes Junge60 aus Schweidnitz,(626)Rechenmeister zu Lu¨beck. Er soll es 1577 vero¨ffentlicht haben, aber in welcher Weise ist[W]unbekannt. Die Gleichung wird in zwei Glieder getheilt, so dass die ho¨chste Potenz derUnbekannten fu¨r sich allein das eine Glied bildet. Alsdann muss die Gesammtheit alleranderen wieder zu einem Gliede vereinigten Bestandtheile wiederholt durch einen ange-nommenen Werth der Unbekannten sich theilbar erweisen, wenn die Annahme richtig war.Ein Beispiel welches Raimarus Ursus (S. 593) in einem nachgelassenen, 1601 gedruckten[X]Werke Arithmetica analytica vulgo Cosa aufbewahrt hat, lautet in der verlangten Form:x3 = 486 − 90x − 21x2. Ist nun x = 3 richtig gewa¨hlt, so kann 486 = 3 · 162 mit −90x zu3(162− 90) = 3 · 72 vereinigt werden; 3 · 72 aber = 32 · 24 vereinigt sich sodann mit −21x2zu 32(24 − 21) = 33; welches mit x3 u¨bereinstimmt. Freilich gilt von diesem Verfahren invollem Maasse was Raimarus daru¨ber sagt, dass es ”etwan Conjectural vnd durch etzlichebiszweilen auch wol durch viele mutmassungen vnd gleichsam vorattungsweiss verrichtetwird“.Simon Stevin’s im Jahre 1585 gedruckter Band begann mit einer Schrift, die den Titelfu¨hrte: L’arithme´tique contenant les computations des nombres artihmetiques ou vulgaires:aussi l’Algebre avec les eguations des cinq quantitez. Die letzten Worte geben die Grenzean, bis zu welcher das Buch sich erstreckt, bis zu Gleichungen vierten Grades, da diese ausfu¨nf Einzelgliedern bestehen ko¨nnen. Daru¨ber hinaus oder, wie Stevin sagt61, u¨ber Lois deFerrare, d. h. Ludovico Ferrari, sich zu erheben, sei ihm nicht gelungen. Er kannte dessenLeistungen offenbar aus Bombelli, welchen er anfu¨hrt. An Bombelli schliesst Stevin sich imGebrauche des Wortes potence wie in dem von dignites an. In ersterer Beziehung geht aberStevin weiter, da ausser potence fu¨r das Quadrat der Unbekannten auch potence cubique62fu¨r deren dritte Potenz bei ihm vorkommt. Die Bezeichnung der Potenzen stammt beiStevin ausgesprochenermassen63 aus der gleichen Quelle. Er benutzt dazu die eingeringeltenZahlen k1 , k2 , k3 u. s. w. Der k0 habe Bombelli sich nicht bedient, sie entspreche derZahl. Auch der Begriff eines eingeringelten Bruches fehlt nicht, wenngleich Stevinihn nicht anwendet. Er sagt ausdru¨cklich64, ein eingeringeltes 23 wu¨rde das Symbol fu¨r dieKubikwurzel aus dem Quadrate der Unbekannten sein. Kommen mehrere Unbekannte in58Ebenda die drei letzten Zeilen von pag. 293.59Ebenda pag. 353 sqq.60Gerhardt, Math. Deutschl. S. 84–87. — Treutlein, Deutsche Coss, Zeitschr. Math. Phys. XXIV,Supplem. S. 99–102. — Allgem. Deutsche Biographie XIV, 70561Stevin I, 6.62Ebenda I, 58.63Ebenda I, 8.64Ebenda I, 64.69. Kapitel 93einer Aufgabe vor, so nennt Stevin65 die zweite, dritte derselben Quantite posposee seconde, (627)tierce und schreibt 1 sec k1 , 1 ter k1 u. s. w. Auch fu¨r Producte solcher Unbekannten siehtStevin eine Bezeichnung mittels des Multiplicationsbuchstabens M vor, z. B.3xyz2 = 3 k1 Msec k1 Mter k2 .Dividiren soll man durch den Divisionsbuchstaben D, z. B.5x2z2y= 5 k2 Dsec k1 Mter k2 .Wir kommen hier auf die Anwendung solcher eingeringelter Zahlen zuru¨ck, welche dieRangordnung der Decimalbru¨che in Stevin’s Disme andeuten. Es kann bei dem gleichzei-tigen Erscheinen der Disme mit der Algebra kaum einem Zweifel unterworfen sein, dassStevin, wenn er es auch nirgend ausdru¨cklich sagt, jene Stellenzeiger als die aufeinanderfolgenden Potenzen von 110 sich dachte.Hatte Bombelli ein Zeichen der Zusammengeho¨rigkeit L Leingefu¨hrt, so fu¨hrte Ste-vin eine aus zwei mit den gekru¨mmten Seiten aneinanderstossenden Klammern gebildetesTrennungszeichen66 ein. Fu¨r die Quadratwurzel schrieb er mit Stifel √, und nun bedeutet√9)( k2 , dass das Wurzelzeichen zwar auf 9, aber nicht auf k2 sich beziehen solle, dassalso 3x2 gemeint sei. Neben diesen fu¨r die Weiterbildung algebraischer Form nicht ganzunwichtigen Dingen, zu welchen noch der Name Multinomie algebrique67 zu za¨hlen wa¨re,finden wir bei Stevin auch sachlich Bemerkenswerthes.Da erwa¨hnt er68, die Summe zweier Quadratwurzeln ko¨nne der zweier anderen Qua-dratwurzeln nicht gleich sein, wenn die beiden ersten Radicanden theilerfremd seien, d. h.√a+√b =√c+√d erfordere a = m2f und b = n2f .Da sagt er69, man ko¨nne den gro¨ssten Gemeintheiler zweier algebraischerMultinomien finden. Nonius freilich habe es nicht fertig gebracht (S. 389), aber manbrauche nur das Verfahren einzuschlagen, welches bei ganzen Zahlen zum Ziele fu¨hre. Sollz. B. der gro¨sste Gemeintheiler von x3 + x2 und x2 + 7x+ 6 gesucht werden, so muss manersteren Ausdruck durch letzteren dividieren. Der Quotient ist x und −6x2 − 6x bleibt alsRest. Mit diesem Reste dividiert man in x2 + 7x + 6. Der Quotient ist −16 und 6x + 6bleibt als Rest. Letzterer ist in −6x2 − 6x ohne Rest enthalten, giebt also den gesuchtenGemeintheiler. Die Frage ist, wenn auch leicht zu beantworten, keine mu¨ssige, wodurchStevin, wodurch vor ihm Nonius sich veranlasst fu¨hlte, u¨berhaupt diese Aufgabe sich zu (628)stellen? Es handelte sich dabei offenbar um die Auflo¨sung von Gleichungen ho¨herer Grade.Die ersten Versuche zu deren Bewa¨ltigung liefen bis zu Cardano’s Buch von 1539 und Sti-fel’s Arithmetica integra einschliesslich darauf hinaus, durch glu¨ckliches Errathen gewisserhinzuzuaddirender Erga¨nzungen solche Formen einander gleichwerthiger Ausdru¨cke her-vorzubringen welche ein Weglassen von gemeinschaftlichen Factoren gestatteten. War mannun im Stande, einen, solchen gemeinschaftlichen Factor leicht aufzufinden, so mochte manwa¨hnen, damit um einen wesentlichen Schritt in der Lehre von den ho¨heren Gleichungenweiter gekommen zu sein.65Stevin I, 7.66Ebenda I, 10.67Ebenda I, 7.68Ebenda I, 51.69Ebenda I, 56.94 Band 2Die Auflo¨sung quadratischer Gleichungen beruht schliesslich auf einer auf beiden Seitender Gleichung vorzunehmenden Erga¨nzung, und Stevin hat sie von diesem Gesichtspunkteaus gelehrt70, wenn er auch hinzusetzte, insgemein begnu¨ge man sich damit, die schonabgeleitete Regel anzuwenden.Bei den kubischen Gleichungen machte Stevin auf die Schwierigkeit aufmerksam, welchedas Auftreten negativer Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen verursache71. Cardanohabe in seiner Regula Aliza, Andere anderwa¨rts gesucht, der Schwierigkeit Herr zu werden.Er finde es unno¨thig darauf einzugehen, weil eine allgemeine Regel noch nicht gefundensei — in unserem Berichte u¨ber die Algebra Bombelli’s haben wir das Zutreffende dieserBehauptung erkannt — Zufallerfolge verdienten aber nicht, dass man sich lange mit ihnenaufhalte.Bei manchen Aufgaben, heisst es anderwa¨rts72, gebe es auch Auflo¨sungen durch Minus(solutions par –), x2 = 4x+ 21 werden z. B. durch x = −3 erfu¨llt.Endlich heben wir eine na¨herungsweise Gleichungsauflo¨sung hervor73, deren Stevinsich als seiner Erfindung ru¨hmt, und welche jedenfalls den theoretischen Vorzug besitzt, dengesuchten Wurzelwerth allma¨lig in seinen einzelnen Stellen von der ho¨chsten zur niederstenabsteigend entdecken zu lassen. Sei etwax3 = 300x+ 33915024aufzulo¨sen. Setzt man nach einander x = l, x = 10, x = 100, so wird jedesmal x3 kleinerund erst bei x = 1000 gro¨sser ausfallen als der Werth von 300x + 33915024. Folglichweiss man schon, dass x zwischen 100 und 1000 liegt, mithin dreiziffrig ist. Man suchtdie Ziffer der Hunderter, welche einen der Werthe l, 2, ... 9 haben muss. Die 1 hat sich(629)schon als zu klein gezeigt, man macht also den Versuch mit 2, 3, 4 und erkennt, dass 2,3 zu wenig, 4 zu viel giebt, also liegt die Unbekannte zwischen 300 und 400. Die Zehnervon 1 an durchprobierend ermittelt man 310, 320 als zu klein, 330 zu gross, sodass manberechtigt ist, 32 als richtigen Anfang anzunehmen und die Einer von 1 an in Angriff zunehmen. 321, 322, 323 geben zu wenig, 324 stimmt ganz genau und ist daher der Werthder Unbekannten. Stevin macht zwei wichtige Zusatzbemerkungen. Erstens sei es mo¨glich,dass die Unbekannte einen ganzzahligen Werth u¨berhaupt nicht besitze, dann solle man diefolgenden Decimalstellen sich verschaffen, was genau nach dem gleichen Verfahren geschehe,welches man zur Ermittelung der ho¨heren Stellen einschlug, und das gleiche Verfahren fu¨hreauch zum Ziele, wenn die Unbekannte kleiner als 1 sei. Zweitens komme es vor, dass mansich begnu¨gen mu¨sse, dem Werthe der Unbekannten unendlich nahe zu kommen, ohne ihnzu erreichen74, und das sei in zwei Fa¨llen mo¨glich, entweder bei Bru¨chen wie 56 , die in einengenau gleichen Decimalbruch sich nicht verwandeln lassen, oder bei Wurzelgro¨ssen, welcheirrational sind.Stevin’s Bearbeitung des Diophant haben wir hier nur so weit zu erwa¨hnen, als wirbemerken, dass die gleichen Zeichen dort angewandt sind, welche der Algebra dienen, dassein Gleichheitszeichen da wie dort fehlt, wiewohl Stevin bei Xylander, dessen lateinische70Stevin I, 69.71Ebenda I, 71–72.72Ebenda I, 77.73Ebenda I, 88.74Il peut avenir qu’on pourra approcher infiniment au requis sans toutesfois par ceste maniere pouvoirparvenir a la parfaicte solution.69. Kapitel 95Uebersetzung er nur weiter ins Franzo¨sische u¨bertrug75, ein solches hatte kennen lernenmu¨ssen.Der gro¨sste Algebraiker der Zeit war Vieta. Seine erste algebraische Schrift In artemanalyticam isagoge76, Einleitung in die analytische Kunst, erschien 1591. Sie wollte nureinen Theil eines gro¨sseren Werkes unter dem Namen der wiederhergestellten mathema-tischen Analysis oder der neuen Algebra bilden. Die Titel sa¨mmtlicher Theile sind derWidmung vorausgeschickt, welche in schwu¨lstigem Tone an die aus dem Geschlechte Me-lusinens stammende Fu¨rstin Katharina von Rohan gerichtet ist. Wir bemerken dabei, dassu¨berhaupt die Sitte der Zeit in Frankreich und Deutschland einer einfachen, klaren Spracheabhold war. Je mehr dem Griechischen entlehnte Neubildungen, je mehr Floskeln, je far-benreichere mythologische Bilder vorkamen, fu¨r um so vollendeter galt eine Abhandlung. (630)Man muss dies wissen, um Stevin’s unu¨bertreﬄiche Klarheit wu¨rdigen, um Vieta’s und An-derer Unversta¨ndlichkeit verzeihen zu ko¨nnen. Ob jene 1591 dem Titel nach vorhandenenSchriften auch thatsa¨chlich alle bereits druckreif waren, wissen wir nicht, wahrscheinlichist es wohl. Dann stammen aus jener fru¨hen Zeit die 1593 gedruckten Effectionum geome-tricarum canonica recensio (S. 584) und das Supplementum geometriae, ebenso die gar erst1615 mit Beweisen versehenen Theoremata ad angulares sectiones (S. 608), welche selbstnur ein Auszug aus einer dreitheiligen Schrift waren77, von der das Meiste verloren ging.Verloren sind auch die 1591 genannten 7 ersten Bu¨cher der Antworten auf verschiedeneFragen78, zu welchen offenbar als Fortsetzung das 1593 gedruckte 8. Buch (S. 586) geho¨rte,jedenfalls ein ungemein zu beklagender Verlust, wenn die ersten Bu¨cher dem letzten nurhalbwegs ebenbu¨rtig waren. Die Isagoge ist, wie ihr Name es aussprechen soll, wirklichnur eine Einleitung. Nachdem die Analysis oder Zetetik als diejenige Kunst des Auffin-dens geschildert worden, welche von dem als bekannt angenommenen Gesuchten ausgeht,nachdem eine Reihe von beweislos einleuchtenden Sa¨tzen (Gleiches und Gleiches durchAddition, Subtraction, Multiplication, Division verbunden giebt Gleiches. Vier Gro¨ssen,von denen zwei zu einem Producte vereinigt das gleiche Product wie die beiden anderengeben, stehen in Proportion u. s. w.) zusammengestellt ist, spricht Vieta im III. Kapitel daserste und allbezu¨gliche Gesetz der Homogeneita¨t aus79. Den Griechen war dieses Gesetzurspru¨nglich ein selbstversta¨ndliches. Nur La¨ngen ko¨nnen La¨ngen, nur Fla¨chen Fla¨chen,nur Ko¨rper Ko¨rpern, nur Verha¨ltnisse Verha¨ltnissen verglichen werden. Spa¨ter wich manvon diesem Gesetze, das eine unbeabsichtigte aber zuverla¨ssige Beglaubigung ausgespro-chener Sa¨tze mit sich fu¨hrte, ab. Heron vereinigte La¨ngen und Fla¨chen zu einer Summe(Bd. I, S. 376), Diophant gestattete sich das Gleiche (Bd. I, S. 454). Mag sein, dass Vietagerade beim Studium des Diophant, den er in der Isagoge selbst anfu¨hrt80, auf das Un-statthafte aufmerksam wurde. Jedenfalls hat er zuerst als Gesetz erkannt und ausgespro- (631)chen, was meistens nur in dunklem Gefu¨hle der Richtigkeit geu¨bt worden war, und diesesVerdienst ist gro¨sser als Mancher denken mag. Nachdem das Gesetz der Homogeneita¨teinmal aufgestellt war, hat Vieta im IV. Kapitel seine Folgerungen daraus gezogen. Dieses75Stevin I, 102.76Vieta pag. l–12. — F. Ritter hat eine mit Anmerkungen bereicherte Uebersetzung im Bullet. Boncom-pagni I, 225–244 erscheinen lassen, welcher der Originaldruck von 1591 zu Grunde liegt.77Analyse des sections angulaires distribue´e en trois parties nach Ritter’s Uebersetzung.78Sept livres de diffe´rentes re´ponses sur des sujets mathe´matiques.79Prima et perpetua lex . . . quae dicitur lex homogeneorum. Ueber dieses Gesetz vergl. Marie, Histoiredes sciences mathe´matiques et physiques III, 9–19, wo allerdings viel mehr hinein- als herausgelesen wird.80Vieta pag. 5: Haec est λιψισ Diophanto, ut adfectio adiunctionis υpiαρξισ. Die hier vorkommendengriechischen Ausdru¨cke beweisen, dass Vieta den Diophant aus einem griechischen Texte kannte.96 Band 2Kapitel ist den Vorschriften der Logistica speciosa, De praeceptis Logistices speciosae,gewidmet, und damit war ein Kunstausdruck geschaffen, der fast allein von den zahllosenNeuerungen Vieta’s ihn u¨berlebte. Logistik war von Alters her Rechenkunst. Vieta un-terschied zwei Gattungen derselben. Sie war numerosa, wenn mit Zahlen, speciosa, wennmit versinnlichenden Zeichen von Raumgebilden81, z. B. mit Buchstaben gerechnet wurde.Die Buchstaben, lauter Initialen des lateinischen Alphabets, stellen demnach Gebilde vor,welche dem Homogeneita¨tsgesetze unterworfen sind. Es sind Gro¨ssen, nicht Zahlen. AuchTartaglia hob den Unterschied zwischen Zahlen und Quantita¨ten hervor (S. 519). Fu¨r jenebediente er sich der Wo¨rter multiplicare und partire, fu¨r diese gebrauchte er ducere undmisurare. Aehnlich unterscheidet Vieta. Die Grundsa¨tze von Kapitel II enthalten die Aus-dru¨cke multiplicare und dividere, im Kapitel IV heisst es ducere und adplicare vielleichtmit Anlehnung an Tartaglia, wahrscheinlicher der Euklidausgabe des Campanus II, 2 be-ziehungsweise I, 44 entnommen. Das Homogeneita¨tsprincip hat freilich, und auch dafu¨rliefert Kapitel IV die Belege, den rein geometrischen Untergrund la¨ngst aufgegeben. Nichtauf Mannigfaltigkeiten von 1, 2 oder 3 Abmessungen beschra¨nkt sich die Algebra. Fastbeliebig hoher Dimension ko¨nnen die in einer Gleichung auftretenden Glieder sein, wennnur alle gleich hoher. Die von Vieta gelieferten Beispiele erstrecken sich zum solido-solido-solidum, d. h. bis zur 9. Potenz der behandelten Gro¨sse, da die einzelnen Bestandteileaddirt werden, wie es von Diophant geu¨bt wurde, und nicht multiplicirt, wie es beiden Italienern und deren Nachahmern, z. B. Stifel geschah. Die Vervielfachung wirddurch das Wort in, die Theilung durch den Bruchstrich angedeutet. Das Produkt vonA planumB inZ quadratumG istA planumB in G in Z quadratum u. s. w. Als Zeichen der Additionund Substrction sind + und - benutzt, ausserdem giebt es noch = als Zeichen der Diffe-renz zweier Gro¨ssen82, ohne dass man anzugeben braucht, welche von beiden die gro¨sseresei. Im V. Kapitel kommt Vieta auf die eigentlichen Gleichungen zu reden. Die gesuchtenGro¨ssen, magnitudines quaesititiae, werden durch die Vocale A, E, I, O, V, Y dargestellt,(632)die gegebenen, datae, durch Consonanten B, G, D u. s. w.83. Vielleicht suchte Vieta durchdiese Anwendung der Vocale sich mit der Uebung von Ramus, dem damals in Frankreichhochgescha¨tzten Schriftsteller, in Einklang zu setzen der die gleichen Buchstaben (S. 564)bei der Figurenbezeichnung bevorzugte. Von den Gesetzen, welche Vieta ausspricht, sei nureines erwa¨hnt84: Antithesi aequalitatem non immutari. Antithesis heisst nichts Anderes alsdas Hinu¨berschaffen eines Gliedes mit entgegengesetztem Vorzeichen auf die andere Seite,welches also als ein die Richtigkeit der Gleichung nicht Beeintra¨chtigendes gestattet wird.Das VI., VII., VIII. Kapitel geben zu besonderen Bemerkungen wenig Anlass. Ho¨chstensdass aus dem letztgenannten anzufu¨hren wa¨re dass die Gleichung dazu fu¨hre, das Geheim-niss der Winkeltheilung zu enthu¨llen, ohne desshalb Gerades mit Krummem zu vergleichen,wogegen das Homogeneita¨tsgesetz sich zu stra¨uben scheine85.Unter die 1591 gleichfalls angefu¨hrten Schriften geho¨ren Ad Logisticen speciosamnotae priores und posteriores. Es ist nicht wahrscheinlich, dass eine Vero¨ffentlichung[Y]zu Lebzeiten Vieta’s stattfand und der zweite Theil ist dann u¨berhaupt nie bekannt81species seu rerum formas.82Vieta pag. 5.83Vieta pag. 8 No. 5.84Ebenda pag. 9 Propositio I.85Ebenda pag. 12 No. 27 und 2869. Kapitel 97geworden86, nur der erste ist in der Gesammtausgabe von 1646 vorhanden87. ManDA BFig. 126.kann diese Anmerkungen zur Logistica speciosa fu¨glich inzwei Abtheilungen trennen. Die erste Abtheilung lehrt Multi-plicationen von Summen in Differenzen und Potenzerhebun-gen von Binomien, dann vom 25. Satze an auch Berechnungvon Ausdru¨cken von der Gestalt (A+B)m+Dn(A+B)m−n.Die letztgenannten geben zur Einfu¨hrung eines Wortes Gele-genheit. Im einfachsten Falle(A+B)2 +D(A+B)handelt es sich geometrisch gesprochen (Figur 126) um dasQuadrat einer zweitheiligen Gro¨sse, welche durch Anfu¨gungeines Rechteckes vergro¨ssert ist, dessen eine Seite in Gestalt jener zweitheiligen Quadrat-seite gegeben ist, wa¨hrend die andere gleichfalls gegebene Seite mit an der Bildung derFigur betheiligt ist. Vieta nennt88 sie offenbar aus dem hier ero¨rterten, wenn auch bei ihmnicht ausgesprochenen Grunde longitudo coefficiens, und damit war das Wort Coefficientin die Wissenschaft eingefu¨hrt. Die zweite Abtheilung beginnt mit dem 45. Satze und han- (633)delt von der Entstehung rationaler rechtwinkliger Dreiecke aus einander. Damitaus zwei Zahlen A, B, welche die Wurzeln des rechtwinkligen Dreiecks heissen89, ein sol-ches gebildet werde, benutzt man sie als Anfangsglieder einer geometrischen Reihe, derendrittes Glied folglich B2A heisst. Summe und Differenz der beiden a¨usseren Glieder unddas doppelte mittlere Glied (in Vieta’s Schreibweise: A + B quadratoA , A =B quadratoA , B2,indem der Zahlenfactor 2 dem B nachgesetzt wird) sind alsdann die drei Seiten des ra-tionalen Dreiecks. Vervielfache man Alles mit A, damit sa¨mmtliche Seiten auf dieselbeBenennung gebracht seien, ut ad idem genus adplicationis latera quaeque revocentur, soheissen die Seiten: A quadr. + B quadr., A quadr. = B quadr., A in B2. Nun seien zweirechtwinklige Dreiecke Z,B,D und X,F,G gegeben, d. h. es sei, um von jetzt an die heutegewo¨hnliche Schreibweise anzuwenden, Z2 = B2 + D2, X2 = F 2 + G2. Dann ist auch(ZX)2 = (BG + DF )2 + (BF − DG)2 = (BF + DG)2 + (BG − DF )2 mit zweifacherZerlegung des Productes zweier Quadratsummen in eine neue Quadratsumme, wie sie seitDiophant (Bd. I, S. 451) bekannt war, oder es ist aus zwei Dreiecken in doppelter Artein drittes gebildet. Statt zweier verschiedener Dreiecke kann man dasselbe Dreieck, et- [Z]wa A,B,D, zweimal nehmen90. Das eine neue Dreieck heisst dann A2, 2BD, B2 − D2,und es hat die Eigenschaft, dass sein einer spitzer Winkel doppelt so gross ist,als ein spitzer Winkel des urspru¨nglichen Dreiecks. Vieta beweist diese Winkel-eigenschaft nicht, er spricht sie nur aus; bei seiner uns aus der Auflo¨sung der AufgabeVan Roomen’s bekannten Gewandtheit, mit trigonometrischen Functionen zu rechnen,kann aber nicht gezweifelt werden, dass sein Gedankengang etwa folgender war. Hiessim urspru¨nglichen Dreiecke der eine spitze Winkel α, so war sinα = DA , cosα =BA ,2 sinα · cosα = sin 2α = 2BDA2und also im neuen Dreiecke der Winkel 2α nachgewiesen,86Ritter im Bullet. Boncompagni I, 245.87Vieta pag. 13–41. Die franzo¨sische Uebersetzung von Ritter l.c. pag. 246–276.88Vieta pag. 23 und o¨fter.89Vieta pag. 33: Triangulum rectangulum a duabus radicibus effingere.90Ebenda pag. 36: A duobus triangulis rectangulis aequalibus et aequiangulis tertium triangulum rectan-gulum constituere.98 Band 2als dessen Cosinus B2−D2A2erscheint. An diesem Gedankengange ist um so weniger zu zwei-feln, als Vieta der eben ero¨rterten Aufgabe als na¨chste die der Bildung des Dreiecksmit dreifachem Winkel91 anschliesst. Durch Vervielfachung von A2 = B2 + D2 mit(A2)2 = (2BD)2 + (B2 −D2)2 erha¨lt er(634)(A3)2 = (B3 − 3BD2)2 + (3B2D −D3)2undsin 3α = sinα · cos 2α+ cosα · sin 2α=DA· B2 −D2A2+BA· 2BDA2=3B2D −D3A3,was wirklich fu¨r den einen spitzen Winkel des neuen, dritten Dreiecks zutrifft. Sogar zumallgemeinsten Falle erhebt sich Vieta92 und erkennt, dass die stets nach gleicher Vorschriftvorgenommene Bildung des n-ten Dreiecks aus dem (n− 1)-ten und dem ersten einen spit-zenWinkel nα entstehen la¨sst. Mit anderenWorten: Vieta kannte die Formeln, welchesin nα und cos nα aus sin α und cos α zusammensetzen, nur dass er D statt sin αund B statt cos α schrieb und die Hypotenuse des ersten Dreiecks A, die des n-ten Drei-ecks An nannte. Die noch folgenden Sa¨tze ko¨nnen, als von weitaus geringerer Wichtigkeit,[a]u¨bergangen werden.Auch fu¨nf Bu¨cher Zetetica93, von welchen ein Abdruck von 1593 bekannt ist, mu¨ssen1591 vorhanden gewesen sein. Man schildert sie am Zutreffendsten als eine Sammlungvon Aufgaben welche Diophant entlehnt oder nachgebildet sind. Als einzelnes Beispielerwa¨hnen wir die 2. Aufgabe des V. Buches94, welche drei in arithmetischer Progressionstehende Quadratzahlen verlangt. Als das erste Quadrat setzt Vieta A2, als das zweite(A + B)2 = A2 + 2AB + B2, das dritte muss folglich A2 + 4AB + 2B2 heissen und mo¨ge(D − A)2 sein. Diese letzte Gleichung giebt, wie ohne weitere Zwischenrechnung gesagtwird, A = D2−2B24B+2D . Dann heisst es sofort weiter: die Seite des ersten Quadrates ist folglichproportional, similis, D2 − 2B2, die des zweiten proportional D2 + 2B2 + 2BD, die desdritten proportional D2 + 2B2 + 4BD.Immer wieder dem gleichen Jahre 1591 geho¨ren nach dem o¨fters von uns benutzten[b]Inhaltsverzeichnisse die Abhandlungen De aequationem recognitione et emendatione95 an,welche erst 1615 aus Vieta’s Nachlasse durch Anderson dem Drucke u¨bergeben wordensind. Die Bezeichnung wechselt in diesen Abhandlungen ebenso wie der Druck. Wa¨hrendder eigentliche Text die Buchstabenbezeichnung in der Art durchfu¨hrt, wie wir sie alsVieta’s Eigenthum kennen gelernt haben (also Vocale fu¨r Unbekannte, Consonanten fu¨rBekanntes, den Buchstaben nachgesetzte Silben quad., cub. u. s. w. zur Bezeichnung der(635)Potenzirung, diesen wieder nachgesetzt Zahlenfactoren) enthalten jedem Kapitelchen bei-gefu¨gte Anmerkungen Zahlenbeispiele, welche ausser durch die Verschiedenheit der Typenauch dadurch sich unterscheiden, dass in ihnen die Unbekannte und ihre Potenzen durch N(numerus), Q, C mit ihnen vorausgehenden Zahlenfactoren ausgedru¨ckt werden. Im Tex-te steht z. B. Aq4, wa¨hrend die Anmerkung 4Q entha¨lt. Man ko¨nnte geneigt sein, diese91Triangulum anguli tripli.92Vieta pag. 37: Consectarium generale in diductionibus triangulorum rectangulorum.93Ebenda pag. 42–81.94Ebenda pag. 76: Invenire numero tria quadrata aequo distantia intervallo.95Ebenda pag. 84–126 die erste Abhandlung: De recognitione und pag. 127–158 die zweite: De emenda-tione. Ihre Zusammengeho¨rigkeit tritt in den Benennungen als Tractatus primus und Tractatus secundushervor.69. Kapitel 99Anmerkungen als von Anderson hinzugefu¨gt anzunehmen, dem Vieta’s Notizbu¨cher, Ad-versaria, zur Herausgabe anvertraut worden waren, wenn nicht gerade dieser selbst in einerVorrede, welche in die Gesammtausgabe von 1646 u¨bergegangen ist, erkla¨rte, sowohl dieGleichungen als die nachtra¨glichen Beispiele96 ha¨tten sa¨mmtlich von ihm nochmals nach-gerechnet werden mu¨ssen. Uns gelten desshalb also auch die Anmerkungen als von Vietaherru¨hrend, und darin machen uns die einleitenden Worte des Herausgebers der Gesammt-werke nicht irre, ”das Folgende sei, was er u¨ber die Anmerkungen Anderson’s hinaus zubemerken gefunden habe“97, denn wir verstehen unter diesen Anmerkungen Anderson’seinen Zusatz am Schlusse der Emendatio, der ausdru¨cklich dessen Namen fu¨hrt98. Ausder Recognitio heben wir nun Folgendes hervor. Vieta spricht die Aufgabe der eigent-lichen Gleichungsauflo¨sung in anderer Form aus. Nicht um die Auffindung einer Unbe-kannten handelt es sich, sondern um Herstellung einer aus einer gegebenen Anzahlvon Gliedern bestehenden geometrischen Progression. Aehnlich war die Fragestel-lung schon bei italienischen Schriftstellern gewesen (S. 487), Veranlassung konnte jene miteiner arithmetischen Indexreihe verglichene Reihe der aufeinander folgenden Potenzen derUnbekannten gegeben haben, welche uns wiederholt aufgefallen ist. Aber Vieta ging u¨berseine Vorga¨nger weit hinaus. Die quadratische Gleichung leitet sich fu¨r ihn aus einer derdrei stetigen Proportionen:: (A+B)A : Z = Z : (A−B): (B −A)ab99, welche Z2 als Product zweier Factoren A(A + B), A(A − B), A(B − A) darstellt.Im letzten der drei Fa¨lle ist die gegebene Zahl B in zwei Theile zerlegt, deren, jeder alsdie Unbekannte betrachtet werden kann, und darin liegt der Grund der Zweideutigkeit (636)solcher Aufgaben. Die kubische Gleichung stammt aus einer geometrischen Reihe von vierGliedern100. Ist B das gegebene erste, A das unbekannte zweite Glied, so wird A2B dasdritte, A3B2das vierte Glied, und kennt man nun noch Z als Summe des zweiten und viertenGlieder, so entspricht die Aufgabe der kubischen Gleichen A3 = B2Z − B2A. Aehnlichwird auch die Gleichung A3 − 3B2A = B2D einer viergliedrigen Reihe entnommen. Heisstdiese Reihe a, ae, ae2, ae3 und ist gegeben die Summe D und das Product B2 der beidena¨ussersten Glieder, so entspricht die Summe A der beiden inneren Glieder der ebenge-nannten Gleichung. Hier ist die Uebereinstimmung mit den erst in Erinnerung gebrachtenItalienern so gross, dass zur Gewissheit wird, Vieta habe deren Schriften gekannt, was ohne-dies durch Zeitfolge und Verkehrsverha¨ltnisse schon fast ausser Zweifel gesetzt war Gradediese Form der kubischen Gleichung bietet aber Veranlassung einmal x2 − 300x = 432und dann 300x − x3 = 432 ins Auge zu fasssen101, deren erste durch x = 18, die zwei-te durch x = 9 ± √57 erfu¨llt wird. Vieta vereinigt nicht alle drei Auflo¨sungen, indem erder Gleichung 300x − x3 = 432 auch die Wurzel x = −18 zuspricht, weil er hier wie an-derwa¨rts negative Wurzeln nicht anerkennt. Im Uebrigen erscheint hier bei B > 12D96Vieta pag. 83: exemplorum notae epilogisticae.97Ebenda pag. 549: Praeter ea quae hic adnotavit Andersonus animadvertimus porro haec quae sequuntur.98Ebenda pag. 159–161: Appendix ab Alexandro Andersono operi subnexa.99Ebenda pag. 85–86.100Vieta pag. 86.101Ebenda pag. 91.100 Band 2der irreductible Fall, und Vieta verweist fu¨r dessen Klarstellung ausdru¨cklich auf dieLehre von der Winkeltheilung102. Damit ist die aus der Schrift u¨ber die Van Roomen’scheAufgabe schon in hohem Grade wahrscheinliche Annahme sicher gestellt, dass Vieta zurLo¨sung des genannten Falles von dem trigonometrischen Satze cos a3 − 34 cos a = 14 cos3aausging, und zu dem gleichen Ergebnisse fu¨hrte (S. 585) ein genaueres Studium der 1591schon vorhandenen, 1593 gedruckten Schrift Supplementum Geometricum. Nun folgen, im-mer noch in der Recognitio, Umformungen, transformationes. Zwischen zwei UnbekanntenA,E ko¨nnen die mannigfachsten Beziehungen obwalten. Die erstere A kann ersetzt werdendurch E−B, durch B−E, durch B+E, durch EB , durch BE ; es kann zwischen E2 und AEdie Differenz, es kann deren Summe gegeben sein und sonst jede beliebige fu¨r zweckma¨ssigerachtete Verbindung103, immer wird an Stelle der Gleichung in A eine solche in E treten,(637)und kennt man die Wurzel der einen, so ist die der anderen mitgefunden. Vieta kommt inho¨chst eigenthu¨mlicher Fassung auf die Vielheit der Wurzeln einer Gleichung zu reden104.[c]Er fragt na¨mlich nach den Beziehungen zwischen solchen Gleichungen, welche nur darinsich unterscheiden, dass die Unbekannte das eine Mal A, das andere Mal E sei, wa¨hrendalle bekannten Gro¨ssen unvera¨ndert auftreten. Alsdann ko¨nne man, sagt er, diese bekann-ten Gro¨ssen durch die A und E darstellen, und er versteht darunter die Abha¨ngigkeitder Coefficienten einer Gleichung von ihren Wurzeln. F +G in A−Aq aequari Fin G sei z. B. die Gleichung, deren Wurzeln F und G sind. Auch hier sind aber nur positiveWurzeln gemeint, und einer Mo¨glichkeit negativer Wurzeln geht Vieta bei quadratischenGleichungen ebenso aus dem Wege, wie er es bei kubischen Gleichungen that. Er sagt105,wenn A2 + BA = Z2 und E2 − BE = Z2, so mu¨sse B = E − A, Z2 = EA sein. DieAbha¨ngigkeit der Coefficienten von den positiven Wurzeln bei Gleichungen ho¨herer Gra-de ist Vieta gleichfalls nicht entgangen, doch hat er diese erst in der Emendatio ero¨rtert,deren Besprechung wir uns jetzt zuwenden. Die Verbesserung einer Gleichung besteht inder Anwendung von Mitteln, welche die Recognitio bereits kennen lehrte. Vieta giebt die-sen Mitteln einzelne Namen, welche hier erwa¨hnt werden mo¨gen, um zu rechtfertigen,was fru¨her von Vieta’s Benennungssucht bemerkt wurde. Expurgatio per uncias106 ist dieWegschaffung des zweitho¨chsten Gliedes in der Gleichung n-ten Grades durch die Ein-setzung von x = y − an , wie man in den Zeichen neuerer Algebra, deren wir von hieran uns zu bedienen gedenken, schreiben wu¨rde. Insbesondere bei quadratischen Gleichun-gen in ihren sa¨mmtlichen drei althergebrachten Formen wird die Anwendung gelehrt unddamit jede derselben in eine reinquadratische Gleichung umgeformt, mithin gelo¨st. Auchbei der kubischen Gleichung ist die Anwendung bei allen zahlreichen Einzelfa¨llen, wel-che sich unterscheiden lassen, vorgenommen. Transmutatio pi%ωτoυ — σχατoυ107, setztx = ky und schafft dadurch ebensowohl Minuszeichen als irrationale Gleichungsconstan-ten weg. Sei x4 − 8x = 3√80 vorgelegt. Mittels x = 3√80y gelangt man zu y4 + 8y = 80.Anastrophe108 findet ihre Anwendung bei Gleichungen ungeraden Grades und besteht in102At elegantius et praestantius ex analyticis angularium sectionum huiusmodi aequalitatum constitutioeruitur.103Vieta pag. 92: Postremo per modos compositos et excogitanda ab artifice et tentanda, quae suo finimagis inservire coniiciet, figmenta.104Vieta Pag. 106 sqq.105Ebenda pag. 123–124.106Ebenda pag. 127–132.107Ebenda pag. 132–134.108Ebenda pag. 134–138.69. Kapitel 101folgendem: ax−x3 = k la¨sst die Folgerung x3+y3 = ax+(y3−k) zu. Wa¨re nun y3−k = ay (638)oder y3 − ay = k, so ko¨nnte jene gefolgerte Gleichung durch x + y dividirt werden undga¨be den Quotienten x2 − yx + y2 = a, d. h. eine nach x quadratische Gleichung, welcheleicht gelo¨st ist, wenn man y kennt. Die Umwendung bestand also in der Zuru¨ckfu¨hrungvon ax−x3 = k auf y3−ay = k. Aehnlich verwandelt man ax2−x3 = k. Zuna¨chst schreibtman x3 + y3 = ax2 − (k − y3); dann nimmt man an, es sei k − y3 = ay2, also y3 + ay2 = kder Lo¨sung unterbreitet; zuletzt wird wieder mit x+ y in die dazu vorbereitete Gleichungdividirt, und es entsteht neuerdings eine quadratische Gleichung x3 − yx + y2 = ax − ay.Isomoeria109 heisst die Umwandlung in Folge von x = ya oder von x = ay, welche entwederBru¨che fortschafft oder Gleichungsconstanten herabsetzt. x3 + 1112x =5712 verwandelt sichdurch x = y12 in y3 + 132y = 8208, wa¨hrend x3 + 12x2 + 8x = 2280 durch x = 2y iny3+6y2+2y = 285 u¨bergeht. Dann kommt noch Climactica Paraperosis110 welche das [d]Rationalmachen einzelner Coefficienten durch Potenzirung bezweckt, worauf der Grad derneuen Gleichung dadurch wieder herabgesetzt wird, dass man eine Potenz der Unbekann-ten als neue Unbekannte wa¨hlt. Nach diesen fu¨nf Verbesserungsverfahren wendet sich Vietazur Gleichung 4. Grades, die er auf eine solche 3. Grades zuru¨ckfu¨hrt111. Scha¨lt man ausden behandelten Einzelfa¨llen den gemeinsamen Gedanken heraus, so zeigt sich eine Ver-wandtschaft mit Ferrari’s Verfahren (S. 509), insofern die vom kubischen Gliede befreiteGleichung so umgewandelt wird, dass eine Quadratwurzelausziehung thunlich ist, aber volleUebereinstimmung ist nicht vorhanden. Vieta schliesst na¨mlich von x4 + ax2 − bx = cauf x4 + x2y2 +14y4 = x2y2 +14y4 + c− ax2 − bxoder (x2 +12y2)2 = (y2 − a)x2 − bx+ (14y4 + c).Die Quadratwurzelausziehung rechts ist mo¨glich., wenn 4(y2 − a)(14y4 + c) = b2 oder y6 −ay4 + 4cy2 = 4ac+ b2, beziehungsweise bei y2 = z, wenn z3 − az2 + 4cz = 4ac+ b2. So istVieta zu der Notwendigkeit gelangt, die kubische Gleichung aufzulo¨sen, und er schla¨gt dabeieinen ihm eigenthu¨mlichen Weg ein112, welcher um so geistreicher erscheint, je gewisser wir(S. 636) behaupten konnten, dass Vieta mit den Arbeiten seiner italienischen Vorga¨ngerbekannt gewesen sein muss. Sei x3 + 3ax = 2b, so ist y2 + xy = a zu setzen, also x = (639)a−y2y , wodurch, die gegebene Gleichung in die nach y3 quadratische Form y6 + 2by3 = a3u¨bergeht. Wie kam Vieta zu dieser Substitution? Er sagt es nicht, aber es ist, glauben wir,gelungen113, seinen Gedankengang herzustellen. Er mag x3 + 3ax = x(x2 + 3a) gesetztund an seine Anastrophe gedacht haben, d. h. er wollte den einen Factor als Differenzz − k, den anderen als z2 + kz + k2 herstellen, damit als Product die Differenz z3 − k3auftrete, auf welche Tartaglia’s Verse schon hinwiesen (S. 488). Ist aber x = z − k, so istx2+3a = z2−2kz+k2+3a, und dieses wird zu z2+kz+k2, wenn z = ak , d.h. x = ak−k = a−k2k. Nun war bei dieser Annahme die Unbekannte ganz verloren gegangen. Vieta versuchte, [e]ob k = y gesetzt deren Stelle einnehmen ko¨nne, und das Gelingen des Versuchs bildete dieneue Auflo¨sung. Vieta giebt nun noch eine Anzahl von Betrachtungen, welche auf besondersgeformte Coefficienten, auf Rationalita¨t oder Irrationalita¨t der Gleichungswurzel u. s. w.109Vieta pag. 138-139.110Ebenda pag. 140.111Ebenda pag. 140-148.112Ebenda pag. 149-156.113Marie, Histoire des sciences mathe´matiques et physiques III, 59-60.102 Band 2sich beziehen und schliesst die Abhandlung mit einem Collectio quarta u¨berschriebenenKapitel114, welches den Zusammenhang zwischen den positiven Wurzeln einer Gleichungund deren Coefficienten vollsta¨ndig enthu¨llt, welcher in der Recognitio erst angedeutet war.Die Gleichungen 2., 3., 4., 5. Grades werden vorgefu¨hrt: x = a, x = b seien die zwei Wurzelnvon(a+ b)x− x2 = ab;x = a, x = b, x = c seien die drei Wurzeln vonx2 − (a+ b+ c)x2 + (ab+ ac+ bc)x = abc;x = a, x = b, x = c, x = d seien die vier Wurzeln von(abc+ abd+ acd+ bcd)x−(ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd)x2+(a+ b+ c+ d)x3 − x4 = abcd;x = a, x = b, x = c, x = d, x = e sind die fu¨nf Wurzeln vonx5 − (a+ b+ c+ d+ e)x4+(ab+ ac+ ad+ ae+ bc+ bd+ be+ cd+ ce+ de)x3−(abc+ abd+ abe+ acd+ ace+ ade+ bcd+ bce+ bde+ cde)x2+(abcb+ abce+ abde+ acde+ bcde)x = abcde,und damit wolle er die Abhandlung kro¨nen; er habe anderwa¨rts ausfu¨hrlich davon gehan-delt115. Wo diese ausfu¨hrliche Behandlung stattfand, ist durchaus unbekannt; wir wagen[f]es kaum, unsere Leser an die verlorenen Notae posteriores ad Logisticen speciosam denken(640)zu lassen. Auffallen ko¨nnte der Wechsel der Anordnung in den vier Gleichungen. Beim 2.und 4. Grade beginnt das Gleichungspolynom mit der ersten, beim 3. und 5. Grade mitder ho¨chsten Potenz der Unbekannten. Der Grund davon liegt auf der Hand. Vieta willdie Gleichungsconstante immer positiv und will auch das Gleichungspolynom immer miteinem positiven Gliede anfangen lassen.Wir sind bei der letzten Abhandlung Vieta’s angelangt: De numerosa potestatum pu-rarum atque adfectarum ad exegesin resolutione116. Auch sie steht im Bande von 1591 alseine Abtheilung der Algebra vorn aufgezeichnet, aber auch sie ist erst wesentlich spa¨tergedruckt Ghetaldi hat 1600 in Paris die Herausgabe besorgt117. Zuerst ist die Auflo¨sungvon reinen Gleichungen vollzogen118, wozu es selbstversta¨ndlich nur Wurzelausziehungenbedarf. Vieta zieht solche Wurzeln bis zur sechsten, wobei die Binomialcoefficientender betreffenden Potenz als bekannt vorausgesetzt sind; langwierige Rechnungen, derenUnverla¨sslichkeit es geradezu zu einer Lebensfrage der Rechenkunst machte, bald ein ande-res sie ersetzendes Mittel zu ersinnen. Der weit umfassendere zweite Abschnitt119 handeltvon den unreinen Gleichungen, welche in na¨herungsweiser Auflo¨sung nach einem derWurzelausziehung verwandten Verfahren behandelt werden. Es ist ein Verfahren, welches[g]114Vieta pag. 158.115Atque haec elegans et perpulchrae speculationis sylloge, tractavi alioquin effuso, finem aliquem et Coro-nidem tandem imposito.116Vieta pag. 163–228.117Ebenda pag. 550.118Ebenda pag. 163–172.119Ebenda pag. 173–228.69. Kapitel 103zwar mit dem Grade der Gleichung sich a¨ndert, mithin als ein vollkommen einheitlichesnicht erachtet werden kann; als weiterer Mangel ist stets die Auffindung nur einer, und zwarpositiven Wurzel angestrebt, aber immerhin ist der Grundgedanke ein bleibender und einweit vollkommenerer als der, dessen Erfinder Stevin war. Sei die quadratische Gleichungx2+cx = a zu lo¨sen, welche durch die Wurzel x = x1+x2+x3 erfu¨llt werde, deren einzelneBestandteile Ziffern von aufeinanderfolgendem Stellenrange bedeuten sollen. Die Gleichungnimmt durch Einsetzung dieses Werthes die Gestalt an:a = x21 + 2x1x2 + x22 + 2x1x3 + 2x2x3 + x23 + cx1 + cx2 + cx3= x21 + cx1 + (2x1 + c)x2 + x22 + (2(x1 + x2) + c)x3 + x23.Man sucht zuerst x1 was verha¨ltnissma¨ssig leicht ist, bildet alsdann a−x21− cx1 und suchtmittels Division durch 2x1+ c die na¨chste Stelle x2 zu ermitteln u. s. w. Wir wollen Vieta’sBeispielx2 + 7x = 60750pru¨fen120. Hier ist x1 = 200. Dann ist 60750 − 41400 = 19350 durch 2x1 + 7 = 407 zudividiren, wodurch (641)x2 = 40, (2x1 + c)x2 + x22 = 17880entsteht, und der na¨chste Rest ist 19350 − 17880 = 1470. Der weitere Divisor ist 2(x1 +x2) + c = 487, der Quotient also x3 = 3. Nun la¨sst (2(x1 + x2) + c)x3 + x23 = 1470 denRest 0 erscheinen, folglich ist x = 243. Bei einer Gleichung dritten Gerades x3 + cx = a,deren Wurzel wieder als x = x1 + x2 + x3 gedacht ist, findet sich durch Einsetzung diesesWerthes und leichte Umformung [h]a = x31 + cx1 + (3x21 + c)x2 + (3x1 + x2)x22+ (3(x1 + x2)2 + c)x3 + (3(x1 + x2) + x3)x23.und die Anwendung121 auf x3 + 30x = 14356197 liefert abermals x = 243. Zur Auflo¨sungvon x3 + cx2 = a fu¨hrt die Formel122a = x31 + cx21 + (3x21 + 2cx1)x2 + (3x1 + x2 + c)x22+ 3(x1 + x2)2 + 2c(x1 + x2))x3 + (3(x1 + x2) + x3 + c)x23.Wir begnu¨gen uns mit dieser Angabe und mit der Bemerkung, dass, Vieta als so uner-schrockener Rechner sich bewa¨hrt, dass er an die Gleichung x6 + 6000x = 191246976 sichwagt123. Auch Fa¨lle mit negativem x werden dann untersucht, wie124 x2− 240x = 484 mitder Wurzel x = 242 u. s. w.Den Leistungen eines Vieta gegenu¨ber, welche seit 1591 zur Vero¨ffentlichung vorberei-tet, theilweise seit eben jener Zeit vero¨ffentlicht worden sind, erscheint doppelt du¨rftig,was im letzten Jahrzehnt des XVI. Jahrhunderts in Deutschland unter dem Namen Al-gebra gedruckt werden konnte. Wir mu¨ssen dahin die (S. 612) im Vorbeigehen erwa¨hnte,1592 gedruckte Algebra von Ramus za¨hlen, fu¨r welche vielleicht mit mehr Recht LazarusSchoner verantwortlich zu machen ist, dahin auch ein Rechenbuch von Andreas Helm- [i]reich125 von Eissfelde, Rechenmeister und Visirer zu Halle, welches 1595 die Presse verliess120Ebenda pag. 174–175.121Vieta pag. 177–178.122Ebenda pag. 180. Vieta’s Beispiel ist x3 + 30x2 = 86220288.123Ebenda pag. 193.124Ebenda pag. 197.125Ka¨stner I, 147–149.104 Band 2Wir