Einbettungsprobleme in der Differentialgaloistheorie

Die Differentialgaloistheorie ist analog zur gewoehnlichen Galoistheorie aufgebaut. Statt Polynomgleichungen ueber Koerpern studiert man lineare Differentialgleichungen ueber einem Differentialkoerper K mit Konstantenkoerper C. Wir nehmen an, dass C algebraisch abgeschlossen und von Charakteristik 0 ist. Die Begriffe "Galoiserweiterung" und "Galoisgruppe" und der Hauptsatz der Galoistheorie haben eine Entsprechung in der Differentialgaloistheorie. Auch Einbettungsprobleme koennen wie in der gewoehnlichen Galoistheorie definiert werden. Zuerst verallgemeinern wir den Begriff eines Frattini-Einbettungsproblems von endlichen auf lineare algebraische Gruppen. Dies erlaubt die Zerlegung eines Einbettungsproblems in ein zerfallendes und ein Frattini-Einbettungsproblem wie in der gewoehnlichen Galoistheorie. Als Hauptresultat fuer zusammenhaengende Einbettungsprobleme erhalten wir: --- Im Fall K=C(t) hat jedes zusammenhaengende Einbettungsproblem eine eigentliche Loesung. --- Wir koennen sogar mehr zeigen: Ist der Transzendenzgrad von K ueber C endlich, dann hat jedes zusammenhaengende, effektive Einbettungsproblem eine eigentliche Loesung. Hier ist die Effektivitaet eine technische Bedingung, die im Fall K=C(t) automatisch erfuellt ist. Diese Resultate koennen fuer einige nicht zusammenhaengende Einbettungsprobleme verallgemeinert werden. Hiermit kann das inverse Problem ueber Funktionenkoerper geloest werden: --- Ist K ein Funktionenkoerper in endlich vielen Variablen ueber C, dann kann jede lineare algebraische Gruppe als Differentialgaloisgruppe ueber K realisiert werden. --