bemerken, dass Ramus die unbekannte Gro¨sse durch l als Anfangsbuchstaben von latusbezeichnet. Helmreich und sein Buch wu¨rden wir der verdienten Vergessenheit u¨berlassen,wenn es nicht eine eigenthu¨mliche Uebereinstimmung mit der (S. 612) gleichfalls erwa¨hn-ten Go¨ttinger Handschrift von 1545–1548 zeigte, welche einen immerhin beachtenswerthenGegenstand betrifft. Bei Helmreich findet sich eine geschichtlich sein sollende Notiz voneinem Algebras zu Ulem, dem grossen Geometer in Egypten zur Zeit des AlexandriMagni, der da war ein Pra¨ceptor Euklid’s des Fu¨rsten von Megarien und dergleichen tol-(642)les Zeug noch mehr. Genau derselbe Wust ero¨ffnet als Prolog jene Handschrift, nur nochetwas ausfu¨hrlicher. Auch eine noch a¨ltere, auf das XIV. bis XV. Jahrhundert gescha¨tzteHandschrift in Dresden126 entha¨lt a¨hnlichen Wust Da soll das Buch arabisch verfasst seinzur Zeit Alexander des Grossen, von diesem ins Indische, von Archimed ins Griechische,von Appulejus ins Lateinische u¨bersetzt sein. Die Anfangsworte der Go¨ttinger Handschriftlauten: Algebrae Arabis Arithmetici viri Clarissimi liber ad Ylem Geometram praeceptoremsuum, und das Sonderbarste dabei ist, dass dieses Ylem, wie es bei dem Einen, Ulem wiees bei dem Anderen heisst, eine Verketzerung eines arabischen Wortes, welches Lehrenbedeutet, sehr a¨hneln soll, wie Sprachkundige uns versichern. Hier ko¨nnte also die Erinne-rung, wenn nicht gar die mittelbare Erhaltung einer sonst nicht na¨her bekannten arabischenAlgebra vorhanden sein.Dem gewiss gerechten Bedauern u¨ber die Drucklegung so unbedeutender Leistungenin Deutschland ko¨nnte ein mit der Literatur geringen Gehaltes in anderen La¨ndern ge-[j]nauer bekannter Leser vielleicht ein Wort des Trostes entgegensetzen, es sei auch dort dieDruckerschwa¨rze nicht selten missbraucht worden. Wir begnu¨gen uns mit dem jedenfalls an-genehmeren Gefu¨hle, zum Schlusse des Abschnittes auch noch Ma¨nner nennen zu ko¨nnen,welche in Deutschland sich wirkliche Verdienste um die Algebra erworben haben: JoostBu¨rgi, Pitiscus und Raimarus Ursus. Bu¨rgi127 kam zu den algebraischen Arbeiten bei Be-rechnung einer genauen Sinustabelle, die selbst einen doppelten Zweck erfu¨llen sollte. Siesollte einmal da dienen, wo in Folge trigonometrisch behandelter Aufgaben Sinusse vor-kamen, sie sollte zweitens bei prosthapha¨retischen Multiplicationen in Anwendungtreten. Es ist (S. 454) gezeigt worden, worin dieses Verfahren bestand, und (S. 597) dasses Werner zugeschrieben worden ist. Damit fa¨llt die Erza¨hlung, welche Raimarus Ursusentstammt128. Der eigentliche Erfinder wa¨re darnach Paul Wittich aus Breslau, der um[k]1582 bei Tycho Brahe auf der Insel Hveen war und dort, vielleicht mit Tycho gemeinsam,das Verfahren ersann und u¨bte. Als er etwa 1584 nach Kassel kam, habe er es ohne BeweisBu¨rgi mitgetheilt, der nun selbst einen Beweis fand, dabei die Fruchtbarkeit des Satzeserkannte und ihn erweiterte. Wittich’s Satz, den er sehr wohl selbsta¨ndig nacherfunden(643)haben kann, war vermuthlich der folgende:sinα · sinβ = 12[sin(90o − α+ β)− sin(90o − α− β)]d.h.sinα · sinβ = 12[cos(α− β)− cos(α+ β)]unter der Voraussetzung α + β < 90o, und Bu¨rgi’s Erweiterung liess α + β > 90o zu, so126Codex Dresdensis C. 405. Curtze brieflich.127Vergl. einen Auszug aus den in Pulkowa aufbewahrten Bu¨rgi’schen Papieren von Rud. Wolf indessenAstronomischen Mittheilungen Nr. XXXI (Zu¨rich 1872).128Rud. Wolf, Astron. Mittheilungen Nr. XXXI S. 10–11 und Nr. XXXII S. 55–67.69. Kapitel 105dass alsdannsinα · sin · = 12[sin(90o − α+ β) + sin(α+ β − 90o)].Gegenwa¨rtig ist dieses wegen sinA = − sin(−A) sofort einleuchtend und bedarf keinesneuen Beweises. In den achtziger Jahren des XVI. Jahrhunderts war das noch wesentlichanders, und jede Formel musste besonders entdeckt werden. Wir erinnern nur an die nochanderen, wenn auch prosthapha¨retischen Formeln sehr nahe verwandten Gleichungen desRha¨ticus (S. 602). Um so u¨berraschender ist eine weitere Anwendung, welche Bu¨rgi vondem Gedanken der Prosthapha¨resis machte, und die in wiederholter Benutzung desselbenunter wahrscheinlich erstmaliger Einfu¨hrung eines Hilfswinkels besteht. Die Formel [l]der spha¨rischen Trigonometriecos a = cos b · cos c+ sin b · sin c · cosAverwandelte er durch sin b · sin c = 12 [cos(b− c)− cos(b+ c)] = cosx in die nur Additionenerfordernde Gestaltcos a =12[cos(b− c) + cos(b+ c) + cos(x−A) + cos(x+A)].Ein gewisser Jacob Curtius scheint dann Clavius von der prosthapha¨retischen Metho- [m]de Kenntniss gegeben zu haben, der selbst wiederum an Tycho daru¨ber schrieb. Andereerhoben gleichfalls Anspru¨che auf die Urheberschaft der damals wichtigen Methode, aberohne dass dieselben gerechtfertigt erscheinen. Jedenfalls war also Bu¨rgi’s Augenmerk aufdie Herstellung einer genauen Sinustafel gerichtet, und dazu musste er in geometrische Un-tersuchungen eintreten, welche ihm Gleichungen zwischen einer Sehne und der Sehne n-tenTheils ihres Bogens verschafften. Bei n = 2 war das Quadrat der Sehne 4x2−x4. Bei n = 3war die Sehne 3x−x3. Bei n = 4 war das Quadrat der Sehne 16x2−20x4+8x6−x8, wofu¨rBu¨rgiII16 − IV20 + V I8 − V III1 schrieb, und a¨hnliche Gleichungen leitete er ab bis zu n = 20.Die Schreibweise, welche wir eben als die Bu¨rgi’s bezeichneten129, und welche wiederholt indessen Papieren a¨lteren Datums vorkommt, aus einer Zeit, in welcher Bu¨rgi noch nicht Kep- (644)ler bekannt war, a¨hnelt der von Bombelli sowie der von Stevin, doch du¨rfen wir desshalb dieSelbsta¨ndigkeit Bu¨rgi’s hier so wenig anzweifeln, als bei der Erfindung der Decimalbru¨che(S. 617). Wir haben das fru¨he Datum betont, zu welchem Bu¨rgi seiner Bezeichnung derPotenzen der Unbekannten sich bediente, weil damit ein Widerspruch, wenn nicht erkla¨rt,doch unwirksam gemacht wird, der in einem Ausspruche Kepler’s enthalten ist. Im I. Bucheder 1619 gedruckten Harmonice mundi setzt Kepler mit ausdru¨cklicher Beruft auf Bu¨rgidie Gleichung auseinander, welche die Seite des regelma¨ssigen Sehnensiebenecks im Kreisevom Halbmesser 1 bestimmen lasse. Bu¨rgi, sagt er130, schreibe 1R, 1z, 1c, 1zz, 1zc u. s. w.und dann fa¨hrt er fort: quod nos commodius signabimus per apices sic, was ich bequemerdurch Gipfelzahlen bezeichnen will, na¨mlich so1, 1I , 1II , 1III , 1IV , 1V , 1V I , 1V II etc.Man wird darnach annehmen mu¨ssen, dass Bu¨rgi in seiner Schreibweise wechselte, unddass er gerade an der hier von Kepler erwa¨hnten Stelle sich der althergebrachten Bezeich-nungen bediente, welche dann Kepler durch diejenigen ersetzte, von denen er wusste, dass129Rud. Wolf, Astronom. Mittheilungen Nr. XXXI S. 18.130Opera Kepleri (ed. Frisch) V, 104.106 Band 2Bu¨rgi sich ihrer meistens zu bedienen pflegte. Dass er letzteres nicht durch eine besondereBemerkung hervorhob, mag darin seinen Grund gehabt haben, dass er der Sache keineu¨berma¨ssige Wichtigkeit beilegte und sich keineswegs eine Erfindung zuschreiben, sonderneine getroffene Aba¨nderung entschuldigen wollte. Die Stelle des Kepler’schen Werkes lehrtin ihrer Fortsetzung noch zwei hochwichtige Dinge kennen, welche als Bu¨rgi’s Eigenthumerscheinen. Die betreffende Gleichung der Siebenecksseite, heisst es na¨mlich weiter, sei diefolgende: figurae nihili aeque valent quantitates hae7I − 14III + 7V − 1V II vel 7− 14II + 7IV − 1V I .Prodit autem illi ex aequatione, quam iuvat mechanice, valor radicis non unus, sed inquinquangudo duo, in septangulo tres, in nonangulo quatuor et sic consequenter. Bu¨rgihat darnach mit vollem Bewusstsein erstens die Gleichung auf Null gebracht, zwei-[n]tens erkannt, dass unter Benutzung derselben Theilpunkte der Kreisperipherie als Eck-punkten 2 Fu¨nfecke, 3 Siebenecke, 4 Neunecke u. s. w., allgemein n Vielecke von 2n + 1Seiten mo¨glich seien, wenn man ausser dem convexen Vielecke auch die Sternvielecke ver-schiedener Ordnung in Betracht ziehe, und dass die Seiten der letzteren Vieleckedie weiteren Wurzelwerthe der gegebenen Gleichung seien. Wir haben gesagt, dass(645)Bu¨rgi Gleichungen zwischen den Sehnen des einfachen und des n-fachen Bogens bis zun = 20 abgeleitet habe. Er hat sie auch in Form einer Tabelle zusammengestellt, derenbeliebige Ausdehnung mo¨glich sei. Um die Sehne von 4 Winkelsecunden zu erhalten, mu¨sseman erwa¨gen, dass360o = 360 · 60 · 60 = 1296000′′das 324000-fache von 4” sei, und mu¨sse die Tafel so weit verla¨ngern. ”Ich will Dirs aber nitrathen diss zu besorgen, Du mo¨chtest das Nachtmahl daru¨ber versa¨umen“ meint er dabeiund fa¨hrt fort, man ko¨nne, wegen 324000 = 25 · 34 · 53, sich etwas leichter die nothwendigeGleichung verschaffen, indem man 5 Verdoppelungen des Bogens, 4 Verdreifachungen, 3Verfu¨nffachungen nach einander vornehme. Bu¨rgi war also, und zwar muthmasslich gleich-falls selbsta¨ndig, zu ganz a¨hnlichen Ergebnissen gelangt wie Van Roomen und Vieta jederfu¨r sich (S. 606). Die Frage, welche uns gegenwa¨rtig die bedeutsamste ist, richtet sich dar-auf, wie Bu¨rgi die einmal aufgestellten Gleichungen von theilweise sehr hohem Grade zurna¨herungsweisen Auflo¨sung brachte. Bei der Dreitheilung kam es, wenn x die Sehne deseinfachen, 1 die Sehne des dreifachen Bogens darstellte, auf die Gleichung 1 = 3x− x3 anund dabei insbesondere auf die Auffindung einer Verbesserung ∆x1, nachdem ein Na¨he-rungswerth x1 einmal gefunden war. Die Einsetzung von x = x1 + ∆x1 in 1 = 3x − x3liefert3x21 ·∆x1 + 3x1 ·∆x21 +∆x31 − 3∆x1 = 3x1 − x31 − 1 = (3− x21)x1 − 1und daraus ∆x1 =(3− x21)x1 − 12x21 + (3x1 +∆x1)∆x1 − (3− x21).Wir haben gewiss nicht erst zu sagen, dass Bu¨rgi keine auch nur a¨hnliche Entwicklungvornimmt, Thatsache ist aber, dass er bei der wirklichen Rechnung nur den im Nennerauftretenden Theil (3x1+∆x1)∆x1 durch 2x1 ·10n ersetzt, wo n die Stellung der gesuchtenVerbesserung bestimmt, beziehungsweise den Rang derjenigen decadischen Einheit ergiebt,welche gro¨sser ist als die Verbesserung. Er setzt na¨mlich x1 = 1 and gleichzeitig n = 0, so69. Kapitel 107wird ∆x1 = 12 = 0, 5 und x1 +∆x1 = x2 = 1, 5. Jetzt wird n = −1 und∆x2 =(3− 1, 52)1, 5− 12 · 1, 52 + 2 · 1, 5 · 110 − (3− 1, 52)=0, 1254, 05> 0, 03.Man wird daher ∆x2 = 0, 03, x2 + ∆x2 = x3 = 1, 53, n = −2 setzen mu¨ssen, und dasist es, was Bu¨rgi thut! Bei ho¨herem Grade der Gleichung rechnet Bu¨rgi nach einerverfeinerten Methode des doppelten falschen Ansatzes, auf welche auch Cardano’s goldene (646)Regel sich gru¨ndete (S. 506). Der Auszug aus der Pulkowaer Handschrift, welchem wirfolgen, giebt als Beispiel Bu¨rgi’s Behandlung der Neunecksgleiehung 9 − 30x2 + 27x4 −9x6 + x8 = 0. Durch graphische Versuche wird gefunden, dass 0, 68 < x < 0, 69, d. h.dass eine La¨nge von 0,68 des Halbmessers eines Kreises in den Zirkel genommen mehrals 9 Mal im Umkreise sich auftragen la¨sst, wa¨hrend 0,69 bei gleichem Versuche u¨berden Ausgangspunkt hinaustrifft. Jetzt beginnt fu¨r Bu¨rgi die Rechnung und indem er fu¨rx die beiden genannten Werthe in die Gleichung einsetzt, findet er selbstversta¨ndlich alsSumme des Gleichungspolynoms nicht 0, sondern +0, 0569 bei x = 0, 68 und −0, 0828 beix = 0, 69. Einer Zunahme von x um 0,01 entspricht eine Abnahme des Gleichungspolynomsvon 0,1397. Damit 0 entsta¨nde, mu¨sste die Abnahme 0,0569 betragen, Bu¨rgi setzt desshalbin Proportion 0, 1397 : 0, 0569 = 0, 01 : ∆x mit ∆x = 0, 0040. Behufs einer zweitenRechnung wird nun x = 0, 6840 und x = 0, 6841 eingesetzt. Die hier auftretenden Fehlersind +0, 00056410 bei x = 0, 6840 und −0, 00004029 bei x = 0, 6841. Aus ihnen folgt dieProportion0, 00140012 : 0, 00056410 = 0, 0001 : ∆x mit ∆x = 0, 00004029,und folglich ist in sehr bedeutender Anna¨herung x = 0, 68404029 zu setzen.Die gleiche Aufgabe der Auffindung von Sehnen einfacher Bo¨gen aus denen der n-fachenBo¨gen mit Hilfe von zwischen diesen Strecken obwaltenden Gleichungen ho¨herer Gradehat Pitiscus im zweiten Buche seiner Trigonometrie von 1612 erkla¨rtermassen im SinneBu¨rgi’s (S. 619) gelo¨st131. Die nach der Regel des doppelten falschen Ansatzes gefu¨hrtenRechnungen stimmen auch vollsta¨ndig mit Bu¨rgi’s Gedankengange u¨berein. Pitiscus willz. B. aus der Sehne von 30o, welche 5176381 zur La¨nge hat, die von 10o berechnen. DieGleichung heisst hier a = 3x − x3, wo a die bekannte Sehne bedeutet132. Aus ihr folgtx = a3 +x33 oder x >a3 . Nun ista3 = 1725460, und etwas gro¨ssere Zahlenwerthe wa¨ren1730000, 1740000, 1750000. Die Annahme x = 1730000 giebt 3x−x3 = 5138223 oder 38158zu wenig. Die Annahme x = 1740000 giebt 3x − x3 = 5167320 oder 9061 zu wenig. Nunwird nach den Regeln des doppelten falschen Ansatzes 1740000 · 38158− 1730000 · 9061 =50719390000 durch 38158 − 9061 = 29097 dividirt, wodurch der Quotient 1743114 sich (647)ergiebt, und dieser dient als neuer Na¨herungswerth. Setzt man ihn in 3x − x3 ein, soentsteht 5176378 oder 3 zu wenig. Richtig muss demnach ein x sein, welches um ein Geringesgro¨sser ist als 1743114. Der Versuch zeigt, dass 1743115 bereits zu gross ist, dass also xzwischen den beiden angegebenen Zahlen liegt, welche ganzzahlig geschrieben ebenso wieder Zahlenwerth von a, als Theile des zu 10000000 angesetzten Halbmessers verstandenwerden mu¨ssen. Die Zwischenrechnungen sind bei Pitiscus nicht ausfu¨hrlicher als hier in131Pitiscus, Trigonometria, (1612) pag. 44: Adhuc aliter, per subtensas et per Algebram ex mente IustiByrgii (Algebram qui nescit, Algebraica transiliat, hic et per totum reliquum librum. Non enim necessitati,sed tantum curiositati haec data sunt).132Ebenda pag. 51–53.108 Band 2unserem Berichte mitgetheilt. Algebraisch nennt Pitiscus folgende Behandlung z. B. derGleichung (10000000)2 = 4x2 − x4, welche x als Sehne von 30o entha¨lt, wenn die Sehne[o]von 60o oder der Halbmesser als 10000000 gegeben ist133. Die durch x2 = y umgeformteGleichung 4y = 1014 + y2 la¨sst erkennen, dass man 4 als Divisor des Ausdruckes rechts zubenutzen hat, dem man aber bei Fortsetzung der Division immer die Verbesserung y2 wiederhinzufu¨gen muss. Ist etwa y = y1+y2+y3+ . . ., wo y1, y2, y3 . . . aufeinanderfolgende Stellenbedeuten, so kommen bei fortschreitender Division regelma¨ssig zwei Nullen vom Dividendusan den Theilrest herunter, und u¨berdies ist bei der ersten Division an der niedrigsten Stelle,d. h. rechts, y21 zu addieren, bei der zweiten Division ebenda 2y1y2 + y22, bei der dritten2(y1 + y2)y3 + y23 u. s. w. Zum mindesten geht solches aus dem Verfahren des Pitiscushervor, das Verfahren zu erla¨utern schien ihm entweder u¨berflu¨ssig oder unausfu¨hrbar. Errechnet 1 : 4 = 0, 10 : 4 = 2, nimmt also y1 = 2, y21 = 4 und bildet 100 + 4 − 80 = 24beziehungsweise unter Herabziehung von zwei Nullen 2400. Nun heisst es weiter24 : 4 = 6 = y2, 2y1y2 + y22 = 2 · 20 · 6 + 36 = 276,also 2400+276−2400 = 276 ist der neue Rest, 27600 der neue Dividendus. 27 : 4 = beinahe7 = y3. Nun folgt2(y1 + y2)y3 + y23 = 2 · 260 · 7 + 49 = 3689,27600 + 3689 - 28000 = 3289 und 328900 als neuer Dividendus u. s. w. Wir sahen, dassy3 etwas gro¨sser gewa¨hlt wurde und gewa¨hlt werden durfte, als 27 : 4 eigentlich zula¨sst,weil vor der Abziehung des Theilproductes der Theildividendus noch eine Erga¨nzung er-fuhr. Das Gleiche tritt jedesmal ein, und demgema¨ss wird man stets den Versuch wagenmu¨ssen, den Theilquotienten eher etwas zu gross als zu klein zu wa¨hlen. Pitiscus nennt beidem soeben beschriebenen Verfahren die unbekannte Grosse latus und bezeichnet sie, ihrQuadrat und Biquadrat durch l, q, bq. Daneben hat bei ihm l auch die Bedeutung der Seiteeines gegebenen Quadrates, d. h. einer Quadratwurzel.(648)Noch ein zweiter Schu¨ler Bu¨rgi’s hat auf Auflo¨sung von Zahlengleichungen sein Au-[p]genmerk gerichtet: Raimarus Ursus134, als Verbesserer des Junge’schen Verfahrens (S.626). Raimarus schla¨gt na¨mlich vor, statt eines beliebigen Versuchswerthes der unbekann-ten Gro¨sse einen derartigen zu wa¨hlen, dass die Muthmassung ”nicht mehr so vnendlichcircumvagiern vnd vmbschweiffen mag“. Dazu habe man ein Mittel ”durch Erfindung allerDivisorum oder theiler“. Die Stelle la¨sst kaum eine andere Deutung zu, als dass Raimarusverlangt, man solle die einzelnen Theiler der Gleichungsconstante versuchsweise statt derUnbekannten einsetzen. Er wird wohl dabei nicht das Bewusstsein gehabt haben, dass derWurzelwerth ein Theiler der Gleichungsconstanten sein mu¨sse; diese Kenntniss war ihmfern Er dachte nur daran, dass, wenn etwa x3 = 486−90x−21x2 zur Auflo¨sung vorlag, derTheiler 3 der Zahl 486 es mo¨glich machte 486− 90x zu 3(162− 90) u. s. w. umzuwandeln,beziehungsweise zu vereinigen.Unsere in diesem Abschnitte getroffene Anordnung entbindet uns der Aufgabe, noch-mals zusammenfassend zu ero¨rtern, was auf jedem Gebiete geleistet worden ist, da die-se Leistungen schon gebietweise vereinigt auftreten. Zur Wu¨rdigung einzelner, besondershervorragender Geister mu¨ssen wir dagegen, wie wir (S. 546) es in Aussicht gestellt ha-ben, deren Einzelleistungen zu einem Gesammtbilde vereinigen. Stevin, Vieta, Bu¨rgi waren133Pitiscus Trigonometria (1612) pag. 47–49.134Gerhardt, Mathem. Deutschl. S. 85.69. Kapitel 109Ma¨nner so umfassender Tha¨tigkeit, dass bei ihnen geboten erscheint, was wir zusagten. ZurSchilderung Bu¨rgi’s besitzen wir noch nicht alle Zu¨ge. Eine gewaltige Leistung wird erstder na¨chste Abschnitt uns vor die Augen fu¨hren. Nur Stevin und Vieta bilden unsere au-genblickliche Aufgabe.Stevin war uns ein Mechaniker allerersten Ranges, war uns der erste Erfinder desRechnens mit Decimalbru¨chen, der Empfehler ihrer praktischen Einfu¨hrung. Er war endlichder Urheber einer ersten theoretisch richtig erdachten Auflo¨sung von Zahlengleichungen.Vieta ragt noch ungleich gro¨sser aus seiner geistigen Umgebung hervor. Ein gewand-ter Geometer, ein geistreicher Zahlentheoretiker, ein geu¨bter Rechner in cyclometrischenUntersuchungen wu¨rde er schon um der Leistungen auf diesen Gebieten willen zu denaussergewo¨hnlichen Schriftstellern geho¨ren. Gro¨sseres leistete er in der Lehre von den tri-gonometrischen Functionen, in der Lehre von den Gleichungen, in der Verbindung beiderGebiete. Das Gro¨sste ist und bleibt seine Erfindung der Buchstabenrechnung, die Ausdeh-nung des Gedankens, unbekannte Gro¨ssen durch Symbole zu beziehen auf bekannte, aberunbestimmt gelassene Gro¨ssen.110 Band 2Kleine Bemerkungen zum Kapitel 69[A] Es ist richtig, daß im 8. Buche der Jordanschen Arithmetik die Summenformel derQuadratzahlen nicht in der uns gela¨ufigen Form vorkommt, aber in Wirklichkeit wirdsie im 36. Satze gelehrt. Dieser Satz lautet: ”Si cuilibet cubo adjungatur basis sua, ettriangularis basi sue equilaterus: efficietur triplus sui pyramidi.“ Nun hat Jordanusfru¨her (Satz 27) angegeben, daß die Tetragonalpyramidalzahlen durch Summierungder Quadratzahlen erhalten werden, und der 36. Satz besagt also gerade, daßx3 + x2 +x(x+ 1)2= 3(11 + 22 + . . .+ x2).Auch die Sa¨tze 31 und 34 handeln von der Summe der Quadratzahlen, und sie ent-halten implizite die Formel12 + 22 + . . .+ x2 = (x+ 1) · x(x+ 1)2− x(x+ 1)(x+ 2)6.Dagegen habe ich die Summenformel der Kubikzahlen im 8. Buche des Jordanusnicht auffinden ko¨nnen. Freilich ist es leicht, diese Formel auf Grund des 28. Satzes des7. Buches herzuleiten; in diesem Satze wird na¨mlich nach Nikomachos und Boe¨tiusbewiesen, daß 1, 3+ 5, 7+ 9+ 11, 13+ 15+ 17+ 19 usw. die successiven Kubikzahlensind. U¨brigens behauptet Simon Jacob nicht, daß die Summenformeln im 8. Buchedes Jordanus vorkommen, sondern nur, daß sie daraus ”jhre Demonstration vndgewissheit“ haben.BM 7, 388 G. Enestro¨m.[B] D’apre`s L’interme´d. d. mathe´m. 2, 1895, p. 20, la premie`re e´dition del’arithme´tique de Jean (ou Jan) Trenchant (ou Tranchant) parut a` Lyon en 1558,et de nouvelles e´ditions en ont e´te´ publie´es a` Lyon en 1561, 1566, 1571, 1578, 1588,1602, 1605, 1631, 1643, et a` Rouen en 1632 (cf. L’interme´d. d. mathe´m. 5, 1898,p. 252), 1647, 1660. Le Catalogo della biblioteca del principe D. P. BoncompagniI (Roma 1895), p. 493, mentionne une e´dition de Lyon 1610, et M. H. Bosmans abien voulu m’avertir que la bibliothe`que de l’universite´ de Gand posse`de une e´ditionpublie´e a` Paris en 1618. Dans des ouvrages bibliographiques on trouve aussi indique´esdes e´ditions de Lyon 1563 et de Rouen 1675.BM 2, 356–357 G. Enestro¨m.[C] Die Handschrift der Go¨ttinger Bibliothek aus dem Besitze Stephan Brechtels istdie 2 : 642 erwa¨hnte Algebra des Initius Algebras.BM 2, 146Da Z. 19 – 23 die Go¨ttinger Handschrift der Algebra des Initius Algebras imVoru¨bergehen erwa¨hnt wird, ko¨nnte man die Bemerkungen, die sich auf diese Ar-beit beziehen, hier unterbringen. Jetzt beschra¨nke ich mich darauf hinzuweisen, daßdie Algebra einen kleinen Beitrag zur Geschichte der Auffindung der Faktoren gan-zer Zahlen bietet. Das Verfahren des Initius Algebras ist wesentlich das folgende(siehe M. Curtze, Die Algebra des INITIUS ALGEBRAS ; Abhandl. zur Gesch.d. mathem. Wiss. 13, 1902, S. 545 – 548). Ist N die gegebene ganze Zahl, und69. Kapitel 111wird N = n2 + a gesetzt, wo a < 2n + 1, so untersucht man, ob die Zahlen m2+an−m(m = 1, 2, 3, . . .) ganz oder gebrochen sind; ist m2+an−m eine ganze Zahl, so ist n−m einFaktor von N . Die Richtigkeit der Regel ist leicht einzusehen, dennNn−m =n2 + an−m =n2m2 +m2 + an−m = n+m+m2 + an−m .BM 8, 212 G. Enestro¨m.[D] Hier wird auf die Seite 612 in BM 1, S. 277 verwiesen. Dort finden sich aber keineKleinen Bemerkungen, sondern eine Rezension zum 2. Band der Vorlesungen. Sieentha¨lt den Passus:Nun ist es ja wahr, daß in einer historischen Arbeit die bibliographischenNotizen nur Nebensache sind, und daß es fu¨r die Schilderung des Entwick-lungsganges der mathematischen Theorien ganz gleichgu¨ltig ist, ob z. B.die erste Auflage von Ramus’ Algebra 1586 oder 1592, wie Herr Cantor(S. 612, 641) angiebt, erschien.1BM 1, 277 [G. Enestro¨m]Ich habe schon vor 12 Jahren (BM l3, 1900, S. 277) ganz im Voru¨bergehen ange-deutet, daß L. Schonerus die Algebra von Ramus nicht 1592 sondern schon 1586herausgab, und dabei habe ich auch, bemerkt, daß die Frage an sich recht gleichgu¨ltigsei. Anderseits ist es fu¨r die Beurteilung eines gewissen Ausspruches des Herrn Can-tor (siehe die folgende Bemerkung) von Interesse zu wissen, inwieweit Herr Cantorselbst fu¨r seine Angabe verantwortlich ist.Vorla¨ufig bemerke ich, daß es wirklich eine Ausgabe 1592 der fraglichen Algebra gibt;beispielsweise wird im Kataloge der Boncompagnischen Bibliothek ein Exemplardesselben verzeichnet (siehe Catalogo della Biblioteca del principe D. Baldassar-re Boncompagni 1, Roma 1895, S. 483), und da Herr Cantor in der Fußnote 8den vollsta¨ndigen Titel dieser Auflage zum Abdruck bringt, du¨rfte man daraus fol-gern ko¨nnen, daß er selbst ein Exemplar zur Verfu¨gung gehabt hat. Auf der anderenSeite ko¨nnte man behaupten, daß Herr Cantor fast verpflichtet war, die Existenzder Ausgabe 1586 zu kennen, denn in seiner Fußnote 7 verweist er auf eine Stellebei Doppelmayr und daselbst steht: ”Lazarus Schonerus . . . befo¨rderte . . . ei-ne Arithmeticam und Algebram von Ramus . . . A. 1586 in 8vo in Franckfurt zumDruck.“ Ferner findet sich in der von Herrn Cantor oft zu Rate gezogenen Arbeit:De universae mathesios natura et constitutione (Amsterdam 1650, S. 321) von G. J.Vossius die folgende Notiz: ”Anno C| C| CLXXXVI Lazarus Schonerus PetriRami Arithmetices libros duos, et Algebrae totidem, emendavit, atque explicuit. Ipseetiam unum de numeris figuratis, alterum de Logistica sexagenaria, librum edidit. . . .Excudit Francofurti Ioan. Wechelus.“ Eine Besta¨tigung der Angabe ha¨tte Herr Can-tor auch, bei Murhard (Litteratur der mathematischen Wissenschaften 1, Leipzig1797, S. 170–17l) gefunden, denn Murhard gibt durch ein Sternchen ausdru¨cklich,an, daß er die Auflage 1586 selbst gesehen habe; allerdings du¨rfte Herr Cantor1Vgl. Anhang B G. Do¨rflinger112 Band 2in den Vorlesungen nie die Bibliographie von Murhard zitiert, folglich, auch niebenutzt haben.Wie Herr Cantor dazu kam, die Existenz der Ausgabe 1586 zu u¨bersehen, weiß ichnicht; mo¨glicherweise ist er durch die schlecht redigierte Angabe von Heilbronner(Historia matheseos universae, Leipzig 1742, S. 797): ”Lazarus Schonerus, A.1586. Petri Rami Arithmetices libros duos, et Algebrae totidem, emendavit . . .Excudit Francofurti Joannes Wechelus 1592. Vossius“ dazu veranleitet worden.Ein Faksimile des Titelblattes der Auflage 1586 hat D. E. Smith in den Rara arith-metica (Boston 1908, S. 332) gebracht.BM 13, 71 G. Enestro¨m.Es ist durchaus richtig, daß L. Schonerus am Anfange seines Buches De numerisfiguratis angibt, er verstehe unter figurierten Zahlen solche, welche durch Multipli-kation entstanden sind, aber aus dieser Definition ist es kaum mo¨glich zu erraten,was sein Buch entha¨lt. In Wirklichkeit bescha¨ftigt er sich vorzugsweise mit dem Fall,in dem die Faktoren gleich sind, d. h. mit Potenzen, und behandelt im Zusammen-hang hiermit auch Wurzeln, sowie die Rechnung mit Wurzelgro¨ßen und einfacherenalgebraischen Ausdru¨cken. Man ko¨nnte also sagen, daß er unter figurierten Zahleneigentlich Potenzen und Wurzeln versteht.Von gro¨ßerem Interesse als der sachliche Inhalt des Buches De numeris figuratissind indessen, wie Herr Cantor auch andeutet, einige darin vorkommende Zitate.Außer dem von ihm erwa¨hnten Verweis auf den 33. Satz [na¨mlich des 2. Teiles] des”Algorithmus demonstratus des Jordanus“, kommt bei Schonerus noch ein zweiterVerweis auf dieselbe Schrift vor, na¨mlich inbetreff des Satzes (a + 1)3 − a3 = a2 +(a+1)2+a(a+1), und zwar beruft sich Schonerus (siehe S. 279 der ersten Auflagevom Jahre 1586) auf ”Jordanus 34 p. 2 Algorithmi demonstrati“; in der Tat lautetder zitierte Satz des Algorithmus demonstratus: ”Omnis cubus addit super proximumminorem cubum numerum congregatum ex quadratis amborum et numero facto exductu radicis unius in radicem alterius“. Obgleich es jetzt als fast sicher betrachtetwerden kann, daß der Algorithmus demonstratus nicht von Jordanus herru¨hrt,wa¨re es ohne Zweifel von Interesse zu wissen, wie Schonerus dazu gekommen ist,diese Schrift dem Jordanus zuzuschreiben.Auch ein anderer bei Schonerus vorkommender Verweis verdient vielleicht beachtetzu werden. Hinsichtlich des Satzes, daß, wenn a1a2 =a3a4· a5a6 , so ist a1 · a4 · a6 =a2 · a3 · a5, beruft sich Schonerus (in der mir augenblicklich vorliegenden letztenAuflage vom Jahre 1627 findet sich die Stelle S. 159) auf ”Thebitus ad 2. p. 3.Menelai“. Nun kommt ja dieser Satz in der Schrift De figura sectore von Tabitben Kurra vor, die sich an Menelaos’ Spha¨rik anschließt, aber so weit man jetztweiß, nennt Tabit darin gar nicht Menelaos (vgl. A. A. Bjo¨rnbo, Abhandl. zurGesch. d. mathem. Wiss. 14, 1902, S. 15). Es wa¨re also von Interesse zu wissen,woher Schonerus sein Zitat entnommen hat.BM 7, 91–92 G. Enestro¨m.[E] Mit Zuhilfenahme der Bibliotheca matematica italiana (II, Sp. 506–507) von P. Ric-cardi ko¨nnen die bibliographischen Notizen u¨ber Tartaglias General trattato di69. Kapitel 113numere e misure unmittelbar kontrolliert und erga¨nzt werden. In betreff der franzo¨si-schen U¨bersetzung gibt Riccardi 1578 als Druckjahr an und verzeichnet noch einespa¨tere Auflage vom Jahr 1613 (Paris, Ad. Pe´rier); ein Exemplar dieser Auflage be-sass B. Boncompagni.BM 5, 306 G. Enestro¨m.[F] Le De arte magna est duˆ a` Guillaume et non pas a` Pierre Gosselin. Voici letitre complet de cet ouvrage, que je transcris sur l’exemplaire de la bibliothe`quede l’universite´ de Louvain (scienc. 587): Gvlielmi Gosselini Cadomensis Belloca-sii de arte magna, seu de occulta parte numerorum, quae & Algebra,& Amulcabalavulgo dicitur, Libri qvatvor, in quibus explicantur aequationes Diophanti, RegulaeQuantitatis Simplicis, & Quantitatis surdae. Ad Reverendissimum in Christo PatremReginaldum Bealnaeum, Mandensem Episcopum, Illustrissimi Ducis AlenconiiCancellarium, Comitem Gevodanum, atque in sanctiori et interiori consilio consilia-rium. [Marque d’imprimeur.] Parisiis apud Aegidium Beys, via Jacobaea ad insigneLilii albi, M. D. LXXVII. In 8o de 16 p. n. ch. et 172 p. ch. au ro seul (1–86).BM 2, 357 H. Bosmans.[G] Der Untersuchungsgegenstand, den Maurolico mit dem Terme ”columna“ bezeich-nete, war nicht ganz neu, denn a¨hnliche Sachen sind schon von griechischen Mathema-tikern gestreift worden, na¨mlich von dem Verfasser (Anatolios?) der sogenanntenHeronschen Definitionen und von Nikomachos. Jener definiert im Voru¨bergehengewisse Arten von ko¨rplichen Zahlen, d. h. Zahlen von der Form l · b · h (l = La¨nge,b = Breite, h = Ho¨he), z. B. δokoς fu¨r welche Zahl l > b, h = b ist (siehe G. Fried-lein, De HERONIS quae ferunter definitionibus; Bullett. di bibliogr. d. sc.matem. 4, 1871, S. 110). Nikomachos hat solche Zahlen in den 15. und 16. Kapitelndes 2. Buches seiner Arithmetik erwa¨hnt (siehe Introductionis arithmeticae libri II,ed. R. Hoche, Leipzig 1866, S. 105–108), und sie kommen unter lateinischen Namen(asser, laterculus, spheniscos oder cuneolus) bei Boe¨tius vor (siehe De institutio-ne arithmetica libri duo, ed. R. Hoche, Leipzig 1867, S. 111– 121). Bei Jordanusfinden sich im 8. Buche seiner Arithmetik die Terme ”serratile“ und ”columna“; be-zeichnet man durch np die n-te p-eckszahl, so ist nach Jordanus eine Zahl von derForm k ·n3 ein ”serratile“, und ”columna“ bedeutet jede Zahl von der Form k ·np mitAusnahme der Fa¨lle p = 3 und p = 4. In den Sa¨tzen 30–36 des 8. Buches behandeltJordanus gewisse Eigenschaften eines ”serratile“; z. B. daß n ·n3+n · (n−1)3 = n3,welcher Satz ja die Identita¨t n · n(n+12 + n · n−1)n2 = n3, entha¨lt.U¨ber die Arithmetik desMaurolico gibt es eine besondere Abhandlung vonMaria-no Fontana mit dem Titel: Osservazioni storiche sopra l’aritmetica di FrancescoMaurolico (Atti dell’ istituto nazionale italiano 2: 1, 1808, 275–296 +Tafel).BM 7, 388–389 G. Enestro¨m.[H] Les Tafelen van Interest, midtsgaders de Constructie der seluer ont paru a` Anversde`s 1582, et parmi les ouvrages publie´s par Stevin en 1585 il convient de mentionnereu premier lieu De thiende, dont la traduction franc¸aise. La disme parut la meˆmeanne´e dans la seconde partie de L’arithme´tique.BM 3, 141 H. Bosmans.114 Band 2[I] Die Angabe, daß Bu¨rgi ein Pu¨nktchen zur Abgrenzung von Dezimalstellen benutzthat, beruht nach N. L. W. A. Gravelaar (De notatie der decimale breuken; Nieuwarchief voor wiskunde 42, 1900, S. 61) urspru¨nglich auf einem U¨bersehen vonR. Wolf. Dieser hat na¨mlich eine von Frisch eingefu¨hrte Modifikation der Kep-lerschen Bezeichnung als von Kepler selbst herru¨hrend aufgefaßt, und darum be-hauptet, daß sich Bu¨rgi des Dezimalkommas bedient hat. In Wirklichkeit hat mangar keinen Grund anzunehmen, daß Bu¨rgi ein Komma oder ein Pu¨nktchen als De-zimalzeichen benutzte. Nach Herrn Gravelaar (a. a. O. S. 73) ist Neper der erste,bei dem das Komma (Rhabdologia, 1617) und das Pu¨nktchen (Constructio, 1619) alswirkliche Dezimalzeichen vorkommen; Pitiscus hatte zwar schon 1608 ein Pu¨nkt-chen angewendet, aber dies ist nur als ein Scheidezeichen anzusehen.BM 6, 108–109 G. Enestro¨m.[J] Z. 4 lies: ”nicht in der ersten Auflage“ statt ”nicht in den fru¨heren Auflagen“ (vor1608 gab es na¨mlich nur eine einzige Auflage der Trigonometrie des Pitiscus).BM 6, 109 G. Enestro¨m.[K] Z. 8–11 bemerkt Herr Cantor: Es mag fu¨r die Einfu¨hrung jenes Decimalpu¨nktchensnicht unerinnert bleiben, daß la¨ngst bevor man Decimalbru¨che schrieb, Pu¨nktchenbenutzt wurden, um in sehr großen Zahlen Gruppen von bald je drei, bald je vierStellen abzugrenzen. Zieht man jetzt zu Rate die Seite 937 des Registers, findet manunter ”Pu¨nktchen zur Andeutung der Stellenzahl“ Verweise auf S. 89 (Sacrobosco),S. 164 (Dagomari) und S. 310 (Paciuolo), aber bei diesen werden in gro¨ßerenZahlen Gruppen von drei Stellen abgegrenzt. Außerdem gibt Herr Cantor S. 8 an,daß LEONARDO PISANO eine Art vom Akzentuieren benutzt, die wesentlich einerEinteilung in Gruppen von je 3 Stellen entspricht, obgleich sie nebenher einen anderenZweck hat. Es wa¨re darum von Interesse gewesen, anzugeben, wo vor dem Anfangdes 17. Jahrhunderts Abgrenzungen von je vier Stellen zu finden sind. Oder hat HerrCantor an die Tetraden des Apollonius gedacht?Wo zum ersten Mal Pu¨nktchen zum Abgrenzen dieser Art benutzt worden sind, istmir nicht na¨her bekannt; ich erlaube mir nur darauf hinzuweisen, daß Pu¨nktchenfu¨r den fraglichen Zweck schon in dem von Herrn Cantor herausgegebenen Liberalgorizmi vorkommen (siehe Zeitschr. fu¨r Mathem. 10, 1865, S. 3), und daß dievon Herrn Cantor benutzte Handschrift nach seiner eigenen Ansicht etwa um dasJahr 1200, vielleicht noch etwas fru¨her verfertigt wurde. Jedenfalls kann die Angabevon Gravelaar (De notatie der decimale breuken; Nieuw archief voor wiskunde42, 1900, S. 73), die Pu¨nktchen seien schon seit dem 14. Jahrhundert zum Abgrenzenbenutzt worden, etwas na¨her pra¨zisiert werden.BM 13, 264–265 G. Enestro¨m.[L] Z. 16–17 sagt Herr Cantor: ”Neben Vieta, Stevin, Bu¨rgi, Pra¨torius ist einfu¨nfter Bewerber um die selbsta¨ndige Erfindung der Decimalbru¨che vorhanden“. In-dessen ist mir nicht klar, warum Herr Cantor hier Pra¨torius nennt, da er Z. 12–15fu¨r diesen nur die selbsta¨ndige Erfindung der abgeku¨rzten Multiplikation in Anspruchnimmt; wenn in das Verfahren des Pra¨torius eine Anwendung von Dezimalbru¨chenhineingelesen wird, kann man meiner Ansicht nach fast ebensogut dieselbe Anwen-dungRegiomontanus zuweisen. Bekanntlich hat dieser eine Tangententafel fu¨r sinus69. Kapitel 115totus = 100 000 berechnet, und wenn man bei der Lo¨sung einer trigonometrischenAufgabe zwei Zahlen dieser Tafel zu multiplizieren hat, fu¨hrt man eine Rechnungaus, die im Grunde eine Rechnung mit Dezimalbru¨chen ist. Leider hat D. E. Smith(The invention of the decimal fraction; Teachers College bulletin, departmentof mathematics 1910–1911, Nr. 5, New York 1910, S. 19) und nach ihm F. Cajori(Science 372, 1913, S. 610) wie es scheint ohne besondere Nachpru¨fung die Can-torsche Angabe wiederholt.BM 13, 265 G. Enestro¨m.[M] L’original du traite´ De apologistica principum ratiocmio italico fut publie´ par Stevinen 1605 dans lesWisconstige Gedachtenissen. Jean Turing en donna une traductionfranc¸aise dans les Me´moires mathe´matiques (1608), dont il existe des tirages a` partsous le titre de Livre de compte de prince (Leyde, chez Ian Paedtz Iacobsz C| C. | C.CVIII).BM 3, 141 H. Bosmans.[N] Mo¨glicherweise ko¨nnte man hier einige Zeilen u¨ber J. Peletier, der von Herrn Can-tor nur als Geometer erwa¨hnt wird, einschalten. Im 2. Bande der Vorlesungen wer-den an verschiedenen Stellen (S. 353, 482, 524, 541) historische Notizen u¨ber Rational-machen von Bru¨chen mit zweigliedrigem Nenner mitgeteilt, und aus diesem Grundeko¨nnte es angebracht sein zu bemerken, daß Peletier in seiner Arbeit De occultaparte numerorum quam algebram vocant libri duo (Paris 1560) ein Kapitel (Blatt48b–49b) ”De trinomiis quaedam obiter“ eingefu¨gt hat, wo er, wie es scheint, ohneden 3. Traktat der 8. Distinktion der Summa des Paciuolo zu kennen, Rationalma-chen von Bru¨chen mit drei-gliedrigem Nenner lehrt (vgl. Klu¨gel, MathematischesWo¨rterbuch I [1803], S. 43). Sein Verfahren wendet er auf das Beispiel 1003+√9+√16an,indem er bemerkt, daß das Resultat natu¨rlich gleich 10 sein muß. Zuerst erweitert erden Bruch mit 3 +√9−√16 und bekommt also100(3 +√9−√16(3 +√9216=100(3 +√9−√16)√324 + 2;dann erweitert er mit√3242 und bekommt dadurch einen Bruch mit dem rationa-len Nenner 320, worauf er nachweist, daß dieser Bruch wirklich gleich 10 ist. DasVerfahren gilt freilich nicht fu¨r Nenner, wo Wurzeln vorkommen, deren Index nichtvon der Form 2n ist, aber jedenfalls zeugt es von einer gewissen U¨bung, algebraischeAusdru¨cke zu behandeln, und darum verdient es vielleicht erwa¨hnt zu werden.BM 6, 402 G. Enestro¨m.Dans son traite´ De occulta parte numerorum quam algebram vocant libri duo (Paris1560) mentionne´ par M. G. Enestro¨m a` la BM 63, 1905, p. 402, J. Peletier donneaussi en passant des e´quations dont le second membre est e´gale´ a` zero. En effet, auf 10r de ce traite´ se trouve le passage suivant: ”Sint 6R aequales 12Rm.24. Vtrinqueaufero 6R: Tum 6Rm.24 aequantur 0 seu nihilo: vt necesse sit 6R et 24 simul aequari,quum 6R et 24 se mutuo tollant“. Autre exemple au f 58 r.BM 7, 214 H. Bosmans.116 Band 2U¨ber J. Peletier als Algebraiker hat H. Bosmans ku¨rzlich eine ausfu¨hrliche Ab-handlung (L’algebre de Jacques Peletier du Mans departie an deus livres; Revuedes questions scientifiques publie´e par la societe scientifique deBruxelles 113, 1907, S. 117–173) vero¨ffentlicht. Wie aus dem Titel der Abhandlunghervorgeht, hat er dabei in erster Linie die franzo¨sische Ausgabe der Algebra vonPeletier (Lyon 1554; neue Auflagen 1609 und 1622) benutzt. Als Erga¨nzung derBosmansschen Abhandlung erlaube ich mir auf eine Stelle der lateinischen Ausgabe(Bl. 13b) aufmerksam zu machen, die in unsere Sprache u¨bersetzt folgendermaßenlauten wu¨rde:Wenn die Koeffizienten der Gleichunga0xn = a1xn−1 + ...+ an(a0, ai1, . . . , an positive Gro¨ßen) der Bedingung a0 > a1+ . . .+an genu¨gen,so ist die positive Wurzel der Gleichung < 1.Freilich spricht Peletier den Satz nur fu¨r die Gleichung x3 = ax2 + b aus (“exinspectione numeri, radicem esse numerum fractum facile intelligemus: quum scili-cet numerus majoris signi superat numerum minoris numerumque absolutum simulsumptos“), aber seine Begru¨ndung gilt allgemein. Nach einer brieflichen Mitteilungdes Herrn H. Bosmans findet sich der Satz schon S. 25 der franzo¨sischen Ausgabevon 1554.BM 7, 389 G. Enestro¨m.[O] L. 19, lire 1570 (non 1579) pour la date de la Regula Aliza de Cardan.BM 2, 146[P] Das wenige, das wir u¨ber Bombellis Perso¨nlichkeit kennen, ist zusammengestelltteils von Libri an der von Herrn Cantor zitierten Stelle, teils von S. Gherhardi(Einige Materialien zur Geschichte der mathematischen Faculta¨t der alten Univer-sita¨t Bologna, u¨bers, von M. Curtze, Berlin 1871, S. 89). Dagegen scheint es bisherunbeachtet zu sein, daß Bombelli nach seiner eigenen Aussage nicht nur eine Al-gebra sondern auch eine Geometrie verfaßt hatte, die 1572 fast fertig war und dieBombelli beabsichtigte recht bald zu vero¨ffentlichen (siehe L’algebra, Bologna 1572,S. 648–649). Warum die Vero¨ffentlichung unterblieb, kann wohl nie ermittelt werden;darf man daraus vielleicht schließen, daß Bombelli kurze Zeit nach 1572 gestorbenist?Jedenfalls ist es zu bedauern, daß die Bombellische Geometrie verloren ging, denndarin fand sich wohl der Nachweis, daß der irreduzible Fall der kubischen Gleichungmit der Dreiteilung des Winkels in direkter Beziehung steht (siehe L’algebra, S. 321).In den zuverla¨ssigsten mathematisch-historischen Arbeiten wird noch angegeben, daßVie`te zuerst diese Beziehung erkannte (siehe z. B. A. v. Braunmu¨hl, Vorlesungenu¨ber Geschichte der Trigonometrie 1, Leipzig 1900, S. 171).BM 8, 86–87 G. Enestro¨m.[Q] Die Angabe, daß die Aufgaben des dritten Buches von Bombellis Algebra ”zurEinu¨bung des in den beiden ersten Bu¨chern Gelehrten dienen“, ist nicht ganz ge-nau, denn die meisten Aufgaben beziehen sich nicht auf die Lehre von Wurzelgro¨ßen69. Kapitel 117und von Gleichungen der vier ersten Grade mit einer Unbekannten. In seinem Vor-wort (Bl. d 3b) bemerkt Bombelli: ”Nel terzo [libro] poi ho` posto (come per pruouadella scientia) circa trecento Problemi, accioche veggia lo studioso di questa discipli-nia (leggendo quelli) quanto soaue sia il frutto della scienza“, und in der Einleitungzum dritten Buche hebt er (S. 415) hervor, daß er einen großen Teil seiner Aufga-ben aus Diofantos entnommen hat. In Wirklichkeit ist das dritte Buch wesentlichder Lo¨sung von unbestimmten Aufgaben Diofantischer Art gewidmet; besonderskommen solche Aufgaben vor, wo Zahlen gesucht werden, die so beschaffen sind, daßgewisse andere Zahlen Quadratzahlen werden.Bombelli bemerkt selbst in der oben zitierten Einleitung zum dritten Buche, daßer im Gegensatz zu seinen Vorga¨ngern nur rein arithmetische Aufgaben behandelt,d. h. Aufgaben, wo es sich um Zahlen, aber nicht um Geld, Waren usw. handelt.BM 9, 77 G. Enestro¨m.[R] Da Herr Cantor Z. 1–2 bemerkt: ”Eine wichtige Stelle des ersten Buches [der Bom-belli schen Algebra] ist lange Zeit so gut wie unbeachtet geblieben“, und dabei inder Fußnote 1) auf eine Abhandlung von G. Wertheim aus dem Jahre 1898 hin-weist, so ist es angebracht, hier hervorzuheben, daß A. Favaro diese Stelle schon1874 (Bullett. di bibliogr. d. sc. matem. 7, 495–498) zum Abdruck gebrachtund erla¨utert hat. Wertheim behauptet freilich, daß Favaro die Stelle nicht nachGebu¨hr gewu¨rdigt hat, aber diese Behauptung ist meines Erachtens unzutreffend;bei Bombelli findet sich na¨mlich keine Kettenbruch-Entwickelung, sondern nur eineKettenbruch-Methode, d. h. ein Verfahren, das in Wirklichkeit mit der Kettenbruch-Entwickelung u¨bereinstimmt, aber ohne daß Kettenbru¨che benutzt werden. In derTat hat sich Bombelli gerade des Verfahrens bedient, das Herr Cantor Z. 13–19angibt, und wobei ja keine Kettenbru¨che ersichtlich werden. Die Behauptung vonWertheim, daß Bombelli ”tatsa¨chlich Kettenbru¨che gebildet hat“, ist also zummindesten irreleitend.BM 8, 87 G. Enestro¨m.[S] Hier wird fu¨r die Seite 623 auf BM 1, S. 277 verwiesen. Dort finden sich aber keineKleinen Bemerkungen, sondern eine Rezension zum 2. Band der Vorlesungen. Sieentha¨lt den Passus:Nun ist es ja wahr, daß in einer historischen Arbeit die bibliographischenNotizen nur Nebensache sind [. . . ] Auf der anderen Seite ko¨nnen unrich-tige bibliographische Notizen zuweilen auf die historische Darstellung Ein-fluß haben. Einen solchen Fall haben wir schon oben beru¨hrt, als wir vonBombelli sprachen. Herr Cantor hat na¨mlich (S. 621) angegeben, dassBombellisAlgebra zuerst 1572 in Venedig, dann abermals 1579 in Bolognagedruckt ist, und aus der raschen Aufeinanderfolge dieser beiden Ausgabenfolgert er (S. 623), daß sie viele Ka¨ufer fand. Da es aber konstatiert wordenist, daß keine Ausgabe der Algebra in Venedig erschien (vgl. Biblioth.Mathem. 1892, S. 92) und daß die angebliche neue Auflage vom Jahre 1579nur eine neue Titelausgabe ist (vgl. Biblioth. Mathem. 1893, S. 15–17,64), so kommt selbstversta¨ndlich auch die Folgerung in Fortfall, und es istsogar wahrscheinlich, daß der Neudruck des Titels im Jahre 1579 stattfand,118 Band 2weil der Vertrieb der Exemplare der Bombellischen Algebra sehr geringgewesen war (vgl. Biblioth. Mathem. 1893, S. 17).2BM 1, 277 [G. Enestro¨m][T] Die von Cataldi in seinem Trattato dell’ algebra proportionale (Bologna 1610) fu¨rdie Reihe der Potenzen der Unbekannten eingefu¨hrte Bezeichnung, die er spa¨ter inseinen u¨brigen algebraischen Schriften angewendet hat [am wenigsten in dem Trattatodel modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri (Bologna 1613), da erhier sich nicht viel mit theoretischen Betrachtungen abgiebt, sondern nur rechnet],ist durchaus nicht — wie man nach Cantors Worten meinen ko¨nnte — durch eineVera¨nderung der Bombellischen Bezeichnung entstanden, sondern hat mit diesergar nichts zu thun. Wie Cataldi selbst ausfu¨hrlich darlegt, will er mit seiner Be-zeichnung zwei U¨belsta¨nde beseitigen: 1) Die Unbequemlichkeit, welche beim Studi-um algebraischer Bu¨cher infolge der in verschiedenen La¨ndern und bei verschiedenenAutoren angewandten verschiedenen Zeichen fu¨r die Potenzen der Unbekannten sichherausstellt; 2) den Nachteil, der sich fu¨r den Drucker ergiebt, welcher nur seltenein algebraisches Werk zu drucken hat und doch fu¨r die Potenzen der Unbekanntenbesondere, sonst nicht zu verwendende Typen anschaffen muß. Beide U¨belsta¨nde wer-den vermieden, wenn man, wie Cataldi vorschla¨gt, zur Bezeichnung der Potenzender Unbekannten sich der durchstrichenen Exponenten bedient, denn diese Zeichenseien bequem und in den Druckereien, wo sie in den Rechenbu¨chern beim Dividieren”a Galea“ Verwendung fanden, auch vorra¨tig.BM 2, 146–147 G. Wertheim.[U] Es wa¨re nicht ohne Interesse hier zu erwa¨hnen, auf welche Weise Bombelli (S.180–181 seiner Algebra) das Auffinden einer Wurzel der Gleichung 4p3 − 3cp = aerleichterte. Bombelli ging von den Gleichungenp2 + q = c, p3 − 3pq = aaus, und da er voraussetzte, daß p und q beide positiv sind, konnte er sofort ausdiesen Gleichungen folgern, dassp <√c, p > 3√a.Da er ferner nur rationale Werte von p in Betracht zog, und da p eine ganze Zahlsein muß, wenn c und a ganze Zahlen sind, so war es oft sehr leicht, den Wert von pzu finden, wenn ein solcher u¨berhaupt existierte. In dem von Herrn Cantor S. 625erwa¨hnten Zahlenbeispiele war a = 2, c = 5 also3√2 < p <√5so daß hier nur der Wert p = 2 in Betracht kommen konnte.BM 8, 87 G. Enestro¨m.[V] Nachdem Herr Cantor die Berechnung des reellen Wertes des Ausdruckes3√4 +√−11 + 3√4−√−11 auf die Lo¨sung der Gleichung (2p)39(2p) = 8 zuru¨ck-gefu¨hrt hat, bemerkt er: ”Kann man, was in diesem Beispiele nicht zutrifft, hieraus2Vgl. Anhang B G. Do¨rflinger69. Kapitel 119mit Leichtigkeit 2p ermitteln, so ist die Aufgabe gelo¨st“. Es ist natu¨rlich sehr schwie-rig zu entscheiden, was mit Leichtigkeit ermittelt werden kann, aber meines Erachtensist es viel leichter sofort zu sehen, daß der Wert 2p = −1 der fraglichen Gleichunggenu¨gt, als daß die von Herrn Cantor einige Zeilen weiter unten erwa¨hnte Gleichungbei 2p = 4 eine Identita¨t wird. Auf Grund des Wertes 2p = −1 bekommt man also3√4 +√−11 + 3√4−√−11 = −1−√−112+−1 +√−112= −1.Indessen konnte Bombelli diese Wurzel nicht benutzen, denn nach seinem Verfahren(siehe die vorangehende Bemerkung) mußte p eine positive Zahl sein, die zwischen3√4 und√8 lag. Dagegen ha¨tte er mit Leichtigkeit durch das von ihm S. 292–293angegebene Verfahren aus der Gleichung (2p)3−9(2p) = 8 die Gleichung (2p)2−2p+1 = 9 herleiten und dann sofort die positive Wurzel 2p = 1+√332 finden ko¨nnen. Daindessen diese Wurzel nicht rational ist, hat er sicherlich aus diesem Grunde daraufverzichtet, einen reellen Wert des Ausdrucks zu berechnen.BM 8, 87–88 G. Enestro¨m.[W] Die Angabe, daß Johannes Junge oder Jung sein Verfahren, um Gleichungen mitganzen rationalen Wurzeln zu lo¨sen, 1577 vero¨ffentlicht haben soll, beruht vielleichtauf einem Mißversta¨ndnis. Nikolaus Reimers, dem man na¨here Auskunft u¨ber dasJungesche Verfahren verdankt, sagt nur, daß dies im Jahre 1577 ”erfunden vndaußgesunnen“ worden ist. Auf der anderen Seite ist es wahrscheinlich, daß Junge einRechenbuch vero¨ffentlicht hat, denn ”Johann Jung, Rechenmaister zu Lu¨beck“ wirdvon J. Faulhaber in seinem Buche Newer arithmetischer Wegweyser (Ulm 1614)unter den ”Authores, welche nach einander hierinnen angezogen werden“ genannt,und Faulhaber scheint nur Verfasser von gedruckten Rechenbu¨chern aufgefu¨hrt zuhaben. Ob das Rechenbuch von Junge 1577 erschien und ob darin das fraglicheVerfahren gelehrt wurde, du¨rfte zurzeit durchaus unbekannt sein.U¨brigens ist Junge nicht der erste, der das ihm zugeschriebene Verfahren angewandthat, denn J. Peletier wies schon 1554 darauf hin, daß wenn eine Gleichung von derForm x2 = ax+b oder x3 = ax2+b, wo a und b ganze Zahlen sind, eine ganze rationaleWurzel hat, so muß diese Wurzel (und im zweiten Falle noch dazu das Quadrat derWurzel) ein Faktor von b sein (siehe L’algebre de Jacques Peletier, Lyon 1554,S. 39– 46, zitiert von H. Bosmans in der Revue des questions scientifiques publieepar la societe scientifique de Bruxelles 113, 1907, S. 148–147; vgl. J. Peletier, Deocculta parte numerorum quam algebram vocant, Paris 1560, Bl. 12b13b).BM 7, 389–390 G. Enestro¨m.[X] Es ist mir unbekannt, aus welcher Quelle Herr Cantor die Angabe entnahm, daßRaimarus Ursus das Beispiel x3 = 48690x21x3 aufbewahrt hat, was wohl bedeutenmuß, daß das Beispiel schon bei Junge vorkommt. Gerhardt sagt hieru¨ber garnichts, bei Treutlein kommt allerdings das Beispiel vor, aber dieser gibt nicht an,daß es von Junge herru¨hrt, ebensowenig als Ka¨stner (Geschichte der MathematikII, Go¨ttingen 1797, S. 718), dem Treutlein vermutlich das Beispiel entnommenhat. Auch bei Raimarus Ursus selbst sucht man vergebens eine solche Angabe. DasVerfahren des Junge wird von Ursus im 4. Kapitel des 2. Abschnittes (Blatt E 1a–E 2b) seiner Arithmetica analytica (Frankfurt an der Oder 1601) auseinandergesetzt120 Band 2und an dem Beispielx28 = 65532x12 + 18x10− 30x6 − 18x3 + 12x− 8erla¨utert. Dagegen findet sich das Beispiel x3 = 48690x − 2lx2 im 5. Kapitel des 2.Abschnittes (Blatt F 2a) und hat die U¨berschrift ”Ad formam Vtae“, wa¨hrend Jungehier nicht genannt wird.Ob die Cantorsche Restitution des Verfahrens von Junge und Ursus durchausrichtig ist, scheint mir zweifelhaft, und da die Arbeit des Ursus ziemlich selten seindu¨rfte, drucke ich hier die betreffende Stelle der Arithmetica analytica ab, indem ichstatt der von Ursus benutzten cossischen Zeichen die jetzt gela¨ufigen Symbole, sowie— statt ÷ und = statt ”gr.“ setze:Hieraus scheint mir hervorzugehen, daß Ursus auf folgende Weise verfuhr. Er nahmversuchsweise x = 3 an, und da aus der gegebenen Gleichung folgt, dassx2 =486x9021x,wird alsox2 = 1629021x = 7221x.Aus dieser Gleichung folgt nun wiederx = 72x 21, oder da x = 3 angenommen wurdex = 24 - 21 = 3,wodurch sich erweist, daß x = 3 wirklich eine Wurzel ist. Herr Cantor verwandeltdagegen die gegebene Gleichung successiv inx3 = 3(16290)21x2 = 3 · 72− 21x2 = 32(24− 21) = 33.BM 7, 390 G. Enestro¨m.[Y] Mit Recht vermutet Herr Cantor, daß die Drucklegung der Schrift des Vie`te: Adlogisticem speciosam notae priores nicht zu Lebzeiten des Verfassers stattfand; aufder anderen Seite ist die Schrift nicht zuerst in der Gesamtausgabe von 1646 ge-druckt worden. Sie erschien na¨mlich 1631 in kleinem Duodezformat unter dem Titel:Francisci Vietae fontenaeensis in artem analyticem isagoge. Eiusdem ad logisticemspeciosam notae priores, nunc primum in lucem editae. Recensuit, scholiisque illu-strauit J. D. B. Parisiis, apud Gvillelmvm Bavdry, via amygdalina, prope collegiumGrassinorum M.DC.XXXI. Cum Privilegio Regis. Der Herausgeber war J. de Be-augrand. Wie aus dem Titel hervorgeht, sind die Notae priores hier mit der Isasogevereinigt, haben aber ein besonderes Titelblatt bekommen, das beginnt: ”FrancisciVietae fontanaeensis ad logisticem speciosam notae priores. Parisiis“, worauf dieAngabe des Buchdruckers und des Druckjahres folgt.BM 6, 109 G. Enestro¨m.69. Kapitel 121[Z] Nachdem Herr Cantor erwa¨hnt hat, wie Vie`te aus zwei rechtwinkligen Dreieckenin doppelter Art ein drittes bildet, fa¨hrt er fort (Z. 20–22): ”Statt zweier verschie-dener Dreiecke kann man dasselbe Dreieck, etwa A,B,D, zweimal nehmen. Das eineneue Dreieck heißt dann A2, 2BD,B2 −D2“. Hier ist der Ausdruck ”Das eine neueDreieck“ recht unangebracht, denn Vie`te selbst hebt ausdru¨cklich hervor (Opera,ed. Schooten, S. 36, Z. 10–11), daß es in diesem Falle nur ein einziges Dreieckgibt, na¨mlich das ”synaereseos via“ gebildete ; in Wahrheit bekommt man ”diaereseosvia“ die Identita¨t (A2)2 = (B2 +D2)2, und diese Identita¨t bezieht sich nicht auf einDreieck, sondern auf die Gerade, deren La¨nge A2 ist. Aus den Cantorschen Wortenmuß man schließen, daß Vie`te diesen Umstand nicht beobachtet hat, und es wa¨redarum viel besser zu setzen: ”Das neue Dreieck, denn Vie`te weiß, daß es in diesemFalle nur ein einziges gibt“.BM 13, 165 G. Enestro¨m.[a] Die Angabe, daß Vie`te ”die Hypotenuse des ersten Dreiecks A, die des n−ten Drei-ecks An nannte“ ist natu¨rlich wo¨rtlich genommen unrichtig, da bei Vie`te u¨berhauptkeine Exponentenzeichen vorkommen. Aber abgesehen hiervon ist die Angabe den-noch ein wenig irreleitend, denn der Leser kann kaum umhin, daraus zu schließen, daßVie`te wirklich irgend ein Zeichen fu¨r die Hypotenuse des n−ten Dreiecks benutzte.Dies ist indessen nicht der Fall; der in Zeichensprache u¨bersetzte Satz des ”Consec-tarium generale“ bezieht sich nur auf den Spezialfall n = 5, so daß die Angabe desHerrn Cantor eigentlich lauten wu¨rde: ”Vie`te nannte die Hypotenuse des erstenDreiecks A, die des fu¨nften Aqc“. Dagegen ist es wahr, daß Vie`te in Worten denallgemeinen Satz angab, und zwar entspricht folgender Passus bei Vie`te der Can-torschen Angabe: ”Si qua potestas componatur a binomia radice . . . erit hypotenusasimilis ipsi potestati“.BM 6, 315 G. Enestro¨m.[b] Z. 28 – 30 bemerkt Herr Cantor: ”Immer wieder dem gleichen Jahre 1591 geho¨rennach dem o¨fters von uns benutzten Inhaltsverzeichnisse die Abhandlungen De aequa-tionum recognitione et emendatione an“. Allein im Inhaltsverzeichnisse wird nur dieAbhandlung De aequationum recognitione genannt, und man wird geneigt sein, dar-aus zu folgern, daß die Abhandlung De aequatiomum emendatione 1591 nicht einmalin Aussicht gestellt war.Natu¨rlich ko¨nnte die Cantorsche Angabe sehr wohl auf einem einfachen Flu¨chtig-keitsfehler beruhen, und einen solchen Fehler kann auch ein geschulter Historikerbegehen. Allerdings wa¨re nicht ganz unmo¨glich, daß Herr Cantor durch die Worteder Fußnote 4: ”Ihre Zusammengeho¨rigkeit tritt in den Benennungen als ’Tractatusprimus‘ und ’Tractatus secundus‘ hervor“ einen (selbstversta¨ndlich durchaus wertlo-sen) Beleg fu¨r seine Angabe bieten wollte, aber ich ziehe hier die gu¨nstigste Erkla¨rungder ungenauen Angabe vor. In diesem Falle sollten indessen die soeben zitierten Wor-te der Fußnote 4 gestrichen werden. Wenn sich das Wort ”Zusammengeho¨rigkeit“ aufden Inhalt der zwei Abhandlungen bezieht, ist ja die Bemerkung unno¨tig, denn ausdem folgenden Berichte sieht der Leser, daß es sich in beiden Fa¨llen um Transforma-tionen von Gleichungen handelt Meint Herr Cantor dagegen, daß Vie`te selbst dieAbhandlungen als zusammengeho¨rend betrachtete, ist die Bemerkung nicht stich-haltig, denn ho¨chstwahrscheinlich ru¨hren die Benennungen ”Tractatus prior“ und122 Band 2”Tractatus posterior“ von Alex. Anderson her, und daß Anderson die zwei Ab-handlungen als zusammengeho¨rend betrachtete, geht ja schon aus dem Titel: Deaequationum recognitione et emendatione hervor.BM 13, 165 G. Enestro¨m.[c] Hier wa¨re es meines Erachtens angebracht zu erwa¨hnen, daß Vie`te in der Abhand-lung De aequationum recognitione et emendatione eine allgemeine Potenzbezeichnungangewendet hat. Eine beliebige Potenz von A dru¨ckt er durch ”A potestas“ aus, undeine andere Potenz von A, die niedriger als die erste, aber sonst ganz beliebig ist,heißt bei ihm ”A gradus“. So z. B. kommt bei Vie`te (Opera mathematica, ed. F.van Schooten, S. 107) folgende Formel vor:A potestas +E potestate −A potestateE gradui +A graduinA gradum, aequ. Z homogeneo,die in moderner Zeichensprache lauten wu¨rde:Am +Em −AmEn +AnAn = Z.Die Bezeichnung des Vie`te ist freilich sehr unbequem, um so mehr, weil er nur zweigleichzeitig vorkommende allgemeine Potenzen durch einfache Zeichen ausdru¨ckenkann. Auf der anderen Seite du¨rfte dies der erste Versuch sein, beliebige Potenzen zubezeichnen, und dieser Versuch verdient darum besondere Aufmerksamkeit.BM 6, 315–316 G. Enestro¨m.[d] L. 16, lire Paraplerosis.BM 2, 147[e] Der ganze Versuch, ausfindig zu machen, auf welchem Wege Vie`te zu seiner Lo¨sungder kubischen Gleichung x3 + 3ax = 2b kam, ist meines Erachtens wertlos, weil manauf verschiedenen Wegen dazu gelangen kann. Die einfachste Erkla¨rung scheint mirallerdings die folgende zu sein.Unter Bezugnahme auf die Lo¨sung Cardanos setzte Vie`te x = zy, alsoz3 − 3z2y + 3zy2 − y3 + 3a(z − y) = 2bund zerlegte ferner in nahem Anschluß an Cardano (vgl. De regula Aliza Kap. I;Ausg. 1570, S. 2: ”numerus tribuatur cubis“) die Gleichung in die zwei folgenden:z3 − y3 = 2b, 3z2y − 3zy2 = 3a(z − y).Aus der zweiten Gleichung folgt sofort nach Division durch 3(z − y)zy = a, also z =ayund x = z − y = ay− y.Allein auch wenn das von Herrn Cantor nachMarie angefu¨hrte Verfahren wirklichdas von Vie`te benutzte gewesen wa¨re, so ist doch die Angabe (Z. 11 – 13): ”Nun warbei dieser Annahme die Unbekannte ganz verloren gegangen (!). Vieta versuchte (!),ob k = y gesetzt deren Stelle einnehmen ko¨nne, und das Gelingen (!) des Versuchs69. Kapitel 123bildete die neue Auflo¨sung“ recht auffa¨llig. Wie Herr Cantor sagen kann, daß indem Ausdrucke x = ak2k ”die Unbekannte ganz verloren gegangen“ ist, verstehe ichnicht, denn k ist ja ebenso unbekannt wie z, aber wenn dieser Umstand nach derAnsicht des Herrn Cantor Nachteile mit sich fu¨hrte, ha¨tte er ganz einfach k stattz und z statt k setzen ko¨nnen, wodurch x = az2z . Ebensowenig verstehe ich, welchenAnlaß Vie`te gehabt ha¨tte, zu ”versuchen“, ob y statt k gesetzt werden ko¨nne. Ausdem Ausdruck x = ak2k geht ja hervor, von welcher Form x sein muß, und nach derVoraussetzung istx3 + 3ax = z3k3, folglicha3k3k3 = 2b,weil x3 + 3ax = 2b und z = ak .Welches Zeichen man statt k setzt, ist natu¨rlich durchaus gleichgu¨ltig — man ko¨nnteebensogut einen hebra¨ischen oder russischen Buchstaben benutzen.Der von mir zitierte Passus muß also als schlecht redigiert bezeichnet werden.BM 11, 341–342 G. Enestro¨m.[f] Wie Herr L. Saalschu¨tz (Arch.der Mathem. 123, 1907, S.206) hervorgehoben hat,ist das Zitat der Fußnote 3 nicht ganz genau abgeschrieben; an der betreffenden Stellebemerkt Vie`te: ”atque haec elegans & perpulchrae speculationis sylloge, tractatuialioquin effuso, finem aliquem & coronida tandem imponito“. Vie`te sagt also garnicht, er habe anderwa¨rts ausfu¨hrlich den Satz von der Gleichungskonstante behan-delt, sondern: der betreffende Satz solle, der Abschluß seiner schon sehr ausfu¨hrlichenArbeit sein. Folglich soll auch meine Bemerkung (Biblioth. Mathem. 63, 1900, S.409), die Schrift, in der Vie`te den Zusammenhang zwischen den Wurzeln einer Glei-chung und deren Koeffizienten behandelte, sei verloren gegangen, in Fortfall kommen,da sich diese Bemerkung nur auf das unrichtige Zitat bei Herrn Cantor stu¨tzt.BM 9, 77 G. Enestro¨m.[g] Hier beginnt der Bericht u¨ber Vie`tes Methode, numerische Gleichungen zu lo¨sen.Herr Cantor sagt, daß Vie`te die Gleichungen in na¨herungsweiser Auflo¨sung be-handelt, aber diese Ausdrucksweise ist meines Erachtens weniger gut, weil bei Vie`teu¨berhaupt nur solche Beispiele vorkommen, in denen die positiven Wurzeln rationaleganze Zahlen sind. Erst am Ende des langen Traktates widmet Vie`te nachtra¨glichetwa eine halbe Seite der Frage ”ad eliciendum radices proximas veris, alioquin irra-tionales“. Es du¨rfte also besser sein, zu sagen, daß Vie`te die ganzzahligen Wurzelnnumerischer Gleichungen durch eine Methode der sukzessiven Na¨herungen ermittelt.Das Verfahren Vie`tes beurteilt Herr Cantor, auf folgende Weise:Es ist ein Verfahren, welches zwar mit dem Grade der Gleichung sicha¨ndert, mithin als ein ganz vollkommen einheitliches nicht erachtet wer-den kann; als weiterer Mangel ist stets die Auffindung nur einer, und zwarpositiven Wurzel angestrebt, aber immerhin ist der Grundgedanke ein blei-bender.Herr Cantor behauptet also, daß das Verfahren sich mit dem Grade a¨ndert, unddiese Behauptung ist natu¨rlich buchsta¨blich richtig, ganz wie die Behauptung, daßdas Verfahren bei der Differentiation einer Potenz sich mit dem Grade a¨ndert, so124 Band 2daß z.B. d(x4) = 4x3dx, aber d(x7) = 7x6dx. Allein daraus folgt ja nicht, daß diesesletztere Verfahren nicht als ein vollkommen einheitliches erachtet werden kann, denndie allgemeine Formel ist d(xn) = nxn−1dx. Ganz auf dieselbe Weise verha¨lt es sichmit dem Verfahren Vie`tes. Ist die zu lo¨sende Gleichungf(x) ≡ a0xn + a1xn−1 + · · ·+ an−1x = an,so kann die Methode Vie`tes durch folgende Regel ausgedru¨ckt werden:Wenn man einen Na¨herungswert a der Wurzel der Gleichung f(x) = angefunden hat und wenn dieser Wert am Ende k Nullen hat, so bekommtman einen noch besseren Wert a1 aus der Formela1 = a+an − f(a)f ′(a) + 10k−11·2 f′′(a) + · · ·+10(n−2)(k−1)1 · 2 · 3 · · · (n− 1)f(n−1)(a)Die Herleitung der Formel bietet keine Schwierigkeiten dar. Man hat jaf(a1) = f(a+ (a1 − a) = f(a) + (a1 − a)f ′(a) + a1 − a)21 · 2 f′′(a) + · · ·+(a1 − a)n−11 · 2 · 3 · · · (n− 1)f(n−1)(a) + (a1 − a)n,alsoa1 − a = f(a1)− f(a)− (a1 − a)nf ′(a) + a1−a1·2 f′′(a) + · · ·+ a1−a)n−21·2·3···(n−1)f (n−1)(a).Nun ist f(a1) ∼ an und a1a in der Regel eine k-ziffrige Zahl. Ersetzt man rechts a1adurch die kleinste k-ziffrige Zahl 10k−1, und wirft man das letzte Glied des Za¨hlersab, bekommt man die soeben angegebene Formel.Man sieht hieraus sofort, daß das Verfahren gewissermaßen mit der sogenanntenNewtonschen Methode verwandt ist, und Herr Cantor hat Recht, wenn er sagt,daß der Grundgedanke ein bleibender ist, obgleich aus seiner Darstellung hervorgeht,daß er das Verfahren nicht verstanden hat.3Wenn Herr Cantor als ”weiteren Mangel“ bezeichnet, daß stets die Auffindungnur einer Wurzel angestrebt ist, so muß diese Bemerkung dem sachkundigen Lesersehr auffa¨llig erscheinen. Man braucht na¨mlich nur oberfla¨chlich von der DarstellungVie`tes Kenntnis zu nehmen, um zu finden, daß dieser nicht stets nur eine Wurzelberechnet Schon in der Einleitung (Opera, ed. F. van Sschooten, S. 173) hebt erhervor, daß es zuweilen zwei Lo¨sungen gibt (”radix est anceps“), und spa¨ter behandelter oft Gleichungen dieser Art. Beispielsweise lo¨st er im ”Problema XIX“ (a. a. O. S.219 – 220) die Gleichung 27755xx4 = 217944; in betreff dieser Gleichung bemerkt erschon anfangs, daß sie zwei (positive) Wurzeln besitzt. Dann teilt er die Rechnungen3Nachdem diese Bemerkung schon redigiert worden war hat F. Cajori (Historical note on the Newton-Raphson method of approximation; The americ. mathem. Monthly 18, 1911, S. 30) einen anderen etwasku¨rzeren, aber kaum einfacheren Ausdruck fu¨r den DivisorVie`tes vero¨ffentlicht. Man sieht leicht, dass dieserAusdruck mit dem Meinigen u¨bereinstimmt; allerdings kann man bei Cajori nicht sofort das VerfahrenVie`tes mit der Newtonschen Methode vergleichen.69. Kapitel 125in zwei Abschnitte mit besonderen U¨berschriften ein, na¨mlich ”Paradigma primumanalyseos quadrato-quadrati avulsi a` plano-plano sub latere, ad inveniendum radicemminorem“ (hier findet er x = 8) und ”Paradigma secundum analyseos quadrato-quadrati avulsi a` plano-plano sub latere, ad inveniendum radicem maiorem“ (hierfindet er x = 27).Daß Vie`te nur die positiven Wurzeln beru¨cksichtigt, ist natu¨rlich richtig, aber dieserUmstand hat nichts mit den Ma¨ngeln des Verfahrens, um das es sich handelt, zu tun.Will man die negativen Wurzeln der Gleichung f(x) = an durch dieses Verfahrenermitteln, hat man ja nur das Verfahren auf die Gleichung f(−x) = an anzuwenden.Die Worte (Z. 25) ”und zwar positiven“ sollten darum unter allen Umsta¨nden gestri-chen werden.BM 11, 234–235 G. Enestro¨m.[h] U¨ber die Methode Vie`tes, numerische Gleichungen yon der Form x3 + cx = a zulo¨sen, gibt Herr Cantor (Z. 5–11) folgende Auskunft:Bei einer Gleichung dritten Grades x3 + cx = a, deren Wurzel wieder alsx1 + x2 + x3 gedacht ist, findet sich durch Einsetzung dieses Wertes undleichte Umformung:a = x31 + cx1 + (3x21 + c)x2 + (3x1 + x2)x22 + (3(x1 + x2)2 + c)x2+(3(x1 + x2) + x3)x23und die Anwendung auf x3 + 30x = 14356197 liefert abermals x = 243.Nun hat Herr Cantor, S. 640 eine a¨hnliche Formel fu¨r die Gleichung x2 + cx = agegeben, und in dieser Formel, deren Anwendung er fu¨r die Gleichung x2 + 7x =60750 vollsta¨ndig erla¨utert hat, ist der Koeffizient von x2 eben der Divisor, den manbenutzen soll, um x2 zu ermitteln Der Leser muß also annehmen, daß in betreff derGleichung x3 + cx = a dieser Divisor 3x21 + c ist, denn warum sollte Herr Cantorsonst die oben abgedruckte Umformung, die nicht bei Vie`te steht, ausgefu¨hrt haben?Allein in Wirklichkeit ist in diesem Falle der Divisor Vie`tes nicht 3x21 + c, sondern(siehe die vorangehende Bemerkung)ddx1(x31 + cx1) +10k−12d2dx21(x31 + cx1) = 3x21 + c+ 3 · 10k−1x1,und die Cantorsche Umformung muß darum auf folgende Weise modifiziert werden:a = x31 + cx1 + (3x21 + c+ 3x1[x2])x2 + x32+(3(x1 + x2)2 + c+ 3(x1 + x2)[x3])x3 + x33,wo [x2] und [x3] bedeuten, daß bei der Ermittelung des Quotienten x2 vorla¨ufig durch10k−1 und bei der neuen Berechnung x3 vorla¨ufig durch 10k−2 zu ersetzen ist.Bei der Gleichung x3 + 30x = 14356197 ermittelt Vie`te erst durch Wurzelauszie-hung den Na¨herungswert x1 = 200. Um x2 zu finden, setzt man in die korrigierteCantorsche Formel a = 14356197, x1 = 200, c = 30 und, wie schon gesagt, vorla¨ufig126 Band 2[x2] = 10; ferner wirft man x32 sowie alle Glieder, die x3 enthalten, ab, und dadurchbekommt manx2 ∼ 14356197− (200)3 − 30 · 2003 · (200)2 + 30 + 10 · 3 · 200 ∼6350197126030.Der Quotient ist hier ein wenig gro¨ßer als 50, aber da der Dividendus zu groß und derDivisor zu klein ist, darf man fu¨r x2 nur 40 ansetzen, so daß der zweite Na¨herungswert200 + 40 = 240 ist. Um einen noch besseren Wert zu bekommen, setzt man in diekorrigierte Cantorsche Formel a = 14356197, x1 = 200, c = 30, x2 = 40, [x2] = 40(nicht 10), [x3] = 1 und wirft x33 ab. Dann wirdx3 ∼ 6350197− (3(200)2 + 30 + 3 · 200 · 40)40− (40)33 · (240)2 + 30 + 3 · 240 ∼524997173550.Also kann x3 ho¨chstens 3 sein, und wenn man teils im Za¨hler das abgeworfene Glied−x33 beru¨cksichtigt, teils in dem Ausdruck3(x1 + x2)2 + c+ 3(x1 + x2)[x3].woraus der Nenner berechnet wurde, die Gro¨ße [x3] nicht = 1, sondern = 3 setzt,findet manx3 =524970174990, also genau = 3, folglichx = 243.Auch die Umformung, die Herr Cantor, (Z. 11 – 13) fu¨r die Gleichung x3+ cx2 = agibt, muß auf a¨hnliche Weise korrigiert werden.Die Cantorschen Umformungen sind besonders fu¨r den aufmerksamen Leser irre-leitend, denn dieser kann kaum umhin, anzunehmen, daß das Verfahren Vie`tes imwesentlichen mit der Newtonschen Na¨herungsmethode u¨bereinstimmt. Bei HerrnCantor sind ja die Koeffizienten von x2 fu¨r die Gleichungen x2+cx = a, x3+cx = a,x3 + cx2 = a und wenn man das linke Glied der Gleichungen durch f(x) bezeichnet,ist in jedem der drei Fa¨lle der Koeffizient von x2df(xi)dxi,also gerade der Divisor, der in der Newtonschen Na¨herungsmethode benutzt wird.Wie Herr Cantor auf den Gedanken kam, die sinnlose oder unrichtige Umformungauszufu¨hren, weiß ich nicht. Bekanntlich hat Hankel (Zur Geschichte der Mathema-tik in Alterthum und Mittelalter, Leipzig 1874, S. 369 – 370) ausdru¨cklich behauptet,das Verfahren Vie`tes sei mit der Newtonschen Methode identisch, und man ko¨nntedarum versucht sein, anzunehmen, daß Herr Cantor seine Umformung auf Grunddieser Behauptung vorgenommen hat, ohne auf die Quelle selbst zuru¨ckzugehen. An-derseits ist es nicht leicht, unter dieser Annahme das Cantorsche Urteil (siehe dievorangehende Bemerkung), ”das Verfahren Vie`tes sei nicht als einheitlich zu erach-ten“, zu erkla¨ren.BM 11, 235–237 G. Enestro¨m.69. Kapitel 127[i] Das hier nach Ka¨stner erwa¨hnte Rechenbuch Helmreichs erschien zum erstenmalin Eisleben 1561 (112 Bl; siehe D. E. Smith, Rara arithmetica Boston, 1908, S. 303).Die Ausgabe Leipzig 1595 ([20] + 627 S.) war eine dritte, wesentlich vermehrte Auf-lage.BM 9, 253 G. Enestro¨m.Herr Cantor bemerkt (Z. 19–28):Den Leistungen eines Vieta gegenu¨ber, welche seit 1591 zur Vero¨ffentlichung vor-bereitet, theilweise seit eben jener Zeit vero¨ffentlicht worden sind, erscheint dop-pelt du¨rftig, was im letzten Jahrzehnt des XVI. Jahrhunderts in Deutschland unterdem Namen Algebra gedruckt werden konnte. Wir mu¨ssen dahin die (S. 612) imVorbeigehen erwa¨hnte, 1592 gedruckte Algebra von Ramus za¨hlen, . . . dahin auchein Rechenbuch von Andreas Helmreich . . . , welches 1595 die Presse verließ.Allein wie ich oben (S. 71) hervorgehoben habe, wurde die Algebra von Ramusschon 1586 vero¨ffentlicht, und obgleich es eine Auflage mit dem Druckjahr 1592 gibt,kann die Schrift also eigentlich nicht dem letzten Jahrzehnte des 16. Jahrhundertszugewiesen werden.In betreff des Rechenbuches von Helmreich du¨rfte es schwer zu verstehen sein,warum Herr Cantor es hier nennt, auch wenn man in Betracht zieht, daß er u¨berdas Buch nur nach Ka¨stner berichten kann. Herr Cantor spricht ja hier von Ar-beiten, die unter dem Namen Algebra gedruckt werden konnten, und weder wird dieArbeit von Helmreich Algebra genannt, noch entha¨lt sie, abgesehen von der reinhistorischen Notiz, etwas u¨ber Algebra. Ka¨stner sagt ja ausdru¨cklich: ”In allen fu¨nfBu¨chern, nur gemeine Rechenkunst und Geometrie, auch etwas Trigonometrie, diedoch nur angewandt, nicht gelehrt wird: Nichts von der Kunst des Algebras zuUlem.“ U¨brigens ist die von Ka¨stner beschriebene Schrift nur eine neue Auflageeiner schon viele Jahrzehnte fru¨her erschienenen Arbeit, denn es gibt eine Ausgabe(wahrscheinlich die erste) aus dem Jahre 1561. Auch wenn Helmreich die Algebrabehandelt ha¨tte, sollte er mithin nicht in dem oben zum Abdruck gebrachten Passuserwa¨hnt worden sein.BM 13, 72 G. Enestro¨m.[j] Im Anschluß an die Ausfu¨hrungen S. 641 bemerkt Herr Cantor (Z. 16–20):Dem gewiß gerechten Bedauern u¨ber die Drucklegung so unbedeutender Leistun-gen in Deutschland ko¨nnte ein mit der Literatur geringen Gehaltes in anderenLa¨ndern genauer bekannter Leser vielleicht ein Wort des Trostes entgegensetzen,es sei auch dort die Druckerschwa¨rze nicht selten mißbraucht worden.Die ”unbedeutenden Leistungen“ sind die Algebra von Ramus und das Rechenbuchvon Helmreich, und wenn man diese Arbeiten mit den algebraischen Leistungenvon Vie`te vergleicht, ko¨nnen sie gewiß unbedeutend genannt werden; Helmreichhat ja nicht einmal beabsichtigt, u¨ber Algebra zu schreiben und ho¨chstwahrscheinlichverstand er selbst nichts davon. Anderseits ist die Vergleichung selbst durchaus schief,denn weder Ramus noch Helmreich beanspruchte, etwas mehr als Lehrbu¨cher fu¨rAnfa¨nger angefertigt zu haben, und ein Lehrbuch kann ja sehr nu¨tzlich sein, auch,128 Band 2wenn es nichts neues bringt. Aus diesem Grunde ist der Ausspruch: ”es sei auch (!)dort die Druckerschwa¨rze . . . mißbraucht worden“ unangebracht, bevor es nachgewie-sen wird, daß die Algebra von Ramus schlechter oder wenigstens nicht besser als dieim Jahre 1592 in Deutschland vorhandenen und allgemein zuga¨nglichen Lehrbu¨cherder Algebra war; einen solchen Nachweis zu bringen hat Herr Cantor indessen nichteinmal versucht, und derselbe du¨rfte kaum zu einem fu¨r den Cantorschen Ausspruchgu¨nstigen Ergebnis gefu¨hrt haben.BM 13, 72–73 G. Enestro¨m.[k] Paul Wittich kann kaum der eigentliche Erfinder der prosthapha¨retischen Rech-nung genannt werden, ho¨chstens der Nacherfinder oder der abermalige Erfinder.Braunmu¨hl (vgl. Gesch. d. Trigonom. I, S. 135–137, 193–195) hat na¨mlich unwider-leglich nachgewiesen, daßWerner bereits die sa¨mtlichen Begeln der Prosthapha¨resishatte; S. 454 geht Cantor hierauf nur sehr voru¨bergehend ein, und auch die Bemer-kung S. 597 ko¨nnte etwas aus fu¨hrlicher sein.BM 1, 271 G. Enestro¨m.[l] Bei der Erwa¨hnung der Bu¨rgischen Einfu¨hrung eines Hilfswinkels sollte die Trigono-metrie des Pitiscus, Aufl. v. 1608 S. 139 (= Aufl. v. 1612 S. 173), citiert sein, denndort ist die Methode Bu¨rgis nach ihm geometrisch abgeleitet. Das Gleiche findet sichbei M. Jo¨stel in seiner handschriftlich erhaltenen Prosthapheiresis astronomica, S.37 (vgl. Braunmu¨hl, Gesch. d. Trigonom. I, S. 199).BM 1, 271[m] Der hier (Z. 15 v. u.) erwa¨hnte Jacob Curtius (kaiserlicher Prokanzler, gest. 1594)briefwechselte mit Tyge Brahe u¨ber astronomische Fragen (vgl. F. R. Friis, TY-CHONIS BRAHEI et ad eum doctorum virorum epistolae ex anno 1588 et sequentilusannis, Ko¨benhavn 1900–1906, S. 121, 126, 199, 201), und wird oft von Brahe in sei-nen Briefen an andere Fachgenossen genannt.BM 7, 391 G. Enestro¨m.[n] Der Ansicht des Herrn Cantor, daß J. Bu¨rgi mit vollem Bewußtsein die zitierteGleichung auf Null gebracht hat, kann ich nicht beistimmen; im Gegenteil scheintes mir aus der betreffenden Stelle in Keplers Opera deutlich hervorzugehen, daßBu¨rgi nur auf Grund der Art des zu lo¨senden Problems dazu kam, eine Gleichungaufzustellen, deren rechtes Glied tatsa¨chlich gleich Null war. Bu¨rgi wollte ermitteln,wie groß die Sehne von 17 eines Kreisbogens mit gegebener Sehne war, und leitete dabeieine gewisse Gleichung her, deren rechtes Glied die gegebene Sehne repra¨sentierte.Dann nahm er in Betracht den besonders interessanten Fall, daß der Kreisbogen gleichder ganzen Peripherie ist, und da die gegebene Sehne in diesem Falle = 0 ist, erhielter natu¨rlich eine Gleichung von der Form f(x) = 0. Daß er diese als Normalformoder wenigstens als eine vorteilhafte Form betrachtete, geht aus dem KeplerschenBerichte gar nicht hervor; vielmehr gibt Kepler etwas weiter unten (S. 105) dieBu¨rgische Gleichung fu¨r die Fu¨nfteilung der Peripherie Unter der Form5I − 5III + 1V aequalem subtensae nulli,aequalem subtensae nulli, wo also ausdru¨cklich hervorgehoben wird, daß das rechteGlied nicht die abstrakte Null, sondern die zur Null gewordene Sehne des Kreisbogens69. Kapitel 129repra¨sentiert. Meines Erachtens muß man also sagen, daß Bu¨rgi zufa¨lligerweise aufGleichungen gefu¨hrt wurde, deren rechtes Glied tatsa¨chlich = 0 war.BM 6, 402–403 G. Enestro¨m.[o] Die Erla¨uterung des algebraischen Verfahrens des Pitiscus ha¨tte vielleicht etwasbesser redigiert werden sollen. Herr Cantor beginnt mit den Worten: ”Ist etway = y1 + y2 + y3 + . . ., wo y1, y2, y3 . . . aufeinanderfolgende Stellen bedeuten“; alsonennt Herr Cantor hier ”Stelle“ den Wert einer einzelnen Ziffer der gesuchten Zahl,so daß z. B. 1000, 200, 30, 4 die ”Stellen“ der Zahl 1234 sind. Allein in den folgendenRechnungen setzt Herr Cantor ohne weiteres y1 erst gleich 2 (siehe Z. 24), danngleich 20 (siehe Z. 27), weiter gleich 200 (siehe Z. 30) usw. Es wa¨re wohl ziemlich leichtgewesen, durch Hinzufu¨gen eines zweiten Zeigers zu bewirken, daß nicht dasselbeZeichen in derselben Berechnung mehrere Bedeutungen bekommt.BM 12, 63 G. Enestro¨m.[p] Der erste Absatz (Z. 1–16) ist zu unbestimmt redigiert und sollte eine pra¨zisere Fas-sung bekommen. In Wirklichkeit setzt das Verfahren des Raimarus Ursus voraus,daß die Zahl, die versuchsweise als Wurzelwert angenommen wird, ein Teiler derGleichungskonstanten sei. In einer fru¨heren Bemerkung (siehe BM 73, 1906/7, S.390) habe ich nachgewiesen, daß Raimarus die ganzzahlige Wurzel 3 der Gleichungx3 = 486− 90x− 24x2 ho¨chstwahrscheinlich durch sukzessive Divisionen ermittelte,und genau dasselbe Verfahren wandte er ausdru¨cklich in betreff der Gleichungx27 = 65532x11 + 18x9 − 30x5 − 18x3 + 12x− 8an (siehe Arithmetica analytica, Frankfurt an der Oder 1601, Bl. E 2a). Er teiltena¨mlich die ganze Gleichung durch x, nahm dann versuchsweise als Wurzelwert einenTeiler von 8 na¨mlich 2 an und erhielt dadurch, indem er 4 statt 8x und dann 8 statt12 - 4 setzte:x27 = 65532x11 + 18x9 − 30x5 − 18x2 + 8.Nun wiederholte er dasselbe Verfahren, nur mit dem Unterschied, daß er die Glei-chung durch x2 teilte; auf diese Weise bekam er zuletzt x16 = 65536, welche Gleichungfu¨r x = 2 eine Identita¨t wird, und dadurch war nachgewiesen, daß 2 eine Wurzel dervorgelegten Gleichung sei. Das Verfahren, setzt natu¨rlich voraus, daß nach der erstenDivision durch x alle Glieder ganze Zahlen sind, also daß die Versuchszahl ein Tei-ler von 8 ist. Die Bemerkung des Herrn Cantor (Z. 10–12): ”Er wird wohl dabeinicht das Bewußtsein gehabt haben, daß der Wurzelwerth ein Theiler der Gleichungs-constanten sein mu¨sse“, sollte also auf folgende Weise modifiziert werden: ”Er hattedabei offenbar das Bewußtsein, daß der Wurzelwerth, sofern dieser durch seinVerfahren ermittelt werden konnte, ein Theiler der Gleichungsconstanten seinmu¨sse“.Dagegen geht Raimarus gar nicht auf die Frage ein, ob die Wurzel eine ganze Zahlsein kann, auch wenn sein Verfahren versagt, d. h. wenn es sich herausgestellt, daßkein Teiler der Gleichungskonstanten eine Wurzel ist.BM 12, 63–64 G. Enestro¨m.Band 3Der Priorita¨tsstreit zwischenNewton und LeibnizQuelle:Cantor, Moritz: Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik. – Leipzig : TeubnerBand 3. Von 1668 bis 1758. — 2. Aufl. — 1901.S. 285 – 328Signatur UB Heidelberg: L 84-6::3(2)13094. Kapitel 131(285)94. Kapitel. Der Priorita¨tsstreit zwischen Newton und Leibnizbis April 1712.Der Priorita¨tsstreit sei durch Fatios Schrift von 1699 Lineae brevissimi descensus inve- [A]stigatio geometrica duplex etc. begonnen gewesen, sagten wir (S. 261) am Schlusse desXVI. Abschnittes. Jetzt, wo es uns obliegt, die Geschichte des Streites selbst eingehend zu [B]erza¨hlen, beginnen wir damit, die beleidigenden Worte Fatios genauer anzugeben1. Fatiowill den zur Bewa¨ltigung der Aufgabe der Brachistochrone no¨thigen Calcu¨l im April 1687selbsta¨ndig erfunden haben2. Sein Wissen in dieser Beziehung wu¨rde kein geringeres ge-wesen sein, wenn Leibniz damals noch gar nicht geboren gewesen wa¨re. Mo¨ge dieser daher (286)anderer Schu¨ler sich etwa ru¨hmen, ihn ko¨nne er nicht unter deren Zahl rechnen, dafu¨r ko¨nneder Briefwechsel, welchen er, Fatio, mit Huygens gefu¨hrt habe, falls er zur Vero¨ffentlichunggelange, als Zeugniss dienen. Dann heisst es weiter3: ”Das freilich erkenne ich an, dass New-ton der erste und um mehrere Jahre a¨lteste Erfinder dieses Calcu¨ls war, denn dazu no¨thigtmich die Augenscheinlichkeit der Dinge. Ob Leibniz, der zweite Erfinder, etwas von jenem,entlehnt hat, daru¨ber sollen lieber andere als ich ihr Urtheil abgeben, denen Einsicht in dieBriefe oder sonstige Handschriften Newtons gestattet wird. Niemanden, der durchstudirt,was ich selbst an Dokumenten aufgerollt habe, wird das Schweigen des allzubescheidenenNewton oder Leibnizens vordringliche Gescha¨ftigkeit ta¨uschen.“Wir machen dazu drei Bemerkungen. Erstens Fatio schickte seine Streitschrift nicht anLeibniz. Zweitens dieselbe erschien unter ausdru¨cklicher und ausgesprochener Genehmi-gung des stellvertretenden Vorsitzenden der Royal Society. Drittens Fatio hatten PapiereNewtons vorgelegen, was ohne dessen Einwilligung kaum denkbar ist. [C]Was fu¨r Papiere und Briefschaften das gewesen sein mo¨gen, la¨sst sich mit voller Be-stimmtheit nicht behaupten, vielleicht solche, die gleichfalls im Jahre 1699 im Drucke er-schienen. Wir wissen, dass 1693 der zweite Band von Wallis’ Werken erschienen war undin ihm ein Bericht u¨ber die spa¨teren Briefe Newtons an Wallis (S. 251 bis 253). Im Jahre1699 liess Letzterer den dritten Band seiner Werke folgen, und in ihm war der erste undzweite Brief Newtons an Leibniz und die Antwort Leibnizens zu lesen. Diese Papiere ko¨nnteallenfalls Fatio auch ohne Newtons Wissen in der Druckerei gesehen haben.Zwischen dem Entwurfe von Leibnizens Antwort auf den zweiten Brief Newtons vom 24.October 1676 und dem Abdrucke dieser Antwort im III. Bande von Wallis’ Werken bestehtein merkwu¨rdiger Unterschied, den wir hier hervorzuheben haben. Wir sagten (S. 184),dass Oldenburg den Brief vom 24. October 1676 erst unter dem 2. Mai 1677 an Leibnizabgehen liess, dass dieser alsdann (S. 187) den Brief an dem Tage, an welchem er ihn er-hielt, noch beantwortete. Unsere Quelle war der Abdruck des Entwurfes4. Da der Entwurf1Commerc. epistol. pag. 223 und Giesel in dem Delitzscher Schulprogramm von 1866 S. 17 Anmerkung46.2proprio Marte inveni.3Commerc. epistol. pag. 168 und 224: Newtonum tamen primum ac pluribus annis vetustissimum hujuscalculi inventorem ipsa rerum evidentia coactus agnosco: a quo utrum quicquam mutuatus sit Leibnitiussecundus ejus inventor malo eorum quam meum sit judicium quibus visae fuerint Newtoni litterae aliiqueejusdem manuscripti Codices. Neque modestioris Newtoni silentium, aut prona Leibnitii sedulitas, inventio-nem hujus calculi sibi passim tribuentis, ullis imponet, qui ea pertractaverint, quae ipse evolvi, instrumenta.4Leibniz I, 154.132 Band 3unter dem Leibnizischen Nachlasse in der Ko¨niglichen o¨ffentlichen Bibliothek in Hannover(287)aufbewahrt wird, so liessen wir uns, um sicher zu gehen, ein Facsimile der Anfangszeilenkommen5. Sie lauten: Accepi hodie literas tuas diu expectatas cum inclusis Neutonianissane pulcherrimis, ich erhielt heute Ihren lange erwarteten Brief und als Einschluss einensehr scho¨nen Brief Newtons. Die Worte sind in fortlaufender Linie geschrieben, abgesehenvon dem vierten Worte tuas, welches u¨ber der Linie stehend eingeflickt erscheint. Einesonstige Aenderung ist in beiden Zeilen, welche von Leibniz selbst geschrieben sind, nichtwahrnehmbar. Eine gleichzeitige Datirung ist nicht vorhanden, dagegen hat Leibniz spa¨termit etwas schwa¨rzerer Tinte an den Kopf des Blattes geschrieben: 21. Jun. 1677. ExstatCommerc. p. 88. Nun der englische Abdruck. Er gibt das Datum 21. Juni 1677 und la¨sst daszweite Wort der ersten Zeile hodie weg. Wie ist diese Vera¨nderung zu Stande gekommen?Daru¨ber musste das Original des nach England gekommenen Briefes befragt werden, wennes noch vorhanden war, und es fand sich nebst einer Abschrift desselben im Archive derRoyal Society in London6. Das Original bildet einen Theil einer mit der Nummer LXXXIbezeichneten Sammlung: ”Letters and papers referred to in the Commercium epistolicum.Edit. 1722.“ Es ist in recht unreinlichem Zustande und entha¨lt zahlreiche Durchstreichun-gen und Vera¨nderungen. Das Wort hodie ist nicht eigentlich durchstrichen, sondern durcheinen es bedeckenden Klecks nahezu unleserlich, es sei denn, man wisse, wie es heissen soll.Die Abschrift befindet sich in einem ”Letter-Book“ und entha¨lt das Wort hodie gar nicht.Darnach scheinen nur zwei Mo¨glichkeiten vorhanden. Entweder ist der Klecks absichtlichoder unabsichtlich vor Absendung des Briefes in Hannover entstanden, oder man hat inEngland schon vor 1699 das Wort unleserlich gemacht. Wir halten die erstere Vermuthungfu¨r die weitaus wahrscheinlichere, wie wir im na¨chsten Kapitel begru¨nden wollen. Auf dieFolgen, welche jene Vera¨nderung nach sich zog, kommen wir im weiteren Verlaufe zuru¨ck.Dem Marquis De L’Hoˆpital kam Fatios Schrift zu Ha¨nden, und er schickte sie Leib-niz am 13. Juli 1699. In dem Begleitbriefe machte L’Hoˆpital7 auch auf den im III. Ban-de der Gesammtwerke von Wallis erfolgten Abdruck einiger Briefe von Leibniz u. s. w.aufmerksam, welcher die Absicht erkennen lasse, Newton die Erfindung der Leibnizischen(288)Differentialrechnung zuzuschreiben, welche dieser Fluxionsrechnung nenne. Es scheine, alsob die Engla¨nder auf alle Art versuchten, den Ruhm der Erfindung fu¨r ihre Nation in An-spruch zu nehmen. Leibnizens Antwort8 entha¨lt den Dank fu¨r die Uebersendung. UeberFatios Ruhmredigkeit macht er sich lustig. Wenn dieser schon so lange so viel gewusst hat,warum hat er es nicht bekannt werden lassen? Newton werde Fatios Aeusserungen hof-fentlich nicht billigen, dazu wisse er zu genau, wie der wahre Sachverhalt sei. Endlich dieVero¨ffentlichung seiner Briefe durch Wallis sei mit seiner Einwilligung erfolgt. Wallis habeihm auch gestattet anzugeben, was er etwa beim Abdruck gestrichen wu¨nsche, er aber ha-be, da er das Bekanntwerden der nackten Wahrheit nicht zu fu¨rchten brauche, geantwortet,Wallis solle aus den Briefen nach Gutdu¨nken drucken lassen, was ihm der Vero¨ffentlichungwerth erscheine.Ungefa¨hr gleichzeitig wie an L’Hoˆpital schrieb Leibniz unter dem 4. August auch an5Herr Dr. Bodmann, der Vorstand jener Bibliothek, hatte die grosse Gu¨te, das Facsimile selbst fu¨r michanzufertigen.6Die Auskunft u¨ber die im Besitze der Royal Society befindlichen Belegstu¨cke verdanken wir dem lie-benswu¨rdigen Entgegenkommen eines Beamten der Gesellschaft, Herrn Robert Harrison.7Leibniz II, 3368Leibniz II, 337.94. Kapitel 133Wallis9. Der unverdiente und unerwartete Angriff, den Fatio auf ihn gemacht habe, wu¨rdeihn wenig beru¨hren, wenn nicht die Druckerlaubniss von Seiten der Royal Society ertheiltworden wa¨re, was er, er mu¨sse es gestehen, nicht ohne grosse Verwunderung gesehen habe.Wie er eine solche o¨ffentliche Verletzung verdient habe, sei er nicht im Stande sich auszu-denken. Sein einziger Trost bestehe in der Hoffnung, jene Druckerlaubniss mo¨ge erschlichenworden sein, doch bedu¨rfe er der Besta¨tigung dieser Hoffnung. Wallis mo¨ge in Gema¨ssheitseines o¨fters bezeugten Wohlwollens die Sache untersuchen. Wenn dieser ihm dann sage,dass die Schreibart, deren Fatio sich gegen ihn bedient habe, den Beifall der Royal Societynicht finde, so genu¨ge ihm das.Wallis that, worum Leibniz ihn bat. Am 29. August erkla¨rte er10 Leibniz, er habeFatios Buch gesehen, aber nicht gelesen. Bis zum Empfange von Leibnizens Brief habeer nicht geahnt, dass in dem Buche gegen Diesen gerichtete Dinge sich fa¨nden, welche erselbst keineswegs billige, mo¨gen sie von Fatio oder von einem anderen geschriebensein11. Nach diesem Satze, der vielleicht in dem Sinne zu verstehen ist, als vermuthe Wallis, [D]Fatio habe nur als Sprachrohr eines Dritten gedient, dessen Name alsdann leicht einzusetzenist, geht er zu einer Wu¨rdigung Fatios u¨ber. Es sei ja wahr, dass Fatio in die Royal SocietyAufnahme gefunden habe, aber deshalb stehe er in der Achtung der Mitglieder keineswegs so (289)hoch, dass er Leibniz vorgezogen werde, oder denselben unwu¨rdig behandeln du¨rfe, einenMann, der wie auch in anderen Dingen ganz besonders in der Mathematik sich grosseVerdienste erworben habe. Im na¨chsten Absatze wirft Wallis, scheinbar unbefangen, dieFrage auf, ob etwa Fatio auch der Verfasser eines namenlos in den A. E. vom Februar 1699pag. 87 flgg. erschienenen Aufsatzes gegen David Gregory sei, und wenn nicht, ob dannLeibniz bei der Redaction den Namen des Verfassers in Erfahrung bringen ko¨nne. Es gebeein Geschlecht von Menschen, die ihre eigenen Sachen ho¨her achten als die der u¨brigenSterblichen und lieber andere verletzen, als sich selbst Verdienste erwerben.Diese Briefstelle war freilich geeignet, Leibniz in Verlegenheit zu setzen, denn der na-menlose Aufsatz ru¨hrte von ihm selbst her12. Aber freilich war, und das sagt auch Leibnizin seinem Antwortschreiben13, zwischen jenem Aufsatze und den Aeusserungen von Fa-tio ein ganz wesentlicher Unterschied. David Gregory hatte eine Untersuchung u¨ber dieKettenlinie vero¨ffentlicht, welche zwar zu einem richtigen Ergebnisse fu¨hrte, d. h. zu demgleichen, welches seit 1691 (S. 219) den Mathematikern bekannt war, aber dieses Ergebnissauf einem dem Widerspruche ausgesetzten Wege erreichte. Diesem Widerspruche hatte derungenannte Verfasser des Aufsatzes in den A. E. Worte verliehen, ohne gegen Gregoryverletzend zu werden. Die Redaction weigere sich deshalb, erkla¨rte Leibniz, den Namendes Einsenders zu nennen, wa¨hrend sie bereit sei, bei der ersten passenden Gelegenheitihre Hochachtung vor Gregorys anderweitigen Verdiensten, die man voll anerkenne, deut-lich auszusprechen. Diese Zusage wurde auch 1703 erfu¨llt14 durch eine lobende Besprechungvon Gregorys Astronomia, physica et geometrica, als deren Verfasser eine schriftliche Rand-note Ferdinand Helfreich Lichtscheidt (1661 – 1707) nennt, einen hochgebildeten9Ebenda IV, 70.10Ebenda IV, 71–72.11Sive ab ipso sive ab alio scriptum.12Leibniz V, 336–339. In den A. E. tra¨gt der Aufsatz natu¨rlich nicht, wie in dem spa¨teren Abdrucke, dieBezeichnung: ex Epistola G. G. Leibnitii, sondern ist namenlos.13Ebenda IV, 74.14A. E. 1703 pag. 452–462.134 Band 3Geistlichen in Berlin, der auch der dortigen Akademie angeho¨rte15. Leibniz ha¨tte aber inseinem Briefe schon die Schlussworte jenes fru¨heren Aufsatzes als Beweis dafu¨r anfu¨hrenko¨nnen, dass es dort nur um eine sachliche Widerlegung sich handelte. Es sei glaublich,hiess es daselbst, dass Gregory bei wiederholter Ueberlegung seinen Irrthum unbefangeneingestehen werde; blieben ihm noch Zweifel, so mo¨ge er Newton, dessen Methode er nach(290)eigener Aussage benutzte, zu Rathe ziehen.Wie konnte Wallis eine solche schlichte, in den ho¨flichsten Formen auftretende Erwi-[E]derung mit perso¨nlichen Verda¨chtigungen auf gleiche Linie stellen? Wir sehen hier eineWirkung des englischen Nationalgefu¨hls, an dessen Uebertreibung Wallis krankte, wie wirbei fru¨herer Gelegenheit (S. 4) bemerken mussten. Im Priorita¨tsstreite werden wir noch oftauf die ha¨sslichen Folgen einer an sich lobenswerthen Geistesrichtung hinweisen mu¨ssen.Wo ein Engla¨nder in Frage kommt, ho¨rt bei Wallis, ho¨rt auch bald bei der Royal So-ciety das Licht und Schatten gleich vertheilende Gerechtigkeitsgefu¨hl auf. Den Engla¨nderho¨ren wir auch aus einem anderen Satze des Briefes Wallis’ vom 29. August: Fatio sei kein[F]Engla¨nder, sondern ein Deutscher aus der Schweiz16, der allerdings eine gewisse Zeit inEngland verweilte, aber gegenwa¨rtig wieder fort sei.Nun kommt noch die Druckgenehmigung der Royal Society zur Sprache. Der stellver-tretende Vorsitzende habe das Recht, dieselbe zu ertheilen und habe, da er glaubte nureine geometrische Abhandlung vor sich zu sehen, von dem Rechte Gebrauch gemacht, ohneden Inhalt der Schrift zu lesen. Es liege also nur eine Unvorsichtigkeit vor, wie Leibniz auseinem beigelegten Briefe des Secreta¨rs der Royal Society entnehmen ko¨nne, und welcheer alsdann wohl entschuldigen werde. Dieser Secreta¨r war seit 1693 Hans Sloane (1660–1752), ein bedeutender Arzt und Naturforscher. Sein von Wallis erwa¨hnter, unzweifelhaftdamals beigeschlossener Brief ist nicht gedruckt vorhanden. Eine Besta¨tigung der Ueber-sendung findet sich in Leibnizens Antwort17 an Wallis. An Fatios Aeusserungen, sagt er,sei ihm nicht mehr viel gelegen, seit er wisse, dass sie von der Royal Society nicht gebil-ligt wu¨rden; er behalte sich vor Herrn Sloane einen Dankbrief fu¨r seine so rasch bereiteFreundlichkeit18 zu schreiben.Jetzt begnu¨gte sich aber Leibniz nicht mehr mit brieflichen Aeusserungen, sondern ergab in den A.E. eine o¨ffentliche Antwort19 auf Fatios Beleidigungen. Der ganze Aufsatz istein Muster feiner Abfertigung und verdiente genauer bekannt zu sein. Die Gleichma¨ssigkeitder Darstellung gestattet uns leider keinen ausfu¨hrlichen- Bericht, und wir heben nur dreiPunkte hervor. Leibniz spricht erstens aus, dass Sloane in einem Briefe an einen Freunddie Zusicherung gegeben habe, es werde in Zukunft von Gesellschaftswegen darauf gesehen(291)werden, dass kein bissiger Ton von Seiten eines Mitgliedes gegen ein anderes eingeschlagenwerde. Zweitens geht Leibniz auf eine der von Fatio behandelten Aufgaben ein, auf dieAufgabe die Gestalt des Ko¨rpers geringsten Widerstandes in einem dichten Mittel zu fin-den. Newton hatte im 7. Abschnitte des II. Buches der Principien die Aufgabe gestellt undgelo¨st, allerdings so gelo¨st, wie es bei ihm nur zu ha¨ufig war, ohne Ableitung oder Beweisdes Ergebnisses. Damit trat nun Fatio hervor. Er wies einen Zusammenhang zwischen jenerEigenschaft des geringsten Widerstandes und dem Kru¨mmungshalbmesser der Curve, wel-che bei ihrer Umdrehung den Ko¨rper erzeugt, nach. Noch 1699 liessen erst De L’Hoˆpital,15Poggendorff I, 1453–1454.16Leibniz IV, 72: non Anglus est, sed Germanus ex Helvetia.17Ebenda IV, 74.18in me quoque promtissimae humanitati.19Leibniz V, 340–349.94. Kapitel 135dann Johann Bernoulli in den A. E. andere Beweise drucken20, welche einfacher waren,indem sie nur von Tangenteneigenschaften jener Curve Gebrauch machten. De L’Hoˆpitalbetonte dabei, in wie fern sein Beweis als der einfachere zu gelten habe: die Kru¨mmungha¨nge na¨mlich vom zweiten, die Tangente nur vom ersten Differentialquotienten ab21, undeben diese Bemerkung wiederholt Leibniz. Drittens beruft sich Leibniz fu¨r die Unabha¨ngig-keit seiner Erfindung der Differentialrechnung auf Newton22: ”Hat dieser doch hinreichendo¨ffentlich in seinen Principien von 1687 es ausgesprochen, dass Keiner von uns gewissegeometrische Erfindungen, welche uns gemeinschaftlich sind, der durch den Anderen ihmgelieferten Erleuchtung verdanke, dass Jeder vielmehr sie seinem eigenen Nachdenken schul-de, dass ich sie schon ein Jahrzehnt fru¨her auseinandergesetzt habe.“ Leibniz nennt hierdas Scholium im 2. Abschnitte des II. Buches der Principien nicht ausdru¨cklich, aber eskann nicht zweifelhaft sein, dass er diese Stelle (S. 203–204) meinte. Ebensowenig kannzweifelhaft sein, dass Newton den Leibnizischen Aufsatz gelesen haben muss. Die ganzeAngelegenheit machte sicherlich, seit Sloane im Namen der Royal Society sich eingemengthatte, wenn nicht schon fru¨her, in England so viel von sich reden, dass Newton, der minde-stens mittelbar Betheiligte, unmo¨glich den Verlauf des Streites unbeachtet lassen konnte.Fatio hat u¨berdies den Aufsatz gelesen, hat eine Entgegnung fu¨r die A.E. geschrieben,deren Aufnahme Mencke verweigerte23, und Fatio sollte nicht dafu¨r gesorgt haben, dassNewton mit diesem Benehmen und mithin mit dem ganzen Streite bekannt werde? Das istundenkbar. Newton wusste also ganz gut, welchen Sinn man dem Scholium beilegte, und (292)wenn er zwischen dem 11. October 1709 und dem 15. April 1710 (S. 204) dem Scholiumeine nur noch deutlicher die beiderseitige Unabha¨ngigkeit betonende Fassung geben liess,so wusste er, was damit gemeint war. Er wusste es und duldete es, trotzdem inzwischen dererste Act des Priorita¨tsdramas la¨ngst abgeschlossen und der Vorhang zum zweiten Aufzugschon in die Ho¨he gegangen war.Wir wissen (S. 279), dass Newton im Jahre 1704 in der Druckerei der Royal Societyein englisch geschriebenes Buch u¨ber die Farben der Presse u¨bergab und als Anhang zweilateinische Abhandlungen beifu¨gte, die Enumeratio linearum tertii ordinis und die Qua-dratura Curvarum. Schon im Januarhefte 1705 der A. E. erschien eine Besprechung diesesAnhangs24, deren Verfasser sich zwar nicht genannt hat, aber nie verkannt wurde. Dieallgemeine Muthmassung deutete auf Leibniz bin, und ihre Besta¨tigung ergibt sich ebenso-wohl durch eine der schon mehrfach erwa¨hnten Randnoten als durch die EmpfangsanzeigeMenckes25 vom 12. November 1704: ”Hierauf habe berichten sollen, dass gestern Dero re-lation von des Hrn. Newton zweyen Algebraischen tractaten endlich bey mir eingelaufen,undt sage ich dafu¨r gehorsamsten Danck.“ Durch eine Randbemerkung wissen wir ferner,dass Leibniz es auch gewesen war26, der 1703 ein anderes, die Fluxionsrechnung betreffen-des Buch, die Fluxionum methodus inversa von George Cheyne27 (1671–1734) ziemlichgu¨nstig besprochen und es dahin gekennzeichnet hatte, es bediene sich zur Auflo¨sung der20Joh. Bernoulli Opera I, 307–315.21Ebenda I, 313.22Leibniz V, 345: Satisque indicavit publice, cum sua Mathematica Naturae Principia publicaret anno1687, nova quaedam inventa Geometrica, quae ipsi communia mecum fuere, neutrum luci ab altero acceptae,sed meditationibus quemque suis debere, et a me jam decennio ante exposita fuisse.23A. E. 1701 pag. 134.24A. E. 1705 pag. 30–36.25Leibniz, Supplementband des Briefwechsels S. 15.26A. E. 1703 pag. 450–452.27Poggendorff I, 434.136 Band 3inversen Tangentenaufgabe wesentlich der Reihenentwicklung unter Benutzung der Metho-de der unbestimmten Coefficienten, wodurch man zu Ergebnissen gelange, wenn andereMethoden nicht aufzufinden seien. Die Besprechung der beiden Newtonschen Abhandlun-gen berichtet zuerst auf vier Seiten u¨ber die Enumeratio linearum tertii ordinis, dann gehtsie zu der Quadratura Curvarum u¨ber. Wir glauben hier die wichtigste Stelle wo¨rtlichanfu¨hren zu mu¨ssen.”Bevor der ungemein geistreiche Verfasser zu der Quadratur der Curven (oder vielmehrder krummlinigen Figuren) gelangt, schickt er eine kurze Einleitung voraus. Damit mandiese besser verstehe, muss man wissen, dass wenn irgend eine Gro¨sse stetig wa¨chst, wiez. B. eine Linie durch das Fliessen eines sie beschreibenden Punktes wa¨chst, jene augen-blicklichen Zuwa¨chse Differenzen genannt werden, na¨mlich Unterschiede zwischen derGro¨sse, wie sie fru¨her war, und wie sie durch die Vera¨nderung eines Augenblickes wurde,(293)und dass daraus der Differentialcalcu¨l entstanden ist und dessen Umkehrung dersummatorische Calcu¨l, deren Elemente von ihrem Erfinder Herrn G. G. Leibniz in dieserZeitschrift mitgetheilt worden sind, und wovon viele Anwendungen gezeigt wurden sowohldurch Ebendenselben als durch die Herren Bru¨der Bernoulli und durch den Marquis DeL’Hoˆpital, dessen ju¨ngst eingetretenen fru¨hzeitigen Tod alle die schwer beklagen mu¨ssen,die den Fortschritt der tieferen Wissenschaft lieben. Statt der Leibnizischen Differenzenbenutzt nun Herr Newton, und hat er immer benutzt28 Fluxionen, welche sichso nahe wie mo¨glich wie die in gleichen kleinstmo¨glichen Zeittheilchenhervorgebrachten Vermehrungen der Fluenten verhalten. Er hat davon in seinenMathematischen Principien der Naturlehre und in anderen spa¨ter vero¨ffentlichten Schrifteneinen eleganten Gebrauch gemacht, wie auch spa¨ter Honoratus Fabri in seiner SynopsisGeometrica den Fortschritt der Bewegungen an Stelle der Methode Cavalieris setzte“29.An diese wortgetreu durch uns u¨bersetzte und auch bezu¨glich der Hervorhebung ein-zelner Wo¨rter durch den Druck streng an das Original sich anschliessende Stelle knu¨pftLeibniz dann eine Schilderung der beiden Aufgaben der Differentiation und Integrationmittels seiner Zeichen und ohne der Newtonschen Bezeichnung zu gedenken. Bei der Qua-dratur als Aufgabe der Integralrechnung habe Newton sehr nu¨tzliche Arbeiten vollbracht30.Er habe Reihen angewandt, welche bald ins Unendliche fortlaufen, bald abbrechen, und indiesem letzteren Falle das Ergebniss in algebraischer Gestalt aufweisen. Das seien Dinge,u¨ber welche seiner Zeit bei Gelegenheit des Berichtes u¨ber das Buch von Cheyne gesprochenworden sei.Im Ganzen war also der Ton der Besprechung ein sehr wohlwollender, und der(S. 285) von uns angeku¨ndigte Widerspruch gegen die Vero¨ffentlichung als solche wa¨reein sehr milder gewesen, wenn nicht ein Satz in derselben vorgekommen wa¨re, des-sen schriller Misston durchgeho¨rt werden musste, der Satz, dessen lateinischen Wortlautwir in einer Anmerkung wiedergeben zu mu¨ssen glaubten. Newton wird mit Fabri ver-glichen, der den Fortschritt der Bewegungen an Stelle der Methode Cavalierissetzte. Fabri kannte Cavalieris Schriften, kannte sein Verfahren und vera¨nderte es in nichtder Rede werthen Nebenumsta¨nden. Er hat sich damit nur selbst geschadet. Seine Synopsisgeometrica von 1669 geho¨rt zu den wenigst bekannten Schriften der damaligen Zeit und(294)wu¨rde ohne die Erwa¨hnung in dem Satze, von dem wir grade reden, wohl ganz vergessen28adhibet semperque adhibuit.29Quemadmodum et Honoratus Fabrius in sua Synopsi Geometrica motuum progressus CavallerianaeMethodo substituit.30 a Dn. Newtono est utilissime laboratum.94. Kapitel 137sein. Und mit diesem Fabri wird Newton verglichen, wird mit ihm durch den Vergleich aufeine Linie gestellt!Leibniz hat sich spa¨ter ausreden wollen. Er hat behauptet, der andere Ausdruck, des-sen lateinischer Wortlaut gleichfalls in einer Anmerkung mitgetheilt worden ist, schlies-se die Annahme aus, dass Newton als blosser Nachahmer mit leichter Vera¨nderungder gebrauchten Namen und Zeichen habe hingestellt werden wollen. Dem ist nichtso. Wohl heisst es, Newton benutze Fluxionen statt der Differenzen und habe sieimmer benutzt, aber seit wann? Die Besprechung der Quadratura Curvarum nennt alsdas Werk, in welchem Newton von den Fluxionen einen eleganten Gebrauch gemacht ha-be, die Principien und andere spa¨ter herausgegebene Schriften, Die Principien sind abervon 1687, Leibnizens Vero¨ffentlichung der Differenzialrechnung von 1684. Der unbefangeneLeser konnte also einen Gegensatz der beiden Aeusserungen nicht erkennen. Er musstevielmehr in der Vereinigung beider den Sinn finden, welcher, wie wir uns erinnern, in einerbrieflichen Aeusserung von Johann Bernoulli vom August 1696 (S. 253) sich abspiegelte,Newton habe erst nach 1684 und in Folge der aus der Leibnizischen Abhandlung emp-fangenen Anregung seine Fluxionsrechnung erdacht. Wenn Leibniz damals Bernoulli einesBesseren belehrte, so musste er auch jetzt die Leser vor dem gleichen Missversta¨ndnisse be-wahren. Er durfte nicht von den Principien und spa¨ter herausgegebenen Schriften sprechenohne hinzuzufu¨gen, dass er wisse, dass Newton schon 1676 eine Fluxionsrechnung besessenhabe. Die Leibnizischen Worte waren also mindestens unglu¨cklich gewa¨hlt und objectivunrichtig.Schwieriger ist die Beurtheilung der subjectiven Schuld oder Schuldlosigkeit dessen, derdie unglu¨cklichen Worte gebrauchte. Leibniz, sagten wir, habe damals bestritten, dass inseiner Aeusserung ein Vorwurf enthalten gewesen sein solle, enthalten sein ko¨nne. Sollenwir ihm darin Glauben schenken, so fa¨llt noch immer die Schuld der Unu¨berlegtheit auf ihn;aber wir fu¨rchten, wir thun Leibniz mit diesem letzteren Vorwurfe Unrecht, und der Stich,welcher Newton 1705 traf, war von keiner ungeschickten Hand gefu¨hrt worden, Leibnizhatte die Beleidigung von 1699 nicht vergessen, hatte insbesondere nicht vergessen, dassNewton, den er in der Antwort an Fatio von 1700 gradezu als Zeuge aufgerufen hatte, sichkein Wort; entlocken liess und auch, als er 1704 die Quadratura Curvarum: zum Druckegab, nichts u¨ber Leibniz zu sagen fand, als nur eine vom Zaune gebrochene Abweisungder unendlich kleinen Unterschiede, die Leibniz auf sich zu beziehen Grund hatte. Da (295)mag in Leibniz der Gedanke wach geworden sein, Newtons Zunge dadurch zu lo¨sen, dasser ihn fu¨hlen liess, wie weh ein unberechtigter Vorwurf thut. Newton sollte empfinden,was er selbst 1699 hatte empfinden mu¨ssen. So erscheinen uns die Seelenvorga¨nge, auswelchen der Bericht von 1705 hervorging. Wir haben allerdings keinerlei Beweis dafu¨r undmu¨ssen gewa¨rtig sein, dass unsere Leser nicht alle mit uns u¨bereinstimmen, aber mit diesemZugesta¨ndnisse vereinigt du¨rfen wir doch wohl unseren Erkla¨rungsversuch wagen.Was die spa¨tere Aeusserung betrifft, Newton ko¨nne sich nicht beleidigt fu¨hlen, weil an-erkannt sei, dass er immer der Fluxionen sich bedient habe, so ist das eine Ausrede und, wiewir schon gezeigt haben, eine recht schlechte Ausrede. Wir haben ihr nicht mehr Gewichtbeizulegen als den beiden Briefen Leibnizens vom 28. Juni 1713 an Johann Bernoulli31 undan Nicolaus Bernoulli32, in welchen Leibniz leugnet die Besprechung von 1705 verfasst zuhaben.31Leibniz III, 913.32Ebenda III, 986.138 Band 3Ist die Leibnizische Besprechung Newton zu Ha¨nden gekommen? Newton selbst hat esam 22. Ma¨rz und wiederholt am 5. April 1711 in Abrede gestellt33. Heutigen Tages wa¨redie Thatsache so gut wie unmo¨glich. Auch am Anfange des XVIII. Jahrhunderts ist sieauffallend genug, aber ohne unterstu¨tzende Beweismittel sind wir nicht berechtigt, irgendeinem Betheiligten eine absichtliche Unwahrheit zuzutrauen. Von einer unabsichtlichenUnwahrheit kann selbstversta¨ndlich nicht die Rede sein, denn eine verletzende Besprechungu¨berhaupt gelesen zu haben, vergisst kein Schriftsteller, mag ihm auch der genaue Inhalt[G]aus dem Geda¨chtnisse schwinden. Aber wie ko¨nnen wir erkla¨ren, dass die A. E. in Englandweniger gelesen wurden, als z. B. die P. T. in Deutschland? Dazu mo¨gen zwei Umsta¨ndebeigetragen haben. Erstens bildete es damals schon eine lobenswerthe Eigenschaft deutscherGelehrten, mehr als die Gelehrten irgend eines anderen Volkes sich um die im Auslandeerscheinenden wissenschaftlichen Arbeiten zu ku¨mmern, zweitens war zwischen den A.E., als Zeitschrift, und den P. T., als Vero¨ffentlichungen der Royal Society der grosseUnterschied, dass auf erstere abonnirt werden musste, wa¨hrend letztere den ausserhalbEngland lebenden Mitgliedern der Gesellschaft, deren es eine ziemlich grosse Anzahl gab,nach Vollendung eines Bandes zugeschickt wurden.In den ersten Monaten des Jahres 1705 warNewton auch durch politische Aufregungenin Anspruch genommen. Wir haben (S. 66) von den unter Ko¨nigin Anna zu Tage tretenden(296)Parteiverschiebungen gesprochen. Eine solche fa¨llt in das Jahr 170534. Ko¨nigin Anna warden Tories geneigt. Ihr Ministerium bestand aus solchen, wenigstens galt Marlborough, deran der Spitze stand, damals gleich den u¨brigen als Tory. Im Unterhause hatten die Toriesdie unbestrittene Mehrheit. So schien ein Zerwu¨rfniss unmo¨glich. Die kirchlich Unduldsa-men im Unterhause brachten dasselbe zu Stande. Die Fernhaltung aller der bischo¨flichenKirche nicht zugeho¨rigen Perso¨nlichkeiten von o¨ffentlichen Stellen beruhte auf dem Zwan-ge, die Formen eben dieser Kirche auszufu¨hren, ein Zwang, der sich darin a¨usserte, dassder Anzustellende das Abendmahl nach Anglicanischer Form zu nehmen hatte. Katholi-ken konnten sich dazu allerdings niemals verstehen, aber die protestantischen sogenanntenNonconformisten konnten sehr wohl das kleine Opfer bringen, ihre Abendmahlformen nachdenen der herrschenden Kirche umzumodeln, und sie thaten es, so dem Wortlaute desGesetzes gehorchend. Gelegentliche Conformita¨t nannten solches die zu a¨usserst rechts ste-henden Tories, und sie beschlossen einen Sturmlauf dagegen: wer nicht ganz und gar derKirche, d. h. eben der bischo¨flichen Kirche, angeho¨re, sei von den o¨ffentlichen Aemternauszuschliessen. Der Erfolg dieses Gesetzes, wenn es durchging, musste nicht bloss bei derBesetzung jener Stellen selbst, er musste auch fu¨r die Zusammensetzung des Parlamen-tes den Ausschlag geben. Nur in Sta¨dten, wo nonconformistische Magistrate vorhandenwaren, pflegten Whigs gewa¨hlt zu werden. Beseitigte man jene sta¨dtischen Verwaltungen,so konnte man hoffen, ein rein toristisches Parlament zu erhalten. In diesem aber wa¨renmuthmasslich die Weitestgehenden die Fu¨hrer gewesen, und die Minister mussten befu¨rch-ten, von rechts stehenden Gesinnungsgenossen verdra¨ngt zu werden. So kam es, dass dieRegierung den Widerstand des Oberhauses gegen den Gesetzvorschlag unterstu¨tzte, derdadurch nicht Gesetz werden konnte, trotzdem er in zwei auf einander folgenden Jahrenvom Unterhaus angenommen wurde. Marlborough wurde den Hochtories mehr und mehrverhasst, sein Sturz war beschlossene Sache. Ein Ereigniss der a¨usseren Politik rettete ihn.33 Edleston, Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes pag. LXXII lin. 17–20.34Edleston, Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes pag. LXXIV und Ranke, Engli-sche Geschichte VII, 11–13 und 23.94. Kapitel 139Die Schlacht bei Ho¨chsta¨dt am 13. August 1704, in welcher Marlborough vereint mit PrinzEugen die Franzosen aufs Haupt schlug, vernichtete die Pla¨ne seiner heimischen Gegner.Der siegreiche Held war der Liebling der Nation geworden, und der allgemeine Zug riss diegema¨ssigten Tories neben den Whigs in sein Geleite. Unter diesen Verha¨ltnissen vollzogen (297)sich die Parlamentswahlen vom April 1705. Sir Isaac, wie Newton hiess, seitdem er am16. April in den Ritterstand erhoben worden war, war der Candidat der a¨ussersten Parteifu¨r Cambridge. Die Kirche sei in Gefahr, war das Stichwort derselben, und die Verhand-lungen, welche bei der nun folgenden Parlamentssitzung im Oberhause stattfanden, habenklar gestellt, dass eben bei der Cambridger Wahl ein Studentenauflauf stattfand, dass manhundertstimmig schrie: Kein Fanatiker, nichts von gelegentlicher Conformita¨t. So unterlagdamals Newton. Die hier erza¨hlten Parteika¨mpfe geho¨ren insofern zu unserem Gegenstan-de, als auch sie zur Erkla¨rung dafu¨r dienen ko¨nnen, dass Newton jene Besprechung derA. E. von 1705 nicht kennen lernte. Ha¨tte er sie kennen gelernt, er ha¨tte im Augenblickdoch wohl geschwiegen, schweigen mu¨ssen. Der politisch in den Hintergrund Gedra¨ngtewar nicht geeignet, die Sympathie seiner Landsleute fu¨r sich wachzurufen, und die ihmungu¨nstige Volksstimmung ha¨tte ihm die Antwort untersagt.Am 16. August 1705 starb Jakob Bernoulli. Leibniz verlangte35 von Jakob Her-mann, dem dankbaren Schu¨ler des Verstorbenen, dessen Nekrolog, den Hermann am 28.October einschickte36, und der in den A. E. fu¨r Januar 1706 abgedruckt ist. Eine Rand-bemerkung des Heidelberger Exemplars nennt Leibniz als den Verfasser, und das ist eineder Stellen, wo die im Allgemeinen zuverla¨ssigen handschriftlichen Zusa¨tze sich als irrigerweisen. Leibniz war Vermittler, nicht Verfasser des Beitrags, oder doch nur in dem Sin-ne Verfasser, als er sich eine gewisse Vera¨nderung des von Hermann niedergeschriebenenund handschriftlich erhaltenen Wortlautes gestattete. Nicht etwa als ob Leibniz den vonHermann herru¨hrenden Satz, zu Jakob Bernoullis nahen Freunden habe Fatio de Duilliergeho¨rt, ein sehr wu¨rdiges Mitglied der Royal Society37, gestrichen ha¨tte. Ihn liess Leib-niz, wenn vielleicht auch widerwilligen Sinnes, abdrucken. Am Schlusse dagegen ku¨rzteer. Hermann hatte die wichtigsten Aufsa¨tze des Verstorbenen, welche theils in den A. E.,theils im Journal des Sc¸avans dem Drucke u¨bergeben worden waren, einzeln genannt. Erhatte zwischendrein gesagt: Besonders verdient hier der Differentialcalcu¨l erwa¨hnt zu wer-den, welchen er durch eigenes Nachdenken in Gemeinschaft mit seinem beru¨hmten Brudersich so sehr zu eigen machte und vervollkommnete, dass der vortreﬄiche Erfinder dessel-ben, der hochstehende Leibniz38 aus freien Stu¨cken eingestand, der neue Calcu¨l verdiene (298)mit gleichem Rechte der beiden Bernoulli als der seinige genannt zu werden. Hier, wiegesagt, ku¨rzte und a¨nderte Leibniz. Die Herza¨hlung der Abhandlungen nebst der Zwi-schenbemerkung ersetzte er durch folgenden Wortlaut: Seine sehr zahlreichen und scho¨nenErfindungen, welche in den A. E. und anderwa¨rts zu lesen sind, fu¨hren wir nicht einzelnan; wir begnu¨gen uns beizufu¨gen, dass, als die grosse Erfindung unseres Jahrhunderts,die Leibnizische Infinitesimalanalysis39 hervorgetreten war, der Dahingegangeneaus einem leichten vom Erfinder gegebenen Beispiele (dem Beweise der Isochrone) plo¨tz-lich ein neues Licht fu¨r die Anwendung auf physikalisch-mechanische Fragen scho¨pfte40 und35Leibniz IV, 284.36Ebenda IV, 288–292.37Dn. Nicolaum Fatium Duillerium Regiae Londinensis Societatis sodalem dignissimum.38Excell. ejus Inventor, Ampl. Leibnitius.39Analysis infinitesimalis Leibnitiana.40ex facili exemplo ab autore exhibito (demonstratione scilicet Curvae Isochronaee) novam subito lucem140 Band 3auf die Ausbildung jenes analytischen Calcu¨ls, den man Differentialrechnung und seineUmkehrung summatorische oder Integralrechnung nennt, mit grossem Eifer und Erfolgsich legte, ausgezeichnete Aufgaben lo¨ste und nach Recht und Verdienst unter die gro¨sstenFo¨rderer der grossen Erfindung geza¨hlt werden kann. Leibniz widmete dem Geda¨chtnissedes verstorbenen und immer zu betrauernden Freundes folgende Zeilen:Ein unendliches Licht ergla¨nzte Dir schon auf der Erde,Wer wird leugnen, o Freund, dass Du erhalten uns seist?Viel mehr als eine Ku¨rzung und stylistische Aba¨nderung unter Beibehaltung des Sinnes, denHermann in seinen Wortlaut gelegt hatte, war das nicht, aber es war eben doch abermalsvon der grossen Leibnizischen Erfindung die Rede und immer nur von der Leibnizischen.Spa¨t, im Jahre 1710 erst, kam die entgegengesetzte Behauptung im XXVI. Bande derP. T. wieder zum Ausdruck. Der Band enthielt die der Royal Society 1708 vorgelegtenArbeiten, und sein Druck war schon im September und October 1708 im Gange. Es istdas nicht unwichtig, weil es einen Beleg fu¨r die eigenthu¨mliche Thatsache gibt, dass, alszwischen October 1709 und April 1710 das Scholium in der zweiten Ausgabe der Principienim Drucke war, Newton wusste, dass binnen Kurzem eine ihm widersprechende Meinungin den P. T. zur o¨ffentlichen Kenntniss kommen werde.John Keill41 (1671–1721), ein Schotte, eifriger Bewunderer Newtons, seit 1700 Pro-fessor der Physik in Oxford, hatte eine Abhandlung u¨ber die Gesetze der Centripetalkra¨fte,De legibus virium centripetarum, eingereicht, und in ihr war, ohne dass der Gegenstand dieallergeringste Veranlassung dazu geboten ha¨tte, folgender Satz eingeschaltet42 ”Dieses alles(299)folgt aus der heutigen Tages sehr beru¨hmten Fluxionsrechnung. Diese hat, ohne dass einZweifel stattfa¨nde, Herr Newton erfunden, wie bei Jedem feststehen wird, der die von Wal-lis herausgegebenen Briefe liest. Spa¨ter wurde jedoch dieselbe Rechnung von Herrn Leibnizunter Vera¨nderung des Namens und der Bezeichnungsweise in den A. E. vero¨ffentlicht.“Das war, wir wiederholen es, eine etwas spa¨te Autwort auf die Besprechung von 1705, aufdie Aeusserungen im Nekrologe von 1706, aber sie liess an Deutlichkeit nichts zu wu¨nschenu¨brig. Sie beschuldigte Leibniz ohne Weiteres des geistigen Diebstahls unter den erschwe-rendsten Umsta¨nden; Leibniz habe ein fremdes Verfahren unter Vera¨nderung von Namenund Bezeichnung herausgegeben!Leibniz erhielt als Mitglied der Royal Society den vollendeten Band der P. T. durchden Secreta¨r Sloane allerdings recht verspa¨tet im Februar oder Ma¨rz 1711, da er geradein Berlin war, und noch von dort aus schrieb er unter dem 4. Ma¨rz eben an Sloane. Erbedauere, sagte Leibniz in diesem Briefe43 zum zweiten Male mit einer Klage auftreten zumu¨ssen. Vor la¨ngerer Zeit habe Nicolaus Fatio de Duillier sich o¨ffentlich mit Sticheleien anihn gemacht, als ob er eine fremde Erfindung sich angeeignet ha¨tte. Er habe ihn damals inden A. E. eines Besseren belehrt, und die Royal Society habe ihm selbst gegenu¨ber durchihren Secreta¨r, und das sei, so viel er sich erinnere, grade Sloane gewesen, ihre Missbilli-guug ausgesprochen. Auch Newton, der treﬄiche Mann, habe, wie ihm berichtet sei, denhausisse.41Poggendorff, I, 1236. — National Biography XXX, 310—311 (London 1892, edited by Sidney Lee).42P. T. XXVI, 185: Haec omnia sequuntur ex celebratissima nunc dierum fluxionum arithmetica, quamsine omni dubio primus invenit D. Newtonus, ut cui libet ejus epistolas a Wallisio editas legenti facileconstabit, eadem tamen arithmetica postea mutatis nomine et notationis modo a D. Leibnitio in ActisEruditorum edita est.43Commerc. epistol. pag. 171–172.94. Kapitel 141verkehrten Eifer missbilligt44, welchen Einige in dieser Sache fu¨r ihr Volk und fu¨r ihn anden Tag legten. Und jetzt scheine Herr Keill in dem eben erschienenen Bande der P. T. aufS. 185 die ungeschickteste der Anklagen zu erneuern. Wer ko¨nne den Satz: ”Spa¨ter wurde. . . vero¨ffentlicht“ lesen und ihm Glauben schenken, ohne Leibniz in Argwohn zu neh-men, eine fremde Erfindung in der Verkleidung untergeschobener Benennung und Zeichenherumgetragen zu haben? Wie falsch dieses sei, wisse Niemand besser als Newton selbst.Gewiss, fuhr Leibniz fort, ich habe weder den Namen der Fluxionsrechnung aussprechenho¨ren, noch die Zeichen, deren Newton sich bediente, mit Augen gesehen, bevor beides inWallis’ Werken erschien. Dass ich die Sache gleichfalls viele Jahre, bevor ich sie herausgab,besass, beweisen meine durch Wallis vero¨ffentlichten Briefe. Wie kann ich Fremdes, welches (300)ich nicht kannte, vera¨ndert herausgegeben, haben? Leibniz schloss mit der Aeusserung, ersei weit davon entfernt, Keill einen Verleumder zu nennen, aber dessen Anklage sei ver-leumderisch und Keill mu¨sse, das verlange er von der Royal Society, die Anklage o¨ffentlichzuru¨cknehmen.Die Angelegenheit mit Fatio hatte seiner Zeit rasche und leichte Erledigung gefunden(S. 290), aber jetzt waren die Verha¨ltnisse ganz andere als 1699 und 1700. Newton war seitdem 30. November 1703 Pra¨sident der Royal Society (S. 67), in ihr also naturgema¨ss einewesentlich einflussreichere Perso¨nlichkeit als ein ausserhalb England wohnendes Mitglied,und wa¨re es auch Leibniz, und sein Ruhm musste oder durfte doch wenigstens der Ge-sellschaft vor Allem am Herzen liegen. Auch seit 1705 hatte mancherlei sich gea¨ndert. DieFriedenssehnsucht der englischen Nation war der whigistischen den Krieg gegen Frankreichin die La¨nge ziehenden Regierung mu¨de geworden. Ein toristisches Parlament war gewa¨hlt,und seit September 1710 stand der Hochtory Bolingbroke an der Spitze der Reichsgescha¨fte.Newton war also jetzt der Gesinnungsgenosse der leitenden Kreise in Volk und Regierung,Leibniz der Berather jenes hanno¨verschen Prinzen, der den Krieg gegen Frankreich selbstfu¨hren half (S. 66). Diese mehrfachen Aenderungen spiegeln sich deutlich in dem weiterenVerlaufe des Streites.Ein Auszug aus den Sitzungsprotokollen der Royal Society ist vero¨ffentlicht45. Wir las-sen seine Uebersetzung folgen, welche wir nur jeweils zu unterbrechen uns vorbehalten,wo uns Einschaltungen nothwendig erscheinen. Am 22. Ma¨rz 1711 fand eine Sitzung unterNewtons Vorsitze46 statt. Ein Theil des Leibnizischen Briefes wurde verlesen und Sloa-ne beauftragt, eine Antwort zu schreiben. Newton war, bevor der Aufsatz in den A. E.von 1705 ihm gezeigt wurde, a¨rgerlich u¨ber das, was Keill gesagt hatte, aber in der nachVerlauf von vierzehn Tagen folgenden Sitzung vom 5. April lenkte Keill die Aufmerksam-keit auf jenen unbilligen Bericht47 u¨ber die Abhandlung Quadratura Curvarum. Dann gabder Pra¨sident eine kurze Darstellung der Sache mit Beifu¨gung der genauen Zeit, zu wel-cher er seine Erfindung zuerst erwa¨hnte oder enthu¨llte48, und berief sich auf einige durchWallis vero¨ffentlichte Briefe; hierauf wurde Herr Keill ersucht, einen Bericht u¨ber den Ge-genstand des Streites zu verfassen und denselben in ein richtiges Licht zu setzen. Sitzung (301)vom 12. April. Die Verlesung der fru¨heren Aufzeichnungen49 gab Gelegenheit, den in denLeipziger A. E. erwa¨hnten Gegenstand weiter zu besprechen. Der Pra¨sident fu¨hlte sich be-44praeposterum studium improbavit.45Edleston, Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes pag. LXXII.46President in the chair.47unfair account.48with the particular time of his first mentioning or discovering his invention.49the former minutes being read.142 Band 3wogen50 seine vor vielen Jahren an Herrn Collins gerichteten Briefe u¨ber seine Methodeder Curvenbehandlung u. s. w. zu erwa¨hnen, und da Herr Keill anwesend war, wurde dieserabermals ersucht, einen Aufsatz niederzuschreiben und das Recht des Pra¨sidenten in die-ser Angelegenheit zu behaupten. Sitzung vom 24. Mai. Keill’s Erwiderung wurde verlesen.Eine Abschrift soll an Leibniz geschickt werden, und sobald Leibnizens Antwort daraufeingetroffen sein wird, soll Keills Schrift in den P. T. gedruckt werden. In der na¨chsten Sit-zung vom 31. Mai, in welcher Newton nicht gegenwa¨rtig war, verlas Sloane einen Brief anLeibniz, welcher gebilligt wurde. Sloanes Brief ist nie vero¨ffentlicht worden und du¨rfte einziemlich farbloses Begleitschreiben der Keill’schen Erwiderung gewesen sein, sonst ha¨tteman ihn kaum in Newtons Abwesenheit gutgeheissen. Das wichtige Keill’sche Schriftstu¨ckdagegen , ist im Drucke vorhanden51 und fordert unseren Bericht.Ich gebe es zu, heisst es nach kurzen Einleitungssa¨tzen, dass ich gesagt habe, die Flu-xionsrechnung sei von Newton erfunden, dann von Leibniz unter Vera¨nderung des Namensund der Bezeichnungsweise herausgegeben worden. Ich will damit keineswegs gesagt ha-ben, der Name, den Newton seiner Methode beilegte, oder die Bezeichnung, deren er sichbediente, seien Leibniz bekannt gewesen. Ich wollte nur zu verstehen geben, dass Newtonder erste Erfinder der Fluxionsrechnung oder des Differentialcalu¨ls war; dass er in zweiBriefen an Oldenburg, welche durch diesen an Leibniz gelangten, Kennzeichen davon gab,die fu¨r einen Mann von grossem Scharfsinne hinreichten, ihm den Weg zu zeigen52 und dassLeibniz aus ihnen die Grundgedanken jener Rechnung scho¨pfte oder wenigstens scho¨pfenkonnte. Da er aber die Sprech- und Schreibweise, von denen Newton Gebrauch machte,durch blosse Vernunftschlu¨sse nicht ermitteln konnte, so wa¨hlte er die von ihm selbst er-sonnenen. Als Beweggrund zu jenen Aeusserungen wird die Besprechung der QuadraturaCurvarum in den A. E. angegeben, welche ihre Leser zu dem Glauben veranlassen ko¨nne,als habe Newton erst nach 1684 die Fluxionsrechnung erfunden. Wenn die Leipziger ih-rem Leibniz fremdes Eigenthum hinzudichten du¨rfen, so du¨rfen auch die Engla¨nder, ohneder Anschuldigung der Verleumdung zu verfallen, das zuru¨ckfordern, was Newton geraubt(302)wurde. Ich habe also, fa¨hrt Keill wo¨rtlich fort, zu zeigen, dass Newton wahrer und ersterErfinder der Fluxionsrechnung oder des Differentialcalcu¨ls war, ferner, dass er Leibniz soklare und auf den Weg fu¨hrende Kennzeichen seiner Methode gegeben hat, dass es die-sem leicht wurde, auf die gleiche Methode zu verfallen53. Nun folgt eine Schilderung derbeiden Briefe Newtons, welche wir in unserem 90. Kapitel grade mit Ru¨cksicht auf das,was Leibniz aus ihnen lernen konnte, ausfu¨hrlich besprochen haben. Keill kommt allerdingszu der ganz entgegengesetzten Schlussfolgerung, zu welcher wir damals gelangten, denn erbehauptet kurzweg54: Aus diesen Kennzeichen, unterstu¨tzt durch diese Beispiele, ha¨tte eingewo¨hnlicher Geist Newtons Verfahren bis ins Innerste erkennen mu¨ssen, und man kannnicht entfernt glauben, dass es dem Scharfsinne eines Leibniz verborgen geblieben seinko¨nne. Das freilich sei Leibniz in vollstem Maasse zuzugeben, dass er weder den NamenFluxionsrechnung geho¨rt, noch die von Newton benutzte Bezeichnung gesehen habe, bevor50was pleased.51 Commerc. epistol. pag. 172–180. Im Original sind die auftretenden Personen meistens Dominus New-tonus, Dominus Leibnitius genannt. Lediglich zur Abku¨rzung lassen wir das Wort Herr weg.52indicia dedisse perspicacissimi ingenii viro satis obvia.53deinde ipsum adeo clara et obvia Methodi suae indicia Leibnitio dedisse, ut inde ipsi facile fuerit ineandem Methodum incidere.54His indiciis atque his adjectis exemplis Ingenium vulgare Methodum Newtonianum penitus discerneret;ita ut ne suspicari fas sit, eum acerrimi Leibnitii acumen passe latuisse.94. Kapitel 143sie in Wallis’ Werken erschienen, denn Newton selbst habe mit Namen und Bezeichnunggewechselt. In der Analysis per aequationes — welche eben erst durch William Jonesim Drucke herausgegeben war — seien beide verschieden von den in den Principien55.Endlich sei man Leibniz neben anderen hohen Verdiensten, welche er um die Mathematiksich erwarb56, auch dafu¨r verpflichtet, dass er der Erste war, der diesen Calcu¨l im Druckeherausgab und der Oeffentlichkeit u¨berlieferte.Das also war es, was vom 5. April bis zum 24. Mai, in vollen sieben Wochen, durchKeill zusammengebracht worden war! Du¨rfen wir wirklich sagen durch Keill? Newtonwar sicherlich in gleichem Maasse wie Keill bei der Arbeit betheiligt, das beweisen dieoben angefu¨hrten Protokollbemerkungen vom 5. und 12. April.Nun aber eine Frage, welche hier aufgeworfen werden muss: glaubten Newton undKeill selbst an die durch sie erhobene Anklage? Wir meinen diese Frage bejahen zudu¨rfen, und zwar mit Ru¨cksicht auf das in dem Abdrucke des LeibnizischenBriefes bei Wallis fehlende Wort hodie (S. 287). Oldenburg hatte Newton’s Brief (303)vom 24. October 1676 bis zum 2. Mai 1677 in seiner Verwahrung gehabt. Ein vollesHalbjahr war daru¨ber weggegangen, bis der Brief Befo¨rderung fand. Nun wusste Newtonallerdings von einer Verspa¨tung von vier und ein halb Monaten, denn am 5. Ma¨rz 1677hat Collins ihm geschrieben57, dass der Brief damals noch nicht abgegangen war, dassaber in den na¨chsten acht Tagen Jemand ihn nach Hannover mitnehmen wu¨rde. Newtonwar also, wenn ihm keine weitere Mittheilung zugegangen ist — und wir wissen wenigstensvon keiner weiteren — berechtigt anzunehmen, sein Brief sei etwa am 10. Ma¨rz durchOldenburg abgeschickt worden. Nun kam Leibnizens vom 21. Juni datirte Antwort.Musste dieses Datum unter Anrechnung der ho¨chstmo¨glichen Reisezeit des Briefes nichtden Verdacht erwecken, Leibniz habe sich etwa zwei Monate Frist gegeben, den Briefzu beantworten? Je ho¨her die Meinung von Leibnizens mathematischem Ko¨nnen in derZeit von 1684 bis 1708 gestiegen war, um so eher konnte man jetzt argwo¨hnen, Leibnizhabe aus dem fu¨r jeden anderen Leser unentzifferbar ra¨thselhaften zweiten NewtonschenBriefe so viel Anregung gewonnen, dass er in jenen zwei Monaten den Differentialcalcu¨lnacherfand. Das Wort hodie wu¨rde den Verdacht im ersten Augenblick niedergeschlagenhaben, aber vielleicht hatte wirklich Leibniz, wie wir als mo¨glich annahmen, das Wortbeim Abschreiben vernichtet! So konnte Newton Verdacht hegen, um wie viel mehr Keill,der Newtons Brief und Leibnizens Antwort aus dem Abdrucke bei Wallis citirte. Das Worthodie fehlte. Dass Newton’s Brief am 5. Ma¨rz 1677 noch in London war, stand bei Wallis [H]allerdings auch zu lesen58. Nehmen wir aber an, dass Keill, was nicht zu den Unmo¨glich-keiten geho¨rt, beim Studium der Priorita¨tsfrage einen Brief von Collins u¨berschlagen zudu¨rfen glaubte, wenn er nur die zwischen Newton und Leibniz gewechselten Briefe las, sokann er zur Meinung gekommen sein, Leibniz habe mehr als sechs Monate verstreichenlassen, bis er mit seiner Antwort herausru¨ckte, er habe wirklich die Differentialrechnungnur nacherfunden, und Keills Zornesaufwallung war dann, wenn auch nicht gut begru¨ndet,doch jedenfalls guten Glaubens. Wunderbar genug, dass, so viel wir wissen, noch keinSchriftsteller, sei es zur Zeit des Streites, sei es spa¨ter, auf das fehlende Wort und seineBedeutung hingewiesen hat5955Keill ha¨tte noch hinzufu¨gen ko¨nnen, dass sie in der Quadratura Curvarum abermals andere waren.56inter caetera quae de re Mathematica praeclare meritus est Leibnitius.57Commerc. Epistol. pag. 146.58Wallis, Opera III, 647.59H. Sloman, Leibnizens Anspru¨che auf die Erfindung der Differenzialrechnung. Leipzig 1857. S. 51 in144 Band 3Der Brief Keills und das Begleitschreiben Sloanes gingen nach dem 31. Mai 1711 an(304)Leibniz ab. Wann sie in seine Ha¨nde kamen, wissen wir nicht, aber der ganze Sommer1711 war fu¨r Leibniz eine von den mannigfachsten Gescha¨ften erfu¨llte Zeit60. Da kam einBriefwechsel u¨ber die hanno¨vrisch-englische Thronfolge in Verbindung mit dem Plane, dieanglikanische Kirchenverfassung und Liturgie in Preussen und Hannover einzufu¨hren, einPlan, der, wenn er gelang, die Tories vielleicht wieder fu¨r die hanno¨vrische Linie gewonnenhaben wu¨rde, der aber bald wieder einschlief. Da wurden mit Des Maizeaux, dem Her-ausgeber des Bayle’schen Dictionnaire, Briefe u¨ber die praestabilirte Harmonie gewechselt.Da erhielt Leibniz im September einen Mitarbeiter an dem grossen Geschichtswerke derAnnalen des Welfischen Hauses, welcher neben der Aufgabe der Beihilfe auch die hatte,Leibnizens eigenen Fleiss zu u¨berwachen. Da musste Leibniz im October den Herzog Ulrichvon Braunschweig nach Torgau begleiten, wo die Verma¨hlungsfeier von dessen Tochter mitdem russischen Prinzen Alexei, dem Sohne Peter des Grossen, stattfand, eine Reise, welchedadurch fu¨r die Wissenschaft fruchtbar wurde, dass der Zar gelegentlich einer UnterredungLeibniz versprach, im russischen Reiche Magnetnadelbeobachtungen anstellen zu lassen. Inderselben Unterredung hatte aber Peter der Grosse eine Rechenmaschine verlangt, derenAnfertigung Leibniz besorgen sollte, und welche ihn in einen weitla¨ufigen Briefwechsel ver-wickelte. Man begreift es, wie bei solcher vielgespalteten Tha¨tigkeit das Jahr seinem Endesich na¨hern konnte, bevor Leibniz die englischen Briefe, welche ohnedies sein Schreibenvom 4. Ma¨rz erst am 31. Mai beantwortet hatten, erledigte. Er schrieb am 29. Decemberfolgenden Brief an Hans Sloane:Was Herr Johannes Keill Ihnen ju¨ngst schrieb, greift meine Unbescholtenheit noch of-fener als fru¨her an. Dass ich diese in meinem Alter61, nach den Proben meines Lebens,durch eine Verteidigungsschrift rechtfertigen und mit einem gelehrten, aber immerhin alsNeuling zu betrachtenden Manne, der die fru¨heren Ereignisse wenig kennt und ohne Auf-trag dessen ist, den die Sache angeht, wie vor einem Gerichtshofe streiten soll, wird mitEinsicht und Billigkeit Niemand gutheissen. Seinen Argwohn bezu¨glich der Art, wie ich dieSache kennen lernte, zu widerlegen, um ihn zu belehren, dazu ist er ein zu wenig geu¨bterSchiedsmann in der Kunst des Erfindens, aber meine Freunde wissen, dass ich einen ganzanderen und anderswohin gerichteten Weg einschlug. Vergebens beruft er sich auf die A.E., um seine Worte zu entschuldigen. Ich finde nicht, dass dort irgend wem irgend etwas(305)entzogen wird, vielmehr ist an verschiedenen Stellen Jedem das Seine zugewiesen62. Auchich und Freunde von mir haben verschiedentlich gezeigt, dass wir ganz gern glauben, dassder beru¨hmte Urheber der Fluxionen von sich aus zu den unsrigen a¨hnlichen Grundla-gen gekommen sei; aber ich habe nicht weniger Anrecht auf das Erfinderthum, wie auchHuygens, der einsichtsvollste und unbestechlichste Richter, o¨ffentlich anerkannte: ich habesogar nicht geeilt mein Recht zu beanspruchen, ich habe meine Erfindung mehr als nurneun Jahre verborgen gehalten, nur damit Niemand sich beklagen ko¨nne, ich habe ihmden Rang abgelaufen. Ich u¨berlasse es Ihrer Billigkeit, ob dem leeren und ungerechten Ge-schrei nicht Schranken zu setzen sind, von welchem ich vermuthe, dass es bei Newton, demhervorragenden Manne und besten Kenner der Thatsachen, Missbilligung findet. Ich binu¨berzeugt, er wird gern ein Zeichen dieser seiner Meinung von sich geben.der Fussnote hat das Fehlen von hodie in dem a¨lteren Abdrucke bemerkt, aber nicht hinreichend gewu¨rdigt.60Allgemeine Deutsche Biographie XVIII, 202.61Leibniz war damals 651/2, Newton 69, Keill 40 Jahre alt.62in illis enim circa hanc rem quicquam cuiquam detractum non reperio, sed potius passim suum cuiquetributum.94. Kapitel 145Auch in diesem Briefe kommt ein Satz vor, der besser ungeschrieben geblieben wa¨re.Es ist die von uns in der Anmerkung im lateinischen Wortlaut wiedergegebene Behaup-tung, in den A. E. sei Jedem das Seine zugewiesen. Der unmittelbar anschliessende Satzvon Newtons Selbsta¨ndigkeit nimmt der Aeusserung zwar den verletzenden Stachel, denman hat hineindeuten wollen, aber immerhin war es ungerechtfertigtes Festhalten an einerstylistischen Wendung, welche wir schon oben (S. 294) tadeln mussten.Die letzten Worte des Briefes forderten abermals Newton in unzweideutigster Weiseauf, das Wort zn ergreifen, und Sloane scheint die Aufforderung nicht fu¨r unangemessengehalten zu haben. Der Protokollauszug fa¨hrt na¨mlich fort: 31. Januar 1712. LeibnizensAntwort vom 29. December 1711 wurde verlesen und Newton u¨bergeben. Wozu das Letz-tere, wenn die Meinung nicht war, er solle nun seinerseits das Wort ergreifen? Aber daspasste ihm nicht. Unter dem 7. Februar heisst es: Da der Pra¨sident nicht kam, wurdeu¨ber Leibnizens Brief an Doctor Sloane nicht berichtet. Daran schliesst sich unmittelbarder Eintrag vom 6. Ma¨rz: In Folge des Leibnizischen Briefes wurde ein Ausschuss aus denHerren Arbuthnot, Hill, Halley, Jones, Machin und Burnet gebildet, um die Briefe undPapiere, welche auf den Streit sich bezogen, in Augenschein zu nehmen und einen Berichtfu¨r die Gesellschaft anzufertigen. Am 20. Ma¨rz wurde der Ausschuss durch Francis Robar-tes, am 27. Ma¨rz durch Bonet, den preussischen Minister, am 17. April durch De Moivre, (306)Aston und Brook Taylor neu versta¨rkt. Am 24. April wurde der Bericht des Ausschussesverlesen.146 Band 3Kleine Bemerkungen zum Kapitel 94[A] Herr Cantor, la¨ßt den Priorita¨tsstreit in betreff der Entdeckung der Infinitesimal-rechnung mit dem Erscheinen der Lineae brevisimi descensus investigatio (1699)von Fatio de Duillier beginnen. Anderseits betrachtet Montucla (Histoire desmathe´matiques. Nouv. e´d. 3, Paris 1802, S. 102) die kurze Polemik zwischen Fatiode Duillier und Leibniz nur als ein Vorpostengefecht vor dem eigentlichen Strei-te, der 1705 begann, und diese Auffassung scheint mir entschieden vorzuziehen zusein. Wa¨hrend Montucla dem Gefechte weniger als eine halbe Druckseite widmet,nimmt der Cantorsche Bericht mehr als sechs Druckseiten (S. 285–286, 287–292) inAnspruch, und das ist meines Erachtens zu viel.BM 13, 350 G. Enestro¨m.[B] Der Ausspruch (Z. 7–9 v. u.): ”Jetzt, wo es uns obliegt, die Geschichte des Streites[zwischen Newton und Leibniz] selbst eingehend zu erza¨hlen“ ist meines Erachtensnicht gut redigiert. Wenn ein Verfasser sich vornimmt, eine Geschichte der Mathema-tik des 18. Jahrhunderts zu bearbeiten, ist er natu¨rlich innerhalb gewisser Grenzenberechtigt, selbst zu entscheiden, wie ausfu¨hrlich ein einzelner Gegenstand, der dabeiin Betracht kommen kann, behandelt werden soll, aber anderseits ist klar, daß dieAusfu¨hrlichkeit bis zu einem gewissen Grade von der Bedeutung des Gegenstandesabha¨ngig sein soll. Will man zum Beispiel der Geschichte der Periode 1700–1726 et-wa 3000 Druckseiten widmen, so ko¨nnte man mo¨glicherweise veranlaßt werden, dieGeschichte des Priorita¨tsstreites etwa so ausfu¨hrlich wie Herr Cantor zu behandeln,aber meiner Ansicht nach gar nicht, wenn man nur 230 Druckseiten fu¨r die ganze Ge-schichte der fraglichen Periode anweist. U¨brigens erlaube ich mir hervorzuheben, daßes u¨berhaupt keine ”Obliegenheit“ des Verfassers einer Geschichte der Mathematikdes 18. Jahrhunderts ist, den Priorita¨tsstreit zu behandeln, da der Streit wesentlichnur biographisches Interesse darbietet. Dagegen gebe ich gern zu, daß eine Monogra-phie u¨ber diesen Gegenstand ebenso sehr angebracht sein kann, wie Monographienu¨ber andere spezielle Fragen, die mit der Geschichte der Mathematik in Beziehungstehen.BM 11, 258 G. Enestro¨m.[C] Die Behauptung (Z. 17): ”was ohne dessen [d. h. Newtons] Einwilligung kaum denk-bar ist“ sollte gestrichen werden. Erstens widerlegt Herr Cantor selbst einige Zeilenweiter unten die Behauptung, indem er auf gewisse Papiere hinweist, die Fatio auchohne Newtons Wissen [gesperrt von Herrn Cantor, selbst!] . . . gesehen habenko¨nnte“. Zweitens ist die Behauptung in diesem Zusammenhang irreleitend, denn diePapiere, die Fatio andeutet, hatte er ganz gewiß schon 1691 gesehen (siehe die schon1833 von Uylenbroek vero¨ffentlichten Briefe von Fatio an Huygens vom 28. De-zember 1691 und 5.15. Februar 1692; Oeuvres completes de Chr. Huygens 10, LaHaye 1905, S. 214, 257–258), aber aus der Behauptung des Herrn Cantor. bekommtder Leser den Eindruck, daß Newton 1699 gewisse Aktenstu¨cke zur Verfu¨gung ge-stellt hatte, um fu¨r die Streitschrift Fatios benutzt zu werden.Der Absatz (Z. 18–27): ”Was fu¨r Papiere . . . gesehen haben“ sollte ebenfalls gestri-chen oder modifiziert werden. Fatio war seit 1688 Mitglied der ”Royal society“, under konnte darum ohne Schwierigkeit die Papiere einsehen, die 1699 im Besitze derGesellschaft waren und spa¨ter im Commercium epistolicum vero¨ffentlicht wurden.94. Kapitel 147Jedenfalls sollten Z. 26–27 die Worte ”in der Druckerei“ gestrichen oder vera¨ndertwerden, denn der 3. Band der Opera mathematica von Wallis wurde nicht in Lon-don, sondern in Oxford gedruckt.BM 10, 76 G. Enestro¨m.[D] Der Passus (Z. 35–38):der vielleicht in dem Sinne zu verstehen ist, als vermuthe Wallis, Fatiohabe nur als Sprachrohr eines Drittens gedient, dessen Name alsdann leichteinzusetzen ist,sollte meines Erachtens gestrichen und also die vorhergehenden Worte ”mo¨gen sievon Fatio oder von einem anderen geschrieben sein“ nicht gesperrt werden. Wermit der Schreibweise des Wallis ein wenig vertraut ist, weiß, wie vorsichtig diesersich in der Regel ausdru¨ckte, und man hat darum keinen Grund anzunehmen, daß inden Worten ”sive ab ipso sive ab alio scriptum“ ein besonderer Sinn zu suchen ist.BM 13, 350 G. Enestro¨m.[E] Herr Cantor fragt (Z. 3–5).Wie konnte Wallis eine solche schlichte, in den ho¨flichsten Formen auf-tretende Erwiderung mit perso¨nlichen Verda¨chtigungen auf gleiche Liniestellen?,aber die Fragestellung selbst ist meiner Ansicht nach unrichtig. Daß die fraglichenAusstellungen gegen David Gregory ho¨flich abgefaßt sind, gebe ich gern zu, aberdagegen ist es meines Erachtens kaum richtig, die Bemerkungen Fatios gegen Leib-niz schlechtweg als ”perso¨nliche Verda¨chtigungen“ zu bezeichnen. Herr Cantor hatselbst S. 286 die Worte Fatios abgedruckt und u¨ber Leibniz sagt dieser ”a quo[Newtono] utrum quicquam mutuatus sit Leibnitius secundus ejus inventor ma-lo eorum quam meum sit judicium quibus visae fuerint Newtoni litterae aliiqueejusdem manuscripti codices“; Fatio deutet also in ho¨flicher Form an, daß Leib-niz mo¨glicherweise bei dem weiteren Ausbau der Differentialrechnung zum Teil vonden Entdeckungen Newtons beeinflußt worden ist, und diese Mo¨glichkeit wird nochvon einem so gewissenhaften und auf diesem speziellen Gebiete sachkundigen Ver-fasser wie Zeuthen (Sur le fondement mathe´matique de l’invention du calcul infi-nite´simal; Bullet, de l’acad. d. sc. de Danemark 1895, S. 232–233) verteidigt.Ferner spricht Fatio von ”prona Leibnitii sedulitas, inventionem hujus calculi sibipassim tribuentis“, und diese Worte sind vielleicht nicht ganz ho¨flich, aber meinerAnsicht nach zutreffend; ”Verda¨chtigungen“ ko¨nten sie jedenfalls kaum genannt wer-den.BM 13, 350–351 G. Enestro¨m.[F] Der Passus (Z. 12–15): ”Den Engla¨nder ho¨ren wir auch aus einem anderen Satze desBriefesWallis’ vom 29. August: Fatio sei kein Engla¨nder, sondern ein Deutscher ausder Schweiz, der allerdings eine gewisse Zeit in England verweilte, aber gegenwa¨rtigwieder fort sei“ sollte entweder gestrichen oder erga¨nzt werden. Herr Cantor hatfru¨her in demselben Absa¨tze von dem u¨bertriebenen englischen Nationalita¨tsgefu¨hl148 Band 3Wallis’ sowie von ha¨ßlichen Folgen einer an sich lobenswerten Geistesrichtung ge-sprochen, und wenn der Leser die Worte: ”den Engla¨nder ho¨ren wir auch“ mit dieserBemerkung zusammenstellt, wird er versucht, den Ausspruch von Wallis, Fatio seikein Engla¨nder, falsch zu deuten. Was Wallis selbst damit meint, ist aus den nach-folgenden Worten: ”Nolim ego te a quoquam laesum, praesertim non ab Anglis“ersichtlich, und sein Ausspruch muß darum als ein lobenswerter Ausdruck seinesNationalita¨tsgefu¨hls betrachtet werden.BM 11, 258 G. Enestro¨m.[G] Die Worte (Z. 24–26): ”denn eine verletzende Besprechung u¨berhaupt gelesen zu ha-ben, vergißt kein Schriftsteller, mag ihm auch der genaue Inhalt aus dem Geda¨chtnis-se schwinden“ sollten meines Erachtens gestrichen werden. Daß die Behauptung desHerrn Cantor fu¨r einen sehr eitlen oder sehr empfindlichen Schriftsteller passenkann, will ich nicht in Abrede stellen, aber als allgemeiner Satz ist die Behauptungganz gewiß falsch. Was besonders Newton betrifft, habe ich nicht bei meinem Stu-dium seiner Briefe finden ko¨nnen, daß er empfindlich war; eitel war er vielleicht, abersehr eitel mo¨chte ich ihn dennoch nicht nennen.BM 11, 258–259 G. Enestro¨m.[H] Hier wird auf die Seite 155 in BM 2, S. 155 verwiesen. Dort finden sich aber keineKleinen Bemerkungen, sondern die Rezension zur 3. Abteilung des 3. Bandes derVorlesungen. Hier setzt sich Enestro¨m ausgiebig mit dem fehlenden Wort ”hodie“auseinander.1BM 2, 155 [G. Enestro¨m]1Vgl. Anhang C G. Do¨rflinger95. Kapitel 149(306)95. Kapitel. Der Priorita¨tsstreit seit April 1712.Es ist vor allen Dingen nothwendig, die Perso¨nlichkeiten des Ausschusses einer kleinenPru¨fung zu unterwerfen, da das Gewicht eines Gutachtens nicht zum geringsten Theildavon abha¨ngt, wer es erstattet hat.John Arbuthnot1 (1667 – 1735) war Schotte, Arzt der Ko¨nigin Anna. Als wissen-schaftliches Verdienst wird ihm ein Aufsatz von 1710 u¨ber die Ueberzahl ma¨nnlicher Ge-burten verglichen mit den weiblichen nachgeru¨hmt.Abraham Hill2 (1635 – 1721) war der ehemalige Schatzmeister der Royal Society.Eduard Halley war der beru¨hmte Astronom und Mathematiker, der uns wiederholtbegegnet ist, und dessen Arbeiten mehrfach (S. 84 bis 86 und S. 119–120) an die vonNewton anknu¨pften.William Jones3 (1675 – 1749) war erst Kaufmann, dann Lehrer der Mathematikund als solcher Verfasser einer Einleitung in die Mathematik unter dem Titel Synopsispalmariorum Matheseos (1706). In diesem Werke ist auf S. 243, 263flgg. vermuthlich zumersten Male der griechische Buchstabe pi benutzt4, um die Verha¨ltnisszahl 3,1415. . . desKreisumfangs zum Kreisdurchmesser kurz zu bezeichnen; William Jones hatte auch soeben1711 Newton’s Analysis per aequationes zum Druck befo¨rdert.John Machin5 († 1751) war Professor der Astronomie am Gresham College in London. [A]Von seiner Berechnung der Zahl pi mittelst des Unterschiedes zweier Reihen wird im 97.Kapitel die Rede sein. Hier bemerken wir nur, dass sie erstmalig 1706 in der vorgenanntenSynopsis von Jones ohne Erla¨uterung, wie sie gefunden worden sei, vero¨ffentlicht wurde.Jedenfalls mu¨ssen also perso¨nliche Beziehungen zwischen Machin und Jones vorhandengewesen sein. (307)William Burnet6 (1688 – 1729) geho¨rte einer schottischen Familie an. Der Vater,Gilbert Burnet, war Bischof von Salisbury. William war Schu¨ler von Craig. Wenn seineErnennung in den akademischen Ausschuss schon im Alter von 24 Jahren erfolgte, so fordertdoch die Gerechtigkeit zu sagen, dass er damals der Royal Society bereits seit 4 Jahren, seit1708 angeho¨rte. Man muss also in England eine grosse Meinung von ihm gehabt haben.Damit stimmt u¨berein, dass er mit Johann Bernoulli in Briefwechsel stand. WirklicheLeistungen Burnet’s sind nicht bekannt.Das waren die zuerst ernannten Ausschussmitglieder. Sehen wir zu, aus welchenPerso¨nlichkeiten die Versta¨rkung bestand.Francis Robartes wird in einer im Jahre 1711 ihm von De Moivre gewidmetenAbhandlung7 als mathematicarum scientiarum fautor summus angeredet, aber ein Go¨nnerder mathematischen Wissenschaften ist noch kein Mathematiker.1National Biography II, 62–65 (London 1885, edited by Leslie Stephen).2Ebenda XXVI, 389–390 (London 1891, edited by Leslie Stephen and Sidney Lee).3Ebenda XXX, 172–173 (London 1892, edited by Sidney Lee).4W. W. Rouse Ball in Enestro¨ms Bibliotheca mathematica 1894 pag. 106.5Klu¨gel, Mathematisches Wo¨rterbuch I, 657. — Poggendorff II, 5.6National Biography VII (London 1886, edited by Leslie Stephen). — De Morgan, im PhilosophicalMagazine, 4. Ser., IV, 325 Nota (1852). — G. Enestro¨m, Sur un point de la querelle au sujet de l’inventiondu calcul infinite´simal in der Bibliotheca mathematica 1898, S. 50–52.7P. T. XXVII, 213.150 Band 3Bonet wird im Protokolle als preussischer Minister bezeichnet. Es ist uns nicht gelun-gen, in irgend einem Sammelwerke u¨ber seine Perso¨nlichkeit die geringste Aufkla¨rung zufinden, was nicht gerade fu¨r eine hohe Bedeutung des Mannes spricht. Daneben darf wohldarauf aufmerksam gemacht werden, dass Leibniz seit der Neueinrichtung und gewisser-massen zweiten Gru¨ndung der Berliner Akademie alles eher als eine am preussischen Hofebeliebte Perso¨nlichkeit war.Abraham de Moivre war jener in jungen Jahren aus Frankreich eingewanderte Ma-thematiker (S. 86–88), welchen man fast als einen Schu¨ler Newtons bezeichnen darf.Aston8 war Secreta¨r der Royal Society und wurde am 30. November 1685 neuerdingsdazu erwa¨hlt, erkla¨rte aber am 9. Dezember plo¨tzlich und in leidenschaftlicher Weise, erlege das Amt nieder. Am 30. November 1699 wurde er gleichzeitig mit Flamsteed undNewton in den gescha¨ftsleitenden Ausschuss der Royal Society gewa¨hlt. Im Jahre 1715vermachte er der Gesellschaft Land, Bu¨cher und Geld im Gesammtbetrage von 445 PfundSterling. Dass Aston etwas Wissenschaftliches geleistet ha¨tte, wird nicht erza¨hlt.(308)Brook Taylor endlich wird uns im 97. und im 100. Kapitel als ganz hervorragendermathematischer Schriftsteller bekannt werden.De Moivre und Taylor wird man als zur Ausschmu¨ckung in den Ausschuss gewa¨hltbetrachten mu¨ssen, denn da acht Tage nach ihrer Zuziehung der Bericht des Ausschussesschon verlesen wurde, ko¨nnen sie unmo¨glich starken Antheil an den zur Herstellung des-selben no¨thigen Arbeiten genommen haben. Ausser ihnen waren nur Halley, Machinund allenfalls Jones, vielleicht auch Burnet, in der Lage, u¨ber den Infinitesimalcalcu¨lin irgend einer Beziehung mitreden zu ko¨nnen, Jones namentlich in seiner Eigenschaft alserster Besitzer der von Collins seiner Zeit hinterlassenen Papiere9. Arbuthnot, Hill,Robartes, Bonet, Aston, also etwa die Ha¨lfte der Ausschussmitglieder, mussten nachLage der Dinge ihr Urtheil u¨ber von ihnen nicht Verstandenes abgeben.Der in englischer Sprache abgefasste Bericht schloss mit den Worten10: Aus diesenGru¨nden erachten wir Herrn Newton als den ersten Erfinder, und wir sind der Meinung,dass Herr Keill, indem er das Gleiche behauptete, keineswegs Herrn Leibniz gekra¨nkt hat.Wir unterbreiten dem Urtheile der Gesellschaft, ob die Auszu¨ge aus Briefen und Aufsa¨tzen,welche wir ihr jetzt vorlegen, zusammen mit den Dingen a¨hnlichen Inhaltes im III. Bandevon Wallis’ Werken nicht eine Vero¨ffentlichung verdienen.Darauf entschied sich die Gesellschaft11, dahin, den Druck der Papiere und des Sit-zungsbeschlusses vollziehen zu lassen, sowie auch solcher Schriftstu¨cke, welche in den ActaEruditorum sich vorfinden und geeignet erscheinen, Licht u¨ber die Angelegenheit zu ver-breiten. Nachdem die Gesellschaft den Druck der Papiere zum Beschlusse erhoben hatte,hat sie auch am 29. Januar 1713, wie ein weiterer Protokollauszug mittheilt, durch Stim-8Ch. Rich. Weld, History of the Royal Society with memoirs of the Presidents (London 1848) I, 302–303 und I, 438. — Edleston, Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes pag. XXXVI undLXIX Note 136.9De Morgan in dem Philosophical Magazine Ser. 4, Vol, IV (July–December 1852) pag. 322 Note *.10For which Reasons we reckon Mr. Newton the first Inventor; and are of Opinion, that Mr. Keill, inasserting the same, has been no ways injurious to Mr. Leibnitz. And we submit to the Judgment of theSociety, whether the Extract of Letters and Papers now presented to you, together with what is extant to thesame purpose in Dr. Wallis’ III Volume may not deserve to be made Publick[sic!] (Commerc. Epistol. pag.184).11Societas Regia collectionem Epistolarum et MSS torum et Sententiam Consensus imprimi jussit; ut etquicquid amplius ad hanc Historiam elucidendam idoneum in Actis Eruditorum ocurreret.95. Kapitel 151menmehrheit die Druckkosten u¨bernommen12, welche am 11. Juni mit 221/8 Pfund Sterlingausbezahlt wurden. Sie hat dagegen u¨ber den Satz, dass Newton erster Erfinder sei undKeill folglich sich gegen Leibniz nicht vergangen habe, weder bejahend noch verneinend (309)eine Entscheidung getroffen. Noch war also das Commercium Epistolicum, wie man dasBa¨ndchen zu nennen pflegt, welches unter Leitung von Halley, Jones und Machin gedrucktwurde, und dessen ersten Abzu¨ge am 8. Januar 1713 als fertiggestellt vorgelegt werdenkonnten, kein Urtheil. Es war nur eine Anklageschrift, wie man sie von den Mitgliedern desUntersuchungsausschusses erwarten konnte, vielleicht erwarten musste. Pflicht der RoyalSociety wa¨re es nun nach unserer Rechtsanschauung gewesen, den allerersten Abzug desCommercium Epistolicum sofort an Leibniz zu schicken und ihn aufzufordern, der Anklagezu begegnen. So handelte die Gesellschaft aber leider nicht.Exemplare wurden an Gelehrte in den verschiedensten La¨ndern verschickt. Fu¨r Frank-reich war ein Abbe´ Bignon in Paris, wie Johann Bernoulli am 7. Juni 1713 berichtete13,fu¨r Deutschland ein Arzt Abraham Vater der ju¨ngere in Wittenberg, wie ChristianWolf am 1. Juli 1713 schrieb14, Mittelperson der Versendung. In Frankreich, Italien, Hol-land, Deutschland, schrieb Wolf an Leibniz in einem weiteren Briefe15 vom 6. Februar 1714,werden Exemplare mit der Aufschrift als Geschenk der Royal Society vertheilt. Wer derGesellschaft irgend bekannt war, dessen Name wurde auf eines der Bu¨cher geschrieben.In Frankreich sind unter die einzeln genannten Mitglieder der Acade´mie des Sciences Ex-emplare als Geschenk der Royal Society vertheilt worden, und ich selbst erhielt eines, aufwelchem mein Name steht. Ich habe auch ein Euer Hochwohlgeboren zu u¨bergebendes Ex-emplar, welches ich von Herrn Vater erhielt, dem der Auftrag geworden ist, den deutschenMathematikern die Bu¨chelchen auszutheilen.Und mit dieser Art der Verbreitung begnu¨gte man sich nicht. Der oft von uns benutzteProtokollauszug beweist, dass am 17. Juni 1714, ein Datum, auf welches wir zuru¨ckkom-men werden, 25 Exemplare von Gesellschafts wegen einem holla¨ndischen Buchha¨ndler zu3 Shilling das Stu¨ck u¨berlassen wurden, und in der Sitzung, deren Aufzeichnung wir diesesentnehmen, fu¨hrte Newton den Vorsitz.Aber wir mu¨ssen den Inhalt des Commercium Epistolicum genauer schildern, nachdemvon seiner Verbreitungsweise die Rede war. Eine Anklageschrift haben wir das kleine Buchweiter oben genannt, und wir ko¨nnen hinzufu¨gen, es war eine Anklageschrift so fein, soschlau, so giftig, wie wohl kaum je eine zweite abgefasst wurde. Es kam darauf an, New-tons Verdienste in gla¨nzendstes Licht zu setzen. Es kam aber auch darauf an, Leibniz des (310)geistigen Diebstahls zu beschuldigen, und zu diesem Zwecke musste Dieser als Gewohn-heitsdieb erscheinen.Das Commercium Epistolicum beginnt mit Briefen Barrows, welche sich auf die Ana-lysis per aequationes beziehen, und an welche diese Abhandlung sich anschliesst, wiewohlsie 1711 schon durch Jones im Drucke herausgegeben war. Dann kommen Briefe, welche1671 und 1672 zwischen Collins und James Gregory gewechselt worden waren, und inwelchen von den Reihen die Rede ist, welche Newton in der Analysis per aequationes angab(S. 73–74), sowie von Gregorys Arcustangensreihe (S. 75). Der erste Leibnizische Brief,welcher abgedruckt ist, ist der am 3. Februar 1673 an Oldenburg gerichtete, den Leibniz12Jan. 29: It was ordered by balloting that the Treasurer pay the charges of printing the CommerciumEpistolicum.13Leibniz III, 909.14Ebenda, Supplementband zum mathematischen Briefwechsel 151.15Ebenda 157.152 Band 3(S. 76) in London selbst an dem Tage schrieb, an welchem er mit Pell das Gespra¨ch u¨berdie erzeugenden Differenzen gefu¨hrt hatte. Hier beginnen die eigentlichen Verda¨chtigun-[B]gen sich vorzubereiten, denn spa¨ter heisst es, Leibniz habe allerdings in fru¨her Zeit sichmit Differenzen bescha¨ftigt, aber das seien die von Mouton entnommenen gewesen, diemit dem Infinitesimalcalcu¨l nichts zu thun haben, und das bilde zugleich Leibnizens erstenDiebstahl. Der zweite Diebstahl soll der der Reihe fu¨r pi4 sein, der an Gregory begangenwurde. Als Beweisstu¨cke dienen die von uns schon als abgedruckt bezeichneten Briefe zwi-schen Collins und Gregory und spa¨te Briefe von 1675, welche Leibniz mit Oldenburgu¨ber die angeblich von Ersterern erfundene Reihe fu¨r pi4 wechselte, eine falsche Angabe,weil Leibniz jene Reihe aus den ihm zugeschickten Briefe Gregorys an Collins kannte.Diese letztere Behauptung bedurfte nun des strengen Beweises, um als Thatsache gel-[C]ten zu ko¨nnen, und das Commercium Epistolicum suchte den Beweis durch ein weiteresSchriftstu¨ck, einen Brief von Collins an Oldenburg16, zu liefern. Collins sagt darin, er wolle,da Leibniz und andere Mitglieder der Pariser Acade´mie des Sciences darauf dringen, vonGregorys, seines verstorbenen Freundes, Leistungen unterrichtet zu sein, die wichtigstenDinge zusammenstellen, die in dessen Briefen vorkamen; Oldenburg solle die SammlungLeibniz mittheilen, der sie aber nach Kenntnissnahme zuru¨ckgeben mu¨sse. In der Samm-lung selbst, heisst es weiter, befand sich der Gregorysche Brief mit der Arcustangensreihe,befand sich auch Newtons Tangentenbrief an Collins (S. 167 und 180). Die erste hier auf-zuwerfende Frage, wann Collins die Sammlung an Oldenburg schickte, ist nicht genau zu(311)beantworten, da der erwa¨hnte Begleitbrief kein Datum tra¨gt. Dagegen ist ein datirter Briefvom 11. August 1676 von Collins an David Gregory den a¨lteren, Bruder des verstorbenenJames Gregory, vorhanden17 Hier sagt Collins, er habe aus des Freundes Papieren einekleine Geschichte, historiolam, zusammengestellt, damit sie in den Schra¨nken der Royal[D]Society aufbewahrt werde und auch den franzo¨sischen Mathematikern mitgetheilt werdenko¨nne. Damit ist offenbar jene Sammlung gemeint, welche deshalb in der Regel kurzweg dieHistoriola heisst, und fu¨r deren Vollendung der 11. August 1676 einen Endtermin darstellt.Die zweite Frage, welche sich aufdra¨ngt, ist die, ob Oldenburg seinem Auftrage auch nach-gekommen ist? Hat Leibniz, um uns scha¨rfer auszudru¨cken, die Historiola auch wirklich zuGesicht bekommen? Das Commercium Epistolicum von 1712 nimmt es stillschweigend an.Wir werden unsererseits der Frage am Schlusse dieses Kapitels na¨her treten.Nun kommen in dem Commercium Epistolicum die 1676 und 1677 von Newton undLeibniz gewechselten Briefe, wie sie im III. Bande von Wallis’ Werken zum Abdruck ge-kommen waren, also ohne das Wort hodie in der Anfangszeile des Leibnizischen Briefes vom21. Juni 1677. Auch der Brief von Collins an Newton vom 5. Ma¨rz 1677 ist aufgenommen,als dessen Nachschrift die Bemerkung erscheint, Newtons zweiter Brief werde vermuth-lich in der na¨chsten Woche nach Hannover abgehen (S. 303). Was weiter folgt, ist einekurze Zwischenerza¨hlung18, auf die wir sogleich zuru¨ckkommen, sind Briefe und Auszu¨geaus gedruckten Abhandlungen aus der Zeit von 1695 bis unmittelbar vor dem Drucke desCommercium Epistolicum und zum Schlusse das Urtheil des Pru¨fungsausschusses.Wenn wir die wesentlichen Stu¨cke, die im Commercium Epistolicum abgedruckt sind,nannten, so haben wir einen Bestandtheil noch nicht erwa¨hnt, das sind die fast auf jederSeite beigefu¨gten Fussnoten. In ihnen ist jede erla¨uterte Stelle von dem Standpunkte aus16Commerc. epistol. pag. 100.17Commerc. epistol. pag. 101.18Ebenda pag. 157.95. Kapitel 153besprochen, als wa¨re der Beweis von Leibnizens Schuld nicht erst zu fu¨hren, sondern bereitsgeliefert. Jede von Leibniz gebrauchte Redewendung, welche gegen das zu Beweisende zubenutzen wa¨re, gilt demnach nur als weitere Probe seiner Verlogenheit und Verderbtheit.Man kann deshalb getrost die Anmerkungen das Giftigste an der ganzen Vero¨ffentlichungnennen.Und noch Eines mu¨ssen wir hervorheben. Diejenigen Briefe, welche nur als Belege zwei-ten Ranges aufgenommen sind, erscheinen nicht in ihrem ganzen Wortlaute, sondern aus-zugsweise. Dagegen wa¨re bei unparteiisch, angefertigten Auszu¨gen nichts einzuwenden, (312)wohl aber dagegen, dass die Auszu¨ge wiederum nur zu Gunsten der vorgefassten Meinungvon Leibnizens Schuld hergestellt erscheinen, dass sie jeden Satz beseitigen, der fu¨r Leibnizund seine Unbefangenheit spra¨che19. [E]Wer war der Verfasser der Anmerkungen und der zwischen die abgedruckten Briefeeingestreuten Stellen fortlaufender Erza¨hlung? Ob ein Verfasser fu¨r Alles verantwortlich zumachen ist, wissen wir nicht zu sagen, aber in Bezug auf eine Stelle der Zwischenerza¨hlung,auf welche zuru¨ckzukommen wir oben zusagten, la¨sst der Beweis sich liefern, dass sie ausNewtons Feder stammt20. Newton hat eine Kritik der in den A. E. von 1689 gedrucktenAufsa¨tze Leibnizens u¨ber die Mechanik des Himmels verfasst, wenn auch nicht vero¨ffent-licht. Sie ist handschriftlich noch vorhanden. Ihre Anfangsworte sind von Newton viermalanders gefasst. In der letzten Fassung heissen dieselben wie folgt21: Gegen Ende des Jahres1683 schickte Newton die wichtigsten Sa¨tze, die in den Principiis mathematicis philoso-phiae vorkommen, nach London; sie wurden alsbald der Royal Society mitgetheilt, und imJahre 1686 wurde jenes Buch der Gesellschaft zum Drucke zugeschickt; im folgenden Jahreerschien es. Dieselben Worte in buchsta¨blicher Uebereinstimmung finden sich inder Zwischenerza¨hlung des Commercium Epistolicum. — Das kann kein Zufall sein.Sind auch die betreffenden Worte durchaus unschuldig und enthalten sie nicht den klein-sten giftigen Stachel, so zeigen sie eben doch, dass Newton Mitarbeiter am CommerciumEpistolicum war. Wie weit seine Mitarbeit sich erstreckte, ob er auch sonst den Wortlautbeeinflusste, ob er nur in dem Sinne sich betheiligte, in welchem wir ihn (S. 302) als Mitar-beiter Keills kennen gelernt haben, dadurch na¨mlich, dass er den eigentlichen Redactorenzur Verfu¨gung stellte, was er an verwendbaren Stu¨cken auch aus eigener Feder besass, daswird vermuthlich ein ungelo¨stes Ra¨tsel bleiben.Wir kommen in unserer Erza¨hlung nun wieder an den Zeitpunkt, zu welchem das Com-mercium Epistolicum fertig gedruckt war und zur Verbreitung gelangte. Noch bevor Leib-niz, der sich vom December 1712 bis zum September 1714 in Wien aufhielt22, auch nur von (313)dem Erscheinen des Buches Kenntniss erhalten hatte, brachte eine im Haag erscheinendeZeitschrift, Journal lite´raire23, in seiner Nummer fu¨r Mai und Juni 1713 einen LondonerBrief. Er wusste zu melden, dass das Commercium Epistolicum die Presse verlassen ha-be, gab eine rasche Uebersicht der Streitpunkte, dann einen Abdruck des Schlussberichtesdes Pru¨fungsausschusses der Royal Society, eines Berichtes, den man als das Urtheil der19Herr Lefort hat dieses in seiner von uns u¨berall angefu¨hrten kritischen Ausgabe des CommerciumEpistolicum an zahlreichen Stellen nachgewiesen.20Edleston, Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes pag. 307 bis 308.21Anno 1683 ad finem vergente Newtonus propositiones principales earum quae in Philosophiae PrincipiisMathematicis habentur Londinum misit eaedemque cum Societate Regia mox communicatae sunt, annoque1686 Liber ille ad Societatem missus est ut imprimeretur, et proximo anno lucem vidit.22Allgemeine Deutsche Biographie XVIII, 202.23Das Journal lite´raire erschien von 1713 bis 1737.154 Band 3Gesellschaft anzusehen habe24. Das war ungefa¨hr die Zeit, zu welcher (S. 67) Johann Ber-noulli am 29. Juli 1713 den politischen Hintergrund des Streites witterte, welcher sicherlichwenigstens so weit vorhanden war, als man in England mehr und mehr geneigt wurde,dem politischen Gegner jede Schlechtigkeit zuzutrauen und jeden Schritt gegen ihn fu¨rerlaubt zu halten. Diese Stimmung hielt auch im folgenden Jahre noch an. Am 20. April1714 schrieb Wolf an Leibniz25, die Herausgeber des Journal lite´raire theilten ihm mit, dieEngla¨nder behandelten die Streitfrage nicht als eine solche zwischen einem Engla¨nder undeinem Deutschen, sondern als Streit zwischen England und Deutschland.An demselben Tage des 29. Juli 1713, an welchem Johann Bernoulli die soeben vonuns wiederholt hervorgehobene Bemerkung niederschrieb, gab Leibniz die erste o¨ffentlicheAntwort auf das Commercium Epistolicum. Er schickte die unterschriftlose Erwiderung inlateinischer Sprache an Christian Wolf26, damit derselbe sie als Flugblatt drucken lasse, undwie die meisten Schriftstu¨cke in dem ha¨sslichen Streite ihren besonderen Namen erhaltenhaben, so fu¨hrt man dieses meistens als das Flugblatt von 1713 an. Spa¨ter liess Leibnizwieder ohne Unterschrift und abermals durch Wolfs Vermittelung einen franzo¨sischen Briefan das Journal lite´raire schicken27, der in der Nummer fu¨r November und December 1713abgedruckt ist. Auch eine deutsche Fassung ist vorhanden, welche in Deutschland erschien.Sa¨mmtlichen Entgegnungen kann man eine gewisse Grobheit nicht absprechen. Am wenig-sten zeigt dies der franzo¨sische Wortlaut, da die Leitung des Journal lite´raire Milderungenanbrachte.Das Flugblatt enthielt als einen wesentlichen Bestandtheil ein Bruchstu¨ck eines Brie-fes28, in welchem ein Mathematiker ersten Ranges unter dem 7. Juni 1713 seine Ansicht(314)u¨ber den Streit gea¨ussert habe. Diese Ansicht geht aber dahin, dass Newton in fru¨her Zeitdie Reihenlehre zwar ungemein gefo¨rdert habe, an die Fluxionsrechnung aber damals nichtim Traume gedacht habe und ebensowenig daran, sie auf allgemeine analytische Operatio-nen zuru¨ckzufu¨hren, welche a¨hnliche Dienste leisten wie der Algorithmus und die Regelnder Arithmetik und der Algebra29. Er habe dafu¨r zwei Gru¨nde: den ersten, dass punktir-te Buchstaben weder in den Briefen, noch in den Principien Newtons je vorkommen, denzweiten, dass Newton, wie ”ein hervorragender Mathematiker“ bereits bemerkte, lange Zeitdie ho¨heren Differentiationen nicht verstanden habe. Dieser Ansicht schliesse — so erkla¨rtdas Flugblatt, welches dadurch gewissermassen eine Unterschrift erha¨lt — Leibniz sich an.In seiner Unbefangenheit habe er lange geglaubt und deshalb auch geschrieben, Newtonbesitze etwas, was der Differentialrechnung a¨hnlich sei, eigenthu¨mlich und durch eigene Er-findung; aber nachdem er sehe, wie man jetzt von England aus sich nicht damit begnu¨ge,Newton als Miterfinder zu nennen, sondern ihn selbst von der Erfindung ausschliessen wolle,nachdem er sehe, dass Newton dieses Ma¨rchen unterstu¨tze, beginne er Argwohn zu fassen,die Fluxionsrechnung sei in Nachahmung der Differentialrechnung gebildet worden30.In der franzo¨sischen Erwiderung31 kommt am Schlusse der gleiche Vorwurf, gestu¨tzt24On doit regarder ce rapport comme le Jugement de la Socie´te´ (Commerc. epistol. pag. 230).25Leibniz, Supplementband zu dem mathematischen Briefwechsel S. 158.26Ebenda S. 57 (Wolfs Brief vom 20. April 1714).27Ebenda S. 155.28Leibniz V, 411–413 zu vergleichen mit III, 910–911.29Nec, credo tunc temporis vel somniavit adhuc de Calculo suo fluxionum et fluentium, vel de reductioneejus ad generales operationes Analyticas, ad instar Algorithmi vel Regularum Arithmeticarum et Algebrai-carum inservientes.30suspicari coepit, Calculum fluxionum ad imitationem Calculi differentialis formatum fuisse.31Leibniz V, 414–416.95. Kapitel 155auf das Gutachten eines beru¨hmten Mathematikers, wa¨hrend am Anfang Gewicht auf denUmstand gelegt wird, dass fru¨her Newton niemals Leibniz den Ruhm selbsta¨ndiger Er-findung der Differentialrechnung bestritten habe, sowie auf den weiteren Umstand, dassLeibniz der Royal Society niemals seine eigene Auffassung der Sache mitgetheilt habe; dieGesellschaft sei somit nicht in der Lage gewesen, Gru¨nde und Gegengru¨nde zu vergleichenund ein Urtheil zu fa¨llen32.Wir mu¨ssen noch bei dem in das Flugblatt von 1713 aufgenommenen Briefe verweilen.Seit 1745 weiss man mit aller Bestimmtheit, was man fru¨her nur vermuthete, dass die Ein- [F]schaltung ein Bruchstu¨ck eines langen Briefes Johann Bernoullis ist. Damals, also zuLebzeiten Johann Bernoullis und mit dessen Einversta¨ndnisse, ist sein mit Leibniz gefu¨hr-ter Briefwechsel gedruckt worden, und in diesem fand sich die ganze Stelle mit Einschluss (315)eines letzten Satzes33: Bitte benutzen Sie, was ich hier schreibe, in richtiger Weise undohne mich mit Newton und seinen Landsleuten zu verfeinden, denn ich mo¨chte in dieseStreitigkeiten nicht hineingemengt werden. Leibniz ku¨mmerte sich allerdings nicht um denausgesprochenen Wunsch. Er liess das Bruchstu¨ck als von Johann Bernoulli herru¨hrendin den Nouvelles lite´raires34 vom 28. December 1715 pag. 414 abdrucken, und auch inzwei Briefen, dem einen an die Gra¨fin Kielmansegge, dem anderen an Graf Bothmer,beide angesehene Perso¨nlichkeiten am englisch-hanno¨vrischen Hofe, hat Leibniz den Brief-schreiber ausdru¨cklich genannt. Wie wenig aber diese das Geheimniss bewahrten, das ihnenu¨brigens nicht als solches anvertraut war, geht aus dem Abdrucke der Leibnizischen Briefein einer 1720 herausgegebenen Sammlung hervor. Pierre Des Maizeaux35 (1672 oder1673 – 1745) war der Sohn eines in Folge der Aufhebung des Edictes von Nantes nach derSchweiz ausgewanderten franzo¨sischen Protestanten. Er kam 1699 in ziemlich a¨rmlichenVerha¨ltnissen nach England, wurde am 10. November 1720 zum Mitgliede der Royal Socie-ty gewa¨hlt und 1722 ko¨niglicher Kammerherr. Mit der Jahreszahl 1720, aber thatsa¨chlichetwas fru¨her, da die Vorrede vom 27. October 1719 ist, gab Des Maizeaux eine zweiba¨ndigeSammlung damals noch nicht an die Oeffentlichkeit gelangter Briefe u. s. w. unter demTitel Recueil de diverses pieces sur la philosophie, la religion naturelle, l’histoire, les ma-thematiques etc. par Mrs. Leibniz, Clarke, Newton et autres Autheurs ce´le`bres heraus. Diebeiden Ernennungen, von welchen wir erza¨hlten, beweisen, dass das Recueil Des Maizeaux,wie die Sammlung meistens genannt wird, ihrem Herausgeber weder bei der Royal Societynoch bei Hofe geschadet hat. Eher liesse sich auf das Gegentheil schliessen, und wenig-stens fu¨r die Royal Society kann die Thatsache als Besta¨tigung dienen, dass die SammlungHans Sloane zugeeignet ist. In ihr sind aber die beiden genannten Briefe vero¨ffentlicht36,allerdings sehr unbequem fu¨r Johann Bernoulli, der noch am 5. Juli 1719 die Versicherung [G]gegeben hatte, man werfe ihm mit Unrecht jene Aeusserungen vor37. (316)Johann Bernoulli also war es, der Newton nicht bloss das Erfinderrecht absprach, derihn auch beschuldigte, die ho¨here Differentiation nicht verstanden zu haben, wie la¨ngst32Ainsi la Socie´te´ n’a point puˆ examiner les Raisons de part et d’autre pour prononcer la dessus.33Rogo vos, ut quae hic scribo, iis recte utaris, neque me committas cum Newtono ejusque popularibus;nollem enim immisceri hisce litibus.34Die Nouvelles lite´raires nicht zu verwechseln mit dem Journal lite´raire, erschienen wie jenes im Haag1686 bis 1720.35National Biography XIV, 406–407 (London 1888, edited by Leslie Stephen).36Recueil Des Maizeaux II, 36 und 44. Ebenda, Vorrede zum I. Bande pag. XLVIII und II, 37 Note istvom Abdrucke des Bernoullischen Briefes in den Nouvelles lite´raires die Rede.37Brewster, Memoirs of the life . . . of . . . Newton (London 1854) II, 503. Vgl. Giesel DelitzscherSchulprogramm fu¨r 1866, S. 20 Note 76.156 Band 3gezeigt sei. Er spielte damit auf die Abhandlungen der Pariser Acade´mie des Sciences fu¨r1711 an. Dort hatte Johann Bernoulli einen Aufsatz u¨ber die Bewegung schwerer Ko¨rpervero¨ffentlicht, und sein Neffe Nicolaus I. Bernoulli hatte einen Zusatz beigefu¨gt38, inwelchem der Vorwurf mangelnden Versta¨ndnisses der ho¨heren Differentiation begru¨ndetwar. Newton glaube, wenn(z + o)n − zn = nzn−1o+ n(n− 1)1 · 2 zn−2o2 +n(n− 1)(n− 2)1 · 2 · 3 zn−3o3 + . . .so seien die einzelnen Glieder (abgesehen von den Factoren o) die aufeinanderfolgendenDifferentiale von zn. Das sei wahr fu¨r das erste Glied, aber nicht fu¨r die Folgeglieder.Newton habe u¨berdies den Irrthum zweimal begangen, zuerst in den Principien, dann inder Quadratura Curvarum. Spa¨ter wiederholte Johann Bernoulli in einem Aufsatzein den A. E. von 1713 den Vorwurf39 mit der Bemerkung, Nicolaus Bernoulli, der erstju¨ngst in England gewesen sei, habe Newton auf den Fehler aufmerksam gemacht, undNewton beabsichtige, wie er ho¨re, in der grade im Drucke befindlichen zweiten Auflage derPrincipien die Stelle mittelst eines Cartons zu a¨ndern. Das ist allerdings nicht geschehen.Newton hielt vielmehr in Briefen anKeill40, insbesondere in einem solchen vom 20. April[H]1714, die Richtigkeit der Darstellung in den Principien aufrecht, bei der es sich gar nichtum Fluxionen, sondern nur um Entwickelung in eine convergente Reihe handle41. Von demFehler in der Quadratura Curvarum, der wirklich ein Fehler ist (S. 285) schwieg Newton[I]wohlweislich.Wir sind damit bis ins Fru¨hjahr 1714 gelangt, wo eine neue Perso¨nlichkeit in den Streiteingriff, John Chamberlayne42 (1666 bis 1723), Kammerherr bei Ko¨nigin Anna undebenso bei Ko¨nig Georg I. Ob er, was bei seiner Hofstellung wohl mo¨glich ist, den Auftragdes Ko¨nigs hatte, die beiden grossen Ma¨nner, deren jeder die wissenschaftliche Zierde einesder beiden unter englisch-hanno¨vrischen Scepter stehenden La¨nder bildete, auszuso¨hnen,wissen wir nicht. Jedenfalls unterzog er sich dieser Sisyphusarbeit. Er schrieb an Leibniz in(317)diesem Sinne. Leibniz antwortete43 von Wien aus, wo er sich noch immer befand, unter dem28. April 1714, er sei an der Uneinigkeit zwischen ihm und Newton schuldlos. Keill habe ihnin den P. T. verunglimpft, er habe dann bei Sloane eine Genugthuung verlangt, ein Verlan-gen, an welchem er nach Keills die Beleidigung nur noch verscha¨rfender Ru¨ckantwort umso mehr festgehalten habe, als er u¨berzeugt gewesen sei, Newton lasse ihm Gerechtigkeitwiderfahren. Nun sei, er wisse nicht durch welche Rabulisterei und Hinterlist, die Sacheso aufgefasst worden, als wenn er vor der Royal Society als Richterin, deren Urtheil ersich zu unterwerfen bereit sei, eine Klage erhoben. Man ha¨tte ihn doch wenigstens benach-richtigen mu¨ssen, dass die Gesellschaft die Grundlage der Angelegenheit zu untersuchenbeabsichtige, man ha¨tte ihm Gelegenheit bieten mu¨ssen, seine Beweismittel vorzubringenund diesen oder jenen der Richter zuru¨ckzuweisen. Man habe aber nur die eine Partei38Joh. Bernoulli Opera I, 509–510.39Ebenda I, 535 und 556.40Vier Briefe Newtons an Keill vom 2. April bis 15. Mai 1714 sind abgedruckt bei Edleston, Cor-respondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes pag. 169–177. Der Brief vom 20, April steht pag.170–173.41But this great Mathematician is grossly mistaken in taking the method there made use of, which is abranch of the method of converging series, to be the method of fluxions.42National Biography X, 9–10 (London 1887, edited by Leslie Stephen).43 Recueil Des Maizeaux II, 116–120.95. Kapitel 157geho¨rt, der Rechtsspruch sei dadurch an sich nichtig und ko¨nne nicht als Urtheil der Ge-sellschaft gelten. Nichts desto weniger habe Newton denselben in Buchform drucken undim Namen der Gesellschaft verbreiten lassen. Ein solches Verfahren finde nirgend Beifall.Vorhandene Briefe bezeugen das missbilligende Erstaunen in Prankreich und Italien. Erhabe immer von Newton als unabha¨ngigen Erfinder einer der seinigen a¨hnlichen Methodegesprochen, wenn auch jetzt Grund vorhanden sei, an der Unabha¨ngigkeit zu zweifeln44.Herr Chamberlayne sehe hieraus, auf welcher Seite die Hauptsache zur Beendigung desStreites geschehen mu¨sse.Chamberlayne that nun zweierlei. Er gab den Brief an Newton, welcher denselben am 11.Mai, also in dem Zwischenraum seiner an Keill gerichteten Schreiben, kurz und abweisendbeantwortete. Allenfalls wa¨re hervorzuheben, dass in Newtons Brief auch von Fatios An-griff auf Leibniz von 1699 gesprochen ist, an welchem Newton nicht den geringsten Antheilgehabt habe. Erwa¨gt man, dass in Leibnizens Brief der Name Fatio gar nicht vorgekom-men war, so mo¨chte man sich fast an die Redensart erinnert fu¨hlen: Wer sich entschuldigt,beschuldigt sich. Das andere, was Chamberlayne that, war, dass er der Royal Society vonLeibnizens Beschwerde Kenntniss gab, und nun wurde in der Sitzung vom 20. Mai zuProtocoll erkla¨rt45, man beanspruche nicht, dass der Bericht der Commission als (318)Gesellschaftsbeschluss gelte. Wie wenig ernst das gemeint war, oder wie wetterwen- [J]disch die Stimmung wechselte, zeigt das fru¨her (S. 309) Erza¨hlte, dass man am 17. Juni,genau vier Wochen nach der Sitzung vom 20. Mai, Exemplare des Commerciurn Epistoli-cum zu Gunsten der Gesellschaftseasse dem Buchhandel u¨berliess.Leibniz, von der Erkla¨rung vom 20. Mai in Kenntniss gesetzt, dagegen offenbar unbe-kannt mit dem, was am 17. Juni geschah, dankte Chamberlayne am 25. August fu¨r dieUebermittelung des Protocollauszuges. Ausserdem kommt in dem Briefe noch vor, Leibnizwerde, wenn er erst wieder in Hannover sei, vielleicht auch ein Commercium Epistolicumin Druck geben, damit die Leser sich ein Urtheil bilden ko¨nnen. Chamberlaynes Versuchwar gescheitert, der Stein blieb im Rollen.Im Juli und August 1715 brachte das Journal lite´raire eine 40 Druckseiten fu¨llende [K]Antwort von Keill auf die Leibnizische Vertheidigung von 1713. In Keills Antwort ist dieEinwirkung von Newtons an ihn gerichteten Briefen (S. 316 Anm. 3) ersichtlich, u¨berdieshat sie Ende Juni 1714 in ihrem ganzen Wortlaute Newton vorgelegen46. Am 11. Novembermachte Chamberlayne der Royal Society Mittheilung von Leibnizens erst erwa¨hntem Briefevom 25. August. Die Gesellschaft fu¨hlte sich durch die in Aussicht gestellte Gegenvero¨ffent-lichung eines zweiten Commercium Epistolicum tief verletzt, weil darin eine Verda¨chtigungdes Urtheils und der Vollsta¨ndigkeit der von Gesellschaftswegen vero¨ffentlichten und ge-billigten Briefsammlung liege47. War denn, muss man sich bei dieser Parteinahme fu¨r dasenglische Commercium. Epistolicum fragen, am 11. November keines von den Mitgliederngegenwa¨rtig, die am 20. Mai die Verantwortlichkeit fu¨r jene Schrift ausdru¨cklich abgelehnthatten? Der Umschwung war vollsta¨ndig.Das Sta¨rkste, was gegen Leibniz als gestattet galt, sollte bald folgen. Im Januar 171544quoiqu’il se trouve maintenant qu’il y a grand lieu de douter s’il a suˆ mon Invention avant que de l’avoireue de moi.45Recueil Des Maizeaux, Vorrede zum I. Bande pag. LIII und II, 123: Elle ne pre´tendait point que laRapport de ses Commissaires passt pour une De´cision de la Socie´te´.46Commerc. epistol. pag. 236 Note l von Lefort.47Edleston, Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes pag. LXXV Note 165.158 Band 3brachte Nr. 342 der P. T. einen langen Bericht u¨ber das Commercium Epistolicum48. Zu denBeschuldigungen, welche, theils offen theils versteckt, in jenem Buche enthalten waren, tra-ten neue. Der zweite Newtonsche Brief vom 24. October 1676 habe zu Ende desgleichen Monats oder am Anfang November Leibniz in London vorgelegen49. Er sei(319)ihm dann am Anfange des Fru¨hlings in Hannover zu Ha¨nden gekommen.Letztere Meinung kann ja, wie wohl irrig, auf dem wiederholt von uns angefu¨hrten Briefevon Collins beruhen, der am 5. Ma¨rz 1677 den Abgang des Newtonschen zweiten Briefesfu¨r die na¨chste Woche in Aussicht stellte, aber die erstere Behauptung, welche hier zumersten Male auftaucht, ist wie grundlos auch ohne jede mo¨gliche Stu¨tze. Newtons Brief war[L]an Oldenburg gerichtet. Dieser hat ihn am 4. November 1676 abgeschrieben50, am 2. Mai1677 mit Begleitbrief an Leibniz geschickt51 (S. 184) und in diesem ausgesprochen, Leibnizwerde wohl zur Zeit durch den ausfu¨hrlichen Brief Newtons vollauf gesa¨ttigt sein, so dass eru¨ber Mittheilungen von Collins diesmal schweige52. Ausserdem ist grade durch den Briefvon Collins an Newton vom 5. Ma¨rz 1677 besta¨tigt, dass Leibniz im October 1676 eineWoche in London war53. Ha¨tte Oldenburg ihm, wenn er bei Eintreffen des NewtonschenBriefes noch in London gewesen wa¨re, denselben nicht ausgeha¨ndigt?An einer spa¨teren Stelle des Berichtes54 wird erkla¨rt, in der Klage, welche Leibnizgegen Keill wegen Verunglimpfung erhoben habe, ko¨nnten weder Newton noch Leibniz alsZeugen vernommen werden. Deshalb habe die Royal Society eine zahlreiche Commissionzur Pru¨fung alter Briefe und Papiere eingesetzt, und deren Bericht, welcher dahin gehe, dassNewton 1669 oder fru¨her, Leibniz aber nicht vor 1677 die Infinitesimalrechnung besessenhabe, sofort vero¨ffentlichen lassen.Auch auf den Fehler in der Quadratura Curvarum wird ein entschuldigender Blick[M]geworfen55, der Fehler verschwinde, wenn in den betreffenden Satz (S. 283 Anm. 2) dasvergessene Wo¨rtchen ut eingeschaltet werde. Das war wohl die Einschaltung, welche Nico-laus I. Bernoulli bei seinem Aufenthalte in England Newton angerathen hatte, und vonwelchem Johann Bernoulli (S. 316) vermuthete, Newton werde sich ihrer in einem Cartonbedienen.Fragen wir nun nach dem Verfasser des Account in den P. T., so erhalten wir dieAntwort: Newton sei es gewesen! Das ist aus dem unbefangenen Zeugnisse englischerZeitgenossen, welche davon als von einer allbekannten Thatsache reden, unzweifelhaft fest-gestellt56. Nur ein Einziger hat es gewagt, im Jahre 1722 den ein Jahr vorher verstorbenen[N]Keill als den Verfasser des Account zu nennen, und dieser Einzige war Newton selbst57.(320)Will man ihn nicht geradezu der Lu¨ge beschuldigen, so gibt es nur eine Erkla¨rung: Newtonhat Keill jenen Bericht so gut wie in die Feder dictirt, und das ist auch nicht viel scho¨ner,48Commerc. epistol. pag. 9–48 findet sich die lateinische Uebersetzung des urspru¨nglich englischen Accountof the Book entitled Commercium epistolicum.49Commerc. epistol. pag. 25.50Leibniz I, 122 Note.51Ebenda I, 151.52Ebenda I, 152: Nihil hac vice de Collino apud te commemoro, quum Te omnino satiatum iri pro temporeprolixa hac Newtoni epistola autumem.53Commerc. epistol, pag, 145.54Ebenda pag. 32.55Ebenda pag. 35–36.56De Morgan in dem Philosophical Magazine, Januar–Juni 1852 pag. 440–444 und ebenda Juli–December 1852 pag. 321–322.57 Commerc. epistol. pag. X.95. Kapitel 159als wenn er ihn selbst geschrieben ha¨tte, er, der — mit dem Berichte zu reden — nichteinmal als Zeuge vernommen werden konnte.Die Zeitfolge no¨thigt uns, unsere Leser jetzt wieder nach Deutschland heru¨berzufu¨hren.Wir sagten, Leibniz sei bis zum September 1714 in Wien geblieben. Er kehrte Ende diesesMonats nach Hannover zuru¨ck, von wo wenige Wochen fru¨her der Kurfu¨rst nach Londonabgereist war, um als Ko¨nig Georg I. den englischen Thron zu besteigen. Wir erinnernuns, dass Leibniz nun beabsichtigte, selbst nach England sich zu begeben, dass es ihmuntersagt wurde (S. 33). Ob Chamberlayne, als er am 11. November 1714 von dem baldigenEintreffen Leibnizens in London sprach58, die dem entgegenstehenden Hindernisse nichtkannte, oder ob Leibniz daran dachte, dem ko¨niglichen Verbote zu trotzen, wissen wirnicht. Jedenfalls hat Leibniz Hannover nicht mehr verlassen. Damals muss er, so weit andereArbeiten, mit denen er nach wie vor u¨berha¨uft war, ihm Zeit liessen, daran gedacht haben,in entschiedener Weise seinen Widersachern entgegenzutreten. Damals fand vielleicht jeneha¨ssliche Vera¨nderung der Jahreszahl 1675 in 1673 statt, von welcher wir (S. 183) sprechenmussten; damals enstand jedenfalls die Abhandlung Historia et origo calculi differentialis59,welche in zwei Entwu¨rfen handschriftlich erhalten ist.Die auch heute noch des Durchlesens in hohem Grade wu¨rdige Darstellung unterscheidetsich insbesondere dadurch auf das Vortheilhafteste von den im Priorita¨tsstreite entstan-denen Schma¨hschriften, dass dem Gegner Ehrenru¨hriges u¨berhaupt nicht nachgesagt ist.Auch die leiseste Andeutung, dass Newton an Leibniz einen geistigen Diebstahl begangen [O]haben ko¨nne, deren, wie wir wissen, Leibniz sich nicht immer enthielt, fehlt. Nur seineeigene Unantastbarkeit stellt der Verfasser mit Entschiedenheit fest. Den Bericht in den P.T. vom Januar 1715 kannte er offenbar noch nicht, sonst wa¨re die eingehaltene Ma¨ssigungunbegreiflich, und sonst wa¨re gewiss darauf Gewicht gelegt worden, dass die Antwort aufden zweiten Newtonschen Brief am Empfangstage geschrieben wurde. Ist das Schweigenu¨ber diesen Punkt doch ohnehin ra¨thselhaft genug. Leibniz hat (S. 287) sein Concept des (321)wichtigen Briefes offenbar damals hervorgeholt. Er hat das Datum vom 21. Juni 1677 nach-getragen, hat die Seitennummer des Abdruckes des Briefes im Commercium Epistolicumbeigeschrieben, und dennoch schwieg er in seiner Erza¨hlung u¨ber das in der englischenVero¨ffentlichung fehlende hodie? Wir wissen dafu¨r keine andere Erkla¨rung als die, dass wirdie (S. 287) noch offen gelassene Frage, ob der entstellende Klecks in dem nach Englandabgegangenen Briefe ohne oder mit Absicht entstanden sei, im letzteren Sinne beantworten.Die Veranlassung mag gegeben haben, dass der Brief zwar am Empfangtage von NewtonsSchreiben angefangen wurde, aber, wie es bei seiner La¨nge leicht begreiflich ist, nicht amgleichen Tage vollendet werden konnte, und dass Leibniz dann vorzog, das hodie bis zurUnkenntlichkeit zu tilgen.Abermals traten zwei neue Perso¨nlichkeiten in dem Streite auf. Antonio SchinellaConti60, (1677–1748) ist in Padua geboren und ebenda gestorben. Er geho¨rte dem Or-den des Oratorium als Geistlicher an, legte aber dieses Amt 1708 nieder, um nicht mehrBeichte ho¨ren zu mu¨ssen. Im Jahre 1713 kam er nach Paris, wo er mit den bekanntestenGelehrten verkehrte. Mit einem derselben, Pierre Re´mond, bekannter unter dem Na-men De Montmort, welchen er von einer Besitzung entliehen hatte, und unter welchemer uns schon (S. 265) begegnet ist, kam er 1715 nach London und wurde von Newton58Edleston, Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes pag. LXXV Note 165.59Leibniz V, 392–410, zuerst 1846 durch C. J. Gerhardt als besondere Broschu¨re herausgegeben.60Nouvelle Biographie universelle IX, 670–672. — Poggendorff I, 473.160 Band 3aufs Liebenswu¨rdigste aufgenommen. Mit Leibniz war Conti schon fru¨her in brieflicherVerbindung. Von London aus muss er ihm abermals geschrieben und dabei, wie es kaum[P]anders mo¨glich war, den Priorita¨tsstreit beru¨hrt haben. Leibniz erwiderte61 und fu¨gte demeigentlichen Briefe eine selbst einem Briefe gleichkommende Nachschrift hinzu62, welcheoffenbar zum Vorzeigen geschrieben war und, wie es scheint, nicht bloss Newton, fu¨r wel-chen sie bestimmt war, sondern auch anderen Personen, vielleicht dem Ko¨nige zu Gesichtkam. Jedenfalls erkla¨rte Conti in seinem folgenden Briefe vom Ma¨rz 1716, Ko¨nig Georg I,habe sich durch ihn u¨ber den Streit zwischen Leibniz und Newton berichten lassen63, undder Ko¨nig war es auch, der durch die Frage, wann denn Newtons Antwort ka¨me, letzterehervorrief64.In Leibnizens Schreiben waren einige bissige Bemerkungen enthalten gewesen. Esscheint nicht, sagte er65, dass Herr Newton die Bezeichnung und den Infinitesimalcalcu¨l(322)vor mir besessen hat, wie Herr Bernoulli sehr gut geurtheilt hat, wenn es ihm auch leichtgewesen wa¨re, dahin zu gelangen, wenn seine Blicke sich dahin gerichtet ha¨tten66, wie esauch Apollonius sehr leicht gewesen wa¨re, zu Descartes’ analytischer Methode zu gelan-gen, wenn seine Blicke sich dahin gerichtet ha¨tten. Die gegen mich geschrieben haben, fuhrer fort, haben unschwerer Weise durch gezwungene und schlecht begru¨ndete Erkla¨rungenmeine Aufrichtigkeit angegriffen; sie werden nicht das Vergnu¨gen haben, mich die kleinenGru¨nde von Leuten, welche so schlechte Uebungen haben, beantworten zu sehen. ZumSchlusse ging er auf Gegensa¨tze zwischen seinen und Newtons philosophischen Ansichtenein, ein Gebiet, auf welches wir ihm nicht folgen.Nun kam also Newtons Antwort67, welche ebensowenig an Leibniz unmittelbar gerichtetwar, wie dessen Brief an ihn; beide schrieben der Form nach an den Abbate Conti. Newtonbeginnt mit der Behauptung, das Commercium Epistolicum sei durch einen eigens von derRoyal Society dazu ernannten Ausschuss von angesehenen Perso¨nlichkeiten verschiedenerNationen zusammengestellt. Dem Wortlaute nach ist das ja wahr, wenn auch Bonet undder zuletzt hinzugewa¨hlte De Moivre gewiss keine grosse Rolle in dem Pru¨fungsausschussespielten (S. 308). Dann belegt Newton durch die Daten von Briefen, wie weit er fru¨hzeitigin der Reihenlehre gewesen sei, und dass Leibniz solches immer anerkannt habe. Wo vonLeibnizens Brief vom 21. Juni 1677 die Rede ist68, der als Antwort auf dem Brief vom24. October 1676 bezeichnet ist (Des Maizeaux betonte dann in der Vorrede69) zu seinemRecueil die La¨nge der Zeit von acht Monaten, die zwischen dem 24. October 1676 unddem 21. Juni 1677 liege), heisst es, Herr Leibniz habe sein Einversta¨ndniss damit erkla¨rt,dass De Sluses Tangentenmethode noch nicht vollkommen sei, dann habe er seine Dif-ferentialmethode fu¨r die Tangenten beschrieben, welche die gleiche war, die 1670 durchBarrow vero¨ffentlicht worden war. Weil aber Herr Leibniz auf diese Methode als ihmeigenthu¨mlich Anspruch erhob, verkleidete er sie durch eine neue Bezeichnung70. Das wareine Wiederholung der alten Anklage der Entlehnung, die heru¨ber und hinu¨ber geschleu-61Recueil Des Maizeaux, Vorrede zu Bd. I pag. LVII und II, 337–340.62Ebenda II, 3–11.63Ebenda II, 14.64Ebenda, Vorrede zu Bd. I pag. LX.65Ebenda II, 466s’il s’en e´tait avise´.67Recueil Des Maiseaux II, 16–25.68Ebenda II, 22.69Ebenda, Vorrede zu Bd. I pag. XIV.70Mais comme il pre´tendait que cette Me´thode lui appartenait, il la de´guisa sous une Notation nouvelle.95. Kapitel 161dert wurde von Fatio und Leibniz, von Keill und Johann Bernoulli, jetzt wieder von Leibnizund Newton, aber neu dadurch, dass Leibniz nicht mehr von Newton, sondern von Bar-row die Auflo¨sung der Tangentenaufgabe sich angeeignet haben sollte. Es ist merkwu¨rdig (323)genug und ein Beleg dafu¨r, wie blind die Leidenschaft den Menschen macht, dass Newton [Q]das Zweischneidige dieses Vorwurfes nicht erkannte und Leibniz gewissermassen die Ant-wort in den Mund legte71. Wenn Leibnizens Tangentenmethode die gleiche war wie dieBarrows; wenn sie zugleich mit der Newtons u¨bereinstimmte, so war auch kein Unterschiedzwischen den Methoden Newtons und Barrows, und Ersterer war der anerkannte Schu¨lerdes Letzteren!Schon am 14. April 1716 schrieb Leibniz an Conti72, er habe eine Abschrift von dessenBriefe vom Monate Ma¨rz und von dem Newtons, sowie auch seine Antwort auf beide anHerrn De Montmort in Paris zur Weiterbefo¨rderung abgehen lassen; er ziehe diesen Wegvor, um neutrale und versta¨ndnissfa¨hige Zeugen des Streites zu haben. Der Brief Leibnizens,welcher u¨ber Paris ging, und Newtons Bemerkungen zu demselben stehen im Recueil DesMaizeaux73. Leibnizens Brief ist im Fru¨hjahr 1716 selbstversta¨ndlich von De Montmort undden Personen in Paris, welchen dieser ihn zeigte, gelesen worden, Newtons Bemerkungenaber gingen damals nur unter wenigen Londoner Freunden herum.Da starb Leibniz am 14. November 1716. Sofort sammelte Newton alles, was durchdie Vermittelung Contis hindurchgegangen war mit Einschluss seiner letzten Bemerkungenund liess es in London drucken74. Diese kleine Sammlung bildete alsdann einen Anhang zueiner mit dem Druckjahre 1715 in englischer Sprache und gleichzeitig in lateinischer Ue-bersetzung in London herausgegebenen Parteischrift: The history of fluxions von JosephRaphson, der auf der Titelblatte schon als verstorben75 bezeichnet wird. Wir haben ihn alsSchriftsteller u¨ber numerische Gleichungen (S. 119) kennen gelernt. Besonders Erwa¨hnens-werthes steht nicht in den kurz von uns ge-nannten Schriftstu¨cken. Ho¨chstens wa¨re zubemerken, dass Newton als seine a¨ltesten mit Datum versehenen Aufzeichnungen u¨berFluxionen solche vom 13. November 1665 nennt76. Das stimmt so ziemlich mit anderenAngaben (S. 199 Anm. 2) u¨berein.Wir erinnern uns, dass (S. 314) im Flugblatte von 1713 eine Briefstelle Johann Bernoul-lis eingeschaltet war, welche einen durch einen hervorragenden Mathematiker, ab eminentequodam Mathematico, bemerkten Fehler in Newtons Principien und Quadratura Curvarumru¨gte. Wir erinnern uns ferner, dass Newton in einem Briefe an Keill (S. 316 Anm. 4) (324)diesen grossen Mathematiker, this great Mathematician, etwas ho¨hnisch abfertigte. Keillin dem Journal lite´raire von 1714 und der Account in den P. T. von 1715 wiederholtenNewtons Vertheidigung auch bezu¨glich der Quadratura Curvarum mittelst des vergessenenWo¨rtchen ut (S. 319). Gegen Ende der Zeit, innerhalb welcher die Contische Vermittelung,wenn man sie so nennen darf, spielte, erschien in dem Julihefte 1716 der A. E. ein unter-schriftsloser Brief fu¨r den ausgezeichneten Mathematiker, Herrn Johann Bernoulli, gegeneinen gewissen englischen Widersacher77, welcher gegen Keill sich richtete und insbeson-71Recueil Des Maizeaux II, 63.72Ebenda II, 26.73Ebenda II, 48 bis 71 und 75–100.74Ebenda, Vorrede zu Bd. I pag, LXIII.75By (the late) Mr. Joseph Raphson.76Recueil Des Maizeaux II, 89.77A. E. 1716, 296–314: Epistola pro eminente Mathematico, Dn. Johanne Bernoullio, contra quendamex Anglia antagonistam scripta. Das Material und die Belegstellen u¨ber diesen Brief sind bei Edleston,162 Band 3dere nachzuweisen suchte, dass das einmal beim Drucke versehentlich weggebliebene utdie angefochtene Stelle nicht rette, dass jenes Wort vielmehr verschiedene Mal ausgefal-len sein mu¨sste, was die Wahrscheinlichkeit eines Druckfehlers bedeutend herabsetze. DerBriefschreiber trat also gegen Keill, zugleich gegen Newton auf und damit auf LeibnizensSeite. Dadurch wurde die Frage nach seiner Perso¨nlichkeit wach.Wollte man die schon oft besprochenen handschriftlichen Randbemerkungen der A. E.einzig zu Rathe ziehen, so wa¨re die Frage sofort entschieden, denn dort ist ChristianWolf als Verfasser des Briefes genannt. Zedlers Universallexicon besta¨tigt diese Meinung.In dem 1748 zu Wolfs Lebzeiten erschienenen LVIII. Bande des umfangreichen Sammel-werkes befindet sich ein langer diesem Gelehrten gewidmeter Artikel mit vollsta¨ndigem,ohne seine eigene Mithilfe undenkbarem Verzeichnisse aller seiner gro¨sseren und kleinerenArbeiten bis zu den unbedeutendsten Berichten in den A. E. In dem Verzeichnisse ist derBrief von 1716 nicht nur mit enthalten, in dem biographischen Abschnitte ist Wolf auchfu¨r das damals bewa¨hrte Eintreten fu¨r Leibniz belobt. Und dennoch ist nicht Wolf,sondern Johann Bernoulli der ungenannte Verfasser, der seine Arbeit dem befreun-deten Gelehrten zur Besorgung mit der Bitte u¨berschickt hatte, etwa no¨thige Aenderungennach Gutdu¨nken vorzunehmen.Da war z. B. u¨berall die erste Person, in der Johann Bernoulli schrieb, so oft vonArbeiten desselben die Rede war, in die dritte Person umzua¨ndern, und das besorgte Wolfaufs Pu¨nktlichste bis auf. eine Stelle78, wo er das Wo¨rtchen meam stehen liess, welches vonden Gegnern jubelnd aufgegriffen wurde, wa¨hrend auch die Freunde sich eines mitleidigen(325)La¨chelns nicht enthalten konnten. Johann Bernoulli schrieb zwar an Wolf, er mo¨ge baldigstden Druckfehler berichtigen lassen, statt meam sei eam zu lesen. Aber das fruchtete wenig.In den A. E. von 1718 hat Niclaus II. Bernoulli, der Sohn Johanns, in gewundenerWeise zugegeben, sein Vater habe die thatsa¨chlichen Grundlagen des Briefes von 1716niedergeschrieben, und ein Enkel Johanns hat den vollgu¨ltigen Beweis erbracht.Johann Bernoulli hatte ausser den beiden So¨hnen Niclaus II. und Daniel noch einendritten Sohn Johann II. Bernoulli79 (1710 bis 1790), dessen mehr der Physik zugewand-te Tha¨tigkeit uns von der Pflicht entband ihn zu nennen, als wir (S. 89–90) die Glieder derFamilie Bernoulli, welche diesem Bande angeho¨ren mu¨ssen, schilderten. Sonst ha¨tten wirzu erwa¨hnen gehabt, dass er bereits 1724 die Magisterwu¨rde erwarb; Damals vero¨ffentlichteer eine geschichtliche Abhandlung Utrum Galli praestant Anglis inventorum physicorum etmathematicorum laude80. Johann II. hatte wieder einen Sohn Johann III. Bernoulli81(1744–1807), und dieser hat in den damals in franzo¨sischer Sprache erscheinenden Abhand-lungen der Berliner Academie fu¨r 1799–1800 und fu¨r 1802 in der als Histoire de l’Acade´miebezeichneten ersten Abtheilung auf S. 32–50 in dem ersten, auf S. 51–65 in dem zweiten derbeiden genannten Ba¨nde Beitra¨ge zur Geschichte der Mathematik vero¨ffentlicht82. Er hatinsbesondere die Geschichte des Briefes von 1716 klargestellt. Er hat sogar den urspru¨ngli-chen von Johann Bernoulli an Wolf geschickten Brief neben dem in den A. E. erschienenenCorrespondence, of Sir Isaac Newton and Professor Cotes pag. 178 Note * gesammelt.78Ebenda 1716, 313.79Allgemeine Deutsche Biographie II, 480–482.80Suter in der Bibliotheca mathematica 1890 S. 100.81Allgemeine Deutsche Biographie II, 482.82Bei Poggendorff I, 162, fehlen diese Abhandlungen unter Johann III. Bernoulli. Dagegen sind I, 158unter den Schriften Johann I. Bernoulli irrthu¨mlicherweise Anecdotes pour servir a` l’hist. des mathe´matiques(Me´m. Berlin, A. 1699 et 1700) genannt. Das sind die hier erwa¨hnten Abhandlungen. Irrige Datirung hatden Grossvater mit dem Enkel verwechseln lassen.95. Kapitel 163zum Abdrucke gebracht, wodurch man in den Stand gesetzt ist, die von Wolf vorgenomme-nen unbedeutenden Aenderungen zu erkennen. Bernoulli wollte eben nur den Brief nichtgeschrieben haben. Er scheue es, sagte er83, mit Keills Galle eingerieben zu werden. WieWolf dazu kam, auch 1748 noch die Verantwortung fu¨r den Brief zu u¨bernehmen und sichfu¨r dessen Anfertigung beloben zu lassen, wissen wir nicht.Leibniz war todt. Seine englischen Gegner fu¨hrten den Streit gegen ihn weiter, fu¨hrtenihn nur um so heftiger weiter, als eine Erwiderung von ihm jetzt nicht mehr zu befu¨rch-ten war. Der Recueil Des Maizeaux mit seiner sich unparteiisch geba¨rdenden, thatsa¨chlich (326)durchaus im Newtonschen Sinne gehaltenen Vorrede erschien 1720. Die dritte Ausgabe derPrincipien von 1726 vera¨nderte das in den fru¨heren Ausgaben Leibniz sein Recht gewa¨hren-de Scholium zu dessen Ungunsten (S, 205). Das gerechten Tadel am sta¨rksten herausfor-dernde Schriftstu¨ck war die Neuauflage des Commercium Epistolicum vom Jahre 1722.Wenn damals die erste Auflage vergriffen war, wenn die buchha¨ndlerische Nachfragenach der Briefsammlung eher im Zunehmen als im Abnehmen sich zeigte, so war es eineeinfache Gescha¨ftssache, ob ein wiederholter Abdruck stattfinden solle. Frage des wissen-schaftlichen Feingefu¨hls war es dann, ob am Schlusse, etwa unter der Bezeichnung alsAnhang, noch weitere Schrifstu¨cke beigefu¨gt werden sollten. Aber eine Vera¨nderung desCommercium Epistolicum selbst, Zusa¨tze innerhalb des 1712 Gedruckten, ohne dass sie [R]als solche gekennzeichnet wurden, das waren ebensoviele Fa¨lschungen, welche auf den, dersie beging, einen nicht zu tilgenden Makel werfen. Die neue Auflage von 1722 beginnt miteiner Ansprache an den Leser, Ad Lectorem, welche darstellt, wie Leibniz immer andereAusflu¨chte gesucht habe, wenn es sich darum handelte, die in dem Commercium Episto-licum vereinigten Beweisstu¨cke anzuerkennen oder zu widerlegen. Er sei aus dem Lebengegangen mit dem Versprechen einer Gegensammlung, aber sein Benehmen in dem durchConti vermittelten Briefwechsel zeige, dass das leere Worte waren, dass Leibniz vielmehrnichts besass, was er in jenem Sinne verwerthen konnte. Die erste Auflage des CommerciumEpistolicum sei nur sehr klein gewesen, man habe Exemplare nur an urtheilsfa¨hige Mathe-matiker geschickt, und ka¨uflich seien jetzt keine vorhanden84. Deshalb sei es wu¨nschens-werth gewesen, eine zweite Auflage zu drucken, welcher man auch einen Bericht u¨ber dasBuch, Recensionem Libri, vorausschicke, der in den P. T. fu¨r 1715 erschienen sei, etwa 7oder 8 Monate vor Leibnizens Tod. Die Recensio ist folglich dasjenige Schriftstu¨ck, des-sen englischen Wortlaut wir seither Account nannten. Die Vorrede Ad Lectorem ru¨hrt vonNewton her. Unter dessen Nachlasse haben sich fu¨nf oder sechs Entwu¨rfe jener Vorredevon der Hand des damals 79 Jahre alten Verfassers gefunden85. Ausserdem fanden sichdort Bruchstu¨cke der Recensio, welche die Abfassung auch dieser Schrift durch Newton (S.320) besta¨tigen. Man wird deshalb wohl oder u¨bel Newton fu¨r den ganzen Wortlaut derneuen Auflage mit sammt ihren Fa¨lschungen gleichkommenden Aenderungen des Textes (327)verantwortlich zu machen haben. Letztere sind genau untersucht worden86.Als auffallendstes Beispiel heben wir folgendes hervor. Im Commercium Epistolicumvon 1712 war stillschweigend angenommen, die Historiola sei wirklich an Leibniz abge-gangen (S. 311). Die neue Auflage sagt ausdru¨cklich, die Uebersendung habe am 26. Juni83Ingratum mihi valde foret a Keilio bile sua perfricari.84neque prostant venalia.85Commerc. epistol. pag. X.86De Morgan, On the additions made to the second edition of the Commercium Epistolicum. Philoso-phical Magazine. January–June 1848 pag. 446 bis 456.164 Band 31676 stattgefunden87, und durch eine solche Datirung, die mit voller Bestimmtheit ausge-sprochen ist, wird selbstversta¨ndlich die Thatsache unbestreitbar. Ein kleiner Umstand istfreilich dabei unerla¨sslich: die Richtigkeit des Datums. Nun hat aber Oldenburg am 26. Juni[S]1676 u¨berhaupt nicht an Leibniz geschrieben. Spitzfindigkeit, kann man sagen. Man kennteinen Brief Oldenburgs an Leibniz vom 26. Juli 1676 und daraus konnte leicht durch einenLesefehler, einen Schreibfehler, einen Druckfehler jenes irrige Datum entstehen. Gut, aberwas stand in dem Briefe vom. 26. Juli? Demselben lag die Abschrift von Newtons erstemBriefe vom 13. Juni 1676 bei, und Oldenburg theilte Leibniz (S. 79) Reihen des verstor-benen Gregory mit, die Collins gesammelt habe. Folglich ist am 26. Juli 1676 die[T]Historiola nicht an Leibniz abgegangen. Von Newtons Tangentenbriefe steht aber inOldenburgs Schreiben (S. 179) sonst nichts, als was Newton behaupte, leisten zu ko¨nnen.Das Beispiel, das im Tangentenbriefe ausgerechnet enthalten war, schickte Oldenburg nicht,wenn wir auch wiederholen mu¨ssen, dass Leibniz nichts fu¨r ihn Neues aus demselben ent-nommen haben wu¨rde. Doch darauf kommt es uns hier nicht an, sondern auf die Art,in welcher die zweite Auflage des Commercium Epistolicum mit der Wahrheit umsprang.Man hatte auf irgend eine Weise Kenntniss davon erhalten, dass am 26. Juli 1676 ein BriefOldenburgs an Leibniz abgegangen war. Man wu¨nschte nachzuweisen, dass Leibniz damalsim Besitze der Historiola war. Man behauptete kurzweg, dieselbe habe jenem Briefe bei-gelegen, eine ku¨hne Behauptung, wenn Oldenburgs Briefentwurf nicht erhalten war, einfreche Lu¨ge, wenn solches der Fall gewesen sein sollte.Eine eigentliche Fortsetzung hat der Priorita¨tsstreit nicht weiter gehabt. Entgegnungenvon Freunden Leibnizens blieben mehr und mehr aus. Die Auffassung der Herausgeberdes Commercium Epistolicum, Leibniz habe einen Eingriff in fremdes Geisteseigenthumbegangen, wurde im achtzehnten Jahrhunderte mehr und mehr die herrschende. Dem(328)neunzehnten Jahrhunderte war es vorbehalten, Leibniz von diesem ha¨sslichsten Vorwurfezu reinigen. Es ist heute anerkannt, dass schon im siebzehnten Jahrhunderte die Infinitesi-malrechnung so weit vorbereitet war, dass ihr hauptsa¨chlich eine einheitliche Sprache undeine Schrift fehlte. Beides hat Leibniz ihr selbsta¨ndig gegeben, so wenig es ihm einfiel inAbrede zu stellen, dass er auf den Schultern von Vorga¨ngern stand, dass diese sich ausgiebigund erfolgreich mit Infinitesimalaufgaben bescha¨ftigt hatten. Dass Newton nicht minderselbsta¨ndig Aehnliches besass, fru¨her besass als Leibniz, wird ebensowenig geleugnet wer-den, aber sein Wort Fluxion kam erstmalig 1687 in den Principien, seine Bezeichnung,in der er lange schwankte, erstmalig 1693 durch Wallis an die Oeffentlichkeit, wa¨hrendLeibnizens Abhandlung von 1684 schon als Markstein in der Geschichte der Mathematikvorhanden war. Wir nennen sie einen Markstein, weil sie, das hat schon unser XVI. Ab-schnitt reichlich bewiesen, den Ausgangspunkt bildete, von wo aus neue Wettbewerber indie Rennbahn traten, vorwa¨rts zu eilen nach entfernten Zielpunkten. Das Ende der Bahnist in den mehr als zweihundert Jahren, die inzwischen verflossen sind, weiter und immerweiter hinausgeschoben worden, aber Leibnizens Abhandlung von 1684 bildet nach wie vorden Sammelpunkt, an welchem Jeder vorbei muss, der sich am Rennen betheiligen will,Leibnizens Sprache, Leibnizens Schrift sind die unerla¨sslichen Eintrittskarten, ohne welcheNiemand zugelassen werden kann. Und Leibniz ahnte diese grosse Zukunft. Er hat fru¨hzei-tig die Bedeutung der mathematischen Form erkannt, die seine Gegner nicht sahen, odernicht sehen wollten. Auch u¨ber den Priorita¨tsstreit als solchen haben die Ansichten sichgekla¨rt, leider dahin gekla¨rt, dass seine gru¨ndliche Durchforschung allen Betheiligten ohneirgend eine Ausnahme zum Nachtheile gereicht.87Haec Collectio ad D. Leibnitium missa fuit 26. Junii 1676.95. Kapitel 165Kleine Bemerkungen zum Kapitel 95[A] Statt ”John Machin war Professor der Astronomie am Gresham College in London“lies: ”John Machin wurde ein Jahr nach der Anfertigung des Berichtes zum Professorder Astronomie am Gresham College in London ernannt“. Ch. Hutton gibt inseinem Philosophical and mathematical dictionary (siehe New edition, London 1815,II S. 1) das Datum der Ernennung (16. Mai 1718) an.BM 7, 304 G. Enestro¨m.[B] Herr Cantor berichtet hier u¨ber einige Angaben des Commercium epistolicum, dieer als ”Verda¨chtigungen“ der Leibnizschen Entdeckungen bezeichnet, und die zweiteFolge solcher Angaben bezieht sich auf die Entdeckung der Reihe fu¨r pi4 . Nun hat HerrCantor fru¨her (S. 76–80) die Entdeckungsgeschichte dieser Reihe erza¨hlt, und eszeigte sich dabei, daß Leibniz schon vor dem 7. November 1674 Huygens die Reihemitgeteilt hatte, wa¨hrend er erst 1675 von Oldenburg Kenntnis der EntdeckungGregorys bekam. Aus dieser Erza¨hlung muß der nicht sachkundige Leser folgern,daß die Herausgeber des Commercium epistolicum keinen wirklichen Grund gehabthaben, Leibniz des Diebstahls zu beschuldigen. Auch Herr Cantor selbst scheintdieselbe Auffassung zu haben, denn sonst ha¨tte er wohl nicht in diesem Falle das Wort”Verda¨chtigungen“ benutzt. Im folgenden werde ich die Frage zum Gegenstand einerna¨heren Untersuchung machen; die von mir ohne weiteren Verweis zitierten Briefesind im Commercium epistolicum zum Abdruck gebracht.Das a¨lteste Aktenstu¨ck, woraus die Herausgeber des Commercium epistolicum erfah-ren konnten, daß sich Leibniz mit der Reihe fu¨r pi4 bescha¨ftigt hatte, ist ein BriefLeibnizens an Oldenburg vom 15. Juli 1674 (vgl. BM 103, 1909/10, S. 69 –70),aber hierin sagt Leibniz nur, daß der Kreisumfang durch eine unendliche Reihe vonrationalen Zahlen ausgedru¨ckt werden kann, und etwa dasselbe wiederholte er in sei-nem Briefe an Oldenburg vom 16. Oktober 1674. In dem Antwortschreiben vom8. Dezember 1674 deutete dieser an, die Engla¨nder ha¨tten schon a¨hnliches gefunden;dann folgte Leibnizens Brief vom 30. Ma¨rz 1675, aus dem ich schon fru¨her die wich-tigste Stelle wo¨rtlich zum Abdruck gebracht habe (siehe BM 103, 1909/10, S. 70),und woraus hervorgeht, daß Leibniz versprach, seine Reihe zu u¨bersenden, wennOldenburg ihm Auskunft u¨ber das Verfahren von Collins, um gewisse endlicheZahlenreihen zu summieren, geben wollte. Die Bedingung erfu¨llte Oldenburg so-weit mo¨glich durch sein Schreiben vom 12. April 1675 (siehe C. I. Gerhardt, DerBriefwechsel von G. W. Leibniz mit Mathematikern 1, Berlin 1899, S. 120–12l),aber dieses Schreiben enthielt zugleich die Reihearctan t = t− t33r2+t55r4− t77r6+t99r8+ . . .,und da diese Reihe fu¨r t = 1, r = 1 in die Leibnizsche Reihe fu¨r pi4 u¨bergeht, wares natu¨rlich unnu¨tz, daß Leibniz sein Versprechen erfu¨llte. Allein statt ganz einfachhierauf hinzuweisen, antwortete Leibniz am 20. Mai 1675 auf folgende Weise:Cum nunc praeter ordinarias curas mechanicis imprimis negotiis distrahar,non potui examinare series quas misistis, ac cum meis comparare. Ubifecero, perscribam tibi sententiam meam. Nam aliquot jam anni sunt quodinveni meas via quadam sie satis singulari.166 Band 3Muß man nicht sofort anerkennen, daß diese Antwort Leibnizens fu¨r die Herausge-ber des Commercium epistolicum ein wirklicher Grund war, um zu bezweifeln, daßLeibniz vor dem Empfang der Oldenburgschen Mitteilung vom 12. April 1675 dieReihe fu¨r pi4 kannte?Leibniz weist auf seine anderen Arbeiten hin, aber das Konstatieren der Tatsache,daß die zwei Reihenarctan t = t− t33r2+t55r4− t77r6+t99r8etc.pi4= 1− 13+15− 17+19etc.fu¨r t = 1, r = 1 identisch werden, erfordert ja kaum eine Minute, und Leibniz hatteZeit dazu, einen ziemlich langen Brief (der sicherlich wenigstens eine Stunde erforderthatte) an Oldenburg zu schreiben! U¨brigens hatte ja Leibniz versprochen, seineReihe zu u¨bersenden, und auch wenn er nicht ganz mit der Erfu¨llung der Bedingungbefriedigt sein konnte, war dies kein hinreichender Grund, das Versprechen ohneweiteres als gar nicht existierend zu betrachten.Aber die Herausgeber des Commercium epistolicum hatten noch einen anderenGrund, die Behauptung Leibnizens in betreff der Reihe fu¨r pi4 in Verdacht zu ha-ben. Als Leibniz am 16. Oktober 1674 an Oldenburg u¨ber die Entdeckung seinerReihe fu¨r pi4 schrieb, fu¨gte er hinzu : ”eadem methodo etiam arcus cujuslibet, cujussinus datur geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest“; nach seiner eige-nen Aussage war er also schon 1674 im Besitze einer Reihe fu¨r arcsinx. Allein alsihm Georg Mohr im Jahre 1676 die zwei Reihenarcsinx = x+16x3 +340x5 +5112x7 +351152x9 etc.sin z = z − 16z3 +1120z5 − 15040z7 +1362880z9 etc.mitteilte, nannte er in seinem Briefe an Oldenburg vom 12. Mai 1676 diese Reihen”valde ingeniosae“, a¨ußerte den Wunsch, die Herleitung der zweiten Reihe zu bekom-men, und versprach, als Ersatz seine ”ab his longe diversa circa hanc rem meditata“an Oldenburg zu senden. Muß man nicht hieraus folgern, daß Leibniz im Jah-re 1674 nicht die obige Reihe fu¨r arcsinx gefunden hat? Und wenn diese Folgerungrichtig ist, welches war die allgemeine Reihe fu¨r arcsinx, die Leibniz nach seinereigenen Aussage besaß? Meines Wissens hat Leibniz erst in einem Zusatze zu seinemCompendium quadraturae arithmeticae (Mathematische Schriften, herausgegeben vonC. I. Gerhardt, 5, Halle 1858, S. 112) eine Reihe fu¨r arcsinx gegeben, und teilsist diese Reihe genau die ihm durch Mohr u¨bersandte, teils ru¨hrt das Compendiumnach Gerhardt (a. a. O. S. 86) vermutlich erst aus dem Jahre 1678 oder 1679 her.Nun kann man fragen: wie wollten die Herausgeber des Commercium epistolicumerkla¨ren, daß Leibniz 1674 wissen konnte, pi4 sei durch eine unendliche Reihe vonrationalen Zahlen darstellbar? Die Antwort auf diese Frage ist leicht. Es war bekannt,daß Leibniz bei seinem ersten Besuche in London 1673 mit Pell und Oldenburgu¨ber mathematische und mechanische Gegensta¨nde gesprochen hatte. Es war auchbekannt, daß Gregory schon 1671 seine Arkustangensreihe an Collins, der ja in95. Kapitel 167London wohnte und sowohl mit Pell als mit Oldenburg verkehrte, gesandt hatte.Es war also gar nicht unwahrscheinlich, daß Pell oder Oldenburg etwas von derEntdeckung Gregorys kannte und im Voru¨bergehen Leibniz mitgeteilt hatte, eshandle sich um eine unendliche Reihe von rationalen Zahlen.Ich wage es also zu behaupten, daß die Angaben der Herausgeber des Commerciumepistolicum in betreff der Entdeckung der Reihe fu¨r pi4 nicht als eine ”Verda¨chtigung“bezeichnet werden ko¨nnen, sondern daß Leibniz selbst durch sein eigentu¨mliches Be-nehmen die Beschuldigung des Diebstahls veranlaßt hat. Meines Wissens gibt es nureinen wirklichen Beleg dafu¨r, daß Leibniz seine Reihe vor dem Empfang des Olden-burgschen Briefes vom 12. April 1675 entdeckt hatte, na¨mlich den Brief von Huy-gens vom 7. November 1674 (Oeuvres de Huygens 7, La Haye 1897, S. 393–395),und dieser Brief war ja den Herausgebern des Commercium epistolicum unbekannt.Wa¨re dieser Brief nicht vorhanden, so wu¨rde die Frage meiner Ansicht nach bis aufweiteres unentschieden bleiben mu¨ssen.BM 11, 259–261 G. Enestro¨m.[C] Nach Herrn Cantor (Z. 25–26) behauptete das Commercium epistolicum, daß Leib-niz die Reihe fu¨r pi4 aus den ihm zugeschickten Briefen1 Gregorys an Collins kann-te, aber diese Angabe des Herrn Cantor ist ungenau. Aus dem folgenden Absatzgeht hervor, daß Herr Cantor die Briefe von Gregory meint, die die ”Historiola“von Collins bildeten, und allerdings gibt die zweite Auflage des Commercium epi-stolicum an, daß die ”Historiola“ 1676 an Leibniz gesandt wurde. Allein die beidenAusgaben der Streitschrift geben ausdru¨cklich an (e´d. Biot et Lefort S. 93–95),daß Leibniz schon 1675 von der Entdeckung Gregorys Kenntnis bekam, und zwardurch eine von Oldenburg verfertigte lateinische U¨bersetzung eines englischen Brie-fes, von Collins. Darum sagt auch die ”Recensio libri“, die bekanntlich vonNewtonselbst herru¨hrt (a. a. O. S. 18): ”In epistola a Collinio scripta dataque 15. Apr. 1675,Oldenburgius ad Leibnitium misit . . . [seriem] pro inventione arcu, cujus tangensdata est“. Statt ”aus den ihm zugeschickten Briefen Gregorys an Collins“ solltealso bei Herrn Cantor ”aus der ihm 1675 zugeschickten U¨bersetzung eines Briefesvon Collins an Oldenburg“ stehen.Durch diese Verbesserung der Cantorschen Darstellung wird der Absatz S. 310 Z.27 – S. 311 Z. 15 gegenstandslos und sollte also an dieser Stelle gestrichen werden.Indessen berichtet Herr Cantor darin u¨ber die ”Historiola“ von Collins, und da ersich S. 327 auf diesen Bericht beruft, ist es angebracht, den Absatz zum Gegenstandeiner besonderen Bemerkung (siehe unten) zu machen.BM 11, 82 G. Enestro¨m.[D] Was Herr Cantor hier u¨ber die ”Historiola“ von Collins sagt, ist meiner Ansichtnach wesentlich irreleitend, weil es zwei verschiedene Schriften gab, die im Commer-cium epistolicum gelegentlich ”Historiola“ genannt wurden, und weil Herr Cantordiese zwei Schriften nicht unterscheidet. Die zwei Schriften befinden sich noch imArchiv der ”Royal society“, die erste hat den Titel: ”Extracts from Mr. Gregoriesletters“, die zweite hat die U¨berschrift: ”To Leibnitz the 14th of June 1676 about1oder dem ihm zugeschickten Briefe? In den beiden Auflagen der Vorlesungen steht”aus den (!) ihmzugeschickten Briefe (!)“.168 Band 3Mr. Gregories remains“. Die erste Schrift, die Collins am Anfang eines Briefesan David Gregory vom 11. August 1676 unter dem Namen ”Historiola“ erwa¨hnte,war eine Sammlung von Briefen und anderen Papieren, die zweite ein Auszug ausdieser Sammlung. Die zweite Schrift ist vermutlich die ”Narratio“, von der Collinsin dem soeben zitierten Brief spricht; in einem undatierten Brief von ihm an Ol-denburg wird diese Schrift teils ”Account“, teils ”Extracts from Mr. Gregory’sletters, to be lent Monsieur Leibnitz to peruse“ genannt, und Newton hat dieSchrift wenigstens zweimal ganz einfach ”Extracts of Gregory’s letters“ genannt(siehe Den Briefwechsel von G. W. Leibniz mit Mathematikern, herausgeg. von C.I. Gerhardt I, Berlin 1899, S. 288, 293). Es lag also sehr nahe, die zwei Schriften zuverwechseln, und offenbar haben schon die Herausgeber des Commercium epistolicumsich eine solche Verwechselung zu Schulden kommen gelassen, denn sie u¨bersetztendas Wort ”Account“ durch ”Historiola“ und fu¨gten dem oben zitierten undatiertenBrief von Collins eine Bemerkung hinzu, die als eine Besta¨tigung der Verwechse-lung betrachtet werden kann. Auch Herr Cantor unterscheidet die zwei Schriftennicht, und eben darum wird seine Darstellung irreleitend. Beachtet man dagegen, daßes zwei von Collins angefertigte Schriften gab, so verschwindet der scheinbare Wi-derspruch zwischen den Behauptungen des Commercium epistolicum und dem Briefvon Oldenburg an Leibniz vom 26. Juli 1676. Dieser Brief entha¨lt na¨mlich eineAbschrift der kleineren ”Historiola“, wa¨hrend Leibniz die gro¨ßere ”Historiola“, diefu¨r die ”Royal society“ zusammengestellt wurde, nie zu Gesicht bekam.BM 11, 82–83 G. Enestro¨m.[E] Herr Cantor erwa¨hnt nach Edleston den Umstand, daß eine Stelle der Zwischen-erza¨blung des Commercium epistolicum wo¨rtlich mit dem Beginn des NewtonschenAufsatzes: ”Ex epistola cujusdam ad amicum“ u¨bereinstimmt und folgert hieraus,”daß Newton Mitarbeiter am Commercium epistolicum war“. Aber diese Schlußfol-gerung ist meines Erachtens durchaus unbegru¨ndet. Die fragliche Stelle lautet (siehedie Ausgabe von Biot und Lefort, Paris 1856, S. 157):Anno . . . 1683 ad finem vergente, D. Newtonus Propositiones principalesearum quae in Philosophiae principiis mathematicis habentur Londinummisit, eaedemque cum societate regia mox communicatae sunt; annoque1686 liber ille ad societatem missus est ut imprimeretur, proximoque annolucem vidit.Allein diese Stelle beweist ja nur, daß der Verfasser der Zwischenerza¨hlung den Auf-satz Newtons oder eine Abschrift desselben zur Verfu¨gung hatte. Wa¨re die Can-torsche Schlußweise richtig, so wu¨rde man zu ho¨chst merkwu¨rdigen Ergebnissenin betreff der Mitarbeit an wissenschaftlichen Werken gelangen ko¨nnen. Der langeAbsatz: ”Wer war . . . ungelo¨stes Ra¨tsel bleiben“ sollte darum meiner Ansicht nachdurch einfache Erwa¨hnung des von Edleston bemerkten Umstandes ersetzt werden.BM 11, 261 G. Enestro¨m.[F] Daß man vor 1745 ”nur vermutete“, Johann Bernoulli sei der Verfasser des indas Flugblatt von 1713 aufgenommenen Briefes, ist wohl zu wenig gesagt. Was HerrCantor selbst S. 315 mitteilt, du¨rfte genu¨gen, um zu beweisen, daß der Verfasserdes Briefes lange Zeit vor 1745 als allgemein bekannt betrachtet werden konnte, und95. Kapitel 169weitere Belege hierfu¨r sind leicht zu bieten. Beispielsweise sagtWolff in der drittenAuflage des Anhanges (”Kurtzer Unterricht von den vornehmsten mathematischenSchrifften“, S. 60) der Anfangsgru¨nde aller mathematischen Wissenschaften (Halle1725) in betreff des Flugblattes von 1713:so gefiel ihm [Leibniz] besser, daß unter dessen nur ohne Nahmen desOrtes und des Autoris bekandt gemacht ward, daß er in Wien wa¨re unddas Commercium epistolicum noch nicht gesehen ha¨tte, und dabey desHerrn Bernoulli Gru¨nde aus einem an ihn abgelassenen Schreibenangefu¨hret worden, warum man ihm die Erfindung nicht streitig machenko¨nte.Vielleicht steht dieser Passus schon in der zweiten Auflage (1717) der Anfangsgru¨nde.BM 11, 261–262 G. Enestro¨m.Ich habe jetzt konstatiert, daß der Passus, den ich in meiner vorigen Bemerkung (BM11, 1910/1], S. 262) zitierte, wo¨rtlich schon in der zweiten Auflage (Halle 1717, S.56 des Anhangs) der Anfangsgru¨nde aller mathematischen Wissenschaften von Chr.Wolff vorkommt (statt ”warum“ steht hier ”warumb“).BM 12, 168 G. Enestro¨m.[G] Die letzten Worte: ”Johann Bernoulli [hatte] noch am 5. Juli 1719 die Versiche-rung gegeben, man werfe ihm mit Unrecht jene A¨ußerungen [vom 7. Juni 1713] vor“sind richtig, aber es wa¨re vielleicht von Interesse zu bemerken, teils daß die zitier-te Versicherung in einem Briefe von Bernoulli an Newton vorkommt, teils daßBernoulli dabei recht deutlich, wenn auch nicht ganz direkt, Leibniz einer Lu¨gebeschuldigte. Ich drucke hier nach Brewster einige Zeilen aus dem Briefe ab.Absit ut credam Leibnitium . . . me nominando fucum vobis facere voluisse. . . non tamen omni culpa vacabat, quod tam temere et imprudenter aliquidperscripserit, cujus nullam habebat notitiam [! es handelt sich um den Brief,den Bernoulli selbst an Leibniz geschrieben hatte] . . . Sed festinabat virbonus, existimans forsan, causam suam aliquid inde roboris accepturam,parum sollicitus, utrum mihi incommoda necne futura esset conjecturalis[!!] illa relatio.Die letzte Fußnote der Seite 315 lautet: ”Brewster, Memoirs of the life . . . of . . .Newton (London 1854) u, 503. Vgl. Giesel, Delitzscher Schulprogramm fu¨r 1866,S. 20 Note 76.“ Hier wa¨re es korrekter, statt ”Vgl.“ die Worte: ”Angefu¨hrt nach“zu setzen, denn auf Grund der Angabe ”London 1854“ ist es fast sicher, daß HerrCantor nicht Brewster zu Rate gezogen hat. In Wirklichkeit tragen na¨mlich diezwei Ba¨nde der Arbeit von Brewster das Druckjahr MDCCCLV, und das Vorwortdes 1. Bandes ist vom 12. Mai 1855 datiert, wa¨hrend bei Giesel das unrichtigeDruckjahr 1854 vorkommt; auch die Gieselsche Angabe des Druckortes ist nichtganz genau, denn auf den Titelbla¨ttern steht erst: ”Edinburgh: Thomas Constableand Co.“ [vgl. die Ru¨ckseiten der Titelbla¨tter] und dann mit etwas kleineren Schriften:”Hamilton, Adams and Co., London“.BM 12, 264–265 G. Enestro¨m.170 Band 3[H] Es gibt in den Vorlesungen eine sehr große Zahl von auffa¨lligen Angaben, aber esdu¨rfte wenige Angaben geben, die den sachkundigen Leser so verblu¨ffen, wie dieBehauptung (Z. 21): ”Das ist allerdings nicht geschehen“ mit dem Zusatz (Z. 21–23):”Newton hielt vielmehr (!) . . . die Richtigkeit der Darstellung (!) in den Principienaufrecht.“ Es handelt sich um den bekannten, schon 1710 von Johann Bernoulli(siehe seinen Brief an Leibniz vom 12. August 1710; Leibnizens MathematischeSchriften, herausg. von C. I. Gerhardt 3 : 2, Halle 1856, S. 854) entdeckten Fehlerdes 10. Satzes des 2. Buches der Originalausgabe (1687) der Philosophiae naturalisprincipia mathematica, und Herr Cantor erwa¨hnt erst den Vorwurf mangelndenVersta¨ndnisses der ho¨heren Differentiation, den Nikolaus I. Bernoulli auf Grundder Lo¨sung des Problems gegen Newton richtete; dann fa¨hrt Herr Cantor auffolgende Weise fort:Spa¨ter wiederholte Johann Bernoulli in einem Aufsatze in den A. E.von 1713 den Vorwurf mit der Bemerkung, Nicolaus Bernoulli, der erstju¨ngst in England gewesen sei, habe Newton auf den Fehler aufmerksamgemacht, und Newton beabsichtige, wie er ho¨re, in der grade im Druckbefindlichen zweiten Auflage der Principien die Stelle mittelst eines Car-tons zu a¨ndern. Das ist allerdings nicht geschehen. Newton hielt vielmehrin Briefen an Keill, insbesondere in einem solchen vom 20. April 1714,die Richtigkeit der Darstellung in den Principien aufrecht, bei der es sichgar nicht um Fluxionen, sondern nur um Entwicklung in eine convergenteReihe handle.In der Fußnote 2 verweist HerrCantor auf I, 556 derOpera von Johann Bernoulliund dort befindet sich die Bemerkung:quam [d. h. die A¨nderung des 10. Satzes des 2. Buches der Principia] vir in-comparabilis [Newton] . . . ante absolutam impressionem novae editionis,opportune monitus, singulari scheda libro suo inserere non fuit (!) dedigna-tus.Johann Bernoulli behauptet also nicht nur, daß Newton eine A¨nderung in Aus-sicht nahm, sondern auch, daß die A¨nderung wirklich ausgefu¨hrt worden war, d. h.gerade das Gegenteil der Cantorschen Angabe. Daß eine A¨nderung no¨tig war, gehtaus dem zitierten Bande der Opera von Johann Bernoulli hervor, denn dort befin-det sich S. 481–501 ein ”Excerptum ex celeberrimi Newtoni Philosophiae naturalisprincipiis mathematicis“, worin eben der 10. Satz des 2. Buches teils ”ex editione pri-ma“, teils ”ex editione ultima“ zum Abdruck gebracht wird, und woraus man sofortersieht, daß wesentliche A¨nderungen vorgenommen worden sind. Anderseits ergibtsich aus den beigefu¨gten Seitenzahlen ”252, 253 usw.“, daß der Auszug nicht aus derzweiten2, sondern aus der dritten Auflage herru¨hrt, so daß man aus dem ”Excerp-tum“ keine sichere Folgerung ziehen kann. Dagegen ist die A¨nderungsfrage in demBriefwechsel, zwischen Johann Bernoulli und Leibniz oft beru¨hrt worden und ichzitiere hier unten einige Ausspru¨che Johann Bernoullis in betreff des fraglichen2Bekanntlich tragen die zwei Amsterdamer Abdrucke der zweiten Auflage auf dem Titelblatte die Worte:”editio ultima“, so daß der Ausdruck:”ex editione ultima‘ zweideutig ist.95. Kapitel 171Satzes der Principia (siehe Leibnizens Mathematische Schriften, herausg. von C. I.Gerhardt 3 : 2, Halle 1856, S. 921, 925, 937).[Brief vom 9. September 1713.] ”erroris correcturam postea, singulari sche-da, suo libro nondum edito inseruit (!) Newtonus.“[Brief vom 6. Dezember 1713.] ”quem notavi errorem Newtoni circa deter-minationem medii, cujus resistentia data curva describatur, correxit(!) innova editione, antequam publicaretur, per interpolationem alicujus schedae. . . priorem [d. h. die soeben erwa¨hnte] correctionem ita inseruit (!).“[Brief vom 6. Februar 1715.] ”Non addit [Keilius] quod hic error, quan-tumque facilis, mansisset (!) incorrectus in nova editione Principiorum phil.si Newtonus de eo non fuisset opportune monitus.“U¨berall behauptet also Johann Bernoulli bestimmt, daß die A¨nderung wirklichausgefu¨hrt wurde.Ziehen wir ferner den Briefwechsel zwischen Newton und Cotes zu Rate, so fin-den wir dort folgende Stellen (Edleston, Correspondence of Isaac Newton andCotes, London 1850, S. 142, 145, 146).[Newton an Cotes 14. Oktober 1712.] ”There is an error in the tenthproposition of the second book, prob. III, which will require the reprintingof about a sheet & an half. I was told of it since I wrote to you. & amcorrecting it. I will pay the charge of reprinting it, & send it to you as soonas l can make it ready.“[Newton an Cotes 6. Januar 1713.] ”I send you enclosed the tenth pro-position of the second book corrected. It will require the reprinting of asheet & a quarter from pag. 230 to pag. 240.“[Cotes an Newton 13. Januar 1713]. ”I have considered your alterationof prop. X, lib. II and am well satisfied with it.“Ich habe bisher ausschließlich auf die Arbeiten Bezug genommen, die Herr Cantorselbst wiederholt benutzt hat, und aus den Zitaten geht mit einer an Wahrheitstreifenden Wahrscheinlichkeit hervor, daß Newton wirklich den Fehler berichtigthat. Dagegen habe ich nirgend einen Beleg fu¨r die Cantorsche Behauptung ”Dasist allerdings nicht geschehen“ auffinden ko¨nnen.Zu mehrerer Sicherheit kann man natu¨rlich die zwei ersten Auflagen der Principia,vergleichen, aber eigentlich genu¨gt es, die zweite Auflage einzusehen, denn darausfindet man: 1. daß die zwei Seiten 231 und 232 auf einem Karton gedruckt sind (inmeinem Exemplar entdeckt man sofort, daß dieses Blatt nicht mit dem Blatt Gg (S.225–226) zusammenha¨ngt, sondern statt eines ausgeschnittenen Blattes eingeklebtworden ist); 2. daß der Text S. 231–240 der zweiten Auflage mit dem Text ”ex editioneultima“ des oben zitierten ”Excerptum“ u¨bereinstimmt.Aber dies ist noch nicht alles, denn der Zusatz: ”Newton hielt vielmehr die Dar-stellung der Richtigkeit in den Principien aufrecht” ist fu¨r den sachkundigen Leserkaum weniger u¨berraschend als die Angabe: ”Das ist allerdings nicht geschehen.“ Be-kanntlich enthielt der Vorwurf Johann Bernoullis zwei Behauptungen, na¨mlich172 Band 3teils daß die Lo¨sung des 10. Satzes des 2. Buches der Principia fehlerhaft war (dashatte Johann Bernoulli schon 1710 gefunden), teils daß der Fehler auf man-gelndem Versta¨ndnisse der ho¨heren Differentiation beruhte (das glaubte NikolausBernoulli 1711 oder 1712 entdeckt zu haben). Die Richtigkeit der ersten Behaup-tung erkannte Newton an, aber die Richtigkeit der zweiten Behauptung verneinteer, und Lagrange hat 1797 in seiner The´orie des fonctions analytiques (S. 244–251)nachgewiesen, daß Newton Recht hatte. Fu¨r diesen Zweck dru¨ckte Lagrange erstdie Newtonsche Herleitung analytisch aus und erhielt dadurch die Formel %γ =δa4γ2.Nach Einsetzung der richtigen Werte fu¨r δ, a und γ bekam er%γ= −y′′′√1 + y′23y′′2wa¨hrend die richtige Formel%γ= −y′′′√1 + y′22y′′2ist. Die Formel %γ =δa4γ2ist folglich unrichtig, und als Grund der Unrichtigkeit gab La-grange an, daß bei der Newtonschen Herleitung gewisse unendlich kleine Gro¨ßendritter Ordnung vernachla¨ssigt werden, obgleich das Resultat dadurch beeinflußtwird. Die Erkla¨rung des Fehlers pra¨zisierte Edleston (a. a. O. S. 17l) dahin, daßNewton unrichtig die zwei Strecken FG und fg, deren Differenz eine unendlich klei-ne Gro¨ße dritter Ordnung ist, als gleich groß betrachtete. U¨berdies wies Lagrangedarauf hin, daß die Schlußformel allerdings richtig wird, wenn man y′′ und y′′′ statty′′1·2 undy′′′1·2·3 substituiert, daß aber dieser Umstand nicht, wie Nikolaus und JohannBernoulli glaubten, etwas mit der Newtonschen Herleitung zu tun hat, sondernauf einem Zufall beruht.Es du¨rfte jetzt klar sein, warum die Cantorsche Angabe: ”Newton hielt vielmehrdie Richtigkeit der Darstellung in den Principien aufrecht“ den sachkundigen Leserganz besonders u¨berraschen muß. Das Wahre dieser Angabe besteht darin, daß New-ton nicht, wie Johann Bernoulli behauptete, in den Principia d2ydx2und d2ydx3mit12d2ydx2und 16d3ydx3verwechselt hatte, und auf Grund dieser Tatsache konnte Newtonden Vorwurf mangelnden Versta¨ndnisses der ho¨heren Differentiation zuru¨ckweisen.U¨ber die ”Darstellung in den Principien“ a¨ußerte sich Newton nicht, und in Wirk-lichkeit hatte er ja schon 1713 den Fehler der ersten Auflage durch Neudruck von 10Seiten entfernt.Ich habe oben die Angabe des Herrn Cantor als verblu¨ffend bezeichnet. Nun gibt esja verblu¨ffende Angaben, die eigentlich recht harmlos sind, z. B. wenn man behaup-tete, Newton habe urspru¨nglich die Principia spanisch geschrieben und erst spa¨tereine lateinische U¨bersetzung angefertigt. Aber die Angabe, um die es sich hier han-delt, ist von einer ganz anderen Natur. Allerdings deutet Herr Cantor nachtra¨glich(Z. 25–26) an, daß Newton in den Principia keinen wirklichen Fehler begangenha¨tte, aber auch in diesem Falle bekommt man keinen hohen Gedanken von den ma-thematischen Kenntnissen Newtons, der ja nach der Cantorschen Darstellung erstbeabsichtigte, die gedruckte Stelle mittelst eines Kartons zu a¨ndern. Dies deutet wohldarauf hin, daß Newton anfangs eine unrichtige Vorstellung von der Bedeutung desVorwurfes gehabt haben wu¨rde. Noch schlimmer wird natu¨rlich die Sache, wenn der95. Kapitel 173Leser weiß, daß in der ersten Auflage der Principia wirklich ein Fehler vorkam. Indiesem Falle mu¨ssen durch die Cantorsche Darstellung entweder die mathemati-schen Kenntnisse oder die wissenschaftliche Aufrichtigkeit Newtons in einem sehrungu¨nstigen Lichte erscheinen. In Wahrheit ist Newton durchaus korrekt verfahren.Sobald er auf den Fehler aufmerksam gemacht wurde, erkannte er die Richtigkeit derBemerkung an, redigierte einen verbesserten Text und ließ denselben durch Coteszum Abdruck bringen, wobei fu¨nf fru¨her gedruckte Bla¨tter (S. 231–240) makuliertwurden.BM 11, 262–265 G. Enestro¨m.[I] Die Worte (Z. 25–27): ”Von dem Fehler in der Quadratura curvarum, der wirklichein Fehler ist (S. 285), schwieg Newton wohlweislich“, sollten gestrichen werden, dakein wirklicher Fehler vorkommt (vgl. oben die Bemerkung zu 3 : 285).BM 11, 265 G. Enestro¨m.[J] Es wa¨re meines Erachtens eine wirkliche Verbesserung, den Passus (Z. 1–5): ”Wie we-nig ernst das gemeint war, oder wie wetterwendisch die Stimmung wechselte, zeigt dasfru¨her (S. 309) Erza¨hlte, daß man am 17. Juni, genau vier Wochen nach der Sitzungvom 20. Mai, Exemplare des Commercium epistolicum zugunsten der Gesellschafts-kasse dem Buchhandel u¨berließ“ ohne weiteres zu streichen. Denn die ”Royal society“hatte ja durch den Titel hervorgehoben, daß sie das Commercium epistolicum wegender Aktenstu¨cke hatte drucken lassen, und wenn Exemplare dem Buchhandel u¨ber-lassen wurden, bedeutete dies nur, daß die ”Royal society“ am 17. Juni keinen Anlaßhatte, die Verbreitung der Aktenstu¨cke zu verhindern. Aber dieser Umstand hat janur insofern etwas mit dem Urteil des Pru¨fungsausschusses zu tun, als er zeigt, daßdie Gesellschaft nicht am 17. Juni 1714 das Urteil durchaus mißbilligte, obgleich siedavon Abstand nahm, es als einen fo¨rmlichen Geselischaftsbeschluß anzuerkennen.BM 11, 265 G. Enestro¨m.[K] Z. 14 soll natu¨rlich ”1714“ statt ”1715“ stehen; in Wahrheit bringt die erste Auflagedes 3. Bandes der Vorlesungen (S. 306 Z. 23) die richtige Jahreszahl. Ho¨chstwahr-scheinlich kennt Herr Cantor den Artikel des Journal lite´raire nur aus demkurzen Auszuge bei Biot und Lefort. Weitere Aufschlu¨sse u¨ber den Artikel findetman im Briefe Johann Bernoullis an Leibniz vom 6. Februar 1715 (LeibnitzensMathematische Schriften, herausg. von C. I. Gerhardt 3:2, Halle 1856, S. 936–937)und bei Brewster (Memoirs of the life, writings, and discoveries of I. Newton 2,Edinburgh 1855, S. 54).BM 13, 169 G. Enestro¨m.[L] In betreff der Angabe, daß der zweite Newtonsche Brief gegen das Ende des Jahres1676 Leibniz in London vorgelegen hat, behauptet Herr Cantor daß sie ”wie grund-los auch ohne jede mo¨gliche Stu¨tze“ ist. Allein das Aktenstu¨ck von Newton, u¨berdas Herr Cantor weiter unten S. 322–323 berichtet, entha¨lt den folgenden Passus(siehe Den Briefwechsel von G. W. Leibniz mit Mathematikern, herausgeg. von C.I. Gerhardt 1, Berlin 1899, S. 272): ”he [Leibniz] instances in a paragraph con-cerning my ignorance . . . that he saw this paragraph in the hands of Mr. Collinswhen he was in London the second time, that is, in october 1676. It is in my letterof the 24th of octob 1676, and therefore he then saw that letter“. Der Ausspruch174 Band 3Leibnizens, auf den Newton hier hinweist, ist der folgende (a. a. O. S. 264): ”a` monsecond voyage [d’Angleterre] M. Collins me fit voir une partie de son commerce, etj’y remarquay que M. Newton avoua aussi son ignorance sur plusieurs choses, et ditentre autres qu’il n’avoit rien trouve´ sur la dimension des curvilignes celebres que ladimension de la cissoide“. Wenn man nun weiter bemerkt, daß der Brief Newtonsvom 24. Oktober 1676 folgende Stelle entha¨lt (a. a. O. S. 211): ”in simplicioribus vul-goque celebratis figuris vix aliquid relatu dignum reperi, quod evasit aliorum conatus,nisi forte longitudo cissoidis ejusmodi censeatur“, und daß ein a¨hnlicher Ausspruch,soweit bekannt ist, in keinem a¨lteren Briefe von Newton vorkommt, so folgt hieraus,daß Leibniz nach seiner eigenen Aussage bei seinem zweiten Aufenthalt in Lon-don wenigstens einige Zeilen des Briefes vom 24. Oktober 1676 gesehen haben muß.Und dennoch nennt Herr Cantor die oben zitierte Angabe ”wie grundlos auch ohnejede mo¨gliche Stu¨tze“!!Nun kann man ja bemerken, daß die Aussage von Leibniz aus dem Jahre 1715herru¨hrt und darum einen Geda¨chtnisfehler enthalten kann. Die Bemerkung istnatu¨rlich an sich nicht unrichtig, aber hat man in diesem Falle irgendeinen be-stimmten Grund einen Geda¨chtnisfehler anzunehmen? Meines Wissens gibt es keinensolchen Grund. Herr Cantor fragt freilich (Z. 15 –17): ”Ha¨tte Oldenburg ihm[Leibniz], wenn er bei Eintreffen des Newtonschen Briefes noch in London gewe-sen wa¨re, denselben nicht ausgeha¨ndigt?“. Die Frage kann sehr leicht beantwortetwerden. Erstens hatte Newton am 26. Oktober 1676 einen Brief an Oldenburggeschrieben, worin er diesen ersuchte, einige A¨nderungen einzufu¨hren (siehe Edle-ston, Correspondence of Isaac Newton and Cotes, London 1850, S. 257–258),und dieser Umstand allein konnte ein Grund sein, warum Collins nicht sofort denNewtonschen Brief vom 24. Oktober 1676 ausha¨ndigen wollte. Aber es gibt einennoch wichtigeren Grund, na¨mlich daß Collins nicht das Original des hochwichti-gen Briefes sich und Oldenburg entziehen wollte, und bekanntlich hat dieser selbstnotiert, daß der Brief erst am 4. November 1676, also nach der Abreise Leibnizensabgeschrieben wurde.Es ist sehr eigentu¨mlich, daß auch nicht G. A. Gibson, der 1896 eine in vielen Punk-ten verdienstvolle U¨bersicht des Priorita¨tsstreites brachte (siehe Proceedings ofthe Edinburgh mathematical society 14, 1896, S. 148–174), den Grund, warumLeibniz den Newtonschen Brief sehr wohl bei Collins einsehen, aber nicht sofortbekommen konnte, ausfindig gemacht, hat. Gibson sagt (a. a. O. S. 160): ”That he[Leibniz] should have seen at Collins’s a letter addressed to himself, under cover toOldenburg, and not have taken possession of it seems quite incredible (!)“ undweiter unten wiederholt er dieselbe Bemerkung S. 168 (”However improbable it isthat Leibniz then saw the letter“) und S. 173 (”that Leibniz saw Newton’s secondletter on his seeond visit to London . . . can have been at best only a guess“).Aber was Gibson als ”lediglich eine Mutmaßung“ bezeichnet, ist nur eine direkteSchlußfolgerung aus einer Behauptung Leibnizens in seinem Briefe an Conti vom6. Dezember 1715!Der ganze Absatz ”Letztere Meinung . . . nicht ausgeha¨ndigt“ sollte darum meinesErachtens gestrichen werden.BM 11, 265–267 G. Enestro¨m.95. Kapitel 175[M] Der ganze Absatz (Z. 26–32): ”Auch auf den Fehler . . . bedienen“ sollte gestrichenwerden (vgl. oben die Bemerkung zu 3 : 285). Jedenfalls sollte angegeben wordensein, daß Newton selbst auf die von ihm erwa¨hnte A¨nderung (Einschalten des Wor-tes ”et“ zwischen ”erit“ und ”ejus“) keinen Wert legte. Ohne Zweifel hatte Newtonrecht, denn allerdings wu¨rden durch die A¨nderung die Wo¨rter ”incrementum“ und”differentia“ die Bedeutung Differential in unseren Sinne bekommen, aber teils istnicht einzusehen, warum die Wo¨rter nicht in diesem Falle als gleichbedeutend mit”Korrektion“ benutzt werden ko¨nnten, teils wird durch die A¨nderung die Unklarheit,die auf der Benutzung des Wortes ”proportionalis“ beruht, nicht entfernt, sondernvielmehr vergro¨ßert. Von Interesse ist der fragliche Passus der ”Recensio libri“ eigent-lich nur, weil darin angegeben wird, daß Newton das ”Scholium“ erst nachtra¨glich1704 der Quadratura curvarum hinzufu¨gte.BM 11, 267 G. Enestro¨m.[N] Hier befindet sich folgender Passus: ”Nur ein einziger hat es gewagt, im Jahre 1722den ein Jahr vorher verstorbenen Keill als den Verfasser des ”Account“ zu nen-nen, und dieser einzige war Newton selbst.“ In einer Fußnote wird auf ”Commerc.epist. pag. X“ verwiesen, und wenn man diesen Verweis benutzt, findet man folgendeBemerkung von F. Lefort: ”dans l’annotatio qui termine la publication du Com-mercium Epistolicum, il [Newton] attribue indirectement a` Keill le Recensio; ’EtKeillius hoc notaverat anno 1711 (pag. 37. 238).‘ Cette page 37 (33 de notre edi-tion) se rapporte au Recensio.“ Die Annotatio selbst ist in der Ausgabe 1856 desCommercium epistolicum abgedruckt, und die von Lefort erwa¨hnte Stelle lautetnach dem Abdruck (S. 186):Methodus fluxionum utique non consistit in forma symbolorum. Et Keil-lius hoc notaverat anno 1711 (pag. 31, 180).Hier beziehen sich offenbar die Verweise pag. 31, 180 auf die Ausgabe 1856, und S.180 befinden sich wirklich einige Zeilen u¨ber die Newtonsche Bezeichnungsweise,welche Stelle einem Schreiben Keills vom 24. Mai 1711 geho¨rt. Dagegen wird S. 31der Ausgabe 1856 ein anderes Schreiben Keills (aus dem Jahre 1708) erwa¨hnt, undda Lefort S. X angibt, daß der Verweis der Annotatio sich auf S. 33 der Auflage1856 bezieht, nehme ich an, daß diese Angabe richtig ist; ich habe na¨mlich nichtzur Hand die Ausgabe 1722 des Commercium epistolicum. Aber S. 33 der Auflage1856 wird Keill an der Stelle, die von den Newtonschen Zeichen handelt, gar nichtgenannt, also noch weniger sein Schreiben vom Jahre 1711, und es fragt sich nun,welche Folgerung man aus dem zitierten Ausspruch Newtons ziehen kann. MeinerAnsicht nach muß diese Folgerung sein: Wenn der Verweis richtig ist, scheintNewtonzu behaupten, daß eine Stelle, die in der ”Recensio“ vorkommt, schon 1711 von Keillredigiert wurde, obgleich das englische Original (”Account“) der ”Recensio“ erst 1715und die ”Recensio“ selbst erst 1722 vero¨ffentlicht wurde. Aber Herr Cantor schließt:Also hat Newton behauptet, daß Keill das ganze Original der ”Recensio“ verfaßthat!! Es du¨rfte unno¨tig sein, diese Schlußweise na¨her zu charakterisieren.Ich benutze diese Gelegenheit, um zu betonen, daß es meines Erachtens verkehrt ist,aus einem einzigen Verweise eine bestimmte Folgerung zu ziehen, die sofort hinfa¨lligwird, wenn es sich herausstellt, daß ein einfacher Druckfehler vorliegt Nimmt man in176 Band 3diesem Falle an, daß 237 statt 37 zu lesen ist, so beziehen sich ja die beiden Verweiseauf das Schreiben von 1711, und die Stelle hat also gar nichts mit dem ”Account“zu tun!BM 11, 267–268 G. Enestro¨m.Ich bin jetzt im Besitze eines Exemplares der Ausgabe 1722 des Commercium epi-stolicum und bringe hier unten zum Abdruck den Passus (S. 247) der ”Annotatio“,den ich in meiner fru¨heren Bemerkung (BM 113, 1910/11, S. 267) erwa¨hnt habe:Methodus fluxionum utique non consistit in forma symbolorum. EtKeiliushoc notaverat anno 1711 (pag. 37, 238).Wenn man nun bemerkt, 1. daß Seite 37 eine Stelle der ”Recensio“ entha¨lt, dieausfu¨hrlich die Newtonsche Bezeichnungsweise behandelt, 2. daß Seite 238 eineBemerkung von Keill u¨ber diesen Gegenstand, und zwar aus dem Jahre 1711 vor-kommt, so kann man meines Erachtens kaum umhin, den ersten Verweis auf dieWorte ”Methodus fluxionum utique non consistit in forma symbolorum“, den zwei-ten Verweis auf die Worte: ”Et Keilius hoc notaverat anno 1711“ zu beziehen. Umdie peinlichste Genauigkeit in betreff der Verweise zu beobachten, ha¨tte Newtonalso schreiben sollen:Methodus fluxionum utique non consistit in forma symbolorum (pag. 37).Et Keilius hoc notaverat anno 1711 (pag. 238).Will man indessen diese Erkla¨rung, die meiner Ansicht nach die einzige natu¨rliche ist,nicht gutheißen, kann man, wie ich schon in meiner fru¨heren Bemerkung hervorgeho-ben habe, ho¨chstens folgern, daß Newton eine besondere Stelle der ”Recensio“als 1711 von Keill redigiert bezeichnet hat, wa¨hrend die Cantorsche Folgerung:”Also behauptet Newton, daß Keill der Verfasser des Originals der Recensio war“von einer Art ist, die nicht na¨her angegeben zu werden braucht.BM 11, 349 G. Enestro¨m.[O] Der ganze Passus (S. 320 Z. 8 v. u. – S. 321 Z. 14): ”und sonst wa¨re gewiß . . .Unkenntlichkeit zu tilgen“ sollte gestrichen werden. In der ersten Auflage der Vor-lesungen konnte der entsprechende Passus am Platze sein, aber seitdem es sich alswahrscheinlich herausgestellt hat, daß Leibniz seine Antwort auf den zweiten New-tonschen Brief zwar am Empfangstage angefangen, aber nicht besonders weit fertig-gestellt hatte, ist der Passus wertlos geworden.BM 11, 268 G. Enestro¨m.[P] P 3 : 321. Die Angabe (Z. 25–27): ”Von London aus muß er [Conti] ihm [Leibniz]abermals geschrieben und dabei, wie es kaum anders mo¨glich war, den Priorita¨tsstreitberu¨hrt haben“ ist seit 1899 als veraltet zu betrachten. C. I. Gerhardt hat na¨mlich(Der Briefwechsel von G. W. Leibniz mit Mathematikern 1, Berlin 1899, S. 258–262) nach dem in Hannover aufbewahrten Original einen langen Brief von Conti anLeibniz vero¨ffentlicht, auf den Leibniz am 6. Dezember 1715 erwiderte, und dieserBrief, der weder Datum noch Ort hat, ist offenbar der von Herrn Cantor gemeinte.Am Ende des Briefes sagt Conti: ”je parts demain pour l’Angleterre“ — der Brief95. Kapitel 177ist also nicht in London, sondern in Paris geschrieben — und der Priorita¨tsstreit wirdim Briefe nicht beru¨hrt.BM 11, 268 G. Enestro¨m.[Q] Nachdem Herr Cantor S. 322 die Bemerkung von Newton, die Leibnizsche Diffe-rentialrechnung sei die gleiche, die Barrow 1670 vero¨ffentlichte, erwa¨hnt hat, fu¨gt erhinzu (Z. 1–8): ”Es ist merkwu¨rdig genug und ein Beleg dafu¨r, wie blind die Leiden-schaft den Menschen macht, daß Newton das Zweischneidige dieses Vorwurfes nichterkannte und Leibniz gewissermaßen die Antwort in den Mund legte. Wenn Leib-nizens Tangentenmethode die gleiche war wie die Barrows, wenn sie zugleich mitder Newtons u¨bereinstimmte, so war auch kein Unterschied zwischen den MethodenNewtons und Barrows, und ersterer war der anerkannte Schu¨ler des letzteren!“Aber daß Newton in dem Anhang zu der Schrift von J. Raphson: The historyof fluxions die Schlußfolgerung, die Leibniz aus der Bemerkung von Newton zogausfu¨hrlich widerlegt hat, davon sagt Herr Cantor kein Wort, sondern fertigt denAnhang damit ab, ”besonders Erwa¨hnenswertes“ stehe nicht darin! Ich erlaube mirdarum, hier unten einen kurzen Auszug aus der Antwort von Newton zum Ab-druck zu bringen (siehe C. I. Gerhardt, Der Briefwechsel von G. W. Leibniz mitMathematikern, 1, Berlin 1899, S. 293):Dr. Barrow printed his differential method of tangents in the year 1670.. . . In my letter of the 10th of Decemb. 1672, I sent the like method toMr. Collins and added, that I mentioned it to Dr. Barrow when he wasprinting his lectures; and that . . . it was but a branch or corollary of ageneral method, which without any troublesome calculation extended notonly to tangents, buth also to other abstruser sorts of problems concerningthe crookedness, area’s, lengths, centers of gravity of curves etc. and didall this, even without freeing equations from surds. . . . Dr. Barrow . . .saw my tract of Analysis in the year 1669, and was pleased with it. Andbefore his lectures came abroad, I had deduced the method of tangents ofGregory and Slusius from my general method.In Wirklichkeit ist also die von Leibniz beanstandete BemerkungNewtons gar nicht”zweischneidig“, denn dieser geht davon aus, daß die Tangentenmethode Barrowseine sehr einfache Folgerung seiner allgemeinen Methode war; u¨berdies betrachteteNewton als allgemein bekannt, daß er seine Methode vor 1670, unabha¨ngig vonBarrow, entdeckt hatte.Der von mir oben zitierte Passus der Vorlesungen sollte also auf ganz andere Weiseredigiert werden.BM 11, 268–269 G. Enestro¨m.[R] Z. 14–18 sagt Herr Cantor: ”eine Vera¨nderung des Commercium epistolicum selbst,Zusa¨tze innerhalb des 1712 Gedruckten, ohne daß sie als solche gekennzeichnet wur-den, das waren ebensoviele Fa¨lschungen, welche auf den, der sie beging, einen nicht zutilgenden Makel werfen“ und am Ende der Seite spricht er von ”Fa¨lschungen gleich-kommenden A¨nderungen“ des Textes des Buches. Allein meiner Ansicht nach ist esin diesem Falle durchaus sinnlos, das Wort ”Fa¨lschungen“ zu benutzen. Auf dem Ti-telblatte der Originalausgabe vom Jahre 1712 stand: ”Commercium epistolicum D.178 Band 3Johannis Collins et aliorum de analysi promota: jussu societatis regiae in lucemeditum“ und dadurch war der wesentliche Inhalt der Schrift deutlich angegeben;mit dem u¨brigen Inhalt hatte die ”Royal Society“ nichts anderes zu tun gehabt, alsdaß sie die ganzen Druckkosten bezahlte. Im Jahre 1722 erschien eine neue Aufla-ge mit dem Titel ”Commercium epistolicum D. Johannis Collins et aliorum, deanalysi promota, jussu societatis regiae in lucem editum . . . iterum impressum“ undwas 1712 auf den Befehl der ”Royal Society“ gedruckt wurde, ist hier wieder abge-druckt worden. Nun kommen aber in der Originalausgabe außer dem offiziellen Inhaltzahlreiche Fußnoten vor, und in betreff dieser Fußnoten wurden bei der Drucklegungder neuen Auflage gewisse A¨nderungen oder Zusa¨tze vorgenommen. Fu¨r einen Hi-storiker wa¨re es natu¨rlich scho¨n gewesen, wenn die Herausgeber dieser Auflage alleA¨nderungen oder Zusa¨tze besonders angegeben ha¨tten, aber in diesem Falle das Wort”Fa¨lschungen“ zu benutzen, finde ich, wie gesagt, durchaus sinnlos. Als auffallendstesBeispiel der angeblichen ”Fa¨lschungen“ hebt Herr Cantor S. 327 die Fußnote in be-treff der ”Historiola“ (siehe BM 113, 1910/11, S. 83) hervor. Aber wenn die Angabedieser Fußnote richtig gewesen wa¨re, so wu¨rde ja der Umstand, daß sie nicht in derersten Auflage steht, belanglos sein. In Wirklichkeit enthielt die Fußnote eine kleineUngenauigkeit, und aus diesem Grunde mu¨ßte man sie bema¨ngeln, auch wenn sieganz einfach aus der ersten Auflage abgedruckt gewesen wa¨re.BM 11, 269 G. Enestro¨m.[S] Die Angabe (Z. 10–11): ”Nun hat aber Oldenburg am 26. Juni 1676 u¨berhauptnicht an Leibniz geschrieben“ ist vermutlich richtig, aber immerhin kann sie als einwenig unkritisch bezeichnet werden. Herr Cantor geht na¨mlich offenbar von derVoraussetzung aus, daß die Datierungen der Gerhardtschen Ausgabe absolut zu-verla¨ssig seien, ohne zu untersuchen, ob sie mit den a¨lteren Angaben u¨bereinstimmenoder nicht. Aber schon aus dem Commercium epistolicum (ed. Biot et Lefort S.102, Z. 20) geht hervor, da man am Anfange des 18. Jahrhunderts einen Brief vonOldenburg an Leibniz vom 26. Juni 1676 zu kennen glaubte. Dasselbe Datum ”26Junii“ findet sich schon bei Wallis (Opera mathematica 3, Oxoniae 1699, S. 622)und wird noch in der Ausgabe der Opuscula von Newton (1, Lausannae et Genevae1744, S. 307) wiederholt; freilich hat Wallis das Datum im Druckfehlerverzeichnisin ”23 Julii“3 verbessert, aber die Verbesserung ist selbst durch einen Druckfehlerunanwendbar gemacht, denn es steht ”p. 662“ statt ”p. 622“. Dieser Brief ist offenbarder letztere von den zweien, die in der Gerhardtschen Ausgabe das Datum 26. Juli1676 tragen. Da dieser Brief wirklich vom 26. Juli 1676 ist, will ich gar nicht in Abre-de stellen; dagegen ist es meines Erachtens wenigstens mo¨glich, da der erste der zweiBriefe in Wahrheit vor dem 26. Juli 1676 geschrieben wurde. Am Anfange diesesBriefes sagt Oldenburg na¨mlich: ”Dum prioris [d. h. Newtoni] meditationes pa-rantur, en tibi varia et accumulata Collini nostri communicata, donec scilicet aliaa Dno Newtono succenturientur“, und die fraglichen ”meditationes“ sind ja ebendie Ausfu¨hrungen Newtons im zweiten Briefe; als Oldenburg seinen ersten Briefbegann, war folglich die Abschrift des Newtonschen Briefes nur in Angriff genom-men, und diese Abschrift scheint dem Abschreiber große Mu¨he gekostet zu haben(siehe den Schluß des zweiten Briefes). Es ist also nicht unmo¨glich, daß der erste3In BM 11, S. 83 korrigiert Enestro¨m das Datum:”Auf Grund eines Druckfehlers steht BM 103,1909/10, S. 700, Z. 14:’23 Julii‘ statt’26 Julii‘.“ G. Do¨rflinger95. Kapitel 179Brief urspru¨nglich vom 26. Juni 1676 datiert war. Daß die zwei Briefe gleichzeitigan Leibniz abgesandt wurden, geht wohl aus den Worten Leibnizens: ”Literae tuae,die 26 Julii datae“ hervor, denn diese Worte beziehen sich auf die beiden Briefe, undes ist darum anzunehmen, daß die Reinschrift des ersten Briefes das Datum 26. Juli1676 trug, auch wenn das von Oldenburg aufbewahrte Konzept das Datum 26. Juni1676 hatte.Wie oben angedeutet wurde, hat diese Bemerkung nur den Zweck, hervorzuheben,daß man nicht ohne weiteres die Angaben derGerhardtschen Ausgabe als absolutzuverla¨ssig betrachten darf.BM 10, 77 G. Enestro¨m.[T] Herr Cantor behandelt hier die Frage, ob die sogenannte ”Historiola“ des J. Col-lins wirklich 1676 an Leibniz abgegangen sei, und kommt dabei zu dem Ergebnis,daß dies nicht der Fall gewesen ist. Nun wird in der zweiten Auflage des Commerci-um epistolicum ausdru¨cklich gesagt, die U¨bersendung habe 1676 stattgefunden, unddiesen Ausspruch erkla¨rt Herr Cantor auf folgende Weise:Man hatte auf irgend eine Weise Kenntniß davon erhalten, daß am 26. Juli1676 ein Brief Oldenburgs an Leibniz abgegangen war. Man wu¨nschtenachzuweisen, daß Leibniz damals im Besitze der ”Historiola“ war. Manbehauptete kurzweg, dieselbe habe jenem Briefe beigelegen, eine ku¨hne Be-hauptung, wenn Oldenburgs Briefentwurf nicht erhalten war, eine frecheLu¨ge, wenn solches der Fall gewesen sein sollte.Gegen den ersten Punkt dieses Passus habe ich nichts Wesentliches zu bemerken;ich mache nur darauf aufmerksam, daß das im Commercium epistolicum angegebeneunrichtige Datum 26. Juni (statt Juli) im 3. Bande (S. 622) der Opera omnia von J.Wallis4 steht, so daß die Worte: ”auf irgend eine Weise“ vielleicht durch eine etwasbestimmtere Angabe ersetzt werden konnten. Dagegen kann ich nicht mit dem zweitenPunkte: ”Man wu¨nschte nachzuweisen, daß Leibniz damals im Besitze der Historiolawar“ einverstanden sein; vielmehr scheint mir lediglich ein Flu¨chtigkeitsfehler beider Herausgabe der 2. Auflage des Commercium epistolicum vorzuliegen, und dieserFehler war eine Folge der U¨bersetzung des Wortes ”Account“ durch ”Historiola“(vgl. oben die Bemerkung zu S. 310–311). In Wirklichkeit bekam ja Leibniz 1676einen ausfu¨hrlichen Auszug aus der ”Historiola“, und ich verstehe nicht, warum manin England ganz besonders ha¨tte nachweisen wollen, daß Leibniz 1676 im Besitzedieser Schrift selbst war. Allerdings enthielt die gro¨ßere ”Historiola“ den vollsta¨ndigenTangentenbrief Newtons, also auch das Beispiel der Tangentenmethode, und aufGrund dieses Umstandes konnte der Verfasser der ”Recentio libri“ die boshaftenWorte ”Methodum ducendi tangentes, quam methodumD. Leibnitius differentialempostea vocavit“ hinzufu¨gen. Aber sicherlich legten Newton und seine Anha¨nger aufdiese Worte keinen besonderen Wert, denn genau dasselbe Verfahren hatte Sluseschon 1673 in den Philosophical transactions (7, S. 5143–5147) vero¨ffentlichtund vielleicht ließ Oldenburg eben darum das Beispiel weg.Noch weniger kann ich mit dem Schlusse der Cantorschen Erkla¨rung einverstandensein. Gern gebe ich zu, daß man zuweilen geneigt sein kann, das Wort ”Frechheit“ zu4Auf Grund eines Druckfehlers steht BM 103, 1909/10, S. 77, Z. 14: ”23 Julii“ statt”26 Julii“.180 Band 3benutzen, z. B. wenn man die zuversichtlich ausgesprochenen Behauptungen und Ur-teile gewisser gelobter mathematisch-historischer Arbeiten liest, aber meiner Ansichtnach ist es besser, das Wort nicht anzuwenden. Noch schlechter ist meines Erach-tens das Wort ”Lu¨ge“, wenn es sich um mathematisch-historische Fragen handelt,weil man u¨berhaupt nie mit Sicherheit entscheiden kann, wann eine absichtlicheUnwahrheit vorliegt (vgl. z. B. BM 83, 1907/8, S. 68–69). Besonders unsympathischwirkt in diesem Falle der Ausdruck ”freche Lu¨ge“ des Herrn Cantor und zwar auszwei verschiedenen Gru¨nden. Einerseits wird na¨mlich die unrichtige Angabe, die HerrCantor durch diesen Ausdruck charakterisiert, sofort erkla¨rt, wenn man sich erin-nert, daß es zwei Aktenstu¨cke mit wesentlich demselben Inhalt gab (siehe oben).Anderseits hat Herr Cantor selbst eine unrichtige Angabe ganz a¨hnlicher Art ge-bracht, als er S. 79 behauptet, daß Leibniz gegen April 1675 seine Reihe fu¨r pi4 anOldenburg sandte, obgleich es aus dem von Herrn Cantor benutzten Aktenstu¨ckdeutlich hervorgeht, daß Leibniz darin nur versprach, seine Reihe unter einer gewis-sen Bedingung zu senden (siehe BM 103, 1909/10, S. 70–71).BM 11, 83–84 G. Enestro¨m.Anhang181Anhang ARezension von G. Enestro¨m zum1. Band der VorlesungenBibliotheca Mathematica / herausgegeben von Gustaf Enestro¨m.Neue Folge 8. = Nouvelle Se´rie 8 (1894), S. 25–26.(25)M. Cantor. Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik, Erster Band. Vonden a¨ltesten Zeiten bis zum Jahre 1200 n. Chr. Zweite Auflage. Leipzig, Teub-ner 1894. 8◦, VII + 883 p. + 1 pl.La premie`re e´dition du premier tome des Vorlesungen e´tant de´ja` e´puise´e, M. Cantora entrepris d’en publier une nouvelle e´dition. Il est inutile de dire que cette entreprise a e´te´salue´e avec la plus grande joie par tous les amis de l’histoire des mathe´matiques, d’autantplus que la ne´cessite´ d’une nouvelle e´dition a permis a`M. Cantor de tirer profit aussi desimportants e´crits historico-mathe´matiques parus depuis 1880, date de la publication de lapremie`re e´dition.L’ouvrage de M. Cantor est trop connu par nos lecteurs pour qu’il soit ne´cessaire dedonner ici un aperc¸u des sujets y traite´s et d’en signaler les grands me´rites; sans recours a`cet excellent guide, il aurait e´te´ extreˆmement difficile d’e´crire plusieurs des monographieshistorico-mathe´matiques auxquelles nous venons de faire allusion. Nous faisons remarquerseulement que la seconde e´dition a e´te´ augmente´e d’environ 80 pages, et que, d’autrepart, les fautes d’impression de la premie`re e´dition semblent y avoir e´te´ e´loigne´es. Enparcourant le volume, on voit aise´ment que M. Cantor s’est efforce´ d’y utiliser toutesles nouvelles recherches faites pendant ces derniers temps dans le domaine de l’histoire desmathe´matiques, a` l’exception de celles qui exigeraient un remaniement complet de dizainesde pages, p. ex. les travaux de M. Zeuthen sur l’histoire des sections coniques dansl’antiquite´. Naturellement il est souvent difficile de de´cider jusqu’a` quel point un ouvrage,tel que celui de M. Cantor, doit rendre compte de de´tails historiques peu importants.Ainsi p. ex. on pourrait mettre en question s’il n’avait pas e´te´ convenable de mentionner aumoins le nom du mathe´maticien byzantin Leon, sur lequel M. Heiberg a donne´ quelquesrenseignements (voir Biblioth. Mathem. 1887, p. 33–36).Dans la nouvelle e´dition, nous n’avons pu trouver aucun mot sur la question s’il existedes traductions des Elementa faites de l’arabe en latin ante´rieurement a` Atelhard deBath; a` la page 670, M. Cantor dit expresse´ment qu’Atelhard e´tait le premier, traduc-teur de l’arabe. Il est vrai que M. Cantor a parle´ de ce sujet dans le second tome (p.182Rezension zum 1. Band 18391–92) des Vorlesungen, mais, comme il s’agit du temps avant l’an 1200, il nous sembleavoir e´te´ plus correct d’en rendre compte aussi dans la nouvelle e´dition du premier tome. (26)De meˆme, dans la notice sur Ahmed Ibn Jusuf (p. 694), M. Cantor n’a pas mentionne´l’e´crit de similibus arcubus cite´ par lui a` la page 71 du second tome, et, pour ce qui concernele traite´ sur les proportions, il dit seulement qu’on en parlera dans un chapitre suivant (cf.tome II, p. ,15).Nous espe´rons queM. Cantor aura bientoˆt le plaisir de pre´parer une troisie`me e´ditiondu premier tome et que, dans cette e´dition, on retrouvera tout ce qui se rapporte a` l’histoiredes mathe´matiques avant l’an 1200.Stockholm. G. Enestro¨m.Ganz anders der Tenor zur dritten Auflage des 1. Bandes. Im ersten Absatz schrieb ernoch: ”Es ist also eine nicht unbedeutende Arbeit, der sich Herr Cantor unterzogen hat,um die neue Auflage fertig zu stellen“. Dann kritisierte er die (von ihm vermutete) Arbeits-weise Cantors. 7/8 seines Referats widmete Enestro¨m der Besprechung von fehlerhaftenAngaben im 1. Band der Vorlesungen. Er schloss seinen Bericht mit den Worten:”. . . wenn man in der neuen Auflage Aufschlu¨sse u¨ber eine gewisse Frage suchenwill, so soll man sich immer erinnern, daß man nicht darauf rechnen kann, mitSicherheit Auskunft u¨ber den heutigen Stand der mathematisch-historischenForschung zu bekommen. Im Gegenteil kann es leicht eintreffen, daß man inWirklichkeit Auskunft u¨ber den Stand dieser Forschung im Jahre 1880 be-kommt.“Anhang BRezension von G. Enestro¨m zum2. Band der VorlesungenBibliotheca mathematica. — 3. Folge, Bd. 1 (1900), S. 276–278(276)Moritz Cantor. Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik. Zweiter Band.Zweiter Halbband. Von 1550–1668. Zweite Auflage. Leipzig, Teubner 1900. 8◦, XIIS. + S. 481–943. Preis M. 12.Mit diesem Halbbande liegt der zweite Band der neuen Auflage der Vorlesungenvollsta¨ndig vor, und die Vergleichung mit der ersten Auflage zeigt, daß auch hier sicheine sehr große Anzahl von Verbesserungen und Zusa¨tzen findet. A¨ußerlich ist der Text desganzen Bandes scheinbar um 78 Seiten und der des zweiten Halbbandes um 36 Seiten ge-wachsen, aber 40 Seiten jenes und 16 Seiten dieses Zuwachses ru¨hren von einer Versta¨rkungdes Durchschusses her.Schon in unserer Besprechung des ersten Halbbandes in der Biblioth. Mathem. 1899,S. 49–57 haben wir auf die reichhaltige Litteratur hingewiesen, welche die mathematisch-historische Forschung in den letzten Jahren hervorgerufen hat, und was wir dort bemerk-ten, gilt in gleichem Maße fu¨r die Periode, welche der zweite Halbband behandelt. Dievollsta¨ndige Revision eines vor zehn Jahren verfaßten Werkes u¨ber die Geschichte der Ma-thematik 1550–1668 muß also eine sehr große Arbeit erfordern, und fu¨r diesen Zweck wa¨rees vielleicht am angemessensten, zuerst das erste Kapitel der verschiedenen Jahrga¨ngedes Jahrbuches u¨ber die Fortschritte der Mathematik sowie die Schriftverzeichnis-se der Biblioth. Mathem. zu Rate zu ziehen, und dann im Bedarfsfalle die zuga¨nglichemathematisch-historische Litteratur direkt zu benutzen. Auf diese Weise wu¨rde man wohlam besten vermeiden irgend einige der neuesten Resultate der mathematisch-historischenForschung zu u¨bersehen. Diesen Weg scheint Herr Cantor indessen nicht eingeschlagenzu haben, und in der That ist das Verfahren so mu¨hsam und zeitraubend, daß es ihmwahrscheinlich ganz unmo¨glich gewesen wa¨re, sich desselben zu bedienen ohne die Heraus-gabe der neuen Auflage fu¨r la¨ngere Zeit zu verschieben. Unter solchen Umsta¨nden mußman ihm Dank dafu¨r wissen, daß er nicht das Bessere zu bringen unterlassen hat, da erdas Beste nicht hat geben ko¨nnen, und man wird nachsichtig sein, daß es auch in derneuen Auflage Notizen giebt, die durch Zuhilfenahme der neuesten Litteratur unmittelbarha¨tten berichtigt werden ko¨nnen, und daß es zuweilen nur vom Zufall abha¨ngig gewesenist, ob Herr Cantor eine fru¨here Bemerkung, die jetzt als ungenau anerkannt worden ist,184Rezension zum 2. Band 185verbessert hat oder nicht. Um nur ein einziges Beispiel solchen Zufalles anzufu¨hren, hater (S. 686, 712) die Aufschlu¨sse des Herrn Dickstein in der Biblioth. Mathem. 1894,S. 241 benutzt, aber (S. 621, 623) die Berichtigung des Herrn Favaro in derselben Zeit-schrift 1893, S. 15–17 nicht beru¨cksichtigt, obgleich die Verbesserung der (aus einer unsunbekannten Quelle herstammenden) unrichtigen bibliographischen Notiz u¨ber Bombelli (277)schon aus dem Grunde erwu¨nscht war, daß diese Notiz Herrn Cantor veranlaßt hat denErfolg der Bombellischen Algebra zu u¨berscha¨tzen.Da die dritte Folge der Biblioth. Mathem. eine besondere Abteilung fu¨r kleine Be-merkungen zur zweiten Auflage der Cantorschen Vorlesungen entha¨lt, ist es unno¨tig aufdie Einzelheiten des vorliegenden Halbbandes hier einzugehen; nur eine etwas allgemeinereBemerkung erlauben wir uns dieser kurzen Besprechung hinzuzufu¨gen.Bekanntlich ist Herr Cantor zwar ein ausgezeichneter historischer Forscher aber keineigentlicher Bibliograph im modernen Sinne dieses Wortes. Selbsta¨ndige bibliographischeUntersuchungen anzustellen scheint er nicht zu lieben, und wenn er einen Verfasser ge-funden hat, dessen bibliographische Notizen im allgemeinen zuverla¨ssig sind, so benutzter ihn fortgesetzt, ohne großes Gewicht darauf zu legen, ob es vielleicht neuere und nochzuverla¨ssigere Arbeiten derselben Art giebt. So citiert er oft Ka¨stners Geschichte derMathematik und Libris Histoire des sciences mathe´matiques en Italie auch betreffs a¨ltereritalienischer Schriften, obgleich viele Angaben dieser beiden Verfasser durch Riccardisausgezeichnete Biblioteca matematica italiana berichtigt oder erga¨nzt worden sind. Nun istes ja wahr, daß in einer historischen Arbeit die bibliographischen Notizen nur Nebensachesind, und daß es fu¨r die Schilderung des Entwickelungsganges der mathematischen Theo-rien ganz gleichgu¨ltig ist, ob z. B. die erste Auflage von Ramus’ Algebra 1586 oder 1592,wie Herr Cantor (S. 612, 64l) angiebt, erschien. Auf der anderen Seite ko¨nnen unrichti-ge bibliographische Notizen zuweilen auf die historische Darstellung Einfluß haben. Einensolchen Fall haben wir schon oben beru¨hrt, als wir von Bombelli sprachen. Herr Cantorhat na¨mlich (S. 621) angegeben, dass Bombellis Algebra zuerst 1572 in Venedig, dannabermals 1579 in Bologna gedruckt ist, und aus der raschen Aufeinanderfolge dieser beidenAusgaben folgert er (S. 623), daß sie viele Ka¨ufer fand. Da es aber konstatiert wordenist, daß keine Ausgabe der Algebra in Venedig erschien (vgl. Biblioth. Mathem. 1892, S.92) und daß die angebliche neue Auflage vom Jahre 1579 nur eine neue Titelausgabe ist(vgl. Biblioth. Mathem. 1893, S. 15–17, 64), so kommt selbstversta¨ndlich auch die Fol-gerung in Fortfall, und es ist sogar wahrscheinlich, daß der Neudruck des Titels im Jahre1579 stattfand, weil der Vertrieb der Exemplare der Bombellischen Algebra sehr geringgewesen war (vgl. Biblioth. Mathem. 1893, S. 17). In diesem Zusammenhange erlaubenwir uns auch darauf hinzuweisen, daß unvollsta¨ndige bibliographische Notizen leicht eineunrichtige Ordnungsfolge der zu besprechenden Schriften veranlassen ko¨nnen. So z. B. istes eigentlich nur ein Zufall, daß das Buch Felicianos Libro di arithmetica et geometria,von dem Herr Cantor (S. 481) nur eine Auflage aus dem Jahre 1550 erwa¨hnt, obgleiches nach Riccardi (l. c. II, S. 21) zuerst 1526 und dann neunmal wieder herausgegebenwurde, nicht einen unrichtigen Platz bekommen hat.Ein anderer U¨belstand, den das Vorkommen unrichtiger bibliographischer Notizen ineinem Standard work, wie die Cantorschen Vorlesungen, mit sich fu¨hrt, besteht darin,daß junge Verfasser veranlaßt werden, sich als Entdecker von Thatsachen anzusehen, dieschon la¨ngst bekannt waren. So hat die Notiz des Herrn Cantor in der ersten Auflage1online: http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/13408 G. Do¨rflinger186 Anhang Bder Vorlesungen (II, S. 555): ”Pitiscus Trigonometria erschien zuerst 1595 in Heidel-berg; eine Ausgabe von 1600 (Augsburg) wird ha¨ufig irrigerweise als die erste bezeichnet“,(278)Herrn Gravelaar veranlaßt, die Richtigkeit der schon la¨ngst bekannten Thatsache, daßdie Schrift von 1595 nur ein Entwurf war, und die drei Auflagen der Trigonometriae libriquinque aus den Jahren 1600, 1608, 1612 herru¨hren (siehe z. B. Gerhardt, Geschichte derMathematik in Deutschland, S. 93–94) in einer besonderen Abhandlung (Pitiscus Trigo-nometria; Nieuw archief voor wiskunde 32, 1898, S. 253–278) ausfu¨hrlich darzulegen.Es wa¨re also sehr gut, wenn fu¨r die voraussichtlich bald no¨tige dritte Auflage des zweitenBandes der Vorlesungen eine mo¨glichst vollsta¨ndige Revision der bibliographischen Notizenstattfinden ko¨nnte.Hinsichtlich des Registers erlauben wir uns noch einmal (siehe Biblioth. Mathem.1898, S. 60) hervorzuheben, daß es fu¨r die Leser sehr willkommen sein wu¨rde, wenn dasselbeauch das ”Vorwort“ umfaßte, da dieses eine ziemlich große Anzahl von Berichtigungen desTextes entha¨lt2. G. Enestro¨m.2Das Vorwort des 2. Bandes in der 2. Auflage entha¨lt sieben Seiten Korrekturen. G. Do¨rflingerAnhang CRezension von G. Enestro¨m zum3. Band der VorlesungenBibliotheca mathematica. — 3. Folge, 2. Band (1901), S. 154–156.(154)Moritz Cantor. Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik. Dritter Band.Zweite Abteilung. Von 1700–1726. Zweite Auflage. Teubner 1901. 8◦, S. 263–492.M. 6,60.In unserer Besprechung der ersten Auflage dieser Abteilung der Vorlesungen(Biblioth. Mathem. 1896, S. 17–24) bemerkten wir, daß mit dem Anfange des 18. Jahr-hunderts das mathematisch-historische Quellenmaterial so reichhaltig und so verschieden-artig wird, daß es gar nicht von einem einzigen Manne bewa¨ltigt werden kann, ohne beson-dere, zum gro¨ßten Teil noch nicht vorhandene Vorarbeiten zur Verfu¨gung zu haben, unddaß man folglich diese Abteilung der Vorlesungen nicht als eine eigentliche Geschichte desZeitraumes 1700–1726, sondern vielmehr als eine Sammlung von wertvollen und zum Teilsehr vollsta¨ndigen mathematisch-historischen Spezialuntersuchungen betrachten soll. Dadie neue Auflage nur um 10 Seiten vermehrt worden ist, und wesentliche Umarbeitungennicht vorkommen, so erhellt, daß die oben gemachte Bemerkung auch hier statthaft ist, wasum so weniger befremden kann, als in den letzten fu¨nf Jahren verha¨ltnisma¨ßig wenig gethanworden ist, um fu¨r den betreffenden Zeitraum die erwu¨nschten Vorarbeiten auszufu¨hren,sodaß sogar ein gescha¨tzter Mitarbeiter dieser Zeitschrift behauptet hat (siehe oben S.120), und zwar nicht ohne Grund, die Geschichte der Mathematik des 18. Jahrhunderts seinoch zu schreiben.1Wie soeben angedeutet wurde, betragen die Zusa¨tze zusammen 10 Druckseiten; neuhinzugekommen sind u. a. eine Notiz u¨ber G. Manfredi (S. 460–461) und ein kurz-er Bericht u¨ber einige Untersuchungen von J. Riccati (S. 411–412, 474–475). Dagegenscheint es dem Verfasser entgangen zu sein, daß auch in Bezug auf einige Gegensta¨nde,die schon in der 1. Auflage beru¨cksichtigt waren, gewisse Erga¨nzungen erwu¨nscht sind; wirwerden uns hier erlauben auf einen solchen Gegenstand aufmerksam zu machen. Bei derausfu¨hrlichen Behandlung des Problems der rechtwinkligen Trajektorien (S. 461–473) wirdauch (S. 468–469) die von Johann Bernoulli 1716 vorgelegte, damals sehr schwierige1Paul Sta¨ckel: Beitra¨ge zur Geschichte der Funktionentheorie im achtzehnten Jahrhundert. G. Do¨rf-linger187188 Anhang CTrajektorienaufgabe erwa¨hnt und (S. 469–472) die von Taylor herru¨hrende Lo¨sung die-ser Aufgabe in extenso mitgeteilt. Darauf bemerkt Herr Cantor (S. 473): ”Wir wu¨rdender Trajectorienaufgabe eine unverha¨ltnißma¨ßig große Bedeutung verleihen, wenn wir ingleicher Ausfu¨hrlichkeit weiter berichten wollten“, und fu¨gt noch 6 Zeilen u¨ber diesen Ge-genstand hinzu. Unseres Erachtens ist dieser unverha¨ltnisma¨ßig kurze Abschluß der vor-hergehenden Darstellung sehr zu bedauern, und zwar sowohl vom litterar-geschichtlichenals vom eigentlich mathematisch-historischen Gesichtspunkte aus. Denn teils wu¨rde es anund fu¨r sich von großem Interesse gewesen sein aus den Vorlesungen zu erfahren, auf wel-che Weise die Bernoullische Partei die von ihrem Leiter gestellte Aufgabe lo¨ste; teilshatte Taylor in seiner Lo¨sung dieser Aufgabe den eigentlich schwierigen Punkt, na¨mlich(155)das Wegschaffen des Parameters a, durch ein Verfahren, das fast wie eine Taschenspielereiaussieht, erledigt, und darum wu¨rde es angemessen gewesen sein, wenigstens anzudeuten,wie Johann Bernoulli und sein Sohn Nikolaus in den Acta Eruditorum 1720 sicheiner leichtversta¨ndlichen Methode bedienten, deren Grundgedanke zum Teil mit dem desTaylorschen Verfahrens u¨bereinstimmt.Außer den eigentlichen Zusa¨tzen sind an verschiedenen Stellen Verbesserungen ein-gefu¨hrt worden, die dem Leser natu¨rlich auch sehr willkommen sind. Eine solche Verbes-serung, die dem Verfasser offenbar ziemlich große Mu¨he verursacht hat, erlauben wir unshier besonders hervorzuheben, zumal wir mit der Weise, in der Herr Cantor seine Dar-stellung modifiziert hat, nicht ganz einverstanden sind. Bekanntlich giebt es einen Briefvon Leibniz an Oldenburg, der vom 21. Juni 1677 ist, und dessen Anfangsworte in demvon Gerhardt vero¨ffentlichten Konzepte: ”Accepi hodie literas tuas“ lauten, wa¨hrenddas Wort ”hodie“ in dem von Wallis (1699) veranstalteten Abdrucke des Briefes, sowiein dem Commercium epistolicum (1712) fehlen; Herr Cantor ist in der ersten Auflageseiner Vorlesungen von der Voraussetzung ausgegangen, daß Leibniz seine Antwort amEmpfangstage von Newtons Schreiben schrieb, und daß das Wort ”hodie“ entweder dortstand, oder wenigstens nur durch ein Versehen von Leibniz ausgelassen wurde. Jetzt hates sich durch die von Herrn Cantor gemachten Nachforschungen herausgestellt, daß derOriginalbrief das Wort ”hodie“ zwar urspru¨nglich enthalten hatte, daß aber dieses Wortdurch einen Klecks unleserlich gemacht worden ist, und Herr Cantor ist geneigt, diesenUmstand so zu erkla¨ren, daß Leibniz zwar seine Antwort am Empfangstage von New-tons Schreiben begann, dieselbe aber erst spa¨ter beendete und darum das Wort ”hodie“bis zur Unkenntlichkeit tilgte. Mit dieser Erkla¨rung sind wir vollsta¨ndig einverstanden (vgl.Biblioth. Mathem. 1899, S. 26–27), aber durch dieselbe verliert unserer Ansicht nach dieganze Frage ihre historische Bedeutung; man ha¨tte also im Texte alles, was sich auf dasWort ”hodie“ bezog, streichen ko¨nnen, und es genu¨gte in einer Note zu bemerken, ausden Anfangsworten des Konzeptes ko¨nne man gar nichts u¨ber den Empfangstag von New-tons Schreiben schließen und ebenso wenig ko¨nne man erraten, wie Leibnizens Antwortausgesehen ha¨tte, wenn sie wirklich am Empfangstage abgesandt worden wa¨re Auf dieseWeise hat aber Herr Cantor seine Darstellung nicht modifiziert; im Gegenteil wird auchin der neuen Auflage der Vorlesungen die ”hodie“-Frage wenigstens sechsmal (S. 187, 191,286–287, 302–303, 311, 320–321) beru¨hrt oder behandelt, und an der ersten Stelle wird essogar ausdru¨cklich behauptet, Leibniz habe Newtons Brief an dem Tage, an welchem erihn erhielt, beantwortet. Diese Stelle geho¨rt zwar der vorigen Abteilung der Vorlesungenan, und es ist ja mo¨glich, daß die Nachforschungen des Herrn Cantor damals noch nichtbeendet waren. In jedem Falle verstehen wir aber nicht, warum S. 303 die Note 3) nochRezension zum 3. Band 189beibehalten ist; wenn das Fehlen von ”hodie“ in dem a¨lteren Abdrucke darauf beruht, daßLeibniz selbst in seinem Briefe das Wort unleserlich gemacht hatte, so hat es wohl keinenSinn zu sagen, daß H. Sloman dies Fehlen nicht hinreichend gewu¨rdigt hat.Unter den Druckfehlern, welche wir in der ersten Auflage notiert hatten, finden wirfolgende in der zweiten Auflage wieder: S. 343, Z. 8 ”0+ 1+1+1+1+ · · ·“ statt ”0+ 1+2+3+4+ · · ·“; S. 355, Z. 23 ”Ars cogitandi“ statt ”Ars conjectandi“; S. 287, Note 1),.stellt (156)wie in der 1. Auflage ”Bodmann“, aber wahrscheinlich ist E. Bodemann gemeint. — Vonneuen Druckfehlern haben wir nur zwei notiert, na¨mlich S. 323, Z. 34 ”1711“ statt ”1713“und S. 466, Z. 33 ”xdx+ xydy“ statt ”xdx+ ydy“.G. Enestro¨m.Anhang DKorrespondenz Enestro¨m – Cantorzur”Hodie-Frage“Im Nachlass Moritz Cantors, der in der Universita¨tsbibliothek Heidelberg verwahrtwird, befinden sich 3 Briefe und 12 Postkarten, die Gustaf Enestro¨m in der Zeit von1892 bis 1901 an Cantor richtete.Fast in jedem Schriftstu¨ck weist Enestro¨m Cantor auf Fehler in dessen ”Vorlesun-gen“ hin. Nach Einrichtung der ”Kleinen Bemerkungen“ bezieht sich die Korrespondenznicht mehr auf die ”Vorlesungen“.Geschwa¨rzte Stellen in den Schreiben Enestro¨ms sind durch wiedergegeben.Fu¨nf Postkarten aus dem Zeitraum vom 21. Mai 1899 bis zum 16. Juni 1899 bescha¨ftigensich mit der Frage, wer und warum das Wort ”hodie“ in einem Brief Leibniz’ an Newtongetilgt hatte.Am 24. Oktober 1676 schrieb Newton einen langen Brief1 u¨ber seine Arbeiten anLeibniz und u¨bergab ihn Heinrich Oldenburg, der ihn in London Leibniz ausha¨ndi-gen sollte; dies konnte er jedoch nicht mehr tun, da Leibniz in der Zwischenzeit bereitsabgereist war. Der Brief enthielt zwei chiffrierte Passagen u¨ber die Newtonsche Infinitesi-malrechnung.Oldenburg verwahrte den Brief und schickte ihn, nachdem er einen sicherenBoten gefunden hatte, sechs Monate spa¨ter am 2. Mai 1677 an Leibniz.Das Konzept des Antwortbriefes2 entha¨lt (mit anderer Tinte) das Datum vom 21. Juni1677 und beginnt mit den Worten: ”Accepi hodie literas tuas diu expectatus cum inclusisNeutonianis sane pulcherrimis, ich erhielt heute Ihren lange erwarteten Brief und als Ein-schluss einen sehr scho¨nen Brief Newtons“3. Das Wort hodie ist im Originalbrief geschwa¨rztund fehlt in der Abschrift ga¨nzlich.Aus der Abschrift ko¨nnte man folgern, dass Leibniz den Brief erst nach sieben Monatenbeantwortet habe; Zeit genug, um die Infinitesimalrechnung ”nachzuerfinden“.1Vgl. G. W. Leibniz Mathematische Schriften / hrsg. von C. I. Gerhardt. 1 (1849), S. 122–1472Vgl. G. W. Leibniz Mathematische Schriften / hrsg. von C. I. Gerhardt. 1 (1849), S. 154–1623Cantor, Moritz: Vorlesungen u¨ber Geschichte der Mathematik. Band 3. Zweite Auflage. 1901, S. 287190Korrespondenz Enestro¨m – Cantor 191Postkarte vom 21.05.1899Adresse: Herrn Prof. Moritz CantorGaisbergstr. 15Heidelberg(Baden)Poststempel: Stockholm Heidelberg22.5.99 24.5.99 1-2 V.Verehrter Herr Professor!Besten Dank fu¨r Ihre Karte vom 6. Mai.Es freut mich sehr, dass die 2. Auflagedes 2. Bandes Ihrer ”Vorlesungen” schon vordem Ausgang dieses Jahres vollendet werdenwird. Wahrscheinlich sind Sie jetzt mit derVorbereitung der 2. Aufl. des 3. Bandes be-scha¨ftigt?Ich bedaure sehr, dass ich in meiner An-zeige der Gerhardt’schen4 Vero¨ffentlichungIhnen eine Ansicht u¨ber die Bedeutung desWortes hodie beigelegt habe, welche Sie nichtgutheissen ko¨nnen, aber ich glaube dass Sieselbst nicht ganz ohne Schuld sind. Jeden-falls wa¨re es gut, wenn Sie in der 2. Aufl.des 3. Bandes bemerkten, das Wort hodie ko¨nnevielleicht von Leibniz selbst absichtlich weg-gelassen worden sein, und in der Zeile 8, Seite3095 unter ”geschrieben” die Worte ”wenigstensbegonnen, vielleicht auf beendet” setzten.Es ist sehr zu bedauern, dass Leibniz’ Briefnicht aufbewahrt worden ist, und dass diezwei Copien im Archiv der”Royal Society” nicht ganz u¨bereinstimmen.Stockholm 1899.V.21.Mit vorzu¨glicher HochachtungergebenstG. Enestro¨mBrahegatan 434Carl Immanuel Gerhardt (1816–1899) war Gymnasiallehrer fu¨r Mathematik in Berlin und Eisleben.Er publizierte die Mathematischen Schriften Gottfried Wilhelm Leibniz’. G. Do¨rflinger5Der Passus im 3. Band lautete:”. . . sonst wa¨re gewiss darauf Gewicht gelegt worden, dass die Antwortauf den zweiten Newtonschen Brief am Empfangstag geschrieben wurde.“ G. Do¨rflinger192 Anhang DPostkarte vom 30.05.1899Adresse: Herrn Prof. Moritz CantorGaisbergstr. 15Heidelberg(Baden)Poststempel: Stockholm Heidelberg31.5.99 2.6.99 2-3 V.Verehrter Herr Professor!Die ”hodie”-Frage du¨rfte nicht so einfachsein, als Sie sich vorstellen; und ichhabe darum fu¨r die Biblioth. Mathem.1899 Nr. 2 eine Anfrage redigiert, welcheich Ihnen heute in Correctur sende.Sie ko¨nnen daraus ersehen, wie diezwei Copien der Royal Society an-fangen.Beabsichtigen Sie in Ihrer Zeit-schrift einen Nachruf fu¨r Gerhardteinzufu¨hren? Selbst kenne ich fastgar nichts von seinen Lebensum-sta¨nden, sonst wu¨rde ich wahrschein-lich fu¨r die Biblioth. Mathem. einekleine biographische Notiz u¨ber ihnschreiben. Er hat ja dennoch dermathematisch-historischen Forschungeinen wirklichen Dienst geleistet.Stockholm 1899.V.30.Mit vorzu¨glicher HochachtungergebenstG. Enestro¨mBrahegatan 43Korrespondenz Enestro¨m – Cantor 193(Quelle: Bibliotheca Mathematica. – N. F. 13 (1899), S. 63)194 Anhang DMoritz Cantor antwortete:Zur Anfrage 74. Die von H. Enestro¨m in London eingezogenen Erkundigungenu¨ber die Anfangsworte des Briefes vom 21. Juni 1677, durch welchen Leibniz Newton’szweiten Brief beantwortete, lo¨sen zwar die Schwierigkeit, den Wegfall des Wortes hodiezu erkla¨ren, noch nicht, werfen aber doch ein gewisses Licht darauf. In dem in Hannoveraufbewahrten Concepte des Briefes steht bekanntlich hodie, in dem durch Wallis 1699veranstalteten ersten Abdrucke des Briefes fehlt das Wort. Ich habe in meinen Vorles. u¨berGesch. der Mathem. III, 276 drei Mo¨glichkeiten angegeben: 1) Leibniz kann das Wort in derReinschrift des Briefes vergessen haben; 2) Es blieb beim Abdruck inWallis’ Werken durchein Versehen weg; 3) Es wurde dort mit Absicht weggelassen. Die dritte Mo¨glichkeit wies ichals keiner Begru¨ndung fa¨hig zuru¨ck, zwischen den beiden ersten Mo¨glichkeiten liess ich dieWahl frei. Eine vierte Mo¨glichkeit ist inzwischen, wenn ich nicht irre durch H. ZEUTHEN,hervorgehoben worden: 4) Leibniz ist nicht an einem Tage mit seinem langen Briefe fertiggeworden und hat deshalb in der Reinschrift das Wort hodie absichtlich weggelassen. Vonden beiden im Archiv der Londoner Royal Society befindlichen Abschriften des Briefesentha¨lt die eine das Wort hodie in durchgestrichenem Zustande. Dadurch ist eine Thatsache(96)zweifellos festgestellt: die Reinschrift muss zu irgend einer Zeit ebenso ausgesehen haben.Es ist undenkbar, dass das im Concepte vorhandene Wort in die Copie der Reinschrifteingedrungen wa¨re, wenn es nicht in der Reinschrift selbst gestanden ha¨tte. Jetzt ist also nurder Zeitpunkt des Durchstreichens fraglich. Wurde das Wort von Leibniz durchstrichen,bevor er die Reinschrift abschickte, oder fand das Durchstreichen in London statt? Wersich fu¨r die zweite dieser Mo¨glichkeiten entschliesst und damit eine Fa¨lschung perfidesterArt annimmt, der wird wohl die Zeit dieser Fa¨lschung vor 1699 d. h. vor den Abdruckdes Briefes in den Werken von Wallis verlegen. So ist wenigstens das dortige Fehlen desWortes in unschuldiger Weise erkla¨rt — ein durchstrichenes Wort druckt man nicht ab —und ebenso auch das Fehlen in jener anderen Abschrift im Archiv der Londoner RoyalSociety, wenn diese u¨berhaupt nach dem Originalbriefe und nicht nach dem AbdruckebeiWallis angefertigt ist. Die zwei Mo¨glichkeiten, welche noch einer Entscheidung harren,sind also: 1) Leibniz hat die Reinschrift seines Briefes genau nach dem; Concepte gemachtund hat in der Reinschrift entweder sofort beim Niederschreiben oder spa¨ter, jedenfalls vordem Abschicken das zweite Anfangswort durchstrichen. 2) In England ist vor 1699 an demBriefe durch Durchstreichen des Wortes eine Fa¨lschung begangen worden.(M. Cantor.)(Quelle: Bibliotheca Mathematica. – N. F. 13 (1899), S. 95–96)Korrespondenz Enestro¨m – Cantor 195Postkarte vom 05.06.1899Adresse: Herrn Prof. Moritz CantorGaisbergstr. 15Heidelberg(Baden)Poststempel: Stockholm Heidelberg5.6.99 7.6.99 7-8 N.Verehrter Herr Professor!Ihren Artikel werde ich mit großem Vergnu¨genin der Nr. 3 der Biblioth. Mathem. 1899 vero¨ffentlichen,und Ihnen seinerzeit eine Correctur schicken.Sie gehen von der Voraussetzung aus, dass diezweite Abschrift eine Abschrift des Originalsist, und das ist ja sehr gut mo¨glich, aber inden von mir eingezogenen Erkundigungenfindet sich gar nichts mit Bezug hierauf —ich weiss nicht einmal ob die Abschriftvor oder nach 1722 angefertigt ist.Dass Gerhardt am 5. Mai in Halle ge-storben ist, habe ich zuerst aus der DeutschenLitteraturzeitung 1899, Sp. 80 erfahren,mit Ihrem Urtheil u¨ber ihn bin ich voll-sta¨ndig einverstanden.Den Halbband II:1 Ihrer Vorlesungen habeich von Teubner bekommen und werdein der 2. Nummer der Biblioth. Mathem.1899 eine Anzeige desselben einfu¨hren. MeinExemplar entha¨lt nur S. 1 – 480, alsonur einen Theil der Zeit von 1500–1550,aber ich vermuthe, dass es dennoch nichtunvollsta¨ndig ist.Stockholm 1899.VI.5.Mit vorzu¨glicher HochachtungergebenstG. Enestro¨mBrahegatan 43196 Anhang DPostkarte vom 12.06.1899Adresse: Herrn Prof. Moritz CantorGaisbergstr. 15Heidelberg(Baden)Poststempel: Stockholm Heidelberg12.6.99 14.6.99 12-1 N.Verehrter Herr Professor!Besten Dank fu¨r Ihre Karte vom 8. Juni!Heute schicke ich Ihnen unter Kreuzbanddie Recension der neuen Auflage des Ban-des II:1 Ihrer Vorlesungen, von der ichin meiner vorigen Karte gesprochen habe.In Betreff der hodie-Frage verstehe ichnicht, wie Sie wissen ko¨nnen, dass diezweite Abschrift nur (direkt oder indi-rekt) vom Original entnommen ist.Warum ist es a priori unmo¨glich, dasssie von de Morgan mit Benutzungdes Gerhardt’schen Abdruckes des Con-ceptes verfertigt worden ist, und dassde Morgan auf Grund einer Vergleichungmit dem Commercium epistolicumdas Wort ”hodie” durchgestrichen hat?Stockholm 1899.VI.12.Mit vorzu¨glicher HochachtungergebenstG. Enestro¨mBrahegatan 43Korrespondenz Enestro¨m – Cantor 197Postkarte vom 16.06.1899Adresse: Herrn Prof. Moritz CantorGaisbergstr. 15Heidelberg(Baden)Poststempel: Stockholm Heidelberg16.6.99 19.6.99 1-2 V.Verehrter Herr Professor!Aus Ihrem freundlichen Schreiben vom14. d.M. ersehe ich, dass ich bei meinerBemerkung (”Tadel” soll es nicht genanntwerden) zur Seite 47 Ihrer Vorlesungen II:1(Aufl. 2) nicht nur die Worte: ”ganz erfolglos”sondern auch die Worte: ”muss man” ha¨ttecursivieren sollen, und ich erlaube mir Ihnenvorzuschlagen, in der 3. Aufl. der Vorlesungenstatt ”muss man . . . ganz erfolglos” die Worte:”mu¨ssen wir . . . ganz erfolglos” zu setzen. Dannhaben Sie ja Ihre Ansicht bestimmt aus-gesprochen, aber ohne Anspruch, dass alleanderen Verfasser (”man” wu¨rde wohl hier als”Jedermann” aufgefasst werde) diese Ansichttheilen werden.U¨ber die zweite Abschrift des Leibniz’schenBriefes hoffe ich vor dem Ausgange diesesJahres von Herrn Bak na¨here Auskunftzu bekommen.Es ist schade, dass Curtze’s ausfu¨hrlichererReisebericht im ”Centralbl. fu¨r Bibliotheks-wesen” erschienen ist. Haben Sie nichtdaran gedacht, denselben in der Zeitschr.fu¨r Mathem. abdrucken zu lassen?Stockholm 1899.VI.16.Mit vorzu¨glicher HochachtungergebenstG. Enestro¨mBrahegatan 43

Zur ältesten Geschichte der Zahlzeichen

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